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Números Reales
Los números reales R, son el conjunto de números que aparece en la recta numérica los cuales están integrados por el conjunto de los números naturales N, los números enteros Z, los números racionales Q y los números irracionales I.
Números Naturales: Conjunto de números integrado por los enteros positivos. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
Números Enteros: Conjunto de números integrado por los enteros negativos, los enteros positivos y el cero.
0, 1, 2, 2, 3, 3, 4 − 4, −3, −2, −1, 0,
Números Racionales: es el conjunto que se compone de todos los números que pueden escribirse como un cociente
a b
, donde a y b son enteros y b es distinto de cero.
100 200 400 1 0 0 = = = = = etc. 1 2 4 Todos los enteros: −10 = − 10 = − 20 = − 40 = = etc. 1 2 4
Todas las fracciones del tipo Elaboro
a b
, b ≠ 0 :
3
3 1 1 1 1 7 7 , − , , − , , − , , − , etc. 8 8 2 2 3 3 3 3 1
bernardsanz La forma decimal de un número racional siempre termina o se repite: 1 4
1
= 0.25,
3
= 0.3333333,
1 6
= 0.16666666
Números irracionales: se componen de todos los números reales que no pueden escribirse como el cociente de dos enteros. 2 , − 50 , 0.12345 , − 5.1223334444 , 8.101001000 ,
, e, etc.
π
La forma decimal de un número irracional nunca termina y nunca se repite.
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES a) Valor Absoluto de n El valor absoluto de un número n es la distancia de n a cero, por lo que el valor absoluto de cualquier número real siempre será un valor positivo.
a
a, si a > 0 = 0, si a = 0 −a, si a < 0
8 =8
−7 = −(−7) = 7
b) Suma Si ambos números tienen el mismo signo, sume sus valores absolutos y asigne el signo en común a la suma. Si los números tienen signos diferentes, reste sus valores absolutos y asigne el signo del número con mayor valor absoluto.
−3 − 5 = −8 −3 + 5 = 2
3+ 5 = 8 3 − 5 = −2
c) Resta Es un caso particular de la suma:
a −b
= a + ( −b )
3 − 5 = 3 + (−5) = −2
d) Multiplicación y División Las leyes de los signos solo se aplican en las operaciones de multiplicación y división: 1. Signos iguales, el resultado es positivo. 2. Signos contrarios, el resultado es negativo.
e) Exponentes a
n
, a es la base y n es el exponente, e indica el número de veces que la base se multiplica por
sí misma.
Elaboro
34 = 3⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81
2
Leyes de los Exponentes 1.)
a
2.)
m
a
Leyes de los Radicales
⋅ a n = a m+ n
1.)
n
=
a
1/ n
a
m
a
n
= a m ⋅ a− n = am − n n
3.)
(a )
4.)
(a ⋅b) = a ⋅b
m
= amn = ( an ) m
m
m
m
2.)
n
a
3.)
n
a
4.)
m
n
m
a a 5.) = m b b m r a ⋅b 6.) = a m−n ⋅ b r −s n s a ⋅b m
n
5.)
m
m
= an =
⋅n
b
=n
a
=
a
n
bernardsanz
=
b
( ) n
m
a
ab mn
a
=
n m
a
a n
b
f) Orden de las Operaciones 1. Se simplifican los signos de agrupación, ( ), { }, [ ],
.
2. Exponentes y Radicales. 3. Multiplicaciones y Divisiones. 4. Sumas y Restas.
g) Propiedades de la Suma y la Multiplicación Propiedad Conmutativa Asociativa
Suma
Multiplicación
a+b =b +a a + (b
a ⋅b
= b⋅ a a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b) ⋅ c
+ c) = ( a + b) + c
h) Elemento Identidad e inverso de la Suma y la Multiplicación Elemento
Suma
Identidad
0 = 1 − 1 = 2 − 2 = 3 − 3 = etc − etc
Inverso
El inverso aditivo (Opuesto) de cualquier entero “a” es “– a ”
Multiplicación 1 −5 240 etc 0 1= = , = = ≠1 1 −5 240 etc 0 El inverso multiplicativo de “ a ” es “ 1 ”, si a es distinta de cero a
i) La multiplicación es distributiva sobre la adición a (b + c)
Sean a, b y c:
= ab + ac
Para los Racionales Números Primos: Un entero positivo P diferente de 1, es primo si sus únicos factores positivos son 1 y P:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .
Teorema Fundamental de la aritmética: Todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos según una y solo una forma. 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 Elaboro
126 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7
540 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3 ⋅ 3⋅ 5 3
Mínimo Común Múltiplo (mcm) y Máximo Común Divisor (MCD)
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El mcm de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos, es decir, el mcm es el número más pequeño que es divisible entre esos números naturales. El MCD de dos o más números naturales es el mayor número que divide a los números naturales quedando como residuo cero.
Ejemplo: Obtener el mcm y el MCD de los números 24, 28 y 32. 24 12 6 3 3 3 1 1
28 14 7 7 7 7 7 1
32 16 8 4 2 1 1 1
2 2 2 2 2 3 7
24 28 32 2 12 14 16 2 6 7 8
mcm
MCD =
2⋅ 2 = 4
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 25 ⋅ 3 ⋅ 7 = 672
Fracción, Cociente a b
=
numerador
, denominador
b
≠ 0 , cociente de a entre b o fracción de a sobre b o razón de un número a con respecto a un número b o proporción de a sobre b.
Propiedades Los denominadores son distintos de cero.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Elaboro
a b
ad
a
=
−b b a b a
+ + ⋅
c b c d
c
b d a b
÷
si
d
=
bd
a
c
=
c d
a
= bc
, propiedad fundamental de las fracciones, principio de las fracciones equivalentes.
b
−a b
=−
a b
a+c
=
b
= =
ad
ad
+ bc
bd
ac bd
=
a d b
⋅
c
=
ad bc
⇒
a b c d
=
ad
bc
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EJERCICIOS DE APOYO: NUMEROS REALES
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