U ni ve verr si dad Nacional Naci onal de I ngeni er ía F acul tad de I n ge gen n i er ía M ecáni ca Prof Pr ofe esor : Gui do Pine Pin edo Saav Saave edra Curr so : M ecáni ca de F l ui dos Cu Tema Tema : F lu jo I nter nter no I ncompr ncompr esibl e Vi sco cosso
En los capítulos anteriores se estudió estudió los regímenes de flujo flujo laminares y turbulentos . Se dijo que un flujo laminar , es aquel flujo flujo ordenado que prácticamente está conformado por laminas de fluido , en en la cual cada partícula de una lámina solo puede moverse en su lámina y no puede cruzar a otra. Además se dijo que un flujo turbulento turbulento es aquel en el cual no hay ningún orden y las partículas del fluido se mueven al azar . Esta ligera teoría ahora la vamos a aplicar al flujo dentro dentro de tuberías , pero con la particularidad que el fluido ahora será viscoso. Flujo Viscoso incompresible incompresible en una tubería Para empezar este estudio veamos la diferencia entre los flujos laminar y turbulento en una tubería basándonos en el experimento de Reynolds ,
En la figura se muestra muestra el equipo utilizado para el experimento de Reynolds Reynolds : una tubería tubería lisa transparente de diámetro de entrada suave suave y redondeada redondeada por donde circula el fluido a analizar analizar a un caudal . Un pequeño pequeño recipiente que contiene tinta con una pequeña cañería cuya salida está ubicada justo en el centro de la tubería . Desde esta esta cañería se vierte la tinta dentro del caudal del fluido analizado .En la figura se muestra muestra las imágenes imágenes de los diversos regímenes regímenes de flujo flujo que pueden darse y que se visualizaran mediante el comportamiento de la fina línea de tinta que se difunde en el fluido. El régimen será laminar si la línea de tinta se mantiene totalmente totalmente horizontal y no pierde su forma . Esto ocurre a bajos . Cuando empieza a aumentar se empieza a perder la forma lineal de la tinta , debido a que está dejando el régimen laminar , es decir , estamos en una etapa de transición de régimen. Finalmente cuando se pierde pierde por completo el orden en la tinta y su forma se distorsiona totalmente , el régimen ya es turbulento.
̅ ̅ ̅
En la figura se muestra la variación de la velocidad en función del tiempo , en un punto de un flujo estable dentro de una tubería. Cuando el flujo es laminar la velocidad es y no cambia en el tiempo . Cuando el flujo empieza el régimen de transición aparecen unas pequeñas distorsiones respecto al flujo laminar . Cuando el flujo es turbulento la velocidad predominante es a lo largo de la tubería , pero ahora hay componentes aleatorias normales al eje de la tubería, Para flujo en tuberías el parámetro adimensional más importante es
. Sabemos que
El
tipo de flujo , laminar , de transición o turbulento , depende de valores de bajos , intermedios o altos . Pero como vemos , no solo la velocidad determina el tipo de flujo . También tienen influencia , , y . Si bien los valores de para los cuales se tiene régimen laminar o régimen turbulento no está precisamente determinado , para fines de ingeniería se considera que para flujo en tuberías circulares : Regimen laminar es cuando Régimen turbulento es cuando Entre ambos valores se asume que ees régimen de transición
Región de Entrada y Flujo Totalmente Desarrollado : Todo fluido que circula dentro de una tubería tiene una sección de ingreso a ésta . Se considera que al ingresar a la tubería el flujo es uniforme . Apenas entra al ducto los efectos viscosos hacen que el perfil de velocidad empiece a cambiar . Cerca a la pared la velocidad es muy pequeña , pero yendo hacia el centro la velocidad empieza a crecer hasta llegar a un máximo . Si el flujo es estable , se llegará a una sección en la cual la velocidades ya no cambien en dirección axial y solo varíen radialmente . La distancia recorrida desde el ingreso a la tubería hasta el punto en el cual la velocidad ya no cambia axialmente se denomina y en esta distancia se cumple . Pasada esta distancia de entrada la región en la cual el perfil de velocidad ya no cambia con , se denomina y en esta región , es decir
. Estos conceptos de Región de entrada y Región de Flujo Totalmente desarrollado , se
cumplen tanto para régimen laminar como para régimen turbulento , aunque la forma del perfil desarrollado es diferente en ambos casos.
De estudios experimentales se ha podido establecer lo siguiente ,
⁄ En flujo turbulento : En flujo laminar :
El cálculo del perfil de velocidades y la distribución de presión es algo complejo en la zona de entrada , sin embargo luego que se alcanza la zona desarrollada el trabajo es más simple , pues la velocidad solo depende del radio .
Cálculo del Perfil de Velocidad en Flujo Laminar Totalmente Desarrollado : Supóngase que estamos en la zona de flujo totalmente desarrollado en flujo estable incompresible dentro de una tubería circular :
En la figura mostrada , se ve un elemento de fluido de radio y longitud . En este elemento , la presión en la sección (1) es , en la sección (2) es . Como la presión decrece en dirección del flujo . Un esfuerzo cortante actúa en la superficie . Este esfuerzo viscoso es una función del radio. Si aplicamos la relación , en este caso , pues al estar en zona desarrollada , la velocidad no cambia entre secciones y por lo tanto . Realizando el balance de fuerzas en el elemento fluido :
Esto se puede simplificar como :
Δ
La ecuación (1) representa el balance básico de fuerzas necesario para conducir cada partícula del fluido
debe ser también independiente de . Es decir . En ( centro del elemento) no hay esfuerzo de corte , mientras que en , el esfuerzo de corte será un máximo , al cual denominaremos , esfuerzo cortante en la pared . Entonces , y . Además la distribución del esfuerzo cortante será lineal en a velocidad constante. Como ni
ni
son función de , entonces
dirección radial :
Además ,
Si no hubiese viscosidad en el fluido , no habría esfuerzo de corte , y la caída de presión sería cero a lo largo de la tubería horizontal. Ahora de (1) y (2) obtenemos,
Δ
Se puede notar que un pequeño esfuerzo de corte puede producir una gran caída de presión si la tubería fuese extremadamente larga. Hasta este punto no se ha especificado el tipo de régimen , por lo tanto tanto (1) , (2) como (3) se cumplen tanto para régimen laminar como régimen turbulento El cálculo del perfil de velocidades que continúa , es posible de ser realizado para el régimen laminar , mientras que en el régimen turbulento esto no es posible a no ser que se asuman ciertas consideraciones adicionales.
Considérese régimen laminar : si recoradmes la relación de Newton de la viscosidad par régimen laminar :
aplicándola al elemento en la tubería sería :
El signo negativo se incluye para obtener
con
(la velocidad disminuye desde el
centro hacia la pared de la tubería) La ecuaciones (1) y (4) son las leyes que gobiernan el flujo laminar totalmente desarrollado para un fluido newtoniano que fluye dentro de una tubería circular horizontal . Entonces combinando (1) y (4) se obtiene ,
Separamos e integramos
( ) ∫ ∫
:
Entonces , En
] [] [
Entonces
Luego el perfil de velocidades puede ser escrito como ,
Donde ,
es la velocidad en el eje central de la tubería
También combinando (3) y (5) , se puede escribir ,
[ ]
Donde es el radio de la tubería . Este el el perfil de velocidades , que como puede notarse es de tipo parabólico en régimen laminar ,
El flujo volumétrico se puede obtener ,
[ ] entonces , Ahora , la velocidad media , está definida por : Y
8
Δ
Δ
Tubería inclinada :
En este caso el efecto de la caída de presión en el flujo , debe ser combinada con el efecto de la gravedad y ahora en vez de usar se utilizará es el ángulo entre la tubería y la horizontal . (
Entonces reemplazando en (1) , Δ
8
Así todos los resultados obtenidos para la tubería horizontal también son válidos para una tubería inclinada , solamente se debe reemplazar por
8 Δ
Δ
De Análisis Dimensional :
De esto se obtiene , Entonces ,
Y
Como
Si
De experimentos , para tubería circular , en régimen laminar . Para otros tipos de sección transversal , el valor de es diferente . Estos valores se hallan tabulados. También se puede obtener de
:
Si ambos lados de esta ecuación se dividen por la presión dinámica
:
( )( ) ( ) ( ) ( ) () 8 Lo que generalmente es escrito como :
Donde
la
cantidad
adimensional (este
es llamada término no debe
ser
o confundido
, el cual es mucho menos utilizado )
Para flujo laminar completamente desarrollado en tuberías c irculares ,
También de la ecuación
, se puede obtener ,
FLUJO TURBULENTO :
En flujo turbulento ,
Además en flujo turbulento , Mas bien ahora se cumplirá ,
ó
Donde
y
son las componentes aleatorias de la velocidad . Además se puede decir :
Estructura de Flujo Turbulento en una tubería
también con el
Perfiles de Velocidad en Regimen Turbulento : De la figura anterior se puede ver que en flujo turbulento , se pueden considerar que existen tres sub-capas : (a) subcapa viscosa (b) capa de superposición (c) capa externa (a) Subcapa Viscosa : El perfil de velocidad se puede escribir en forma adimensional como,
Donde :
Nótese que
⁄ :
distancia medida desde la pared
, realmente no es una velocidad , solamente sus unidades son las de la velocidad.
Esta ecuación es válida para el rango :
(b) Capa de Superposición : Del análisis dimensional se puede determinar que en esta capa la velocidad cambia en forma logarítmica con . Así en esta región se ha propuesto ,
( )
Donde los coeficientes y se han determinado experimentalmente. (c) Capa Externa : Para esta capa exterior se han propuestas varias correlaciones . Algunas de estas son ,
Otra expresión es ,
⁄
En la figura se dan los valores de
()
, que dependen del valor de
Ejemplos de Aplicación : (1) Aceite de viscosidad de gravedad específica tubería de hierro fundido de y , a una tasa de serán las pérdidas de energía en la tubería? Solución : Asumo que la tubería está en posición horizontal ,
⁄ 8
Como ,
Luego ,
fluye a través de una . ¿cuáles
entonces
(
(2) Aire a fluye a presión atmosférica en una tubería , a una tasa de diámetro mínimo permitido si se desea que el flujo sea laminar Solución :
8 ⁄
. Determine el
⁄
(3) El esfuerzo cortante en flujo totalmente desarrollado en un tramo de una tubería de que transporta agua es de . Calcule el gradiente de presión , , donde está en la dirección del flujo , si la tunería está en posición : (a) Horizontal (b) Vertical con flujo hacia arriba (c) Vertical con flujo hacia abajo
8 ⁄
Solución :
8 ⁄
(4) Agua a fluye a través de una tubería lisa de media de . ¿Un arañazo de altura través de la subcapa viscosa?
Solución : Hacemos :
de diámetro , a una velocidad en la pared habrá de sobresalir a
