Ejercicios. Flujo Interno Viscoso Incompresible

Capí tulo tulo VIII FLUJO INTERNO VISCOSO INCOMPRESIBLE

Texto guía:

Jairo A. Sandoval, Ms. Eng. 1

© Fox, McDonald McDonald & Pritchard Pritchard

Contenido 1. Introducción: Flujo laminar y turbulento Flujo completamente desarrollado 2. Flujo laminar entre placas paralelas 3. Flujo laminar en tuberías 4. Distribución del esfuerzo cortante en tuberías 5. Perfil de velocidad turbulento en tuberías 6. Consideraciones energéticas para flujo en tuberías 7. Cálculo de las pérdidas de carga 8. Problemas típicos Medición de flujo 9. Métodos directos de medición de flujo 10. Medición de flujo interno con restricciones 2



3

Flujo interno vs. Flujo externo

4



3

Flujo interno vs. Flujo externo

4


Tuberías  Ductos  Toberas  Difusores  Contracciones  Expansiones  Válvulas  Accesorios 

Flujo interno:

Incompresible: M < 0.3

→

En Aire ~ 100 m/s


5

8.1. 8. 1. Intr Introd oduc ucci ción ón:: Fl Fluj ujoo la lami mina narr y turbulento Re =

ρ V D µ

=

V D

ν

Tubería: Re critico ~ 2300

Región no viscosa

6


Velocidad media: conservación de la masa → & = ρU 0 A = m

& = constante m

∫ ρudA ≡ ρV A Area


7

Longitud de entrada para flujo laminar:

L ≈ 0.06 Re ⋅ D

Para Re c:

Para obtener información sobre el perfil de velocidad usaremos las ecuaciones diferenciales que desarrollamos (laminar).

8


8.2. 8. 2. Fl Fluj ujoo lam lamin inar ar ent entre re pla placa cass par paral alel elas as

8.2.1. Placas estaci estacionarias onarias 8.2.2. Placas superior superior moviéndose moviéndose a velocidad velocidad constante


9

8.2.1. Placas estaci estacionarias onarias

Re =

ρ V a µ

≤ 1400

Aplicación: pérdidas de aceite en un cilindro, por ejemplo. Consideraciones: Incompresible  Estable   Viscoso  No varía en z (2-D)  No varía en x, completamente desarrollado

u = u ( y ) v=0 w=0

10


∂ p ∂ x

2

= µ

∂ u ∂ y

2

∂ p

= constante

∂ y

= − ρ ⋅ g © Fox, McDonald & Pritchard

11

∂ p ∂ x

µ

u=

0 = c2

2

= µ

d 2u dy 2

∂ u ∂ y

=

2

2

= µ

d u dy

2

∂ p

= constante

µ

∂ x

du dy

 ∂ p   y + c1  ∂ x 

=

1  ∂ p  2 c1   y + y + c2 2 µ  ∂ x  µ 1  ∂ p  2 c1 0=  a + a 2 µ  ∂ x  µ

c1 = −

1  ∂ p 

 a 2  ∂ x 

La distribución de velocidades es:

12

© Fox, McDonald & Pritchard

Ahora podemos calcular:     

Distribución de esfuerzos cortantes, Flujo volumétrico, Caída de presión como función del caudal, Velocidad media, Punto de velocidad máxima,


13



Distribución de esfuerzos cortantes: du  ∂v ∂u   = µ τ xy = τ yx = µ  + dy  ∂ x ∂ y 

τ yx = µ 

14

du dy

u=

1  ∂ p  2 c1   y + y + c2 2 µ  ∂ x  µ

 ∂ p   y + c1 ∂ x  

=

Flujo volumétrico:




Caída de presión como función del caudal:

∆ p = 

12 µ LQ 3

al

Velocidad media: V =

1

r

r

V ⋅ d A ∫ A Area


15

16

Q = V A = V ⋅ (a ⋅ l )



Punto de velocidad máxima:



Transformación de coordenadas: punto medio




Ejemplo: pérdidas en pistón hidráulico T = 50°C, Aceite SAE 10W ¿Cuál es la fuga de líquido? 



Suposiciones: (1) Laminar (2) Permanente

Análisis:

(3) Incompresible (4) Totalmente desarrollado

17


Verificar que sea laminar:

18


8.2.2. Placas superior moviéndose a velocidad constante ρ V a Re =

µ

≤ 1500

Aplicación: Lubricación de cojinetes.

Similar al caso anterior, diferentes condiciones de borde:


19

Reempezando:

Note que si ∂ p / ∂ x = 0 → Variación lineal

20




Distribución de esfuerzos cortantes: τ yx = µ du dy



Flujo volumétrico:


21





22

Velocidad media:

V =

1

r

r

V ⋅ d A ∫ A Area





Distribución de Velocidades:


23



Ejemplo: Torque y potencia en un cojinete

Un cojinete que soporta el cigüeñal de un M.C.I. es lubricado con aceite SAE 30 a 210°F. El diámetro del cojinete es 3” con una holgura de 0.0025/2”; el eje rota a 3600 rpm, la longitud del soporte es 1.25”. El cojinete no tiene carga y la holgura es simétrica. ¿Cuál es el torque requerido para rotar en cojinete?, ¿Cuál es la potencia disipada?

24




Esquema y datos: Lubricante: aceite SAE-30 T = 210°F, ω = 3600 rpm µ = 9.6 × 10-3 N·s/m2 (Fig. A-2) = 2.01 × 10-4 lbf ·s/ft2



Suposiciones: (1) Laminar (2) Permanente (3) Incompresible (4) Totalmente desarrollado (5) Semejante a 2 placas planas infinitas (ya que L/a = 1.25/0.0125 = 1000) (6) ∂ p / ∂ x = 0, pues el flujo es simétrico en el cojinete © Fox, McDonald & Pritchard

25



Análisis:

D T = (τ yx ⋅ π DL )⋅ 2

26


τ yx = µ

ω D 2a

τ yx ≥ 0

El torque será: T =

Actúa hacia la izquierda sobre la placa

2

2

⋅τ yx D L

La potencia será:


27

Verificación del flujo laminar:

< 1500

28


8.3. Flujo laminar en tuberías

Consideraciones:  Incompresible  Estable  Viscoso





Re =

ρ V D µ

≤ 2300

No varía en x, completamente desarrollado No varía en θ, simétrico © Fox, McDonald & Pritchard

29

vθ = 0 vr = 0

u (r = R ) = 0

v z = v x = u ( r )

30


1 ∂

Ecuación de continuidad:

(rvr ) +

r ∂r

1 ∂ r ∂θ

(vθ ) +

∂ ∂ x

(v x ) = 0

Navier-Stokes dirección x: ∂v ∂v  v ∂v x  ∂v x + vr x + θ + v x x  r ∂θ ∂r ∂ x   ∂t  1 ∂  ∂v x  1 ∂ 2v x ∂ p = ρ g x − + µ   r  + 2 2 r r r r ∂ x ∂ ∂ ∂ θ   

ρ 

∂ p ∂ x ∂v x

µ r

∂r

= µ

=

∂ x 2

2

+

∂ x

2

 

1 ∂  ∂v x   r  = constante r ∂r  ∂r 

2

∂ p r

∂ v x 

+ c1

µ

∂v x ∂r

 ∂ p  r c1  + ∂ x   2 r

=


31

 ∂ p  r c1 = µ  + ∂r  ∂ x  2 r ∂v x

r 2  ∂ p  c1 v x = u =   + ln r + c2 4 µ  ∂ x  µ

c1 debe ser igual a cero pues de lo contrario u(0) no tendría un valor finito:

r 2  ∂ p  v x = u =   + c2 4 µ  ∂ x 

Usando la condición de frontera: R 2  ∂ p  0=   + c2 4 µ  ∂ x 

32

R 2  ∂ p  c2 = −   4 µ  ∂ x 


Ahora podemos calcular:  Distribución de esfuerzos cortantes,  Flujo volumétrico,  Caudal como función de la caída de presión,  Velocidad media,  Punto de velocidad máxima, 

∂v ∂v  Distribución de esfuerzos cortantes: τ rx = µ   r + x 

 ∂ x

τ rx = µ

dv x dr

= µ

∂r 

du dr


33



Flujo volumétrico:

dA = 2π r dr



34

Caudal en términos de la caída de presión:




Velocidad media:




El perfil de velocidad se puede escribir en términos de U como:


35



Ejemplo: Viscosímetro de capilaridad

Es posible construir un viscosímetro simple y preciso a partir de un tramo de tubería capilar; si se miden el flujo y la caída de presión, y se conoce la geometría del tubo, la viscosidad de un fluido newtoniano puede calcularse a partir de la ecuación:

Una prueba de cierto líquido en viscosímetro capilar brindó los siguientes resultados:

Determine la viscosidad del líquido.

36




Esquema y datos:



Suposiciones: (1) Laminar (2) Permanente (3) Incompresible (4) Totalmente desarrollado (5) Tubo Horizontal


37



Análisis:

Verificación del flujo laminar:

Asumiendo densidad similar a la del agua (999 kg/m 3):

< 2300 38


Flujo en Tuberías y Ductos ∆p = ? en

  

Sin fricción → Con fricción →

Tuberías Ductos Sistemas de flujo Bernoulli Real Mayores (tramos rectos)

∆p → Pérdidas

Menores: Válvulas, accesorios, T’s, Y’s, codos …


39

Tubos y ductos → sección circular

Otras formas: diámetro hidráulico

Flujo laminar: Sección 8.3 Flujo turbulento: sigue !

40


8.4. Distribución del esfuerzo cortante en tuberías con flujo completamente desarrollado  Caída    vs.  Presión 

 Esfuerzo     costante 

Apliquemos la ecuación de momentum componente x:

0 (1)

0 (2)

Consideraciones: 1. Tubo horizontal, F Bx = 0 2. Permanente

0 (3,4)

3. 4.

Incompresible Totalmente desarrollado © Fox, McDonald & Pritchard

41

F S , x = 0

 

F S , x =  p −

F S , x = −

∂ p ∂ x

∂ p dx 

2

π r ∂ x 2 

 

−  p +

∂ p dx 

2 π r + τ rx ⋅ 2π rdx = 0 ∂ x 2 

τ rx =

2

dxπ r + τ rx ⋅ 2π rdx = 0

r ∂ p

2 ∂ x Varía lineal con r

El cortante en la pared, w: R ∂ p

τ w = −[τ rx ]r = R = − 42

2 ∂ x

τ w > 0 si

∂ p ∂ x

<0 © Fox, McDonald & Pritchard

R ∂ p τ w = − 2 ∂ x

Note que para nada se tocó la relación τ-u. Esta relación aplica para régimen laminar o turbulento. Si se conoce la relación entre τ y u. (p.e. laminar newtoniano) se puede determinar la caída de presión analíticamente. Para caso turbulento no es simple → resultados experimentales  Fluctuaciones    velocidad ×   turbulencia   

→

Transporte   momentum      Puede verse como un   =  Esfuerzo extra (aparente) entre capas    adyacentes   © Fox, McDonald & Pritchard

43

Cortante turbulento

y → distancia desde la pared del tubo u → velocidad media u’, v’ → componentes fluctuantes de la velocidad en x y y u’v’ → media en el tiempo del producto u’ v’ : Esfuerzo de Reynolds, cortante turbulento Cerca de la pared : Cerca del centro: 44

es dominante el esfuerzo constante laminar (viscoso) es dominante el cortante turbulento © Fox, McDonald & Pritchard

8.5. Perfil de velocidad turbulento en tuberías En flujo turbulento, el perfil de velocidades puede aproximarse como:

Donde n varía con Re, y U es la velocidad en el centro.


45

Otras expresiones útiles son:

Donde ReU es el número de Reynolds calculado con la velocidad máxima U , y V trazo es la velocidad media. Para n = 6, ReV (con Vmedia) ≈ 15000. Para n = 10, ReV ≈ 2.7 × 106 46


8.6. Consideraciones energéticas para flujo en tuberías

Conservación de la energía:


47

Consideraciones: 1. W shaft = 0, W other = 0 2. W shear = 0 pues aunque hay esfuerzos en las paredes, la velocidad es cero allí. 3. Permanente 4. Incompresible 5. Energía interna y presión uniformes en las secciones (1) y (2) 0 (1)

0 (2)

0 (1)

0 (3) 48


2  p V Q& = ∫  u + + SC  ρ 2

 r r + gz  ρ V ⋅ dA  

2  p V Q& = − ∫  u + + A  ρ 2 1

 + gz  ρ VdA + ∫ A 

2

 p V 2  u + +  ρ 2



+ gz  ρ VdA



2   p V 1 1 Q& = − u1 + ρ V1dA1 + gz1  ∫ ρ V1dA1 − ∫ A A 2 ρ   2  p2  V 2 +  u2 + + gz2  ∫ ρ V2 dA 2 + ∫ ρ V2 dA 2 A A 2 ρ   1

1

2

2

& m 49


Para no usar las integrales, definimos el coeficiente de energía cinética, α , de tal forma que:

50


En flujo laminar α = 2.0; en flujo turbulento:

Para n = 6, α = 1.08. Para n = 10, turbulencia, α → 1.0

51

α

= 1.03. Al incrementar la


Entonces la ecuación de energía puede escribirse como:

o,

Reorganizando tenemos:

52


Energía mecánica por unidad de masa en la sección transversal

Diferencia en la energía mecánica entre las secciones (1) y (2). Conversión irreversible de la energía mecánica en energía térmica no deseada (u2-u1) y calor.

A este último término lo llamaremos la energía total perdida por unidad de masa, hl,T , o pérdidas de carga. © Fox, McDonald & Pritchard

53



Pérdidas de carga:

Energía total perdida por unidad de masa: [L2 /t2] [FL/M] Energía total perdida por unidad de peso del fluido: [L]

54


8.7. Cálculo de las pérdidas de carga  Pérdida    total de    carga   

 Pérdidas    mayores    (tramos rectos)  

=

h

l

=

h

T

+

l

Pérdidas     menores    (entradas, accesorios , ...)   

+

h

l

m


55

8.7.1. Pérdidas mayores: Factor de Fricción En general tenemos que: [L2 /t2] [FL/M]

Donde:

h

l

= T

h

+

l

h

Flujo desarrollado en tubería de sección constante Entonces, 56

l

m

_

h

p1 − p2

ρ

l

m

=0

^ α 1

V 1

2

_

2

= α 2

V 2

2

2

+ g ( z1 − z 2 ) = hl © Fox, McDonald & Pritchard

p1 − p2

ρ

+ g ( z1 − z2 ) = hl

Si el tubo es horizontal, z1 = z2, y

La pérdida de carga mayor equivale a la caída de presión ( / ρ) en flujo completamente desarrollado a través de una tubería horizontal de área constante. La pérdida de carga es independiente de la orientación de la tubería. © Fox, McDonald & Pritchard

57

a)

Caso flujo laminar

De la ecuación 8.13c

Despejamos la caída de presión que podemos reemplazar en la ecuación 8.32 para las pérdidas mayores:

Por lo que las pérdidas mayores son:

58


_

Es práctico expresarlas en términos de Re:

Re =

ρ V D µ

Otra forma de expresar las pérdidas mayores es:


59

b)

Caso flujo turbulento: Experimentalmente rugosidad

Aplicando análisis dimensional,

De experimentación, la pérdida de carga adimensional es directamente proporcional a L/D, entonces 60


* ½, da Factor de fricción (de Darcy): Energía cinética por unidad de masa Consecuentemente,

61


62


(1944)

¿Esto significa que las pérdidas mayores son siempre proporcionales a la velocidad al cuadrado? → ¡CLARO QUE NO! Pero si son proporcionales a la velocidad, no al cuadrado claro. 

Factor de fricción flujo laminar: Re < 2300


63



Factor de fricción flujo turbulento: Re > 2300

Hay varias correlaciones. 

Ecuación de Colebrook (1938):

Se recomienda usar en la primera iteración (error ≈ 1%):

64




Rugosidades de diferentes tuberías (nuevas):

- Acero remachado - Estaca de madera - Hierro fundido - Hierro forjado - Tubo estirado 

Ecuación de Blasius (1938): para tubería lisa 2300 < Re < 10 5 © Fox, McDonald & Pritchard

65



Nota sobre el factor de fricción:

A números de Reynolds muy grandes la mayor parte de los elementos rugosos de la pared del tubo sobresalen a través de la subcapa viscosa; El arrastre y por tanto la pérdida de presión, dependen sólo del tamaño de los elementos rugosos. Lo anterior recibe el nombre de flujo completamente rugoso. En éste régimen el factor de fricción depende sólo de e / D. 66


8.7.2. Pérdidas menores: Dos opciones:  Coeficiente de pérdida  Longitud equivalente 

Coeficiente de pérdida:



Longitud equivalente de tubería recta:


67

A continuación veremos: a. Entradas y salidas b. Aumentos y contracciones c. Codos a. Entradas y salidas:

68

Válvulas y accesorios e. Ductos no circulares

d.


b.

Aumentos y contracciones:

69


70




Para difusores: Coeficiente de recuperación de presión, C p

El coeficiente de recuperación de presión, C p , se relaciona con la pérdida de carga mediante:

donde, C p i es el coeficiente de recuperación de presión en un fluido ideal (no viscoso):

71


72


c.

Codos:


73

d.

74

Válvulas y accesorios:


e.

Ductos no circulares:

Diámetro hidráulico:

donde, A = Área de la sección transversal P = Perímetro mojado

En un ducto circular: En un ducto rectangular, b*h: © Fox, McDonald & Pritchard

75

En un ducto rectangular, b*h:

Definiendo la relación proporcional , ar, cómo ar = h/b, entonces:

El diámetro hidráulico puede usarse para

76


8.7.3. Bombas y Ventiladores: Balance de energía para el fluido en una bomba, despreciando la transferencia de calor:

La carga (o cabeza) de la bomba, ∆ h pump, es la energía suministrada al fluido por unidad de masa:


77

En muchas situaciones los diámetros de entrada y salida son similares (y por tanto las velocidades) y la elevación despreciable. Entonces:

Si multiplicamos por

78


La energía consumida dependerá de la eficiencia de la bomba:

Por otro lado, si aplicamos la 1ª Ley a un tramo que contiene una bomba (o ventilador), la cabeza de la bomba puede verse como una pérdida negativa:


79



80

Diámetros de tubería comercial:


8.8. Problemas típicos Resumen: Energy Equation




81

Major Losses



82


Minor Losses




83

Cómo solucionar problemas: 

Single Path a) Find D p for a given L, D, and Q Use energy equation directly

b) Find L for a given D p, D, and Q Use energy equation directly

84




Single Path (Continued) c) Find Q for a given D p, L, and D 1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to find V (or Q), or 2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction factor formula using (for example) Excel

d) Find D for a given D p, L, and Q 1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to find D, or 2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction factor formula using (for example) Excel


85

Cómo solucionar problemas: 

Multiple-Path Systems Example:

86




Multiple-Path Systems •

Solve each branch as for single path

•

Deben usarse estas dos reglas para determinar las restricciones qua acotan el problema: 1. En los nodos no se acumula fluido ( Qin = Quot) 2. La presión en cada nodo es única

•

To complete solution of problem 1. Manually iterate energy equation and friction factor for each branch to satisfy all constraints, or 2. Directly solve, simultaneously, complete set of equations using (for example) Excel © Fox, McDonald & Pritchard

87



EJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA V ÍA

Suposiciones: (1) Permanente (2) Incompresible (3) Totalmente desarrollado (4) Viscoso (5) En turbulento α ≈ 1  Análisis: Balance de energía 

88




Pérdidas mayores:



Pérdidas menores:

Además:

Simplificando: Despejando d :


89

Cómo conocemos el caudal:

Determinemos f y K :

90


Re = 1.70 ×10

5


91

L = ??? & = ??? W



92

Suposiciones: (1) (2) (3) (4) (5)

Permanente ρ y µ constantes Totalmente desarrollado Viscoso Tubo horizontal

(6) Sin pérdidas menores




Análisis: Balance de energía en volúmenes de control 1 y 2

Para el CV1:


93

Para el CV2:

94



95

Q = ???



96

Suposiciones: (1) (2) (3) (4) (5)

Permanente V1 ≈ 0, α2 ≈ 1 Totalmente desarrollado Viscoso ρ y µ constantes




Análisis: Balance de energía

Iterar © Fox, McDonald & Pritchard

97

Despejando V:

Como primera iteración, tomemos f de la región completamente rugosa: f ≈ 0.03

98



99

D = ???



Suposiciones: (1) (2) (3) (4) (5)

100

Permanente V 1 = V 2 0; α1 ≈ α 2; z1 = z 2 Totalmente desarrollado Viscoso e Incompresible Pérdidas menores despreciables

∆ p max → D min




Análisis: Balance de energía

Necesitamos poner todo en términos de D: Re, f , V , … 101


Ahora debemos suponer un diámetro de tubería, por ejemplo 4” con un diámetro interno de: D = 4.026 in Ahora debemos calcular Re y e / D para determinar f y poder despejar D, e iterar nuevamente.

102


Resolviendo para D encontramos: D= 5.54” (OJO CON LAS UNIDADES). Indicando que si f = 0.012 entonces el diámetro mínimo deberá ser el valor calculado. Tomemos entonces una tubería con diámetro nominal 6” y miremos si ∆ P es menor que ∆ P max. El diámetro interno es: D = 6.065 in

103


104




EJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS V ÍAS

Caídas de presión, h:


105

Despreciando las pérdidas menores: ∆ p

ρ

= hl = f

_ 2 L V

D 2

Toca ayudarse con el computador, sino ¿cuándo terminamos? 106


Flow Measurement 

Direct Methods •



Examples: Accumulation in a Container; Positive Displacement Flowmeter

Restriction Flow Meters for Internal Flows •

Examples: Orifice Plate; Flow Nozzle; Venturi; Laminar Flow Element


107

Flow Measurement 

Linear Flow Meters •

108

Examples: Float Meter (Rotameter); Turbine; Vortex; Electromagnetic; Magnetic; Ultrasonic


Ejercicios. Flujo Interno Viscoso Incompresible

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