PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Para todo número real a, b y y c:
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a·b=b·a Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2x4=4x2
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 -3 x 1 = -3
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0 Ejemplo: 6 + (-6) = 0
Inverso Multiplicativo: Ejemplos:
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
2.- Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incógnitas y que es verdadera para cualquier valor de las variables EJEMPLO: a+b=b+c
3.- Se llama ECUACIÓN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores de la variable EJEMPLO: 3x = 15 x=5 RESOLVER una ecuación significa hallar los valores de la variable que la hacen verdadera DESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable quede aislada en el otro. La transposición de términos se realiza utilizando la propiedad de los elementos neutros de cada operación y respetando el orden de las operaciones. EJEMPLOS 2(x + 4) = 24 2x + 4 = 24 2(x + 4)]/2 = 24/2 2x + 4 - 4 = 24 - 4 x = 24/2 2x = 24 - 4 x + 4 = 12 (2x) /2 = 20/2 x + 4 - 4 = 12 - 4 x = 20/2 x = 12 - 4 x = 10 x= 8 En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse mentalmente 4.- Una desigualdad es una expresión de dos miembros relacionados por un signo de menor o mayor 5.- Una inecuación es una desigualdad en la que figuran incógnitas EJERCICIOS: Resolver los siguientes ejercicios combinando operaciones: Resolver las siguientes ecuaciones:
POTENCIACION BASE Exponente=POTENCIA
43=4.4.4=64 41=4 La potenciación es un caso particular de producto: todos los factores son iguales En general: an=a.a....a n veces La base es el número que se multiplica El exponente indica las veces que se multiplica la base an se lee a elevado a la ene 43 se lee 4 a la tercera PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN •
NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 43 •
Es distributiva respecto a la producto y al cociente Ejemplo: (3.2)3=33.32
•
NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia (3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias dadas En símbolos: an.am= am+n EJEMPLO: 23.24=23+4=27 COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre los exponentes de las potencias dadas En símbolos:
an:am= am-n EJEMPLO: 25:23=25-3=22 EXPONENTE CERO El exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales: EJEMPLO: 24:24=24-4=20 Pero, en este caso estamos dividiendo un número por sí mismo 24:24=1 Luego: 20=1 CONVENCIÓN: Todo número elevado a la cero da por resultado 1 POTENCIA DE POTENCIA La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados (An)m= am.n (24)3= (2)12 EJERCICIOS
Calcule las siguientes potencias
B) Aplicando las propiedades de potencias de igual base resuelva: DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Llamaremos número primo a aquel número que es divisible por sí mismo y por la unidad. Los números que no son primos se llaman compuestos Todo número natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado. Ejemplo:
180 90 45 15 5 1
divisores 2 2 3 3 5
Luego : 180 = 22325 MULTIPLO COMÚN MINIMO (m.c.m): Dados dos o más números factoreados se llama múltiplo común mínimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente DIVISOR COMÚN MÁXIMO (d.cm): Dados dos o más números factoreados se llama divisor común máximo al producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo: Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60 Descomponiendo esos números en sus factores primos resulta: 180 = 22325 300 = 22.3.52 120 = 23.3.5 Luego: Mcm (180, 150,60)= 23.32.52 = 600 Dcm (180, 150,120) = 22.3.5 = 60
RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa a la potenciación En general: Resolviendo ecuaciones: 1) Calcule las siguientes raíces:
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN •
No es conmutativa
•
Es distributiva respecto al producto y al cociente
•
NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la resta
EJERCICIO Resuelva las siguientes ecuaciones 7.- LOGARITMACIÓN LOGARITMOS Si pretendemos resolver la ecuación
nos encontramos conque no existe ninguna operación, de las que conocemos, que nos permita despejar la incógnita. Ello hace necesario la definición de una nueva operación, la LOGARITMACIÓN Introducción a la definición En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operación determina exponentes El logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el número al que hay que elevar la base 3 para obtener 81 Escribimos: Leemos: logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4 Es decir: EL LOGARITMO ES UN EXPONENTE DEFINICIÓN
Ejemplo: EJERCICIO: Calcular los siguientes logaritmos utilizando la definición
Capítulo 4: El lenguaje matemático En los capítulos anteriores habrá observado que, en varias ocasiones hemos agregado la leyenda "se lee". Esto es sumamente importante para aprender a leer el lenguaje simbólico que se utiliza. Este lenguaje es escrito y es universal cada uno lo oraliza en lenguaje coloquial en su lengua materna, así el símbolo 4 se lee cuatro en español, four en inglés, etc. Pero con ese signo estamos definiendo el cardinal de un conjunto. El lenguaje simbólico es específico, no debe ser ambiguo ni contradictorio, pero al leerlo no debemos perder de vista la estructura que describe Por ejemplo: Si escribimos x + 5 = 8, Podemos leer: equis más cinco es igual a 8 Y esto significa: Busque el número al que sumándole cinco dé por resultado 8 Es en función de este significado que escribimos x = 3 Nos plantearemos ahora el problema de traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico: Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo doble más 1 es igual a 9? Es obvio que la respuesta se puede calcular mentalmente en este caso, lo que facilitará el análisis: ¿Qué buscamos? Un número, esa es la incógnita, x El doble del número 2x El doble del número más 1 2x +1 El doble del número más 1 es igual a 9 2x + 1 = 9 Para encontrar el número buscado resolvemos la ecuación. LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE SIMBÓLICO
Compete el cuadro El doble de un número El triple de un número El siguiente de un número El anterior de un número 3x+2 La raíz cúbica de El cuadrado del siguiente número X5 El cubo de la suma entre un número y tres El cubo de un número más tres El duplo de un número más su triplo La mitad de un número más seis 2x3 La mitad de la suma entre un número y ocho El cubo de la suma de los números
3.- NUMEROS OPUESTOS Dos enteros distintos son opuestos si tienen el mismo módulo La expresión -x
se lee el opuesto de un número
Sabemos que: el opuesto de +2 es -2; el opuesto de -6 es +6, aplicando la expresión que define el opuesto en lenguaje simbólico resulta: EJERCICIO: Expresar por extensión 4.- ORDEN EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS En la recta numérica, (ver página anterior) la flecha indica el orden creciente. Ese orden debe mantenerse al agregar los números negativos Diremos que: •
Dados dos números positivos, es mayor el de mayor valor positivo
•
Dados dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto
•
Todo número positivo es mayor que cero
•
Todo número negativo es menor que cero
Así: EJERCICIO 2 Coloque el signo que corresponda: mayor, menor o igual 5.-OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS Dada la correspondencia entre los números naturales y los números positivos al definir las operaciones no pueden contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que deben ampliarse A.- SUMA ALGEBRAICA: 1.1.-Para definir la suma debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdad De esta expresión los matemáticos acuerdan una convención 1.2.- Resta o diferencia Recordemos que: Resolvemos: EJERCICIO 3 1.- Realice Las Siguientes Sumas Algebraicas 2.- Resuelva Las Siguientes Ecuaciones 3.- Represente en la recta numérica los siguientes conjuntos B.- PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS Por la correspondencia entre los números naturales y los positivos sabemos que Multiplicar dos por cinco significa sumar dos veces el cinco. Teniendo en cuenta esta definición de producto y que la multiplicación es conmutativa podemos calcular Pero nos falta encontrar un significado para el producto de dos números negativos: Sobre la base de estas deducciones concluímos: EJERCICIO 4 1.- Resuelva los siguientes productos
2.- Resuelva las siguientes ecuaciones 3.- Al trabajar con números naturales utilizamos un juego para practicar las operaciones. Use las mismas reglas en cada tabla TABLA 1 (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo) L
O
Q
U
I
T
A
S PUNTAJE
-2
4 10L
8
5
-3 -4L
-2L 4P (-1)P
1
-1
-2L -3L
9L
2
-3L
-L 2P
ACTIVIDADES PARA REALIZAR CON LA TABLA •
•
•
Indique qué puntaje le corresponde a la palabra ALQUILAS, en cada fila Escriba el desarrollo del cada cálculo. En qué orden colocaría las siguientes palabras para obtener mayor puntaje total: AQUILATO, SOLITAS, SOLISTA, ILUSOS, ALISTA, SALTITO, ATLAS, TALLOS Escriba el puntaje como ejercicio que combina operaciones de suma y producto de enteros y compare resultados.
C.- COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS La división es la operación inversa a la multiplicación. Ud. sabe que, por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2 por 7 es igual a catorce. Entonces está en condiciones de realizar las siguientes divisiones Enuncie la regla de los signos El cociente de dos números enteros del mismo signo es...................... El cociente de dos números enteros de distinto signo es...................... EJERCICIO 5 1.- Calcular 2.- Hallar x APLICACIONES
1) FACTOR COMÚN El cálculo del factor común es la inversa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto al producto. Dada una suma para calcular el factor común se procede así: •
Se determina el d.c.m , llamado factor común, de los sumandos
•
Se divide cada sumando por el factor común, obteniéndose los nuevos sumandos
•
El resultado es el producto del factor común por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el paso anterior.
EXTRAER FACTOR COMÚN ECUACIONES DEL TIPO: ax + b = cx +d En la ecuación Vemos que en cada miembro hay un término en x y otro término sin x :no es posible sacar factor común, pero podemos agrupar los términos en x en un miembro y los sin x en el otro: así: FORMA ABREVIADA (pasaje o trasposición de términos): El primer paso de la resolución y el tercero se pueden realizar mentalmente. Entonces diremos que el 5 que está sumando pasa al segundo miembro restando El 6x que está sumando pasa al primer miembro restando. En el paso 5 el -4 está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo. Recuerde que en la trasposición de términos nunca hay cambio de signos sino cambio de operación Utilice el procedimiento anterior para resolver las siguientes ecuaciones: PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CERO Si el producto de varios números es igual a cero entonces alguno de los factores es igual a cero En símbolos: Utilizamos esta propiedad para resolver ecuaciones: Usando la propiedad anterior resuelva: PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS POR SU DIFERENCIA
El producto de dos números por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados de dichos números Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando esta propiedad:
POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
La definción de potencia es la misma que en los números naturales, veamos: Complete el cuadro de la regla de los signos de la potencia BASE Positiva Positiva Negativa Negativa
EXPONENTE par impar par impar
POTENCIA
E.- RADICACIÓN La radicación es la operación inversa a la potenciación: Complete: Radicando
Índice
Positiva
par
Positiva Negativa Negativa
impar par impar
Raíz Dos raíces una positiva y otra negativa
EJERCICIO 7 ... .. Capítulo 6: Conjunto de Números Racionales FRACCIONES - NUMEROS RACIONALES La ecuación: 2x=5
no tiene solución en el conjunto de números enteros. Aplicando las reglas de resolución de ecuaciones resulta:
El resultado obtenido es una fracción: el cociente indicado de dos números enteros. Llamamos: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES 1.- Son FRACCIONES EQUIVALENTES las que representan el mismo punto en la recta numérica. EJEMPLO: 2.- Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador son números coprimos, es decir no tienen divisores comunes. EJEMPLO: 3.- Son fracciones aparentes aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Son números enteros OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES 1.- SUMA DE FRACCIONES Para sumar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador. Para reducir fracciones a común denominador se procede así: •
Se determina el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. Sumandos
•
Se calculan las fracciones equivalentes con ese denominador de cada sumando
EJEMPLOS: 2.- PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factores EJEMPLO 3.- INVERSO MULTIPLICATIVO El inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción tal que multiplicada por la primera da por resultado 1 El inverso multiplicativo de 4.- COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONES
El cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor 5.- POTENCIACION Y RADICACIÓN DE FRACCIONES EJEMPLO: POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la diferencia entre las potencias dadas. Veamos este caso donde, de la aplicación de la regla resulta un exponente negativo Analicemos el significado de esta expresión tratando de resolver el ejercicio: Resulta entonces que: Utilizando esta inducción, definimos: Ejercicio: Calcule las siguientes potencias TRABAJO PRÁCTICO A) COMPLETE Y RESUELVA
Fracciones equivalentes
2.- Suma algebraica 3.- Calcular 4- Resolver las siguientes ecuaciones 5.- Problemas
El doble de un número más un medio es 16 ¿Cuál es el número? Los dos tercios de un número más 1 es igual a cinco cuartos. ¿Cuál es el número?
Se tiene un patio de 12 m por 4m. Se quieren embaldosar los dos tercios del patio ¿Cuántos m2 quedarán sin embaldosar?
Le hicimos un regalo a mi sobrino que costó $ 150.- Yo pagaré un quinto del total, mi hermanados tercios y mi mamá el resto ¿Cuánto pagará cada una?
Un tanque se llena en 6 hs. si se utiliza una canilla de las dos que tiene conectadas. Si se utiliza sólo la otra se llena en 3 hs.¿ En cuánto tiempo se llenará utilizando las dos simultáneamente?
Capitulo 7: Números Irracionales 1.- Nos planteamos un problema: ¿Como calcular x? Si aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base, factoreando previamente el 4, resulta: Pero además es: Entonces : También se verifica que: Pero: :Luego: Teniendo en cuenta esta inducción, definimos: Potencia de exponente fraccionario: Capítulo 9: NÚMEROS COMPLEJOS 1. LA UNIDAD IMAGINARIA Ecuaciones del tipo EJEMPLOS DE GRÁFICA DE UN CONJUNTO NUMÉRICO: a) I x I 3, se interpretará como el conjunto de puntos que están a 3 unidades de origen. I x I = 3 x = 3 ó x = - 3 Solución: {3} U {-3}= {3, -3} ⇔
Gráfica: b) ( x + 1) = 5, se puede interpretar como el conjunto de puntos que están a 5 unidades de - 1 (x + I ) = ( x - (- 1) ) = 5 (x+1)=5 x+1=5 ó x+1=-5 Solución: {x I Ix-(-1)I = 5} = {xlx + 1 = 5 ó x + 1 = -5} = {4,-6} ⇔
Gráfica:
