Instituto Tecnológico Tecnológico de Nogales Materia: Cálculo Diferencial Unidad 1: Números Reales Tema 2. Propiedades de los Reales Maestro: Marco Antonio Cervantes Aguilar correo:
[email protected] [email protected] Cel. 6313086112 6313086112 Septiembre de 2007.
Unidad 1: Números Reales
Clasifi cación de d e los números númer os reales . 1.1 Clasificación Los números reales son los que usamos para contar o medir: 1, 2, 3, 250, – 12, – 100, 1.85, 34.95, 20 ,
3
−8
, etc. No son números reales los siguientes:
−1 ,
− 2,
−3 ,
3 5
9
,− , 4
etc. Observa que los números
negativos que están dentro de raíces cuadradas NO son considerados números reales. Los números reales tienen subconjuntos de números que son conocidos por ti desde la escuela primaria o secundaria. Enseguida te los muestro:
a) Números Naturales.- son los que usas cuando cuentas objetos, animales o personas: 1, 2, 3, 4, etc. Bajo esta definición el 0 NO es natural, porque cuando cuentas NUNCA empiezas con 0. Los naturales fueron los primeros números que usó usó el hombre, desde sus inicios, para para resolver sus necesidades matemáticas cotidianas. Este conjunto de números se representa con N. Así pues, N = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Estos números también se conocen como enteros positivos. Dentro de este conjunto se encuentran los pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, …) y los impares(1, 3, 5, 7, 9, 11, …). Otros números que también están dentro dentro de los naturales son los Números primos, aquéllos que sólo son divisibles por dos números diferentes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
etc. El 9 NO es primo primo porque lo dividen dividen tres números: 1, 3 y 9. El 1 tampoco es primo porque sólo sólo lo divide un número: el 1.
b) Números Enteros.- Son los números que usas para contar lo que tienes o lo que debes. Se aplican básicamente en actividades comerciales. Por ejemplo, si abres una cuenta en el banco y depositas $1000, se anota como un número con signo positivo: + 1000. Si haces un retiro de $600, se anota con signo negativo: – 600. Si tu balance es +, significa que tienes dinero dinero a tu favor; si tu balance es – , significa que tú le debes dinero al banco. El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z. Así pues, Z = {… –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …} Los enteros se representan gráficamente con una recta llamada eje numérico. negativos -6
-5
origen -4
-3
-2
-1
0
positivos 1
2
3
4
5
6
c) Números Racionales.- son todos aquellos números que se puede escribir como una fracción común usando
sólo enteros. Ejemplo:
3 4
,
−5
2
,
9 2 1 ,
3 1
,
8
,
− 10
40
, etc. Este conjunto se representa con la letra Q. Observa
que los racionales comprenden tanto a los enteros como a las fracciones comunes, sean positivos o negativos. Los números decimales son racionales si la parte decimal tiene un grupo de dígitos que se repiten periódicamente. Por ejemplo, 1.45454545 es racional, porque l os dígitos 45 se repiten indefinidamente. Este
1
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número es
16 11
. Otros ejemplos son 1.3333 , 0.777777 0.777777 , .250 , 1.4166666 , 0.725725725 0.725725725 , etc. Observa que
en el primer ejemplo se repite el 3; en el segundo se repite el 7; en el tercero se repite el 0; en el cuarto, el 6;
en el quinto, el 725. Los anteriores ejemplos son las fracciones
4 3
,
7 9
,
1 17 ,
4 12
,
725 999
. Para indicar que un
paquete de números se repiten indefinidamente, sobre él se escribe un tilde horizontal. Ejemplo, 1.33333 se escribe 1. 3 ; 1.4166666 se escribe escribe 1.416 ; 0.725725725 se escribe 0.725 d) Números Irracionales.- son todos aquellos números que N O se pueden expresar como una fracción común. En palabras sencillas son los números que resultan de sacar la raíz cuadrada o cúbica o cuarta, etc. y que no es exacta. Ejemplo:
2 ,
3 ,
5 ,
6 , ... ,
3
2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , ... . Este conjunto se representa con Q’ .
Otros números irracionales que vas a tratar frecuentemente o que ya usas, son
π (que indica las veces que la
circunferencia es más grande que el diámetro, 3.14159265359…),
e
(que aparece en cualquier problema
donde hay crecimiento continuo, y su valor es 2.71828182846…),
ϕ (llamado número áureo (llamado así
porque indica la relación perfecta que debe haber en lo que a los ojos se ve armonioso; su valor es
1+ 5 2
=
1.6180…) Para identificar un racional de un irracional cuando se escriben en forma decimal, al final de la parte decimal del número irracional se escriben tres puntos decimales para indicar que siguen más decimales pero que no podemos predecir cuáles son los siguientes.
Enseguida te presentamos mediante una gráfica todo el conjunto de los números reales y los conjuntos de números que los forman. Números Reales R Números Racionales Q Q’ Números Irracionales
Números Enteros Z Números Naturales N
Con los números pasa lo mismo que con las personas. Si naciste en Nogales, Sonora, tú eres nogalense, más ampliamente eres sonorense y más genérico, eres mexicano. El número 15 es un número natural, pero en un nivel más alto es número real; el número – 8 es un entero negativo pero en un nivel más alto es número real ; el número 1.25 es un número racional pero en un nivel más alto es número real; el número 1.4142… es un número irracional, pero en un nivel más alto es número real. Así pues, cuando te pidan que digas qué tipo de número es, fíjate si te lo piden en el nivel más bajo o en
el nivel más alto o si te piden que digas todos los niveles. En conclusión, cuando escuches que hablan de
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números reales, en tu mente debes pensar en números enteros, sean positivos o negativos, en fracciones comunes o decimales, sean positivas o negativas; en números positivos dentro de raíz cuadrada.
Ejercicio 1.- Sobre la raya que antecede a cada número, escribe escribe Q si el número es racional; Q ’ si es irracional; NA si no aplica a ninguno de los dos. 1) ____
5) ____
2 7
3 12
9) ____ 4.236
2) ____ −
9
6) ____
6
3) ____
4
9 7
7) ____
10) ____ 4.236…
4) ____
−4
8) ____
11) ____ 1.75
3 16
2 4
12) ____ 1.75…
Ejercicio 2.- Escribe sobre la raya el nombre del conjunto conjunto de números que se indica. 13) {1, 2, 3, 4, 5, ….}
_______________________________________ ____________________ ______________________________________ ____________________________ _________
14) {0, 1, 2, 3, 4, … }
_______________________________________ ____________________ ______________________________________ ____________________________ _________
15) {-1, -2, -3, -4, -5, … }
______________________________________ ___________________ ______________________________________ _________________________ ______
16) {0, -1, -1, -2, -3, -4, …. } ____________________________________ ________________________________________________________ ____________________________ ________ 17)
1, 1 , 1 , 1 , ...., 2, 2 , 2 , 2 , 2 ,..., 3, 3 , 3 , 3 , .... 3 5 7 9 2 4 5 2 3 4
18)
0,1, 1 , 1 , 1 , ...., 2, 2 , 2 , 2 , 2 ,..., 3, 3 , 3 , 3 , .... 2 3 4 3 5 7 9 2 4 5
_______________________________________
_____________________________________
Ejercicio 3.- Escribe los números nú meros que forman los siguientes conjuntos. Ejemplo: Números pares positivos = {2, 4, 6, 8, 10, 12, … } 19) Números impares positivos = _____________________________________ _____________________________________ 20) Números pares negativos = _____________________________________ _______________________________________ __ 21) Números pares no negativos negativos = _____________________________________ _____________________________________ 22) Números naturales múltiplos de 5 = ___________________ ___________________________________ ________________ 23) Números enteros múltiplos de 3 = _____________________________________ _____________________________________ 24) Números primos menores que 30.
Respuestas a los ejercicios. 1) Q 11) Q
2) Q 12) Q’
3) Q
4) Q
6) Q’
7) NA
13) Números naturales o enteros positivos
15) Números enteros negativos positivos
5) Q
16) Números enteros no positivos
18) Números racionales no negativos
20) {-2, -4, -6, -8, -10, … }
21)
8) Q’
9) Q
14) Números enteros no negativos 17) Números racionales
19) {1, 3, 5, 7, 9, … }
{0, 2, 4, 6, 8, … }
3
10) Q’
22) {5, 10, 15, 20, 25, … }
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23) {…, -9 , -6 , -3 , 0, 3, 6, 9, …}
24) { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 }. Ojo: el 9 no es primo
porque tiene 3 números que lo dividen: el 1, el 3 y el 9 y recuerda que número primo es el que sólo tiene 2 divisores diferentes.
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