Flujo Interno Incompresible: A Través De Tuberí As

MECÁNICA DE FLUIDOS

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE

A TRAVÉS DE TUBERÍAS

Jorge SIFUENTES SANCHO

2011 [Escribir texto]

Página 1


UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA APUNTES DE CLASE CLASE DEL CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS II DOCENTE: JORGE SIFUENTES SANCHO FECHA: AGOSTO DEL 2011

© Editorial COSAN, 2011 Calle Linares 213, Urb La Capilla, La Molina Lima, Perú. Teléfono: 991-855-515 Correo. [email protected] [email protected]

PARA USO INTERNO

2

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE CONTENIDO Página 8.1 Régimen de flujo en una tubería cilíndrica

5

8.1.1 Régimen laminar 8.1.2 Régimen turbulento

5 6

8.2

Pérdidas de energía en una tubería

10

8.2.1 Pérdida de presión 8.2.2 Factor de corrección de energía cinética

11 12

8.3 Pérdida primaria en tuberías

8.4

8.5

17

8.3.1 Régimen Laminar. Hagen-Poiseuille Hagen-Poiseuille 8.3.2 Régimen turbulento 8.3.2.1 La ecuación de Darcy-Weisbach 8.3.2.2 El Diagrama de Moody 8.3.2.3 Caso de tubos lisos 8.3.2.4 Caso de tubos rugosos 8.3.2.5 Tubería comercial. Colebrook 8.3.3 Flujo en secciones no circulares

17 20 20 21 26 27 37 37

Pérdidas secundarias

44

8.4.1 Expresiones analíticas 8.4.2 Coeficientes experimentales experimentales lambda 8.4.3 El concepto de longitud equivalente

44 50 57

Curva característica de pérdidas

78

8.5.1 Régimen laminar 8.5.2 Régimen turbulento 8.6

Circuito de Tuberías 8.6.1 Tuberías equivalentes 8.6.2 Tuberías en serie - Caso1: Presión a la salida de una tubería - Caso 2: Caudal o flujo volumétrico a ser transmitido - Cálculo de diámetro de tubería 8.6.3 Tuberías en paralelo - Caso 4: Distribución de flujos - Caso 5: Cálculo del flujo total 8.6.4 Sistema de reservorios y nudos - Caso 6: Cálculo de caudales - Caso 7: Existencia de bombas 8.6.5 Red de tuberías - Método de cálculo - Método Hardy - Cross

83 83 84 89 94 99 100 108

3

MECÁNICA DE FLUIDOS Página

8.7

Tubería comercial. Envejecimiento de la tubería

8.8

Cálculo del Diámetro Económico de Tubería

8.9

Diseño de Sistema de bombeo

8.10

Dimensionamiento de sistemas de ductos 8.10.1 8.10.2

Método de Equifricción Método de Reganancia Estática

8.11 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS APÉNDICE

4

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE FLUJO INTERNO Una clasificación general del flujo es separarlo en flujo externo y flujo interno. Los flujos externos se presentan alrededor de objetos sólidos y los internos dentro de objetos tales como tubos, conductos y canales. Las ecuaciones diferenciales que describen estos flujos son esencialmente las mismas, sin embargo, las condiciones límites son diferentes y por lo tanto los flujos resultantes son completamente diferentes. Se define como flujo interno aquél flujo que se realiza en el interior de un conducto que se encuentra completamente lleno por el fluido –flujo con cargase analiza principalmente el caso de tuberías (conducen líquidos o gases a presión y tienen paredes relativamente gruesas) y de ductos ( gases a baja presión, paredes relativamente delgadas). El propósito principal de este capítulo es mostrar los resultados experimentales que se necesitan para calcular la disipación de la energía en las líneas de tuberías y ductos. Se confina la atención a los fluidos homogéneos de viscosidad y densidad constantes. El caso de tubos o conductos no completamente llenos del fluido en estudio (ejemplo: drenajes, alcantarillas) se consideran como canales abiertos y no se tratarán ahora.

8.1

REGIMEN DEL FLUJO EN UN TUBO CILÍNDRICO

8.1.1 RÉGIMEN LAMINAR La figura muestra el desarrollo de la capa límite en el interior de un tubo de radio R. En el borde de entrada su espesor es cero, y luego va creciendo como un anillo circular, hasta que en abscisa X = X T , ( X T ) = R y el perfil de velocidades queda totalmente formado; la zona anterior al punto T viene a ser una zona de régimen de transición. El espesor de la capa límite dentro del ducto se puede estimar como: [8.01]

( x) 4,92 x/ Re x

por lo que X T se obtiene de la condición X = X T, = 0,010204 ReD

(XT)

= R: [8.02]

siendo ReD = V D / ; D = 2R y V es la velocidad promedio (caudal entre el área). Hay que notar que Re D es una constante, mientras que Rex es una variable local.

5


T

Regimen transitorio

2R

(x)

x

XT

Figura 8.01. Régimen laminar

8.1.2 RÉGIMEN TURBULENTO En el caso de que la capa límite alcance el régimen turbulento antes de que el perfil de velocidades quede totalmente formado, éste último alcanzaría una forma más llena y no la distribución del caso laminar, que se puede demostrar que es parabólico. Flujo desarrollado V

T

X

T

a. Laminar

V

I

T

I XI

XT

b. Turbulento Figura 8.02. Flujo desarrollado

6

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En el caso de que la capa límite alcance el régimen turbulento antes de que el perfil de velocidades quede totalmente formado, éste último alcanzaría una forma más llena y no la distribución laminar que se puede demostrar que es parabólica. La coordenada XI que corresponde al inicio de la capa límite turbulenta, se da por la condición: 0,80 x 10 5 < Re XI < 1,20 x 10

6

[8.03]

de donde se deduce que: 0,80 x 10 5 < Re

D

(XI / D) < 1,20 x 10

6

[8.04]

Tomando el caso límite XI = XT, combinando las ecuaciones [8.04] y [8.02], se obtiene: 0,80 x 10 5 < 0,01 Re2 D < 1,20 x 10 De donde: 2 800 < Re D < 11 000

6

[8.05]

Esta ecuación se interpreta de la forma siguiente: - Para ReD < 2800; Xi > XT, y el régimen se mantiene laminar. - Para Re D > 11 000; XI < XT, y el régimen de flujo en la tubería es turbulento. - Para 2800 < ReD < 11000, puede darse cualquiera de los casos anteriores. El flujo será un régimen de transición. Tomando el valor límite de Re = 2800 para régimen laminar, de la ecuación [8.02] se tiene: XT = 0,0103 (2800) D = 28,84 D la longitud de entrada, a Re crítico = 2800 es: XT = 29 D F.M. White da la correlación de: XT = 0,06 Re D . D régimen laminar XT = 4,4 Re D 1/6 D régimen turbulento Considerando: i) ii)

[8.06] [8.07]

Re≤ 2300 laminar Re > 4000 turbulento

XT = 0,06 x 2300 x D = 138 D Re D XT

4000 18

10 4 20

10 5 30

[8.08] 10 6 44

10 7 65

10 8 95 7

MECÁNICA DE FLUIDOS La mayoría de las aplicaciones típicas con tubos tienen XT / D de 1000 o más, en cuyo caso los efectos de entrada son despreciables y se pueden llevar a cabo el análisis para flujos completamente desarrollados. Esto es posible para flujos laminares y turbulentos, incluyendo paredes rugosas y secciones transversales no circulares. EJEMPLO 8.01. Un tubo de 26, 66 cm de diámetro interior y 20 m de longitud conduce 5,2 galones USA por minuto de agua a 20 ºC. a. Dé una breve explicación del tipo de flujo laminar o turbulento que se estaría produciendo en la tubería. b. Determinar a qué distancia de la entrada el flujo se encuentra completamente desarrollado. c. Si el caudal se incrementa a 20,8 galones USA por minuto, determinar a qué distancia de la entrada el flujo se encuentra completamente desarrollado SOLUCIÓN a)

Figura E 8.01 Considerando un tubo de sección transversal y rugosidad uniformes, y el flujo se ha “desarrollado totalmente”, esto es, si se está lo bastante lejos de la entrada al tubo para que las condiciones se hayan estabilizado: El flujo en dicho tubo puede ser bien ordenado y suave (laminar) o puede adquirir fluctuaciones caóticas del movimiento (turbulento) que se superponen al flujo medio. El carácter del flujo se determina por la rugosidad de las paredes, el fluido y las condiciones del flujo. Un parámetro para determinar si el flujo es laminar o turbulento es el número de Reynolds, definido como: Re

V D

V D

4

[8.09]

D

y donde V es la velocidad media del flujo ( 4 / D 2 ), son la densidad y viscosidad absoluta del fluido, respectivamente; y es la viscosidad cinemática y es el flujo volumétrico.

En general, para tuberías de uso industrial: 2000 < 2300 < 4000 <

Re Re Re Re

< < <

2000 2300 4000

Régimen laminar Régimen crítico Régimen de transición Régimen Turbulento.

Esto es solo una referencial útil. En laboratorio, bajo condiciones especiales se ha observado que el flujo permanece laminar aún para Reynolds tan altos como 100 000.

8

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE b) Caudal igual a 5,2 GPM USA <> 5,2 x 6,03083 x 10 -5 = 0,000328031 m 3 /s. La velocidad media: V = V

/ A

4

V

D 2

3 4 x0,000328031 m / s

0,0266

2

0,5903 m / s

agua a 20 ºC de tablas, Fluido: = 1000 kg / m 3 = 0,001 Pa.s = 1,0 x 10 – 6 m 2 /s. Q = 0,000328031 . El número de Reynolds: Re

V D

V D

4  D

Re

0,5903 x 0,0266 1,0 x10

6

1571, 098

El flujo es turbulento y la longitud de entrada está dada por la ecuación:

XT = 4,4 Re D 1/6 D = 4, 4 x (1571,98) 1/6 = 0,399094 m Esta longitud corresponde a 0,399094 x 100 / 20 = 1,99547 % de la longitud del tubo, de manera que puede considerarse que el flujo se encuentra totalmente desarrollado. c) caudal igual 20,8 galones USA por minuto (0,00125441264 m 3 /s) V

3

4

V

D 2

4 x0,00125441264 m/ s

2,2567744 m / s

0,0266 2

El número de Reynolds: Re

V D

V D

4  D

Re

2, 256774 x 0,0266 1,0 x10

6

60 030

El flujo es turbulento y la longitud de entrada está dada por la ecuación:

XT = 4,4 Re D 1/6 D régimen turbulento = 4, 4 x ( 60 030) 1/6 = 0,7323674553 m

[8.07]

Esta longitud corresponde a 0,7323674553 x 100 / 20 = 3,6618 % de la longitud del tubo, de manera que puede considerarse que el flujo se encuentra totalmente desarrollado.

9

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.2

PÉRDIDA DE ENERGÍA EN UNA TUBERÍA

Para transportar un flujo volumétrico de un fluido determinado, de un punto 1 hacia otro punto 2 requiere el uso de tuberías, elementos secundarios (uniones, válvulas, codos, etc.) y el uso de una bomba (o compresor) para impulsar dicho flujo volumétrico.

P/m

Q/m

Figura 8.03 Considerando flujo permanente y uniforme e incompresible, la ecuación de energía establece: h1 + ep 1 + ec 1 + Q / m = h2 + ep 2 + ec 2 + P / m

[8.10]

siendo P la potencia mecánica (trabajo al eje). Suponiendo P = 0 y como h = u + p / y Q / m = hq . 2

p1 1

V Z1 2g

2

p2 2

V Z2 2g

u2

u1 g

hq

donde el miembro de la izquierda es la energía total del fluido en la entrada y es igual a la energía del fluido en la salida más los términos de variación de energía interna y el flujo de calor. Estos dos últimos términos, representan la pérdida de “energía mecánica”, como consecuencia del transporte del flujo volumétrico del punto 1 al punto 2. u: -hq:

10

aumento de energía interna del fluido calor transferido desde el fluido, situado en el interior del volumen de control, hacia el medio ambiente.

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En situaciones reales en que se transporta un fluido, cualquier aumento en la energía interna es de poca aplicación, puesto que esta se pierde de ordinario, en el almacenamiento posterior; y es generalmente, antieconómico contribuir a calentar el medio ambiente, particularmente la atmósfera. Denominando a la agrupación de estos dos términos pérdidas de carga y representarlo por h , la ecuación de energía queda: p1

ó:

2

1Z

V 1

p2

2g

2

2Z

V2

2g

E1 = E2 + E

Las causas de la degradación de energía mecánica i) ii)

Luego

[8.11]

h

1 2

E =

h 1-2,

son:

El trabajo de rozamiento contra los esfuerzos cortantes de fricción. Pérdida por fricción o pérdida primaria hf. Las fuerzas de arrastre engendradas por los elementos de unión, de control y los cambios de dirección, que en conjunto producen efectos disipativos en el fluido. Se denominan pérdidas secundarias hS. [8.12]

Para el caso de la FIG.8.03: donde hf1, hf2 son las pérdidas primarias en la tubería 1 y 2 respectivamente, y hs es la pérdida secundaria, se tiene: h

hf 1

hf 2

hS

Queda por determinar la forma como se evaluarán las perdidas primarias (en las tuberías) y las perdidas secundarias (en accesorios, válvulas y aparatos de medición y control del flujo). 8.2.1 PÉRDIDA DE PRESIÓN Conocido el flujo volumétrico , la trayectoria de la tubería de longitud L y diámetro D; se puede calcular las velocidades V1 y V2 y medir las alturas Z1 y Z2; y además supuesto conocido la pérdida de carga h 1-2 , de la ecuación (8.11) se obtiene la pérdida de presión p , p

Z

V

2g

h

[8.13]

con la cual se determina la potencia del equipo de bombeo: P

p

[8.14]

11

MECÁNICA DE FLUIDOS En el caso de tubería horizontal y de un sólo diámetro, Figura Figura 8.04, se tiene que la pérdida de carga de presión p / g es igual a la perdida de carga h. denominada comúnmente como pérdida por fricción

Figura 8.04. Tubería horizontal Es importante observar que la pérdida de carga depende de la distribución de velocidades, del tipo de fluido y, algunas veces, de la rugosidad de la superficie de la tubería. De este modo, si se mantienen estas condiciones, la pérdida de carga h, se determina con independencia de la orientación de la tubería. Es decir, ∆ h no varía. 8.2.2 FACTOR DE CORRECCIÓN CORRECCIÓN DE ENERGÍA CINÉTICA Debido a que en el tubo se forma un perfil de velocidades, aparece el problema de cuál es la velocidad a escoger. Es práctica común en la ingeniería utilizar la velocidad promedio Vm, definido como Vm = flujo volumétrico / área de paso del flujo. Lo correcto sería sería utilizar el promedio promedio de energía cinética sobre el perfil de velocidad.

[8.15]

donde por simplificación V1 y V2 representan a Vm1 y Vm2 respectivamente.

12

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En la mayor parte de los problemas de flujo en tubos se puede omitir los términos 1 , 2 por varias razones. 1. Normalmente un flujo en tuberías tuberías implica un flujo turbulento, en el cual es alrededor de la unidad. 2. En el flujo laminar, en el que es grande, las cargas de velocidad son de ordinario despreciables cuando se comparan con los otros términos de la ecuación de energía. 3. Las cargas de velocidad, en general, son tan pequeñas en comparación con la carga de presión y de posición, que la inclusión de tiene poco efecto en el resultado final. 4. El efecto de tiende a cancelarse, ya que aparece en ambos lados de la ecuación. 5. En ingeniería, las respuestas no requieren (en general) tanta precisión que se justifique la inclusión de en la ecuación.

Figura 8.05 Perfil de velocidades Flujo Laminar: V = 2 Vm [ 1- ( r / R) 2 ]

[8.16]

Flujo Turbulento: V = Vm [ 1 + 4,3 √ f + 2,15 √ f log(1- ( r/R ) ]

[8.17]

distancia a partir de la la pared del tubo tubo y = R – r, luego: V = Vm [ 1 + 4,3 4,3 √ f + 2,15 √ f log( y / R ) ]

[8.18]

La velocidad máxima ( r = 0; ó y = R): V máx = Vm [ 1 + 1,43 √ f ]

[8.19] 13

MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8. 02:

Calcule la velocidad media y el factor de corrección de energía cinética para el flujo laminar cuyo perfil de velocidades se muestra

H (m)

8m

3m V ( m/s)

2 m/s 4 m/s SOLUCION 2

De la figura: u1

3

y

u2

4

2

5

5

y

(a) La velocidad velocidad media um: 3

8

u1 b dy

Q T = Q1 + Q2 =

u2 b dy

0 3

Q T 0

y

2 3

um

8

y b d y 3

QT

18b

A

8b

(b) El factor de corrección

1

.

3

1

8b 2,253

4

2

5

5

0

2 3

8b

3 b 15 b

1

u

A

um 8

3

y

b. d y 3

150b

(a + b) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

14

y b dy

18 b

2,25 m / s

: 3

1

8b 2,25

1

3

3

dA

4

2

5

5

158b 8b 2,25

3

3

y

b. d y

1,7339 7339

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8. 03:

Evaluar el factor de corrección de energía cinética ( flujo en tuberías, en régimen laminar y turbulento. Explique su importancia. Utilizar la siguiente distribución de velocidades

v v max v v max

) para el

r 2 1 ( ) para régimen laminar R r 1/7 ) R

(1

8.20]

[8.21]

para el régimen turbulento

y 1/ 7 ( ) R R

r

y

Laminar

Turbulento

SOLUCIÓN

a. Régimen Laminar m

Vm

R

R

2

0

V2 R 0

r dr

Vmax [1 V max 2

r dr

2

R

1

V m V max

Luego:

2

(r / R ) ] 2

[8.22]

2

V Vm

2 [1

(

r 2 ) ] R

El factor de corrección por energía cinética ( 1

A

V V m

) está dado por:

3

dA

15

MECÁNICA DE FLUIDOS 1

R

A

0

16

8

R

A 16

R 2

A

8

1

r 6 ( ) R

1

0

3

r 2 ( ) R

r dr

2

r 4 3( ) R

r 2 3( ) R

r dr

2

[8.23]

b. Régimen turbulento m

Vm

R

R

2

V2

0

r dr

V = V máx ( y / R ) 1/7

Considernado:

r = R - y dr = -dy R 0

Vmax

V m V max

49 60

0,82

(R

y ) ( dy )

[8.24]

V / V máx = ( y / R ) 1/7

Y de. V Vm

Se tiene:

0,817

y 1/ 7 ] 2 R 2 49 R 60

Vmax [

1 0,817

(

y 1/ 7 ) R

Luego: 1

A

1 0,8173

= 1,058 16

y 1/ 7 ( ) 0,817 R 1

1

R 2

49 170

2

3

2

r dr

R 2

[8.25]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3

PÉRDIDA PRIMARIA EN UNA TUBERÍA.

El estudio se limita a un flujo totalmente desarrollado y permanente en el cual son despreciables las variaciones hidrostáticas. 8.3.1 REGIMEN LAMINAR. LEY DE HAGEN-POISEUILLE Ecuación aplicable:

DV

p

Dt

2

g

Vr

V

Vx

Al despreciar las variaciones hidrostáticas resulta un flujo en el que todos los parámetros son independientes de

Figura 8.06

La componente de la ecuación de Navier-Stokes en la dirección x, es la ecuación del movimiento:

dp

0

dx

2

(

i o

d Vx dr

2

2

d Vx

)i r dr

Ordenando: d dr

(r

dVx ) dr

1

r

Integrando: r

dVx

Vx

dr

)

r 2

r 2 4

C 1

C1 L n r

C2

Condiciones de contorno: para r = 0,



Vx =

para r = R,



Vx = 0

Esto es incongruente con la realidad física ya que la velocidad es finita en el centro del tubo. Haciendo  C1 = 0 . C2 = -

R2/4

Luego, la ecuación de distribución de velocidad está dada por: 2 R r 2 Vx [1 ( ) ] 4 R 17

MECÁNICA DE FLUIDOS El flujo volumétrico se obtiene de:

A

Vx . dA

R

0

Vx .2 r dA

Como:

y R = D / 2:

dp

p2

p1

dx

x2

x1

p D

( p2 L

p1 )

p L

4

128 L Denominada ecuación de Poiseuille.

[8.26]

Hagen, un ingeniero alemán, realizo experimentos con agua que fluía por tubos pequeños de latón, publicando sus resultados en el año 1839. Poiseuille, un científico francés, realizó experimentos con agua que fluía por tubos capilares, para determinar las leyes del flujo de la sangre por las venas del cuerpo, publicando sus estudios en el año 1840. Poniendo al flujo volumétrico en función de la velocidad media V; multiplicando y dividiendo por V el miembro de la derecha, la pérdida de carga de presión puede escribirse como: 2 p 64 L V hf Re 2 g D g [8.27] Debido a que la tubería es horizontal, la pérdida de carga de presión es igual a la perdida de carga hf EJEMPLO 8. 04:

En un tubo horizontal de 30 mm de diámetro interior fluye glicerina a una temperatura de 30 ºC con un gasto de de 3 x 10 - 3 m 3 /s. a. ¿Cuál es la caída de presión en pascales por cada 10 m de longitud? b. ¿Cuál es la pérdida de energía por fricción en m de fluido por cada 10 m de longitud de tubería? hf

p L

18

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Objetivo:

- ¿Cuál es la caída de presión en KPa por cada 10 m de longitud? - ¿Cuál es la pérdida de energía por fricción en m de fluido por cada 10 m de longitud de tubería?

Datos: Fluido:

Glicerina a 30 ºC = 1270 kg / m 3 = 0,8 Pa.s = 6,3 x 10 - 4 Q = 0,003 m 3 /s

Tubería:

Horizontal Di = 30 mm L = 10 m

Análisis: Ecuaciones

Cálculos

4

V

V

D 2 V D

Re

4 

V D

64

f

Re

h1

f

2

L V

2

64 L V

D2g

0,030

6,3 x10 64 202,095

4, 244 m / s

2

4,244 x 0,003

Re

D

f

3 4 x0,003 m / s

4

202,095

0,3167

2

Re D 2 g

luego: h1

0, 3167

2

10 m

4,244

0, 030 m

2g

2

96, 91 m

hf = 96,91 m

La pérdida de carga de presión p1

2

p

1 2

g

h f 3

1270 kg/ m

g 96,91 m 1 207 397,5 Pa

p = 1207 KPa

19

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.3.2 REGIMEN TURBULENTO La velocidad en un punto del campo fluido fluctúa tanto en magnitud como en dirección. Estas fluctuaciones se pueden observar con mediciones de velocidad precisas, y normalmente se ven sus efectos en los medidores de presión. Las fluctuaciones se originan por una multitud de pequeños remolinos creados por el esfuerzo cortante viscoso entre partículas adyacentes. Estos remolinos crecen en tamaño y luego desaparecen cuando sus partículas son absorbidas en remolinos adyacentes. Por tanto hay una mezcla continua de partículas con la transferencia correspondiente de cantidad de movimiento. La viscosidad disipa la energía, generando pequeñas cantidades de calor. 8.3.2.1

LA ECUACION DE DARCY-WEISBACH

Los cambios de presión a lo largo de una tubería horizontal, dependen de las magnitudes fundamentales: Geométricas: Longitud de la tubería, L. Diámetro interior de la tubería, D. Rugosidad de la pared interior, e. Físicas: Densidad del fluido, Viscosidad absoluta del fluido , Técnicas: Velocidad media, V. La función analítica que representa al flujo:

F ( L, D, e, , , V , p)

Aplicando el Teorema de Buckinghan-vasch, considerando V, grupo de variables independiente, se llega a: p L

V 2

L D

´´ (

VD

0

, D como

e ) D

Dividiendo por g toda la ecuación, y como no está aún definido, se puede dividir por 2 para formar el término de energía cinética en el miembro de la derecha. Luego: p Lg

V2 2g

L D

(

VD

e ) D

La función desconocida se llama coeficiente de fricción o coeficiente de rozamiento f. Este coeficiente se determina experimentalmente. Finalmente, la pérdida de carga queda: hf

20

L f D

V 2 2 g

[8.28]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Conocida como ecuación de Darcy – Weisbach. Ahora, resta hallar la relación funcional f = f ( ρ V D / μ ; e / D ) = f ( Re, ) 8.3.2.2

[8.29]

EL DIAGRAMA DE MOODY

Nikuradse, utilizó tubos con rugosidad artificial, para lo cual pegó granos uniformes de arena en la pared de la tubería. Moody ha efectuado un extenso estudio de tuberías comerciales, para mejorar el gráfico de Nikuradse. Este gráfico se conoce como diagrama de Moody. Debido a que la rugosidad de los materiales es muy variable, que la posición relativa entre las rugosidades interfiere directamente el flujo, y que la suciedad y corrosión afectan también la rugosidad, se hace evidente que el diagrama de Moody es una aproximación. Por todo esto, es difícil lograr una predicción precisa de las pérdidas por fricción.

Figura 8.07 . Rugosidad de la pared interior de tuberías La tabla siguiente muestra el valor promedio de la rugosidad de la pared interior de las tuberías nuevas y limpias Cuadro 8. . Valores promedio de Rugosidad Material

Rugosidad e ( mm ) Vidrio Liso Plástico 3,0 x 10 -7 Tubo extruido: cobre, latón y acero 1,5 x 10 -6 Acero, comercial o soldado 4,6 x 10 -5 Hierro galvanizado 1,5 x 10 - 4 Hierro dúctil, recubierto 1,2 x 10 - 4 Hierro dúctil, no recubierto 2,4 x 10 - 4 Concreto, bien fabricado 1,2 x 10 - 4 Acero remachado 1,8 x 10 - 3

Rugosidad e ( pies) Liso 1,0 x 10 - 6 5,0 x 10 - 6 1,5 x 10 - 4 5,0 x 10 - 4 4,0 x 10 - 4 8,0 x 10 - 4 4,0 x 10 - 4 6,0 x 10 - 3

Fuente: Mott

21


Rugosidad promedio de tubos comerciales Material nuevo Vidrio, cobre Tubería estirada

Acero, hierro forjado Hierro fundido asfaltado Hierro galvanizado Hierro fundido Madera cepillada Concreto Acero remachado

e (mm) 0,0003 0,0015 0,046 0,12 0,15 0,26 0,18- 0,9 0,3 – 3,0 – 9,00,9

Figura 8.08. Diagrama de Moody [Escribir texto]

Página 22

MECÁNICA DE FLUIDOS El tubo de vidrio tiene una superficie interior virtualmente lisa en cuanto a la hidráulica, lo que indica un valor muy pequeño de rugosidad. Las tuberías y tubos de plástico son casi tan lisos como el vidrio. La forma y el tamaño definitivos del tubo de cobre, latón y ciertos aceros, se obtienen por extrusión sobre un molde interno, lo que deja una superficie bastante lisa. Para la tubería de acero estándar (como las de las cédulas 40 y 80) y tubos de acero soldado, se emplea el valor de rugosidad que se menciona para el acero comercial o soldado. El hierro galvanizado tiene adherido un recubrimiento metalúrgico de zinc para que sea resistente a la corrosión. Es común que al hierro dúctil se le recubra en su interior con un tipo de cemento para protegerlo de la corrosión y para mejorar la rugosidad de la superficie. El tubo de concreto bien fabricado tiene valores de rugosidad similares a los del hierro dúctil recubierto. La fórmula de Darcy-Weisbach, junto con el Diagrama de Moody provee de un método de cálculo rápido de la pérdida de fricción, tanto para régimen laminar como para régimen turbulento. El ajuste de la curva en régimen laminar da para el coeficiente de razonamiento: f = 64 / Re

[8.30]

EJEMPLO 8. 05:

El líquido en el tubo de la figura tiene un peso específico de 10 kN/m . La aceleración del líquido es cero. Determine si el líquido está estacionario, se mueve hacia arriba o hacia abajo. Si el diámetro del tubo de cobre es de 1 cm y la viscosidad del líquido es de 3,125 x 10 – 3 N.s/m 2, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad promedio en el tubo?. 3

Objetivo: Determinar si el líquido está estacionario, se mueve hacia arriba o hacia abajo Determinar la magnitud de la velocidad promedio en el tubo. Datos: Fluido:

g

= 10 KN / m 3 p1 = 110 KPa 2 a=0 m/s = 3,125 x 10 – 3 N.s / m 2 Tubería:

Cobre

e = 0,0003 mm D = 1 cm L = 10 m

Z1 = 10 m

p2 = 20 KPa

Z2 = 0 m

Trayectoria: P1 Pa 110000 [Escribir texto]

Z1 m 10

V1 m/s

P2 Pa 200000

Z2 m 0

V2 m/s

Página 23

MECÁNICA DE FLUIDOS Análisis: La energía en una posición cualquiera está dado por: E = p Si:

E1 = E2 E1 > E2 E1 < E2

m

2

+ 10 m + V

E 2 = 200 KPa

m

2

+ 0 m + V

Como: E1 > E2

2 2

/ 2g = 21 m + V

2

/ 2g

/ 2g = 20 m + V

2

/ 2g

1m =

/ 2g = 20 m + V L V

h = f

/ 2g

el fluido se mueve hacia abajo. Flujo descendente

La pérdida de energía se puede hallar a partir de: 2

2

el líquido está estacionario. el fluido se mueve hacia abajo. Flujo descendente el fluido se mueve hacia arriba. Flujo ascendente.

  

E 1 = 110 KPa

21 m + V

g + Z + V

2

f

D2 g

2

/ 2g +

E1 = E2 +

h

h

V 2

10

0, 01 2 g

[a]

Asumiendo flujo laminar: f = 64 / Re f

64

64

V D

3,125 10

3

Pa.s

196,2 V

10000 / 9, 81 V 0, 001 m

[b]

Con la ecuación [b] en la ecuación [a], se obtiene: V D

Re

10000 / 9, 814 1 m / s 3,125 10

Tubería de cobre:

3

V = 1m/s

0, 001m

Pa.s

El flujo no es laminar.

tubo liso

Del Diagrama de moody:

3261, 97

f = 0,042

Ajuste de los datos de tubería lisa, del Diagrama de Moody: f calc

0,5

2log

2,51 Re f asum

f asumido = f calculado = reemplazando este valor de

0,04243 0,04242

f = 0,0424 en la ecuación [a]: V = 0,68025 m / s.

Aplicando la ecuación de Blassius: f = 0,316 / Re

¼

 f = 0,041549

Aplicando la ecuación de Lebaua- Hanocq: 1000 fo = 6,68 + 532 Re Para todo valor de Reynolds.  f = - 0,5 ½ Ecuación de Prandtl: f = 2 log [Re D / f ] - 0,8  f =

24

[8.31]

- 0,33

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Se va a impulsar un flujo de 1,9 m 3 / min de aceite combustible de densidad relativa igual a 0,85 y viscosidad absoluta de 75 cp, a través de 9000 m de tubería de acero, en posición horizontal. Se sugiere utilizar una tubería de acero de D interior = 57,47 cm; rugosidad igual a 0,085 mm. a. Determine la pérdida de presión, en KPa. b. ¿Cuál es la pérdida debida a la fricción, en m de fluido?. c. Determine la potencia requerida por la bomba ( B = 78%) para impulsar el flujo volumétrico de 1,9 m 3 / min.

EJEMPLO 8. 06:

Objetivo: Datos:

Determinar la pérdida de presión, en kPa. Determinar la pérdida debida a la fricción, en m de fluido. Determinar la potencia requerida por la bomba, en kW. Opinión sobre la tubería.

Fluido:

Aceite combustible C = 850 kg / m 3

= 75 cp <> 0,075 Pa.s

Q = 1,9 m 3 / min <> 0,031667 m 3 /s omba = 0,78 % Tubería:

Acero

DN = 24 pulgadas NR

e = 0,085 mm

Di = 574,7 mm L = 9000 m

Análisis: Ecuaciones

Cálculos

4

V

V

D 2 V D

Re

V D

4  D

Re

64

f

f

2

0,5747 2 m

L V 2

0, 08049

D 2 g

2

0,122077 m / s

850 x 0,122077 x 0,5747 0,075

64

f

Re

h1

4 x0, 031667 m3/ s

795,12

795,12

0,080491

9000 m

0,122077

0, 5747 m

2g

2

0, 95738 m

hf = 0,9574 m p1

2

g

h f

p

1 2

3

850 kg/ m

g 0, 9574 m 7 983, 279 Pa

p = 7,983 KPa P BOMBA =

p x

P BOMBA =

7,983 KPa x 0,031667 m 3 / s

P BOMBA = 0,25279 Kw

25

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.3.2.3

CASO DE TUBOS LISOS Son aquellos donde la rugosidad es pequeña, como en el caso de vidrio, plástico o de los tubos galvanizados de tal forma que las asperezas se ahoguen dentro de la capa límite laminar o subcapa laminar y no influencien las líneas de corriente; en éste caso fo = f (Re).

L

r

R

Fuente: Figura 8.09. Tubería lisa El equilibrio de fuerzas sobre el volumen de control se reduce al de la fuerza cortante que actúa sobre la superficie lateral y la diferencia de presión p1 – p2 que actúa sobre las secciones 1 y 2. r L = ( p1 – p2 ) π r 2

La ecuación (4.22) se aplica al régimen laminar como al turbulento. representa la suma de los esfuerzos cortante laminar y turbulento; su valor máximo junto a la pared vale. [8.32] Este valor máximo de o, se puede medir experimentalmente tomando nota de la caída de presión (p1 – p2 ). Del análisis dimensional se obtuvo:

Luego.

g

De manera que:

26

h1

2

f

f o

h1

LV 2 D2

2

2

f

L V 2 D 2 g

oL 4 R

oL D

V 2

8 Válido para flujo laminar y flujo turbulento

[8.33]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE H. Blasius en 1911 llev{o a cabo por primera vez un an{alisis cr{itico del material experimental ya bastante abundante y lo ordenó de acuerdo con la ley de semejanza de Reynolds. Fórmula de Blassius: f = 0,316 / Re1/4

[8.34]

concuerda con los resultados experimentales para Reynolds entre 3 000 y 10 5. Un tubo “hidráulicamente liso”, es uno en el que las proyecciones de las rugosidades sobre la pared son lo suficientemente pequeñas para quedar sumergidas dentro de la sub-capa laminar y no influyen sobre el flujo fuera de ésta.

Se han propuesto ciertas fórmulas empíricas, Así: Fórmula de Lebeau-Hanocq: 1000 fo = 6,68 + 532 Re - 0,33 aplicado a cualquier valor de Reynolds. Ecuación de Prandtl: f

0, 5

2 log

Re. D f 1 / 2

[8.35]

[8.36]

0,8

Cuadro 8.1. Valor del coeficiente de fricción f. Re

Blasisus

LebeauHanocq

Prandtl

Nikuradse

Moody

Colebrook

2000 3000 4000 5 000 60 000 700 000 8 000 000 90 000 000

8.3.2.4

CASO DE TUBOS RUGOSOS

Desafortunadamente, no existe aún una forma científica de medir o especificar la rugosidad de las tuberías comerciales. Varios investigadores han trabajado con tuberías que tenían rugosidad artificial producida de distintas maneras, de tal modo que la rugosidad podía ser medida y descrita por factores geométricos. Se demostró que la fricción no sólo dependía de la forma y del tamaño de las rugosidades, sino también de su distribución o separación, quedando todavía mucho por hacer antes de que se resuelva este problema por completo. Para tuberías rugosas, su estudio se ha realizado por dos caminos: -

Experimental, realizado por Nikuradse Matemático, hecho por Prandtl y Von Kármán 27

MECÁNICA DE FLUIDOS Experimento de Nikuradse Nikuradse estudió experimentalmente el factor de fricción (Re; ), creando una rugosidad artificial al pegar granos de arena de diferente tamiz a una tubería lisa. Los resultados obtenidos aparecen en la figura siguiente, donde se observa que el eje horizontal divide al plano en tres zonas: Laminar, de transición y turbulenta.

Figura 8.10. Estudio de Nikuradse i) ii)

en la zona laminar se da la relación: f = 64 / Re en la zona turbulenta con tubería lisa, la superficie laminar de espesor o es mayor que la rugosidad absoluta e de la tubería y anula su efecto, siendo fo = f(Re). En la zona turbulenta con tubería rugosa y altos números de Reynolds: la subcapa laminar queda bajo las crestas rugosas y éstas ejercen un tipo de oposición al flujo llamado “arrastre por ondulación”, que para Reynolds muy altos es proporcional al cuadrado de la velocidad; este tipo de arrastre prevalece sobre el arrastre viscoso y resulta f = f ( ), siendo la tendencia de las curvas a un recorrido horizontal. Una ley empírica aplicable a ésta región es: f

Ó

f

0,5

0,5

1,14 2 log

2 log (

/ 3,71)

[8.37]

la notación expresa: cuando el número de Reynolds tiende al infinito; a esta zona se denomina zona cuadrática.

28

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE iii)

En la zona de transición las curvas de = constante, parten de la misma región en el régimen laminar, pasan por la zona de tubería lisa, y luego de recorrerlas parcialmente efectúan ligeras oscilaciones para aproximarse a .

Los gráficos de Nikuradse se trazaron para una rugosidad uniforme, que no es el caso de las tuberías comerciales; un gráfico similar, aplicable a éstas últimas fue hecho por Moody y recibe el nombre de Diagrama de Moody.

MÉTODO DE PRANDTL Y VON KÁRMÁN Basándose en el estudio teórico de la turbulencia definieron dos variables adimensionales X e Y, según: X = Re . √ Y = - 0,5 + 2 log Por métodos teóricos fue imposible hallar una relación F ( X;Y), que hubiera definido el valor de . Estas variables fueron correlacionadas basándose en resultados experimentales de Nikuradse y otros, en un gráfico semilogaritmico.

Y

Y = 2 log X – 0,8

NIKURADSE

Y = 1,14

COLEBROOK

TUBOS LISOS

Log X

Figura 8.11. Colebrook 29

MECÁNICA DE FLUIDOS En este gráfico semilogarítmico, se observa que: -

f

Para valores grandes de , y por lo tanto de X, la curva tiende a la recta Y = 1,14, que coincide con los resultados de la zona de tuberías rugosas y alto número de Reynolds en el diagrama de Nikuradse. Reemplazando por sus valores da:

0,5

f

0,5

f

0,5

f

0,5

2 log

1,14 log (3, 71535)

1,14 2 log

2

log(

)2

/ 3, 71535) 2

log (

)

2 log (

3,71 Zona completamente turbulenta

[8.38]

En la zona izquierda los resultados tienden a cumplir la relación: Y = 2 log X – 0,8 , que luego de reemplazar a X e Y por sus valores, da:

-

f

f

0,5

0,5

2 log

0,8

f ) 2 log

0,8 2 log(Re. 0,8

f )

2 log(Re.

2 log(Re. f )

log(2,51)

2

log(

1

)2

Re. f f

0,5

2 log

2,51 Re f

[8.39]

Relación independiente de , y correspondiente al caso de tubos lisos. Ecuación de Prandtl para cualquier número de Reynolds. -

30

En la zona intermedia la curva presenta un máximo para Y, que significa un mínimo para

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3.2.5

TUBERÍA COMERCIAL. DIAGRAMA DE COLEBROOK

Colebrook realizó ensayos similares a los de Nikuradse, en tuberías comerciales, cuya rugosidad no es uniforme. Graficando sus resultados en plano log X – Y, se obtiene una curva inferior a la de Nikuradse, donde no existe un máximo para Y, que difiere mucho en la zona central y tiende a coincidir en los extremos. La curva de Colebrook tiene el siguiente ajuste empírico: Y

2 log

2,51

0, 27

X

Que escrito en términos de , y Re es: f

0,5

2 log

2,51 Re f

3,71

[8.40]

Como para un X dado, la curva de Colebrook tienen un menor Y que la de Nikuradse, quiere decir que predice un mayor , y es por tanto una fórmula de seguridad que da valores máximos de . En consecuencia la fórmula de Colebrook es universal en cuanto a aplicación, excepto en el régimen laminar, donde se aplica la ecuación de Hagen – Poiseuille. Analizando la ecuación (4.26) -

Para valores muy grandes de Re: f

-

0,5

2 log

3,71

Para valores muy pequeños de e: f

0,5

2 log

= ( ) f

[8.41]

= ( Re )

2,51 Re f

[4.42]

Que son las dos fórmulas de Nikuradse. La unión de estos dos resultados es: la ecuación de Colebrook. La ecuación de Colebrook se considera aceptable para el cálculo de la fricción turbulenta. Moody (en 1944) dibujó la ecuación en lo que hoy se 31

MECÁNICA DE FLUIDOS denomina diagrama de Moody. Este diagrama es fiable si se aceptan errores inferiores al 15% en cálculo de diseño. A partir de ensayos con tubos comerciales se hallan valores típicos de rugosidad. Cuadro 8.2: Rugosidades de diferentes materiales de tuberías Material Plomo, vidrio, cobre Acero estirado Nuevo Despues de largo uso y limpiado Moderadamente oxidadas o con ligeras incrustaciones Con fuertes incrustaciones Chapa de acero galvanizada Lisa (ventilación) Normalmente galvanizada Nuevas Nuevas y embetunadas Tuberías de acero soldadas Limpiadas Uniformemente oxidadas Con ligera incrustación Con fuerte incrustación Tubería de acero remachada Tubería de hierro fundido Asfaltada (nueva) Nueva Nueva embetunada Con oxidación Con incrustación Tubería de hormigón alisada rugosa Pretensado Tubería de eternit Tubería obra de albañilería Tubería de madera Sin cepillar Cepillada Latón industrial Cemento bruto

32

e: Rugosidad en mm 0,0015 0,02 a 0,15 a

0,10 0,20

0,15 a 0,15

0,40 3,00

0,07 0,02 0,05 0,05

a a a a

0,15 0,15 1,00 2,00 0,50

a a a a a

0,20 0,40 4,00 4,00 10,00

0,122 0,26 0,10 1,00 1,50

a a a a

1,00 0,15 1,50 4,00

0,30 a 1,20 a 0,25 0,05 a 1,30

0,80 3,00

0,70 0,20 0,025 hasta

0,10

0,10

3,00

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.7: Se va a bombear kerosén de densidad relativa 0,82 y viscosidad cinemática 2,3 mm 2 /s a través de un tubo de hierro galvanizado de 2 185 m (e = 0,15 mm) a 40 litros/s dentro de un tanque de almacenamiento. La presión en el extremo de entrada del tubo es de 370 kPa y el nivel del líquido en el tanque de almacenamiento está a 20 m arriba del de la bomba. Despreciando todas las pérdidas que no sean las debidas a la fricción en el tubo, calcular el diámetro mínimo del tubo para impulsar 40 L / min de kerosén.

V

Z

SOLUCION

1

La ecuación de energía: p

V 2

Z

g

h

2g

0) Pa

(370 000 820 kg / m

3

9,81 m / s

La ecuación de Darcy : 46 m

Con

20 m

V1

196 666

4

185

V12

( f

2g

/

D2

h1

20 m

2

2

f

L V 2

0

V 12 2g

hf

L V 2 D 2 g 1)

D 2g

0, 05093 / D

1 V

f D 5

D

2

4

[1]

El número de Reynolds: Re

V D

V D

4  D

La rugosidad relativa: f asumido En [1] D = En [2] Re = En [3] = Moody f =

Re

4 x 0, 040 D 2,3 10

22 143, 29 6

D

= e / D = 0,00015 / D 0,015 0,107 2,07 10 0,0014 0,023

5

[2] [3]

0,023 0,11669 1,89 10 0,00128 0,0227

5

D = 0,1167 m 33

MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8.8: Petróleo es bombeado a razón de 0,0283 m3 /s; a través de una tubería de 15,24 cm de diámetro interior construida de acero (e = 0,046 mm), la longitud de la tubería es de 310 m. a. Si el petróleo es bombeado a 30°C, y la tubería está horizontal: a.1. ¿Cuál es la pérdida de energía en metros del fluido?. a.2 ¿Cuál será la presión indicada por el manómetro colocado al final de la tubería, si al inicio de la tubería otro manómetro indica 31,74 bar?. a.3. ¿Cuál será la potencia requerida por la bomba, considerando una eficiencia del 80 %?. b. Idem que (a) pero la tubería es vertical y el flujo es ascendente. c. Si el petróleo se bombea a 120°C, y la tubería está horizontal: c1. ¿Cuál es la pérdida de energía en metros de fluido?. c.2 ¿Cuál es la potencia de la bomba?. d. Compare con los resultados obtenidos en los ítems (a), (b) y (c). Opine al respecto. T(°C) D.R. 30 80 120

0,86 0,93 0,96

(m2/s) 7,00 x 10 - 6 1,20 x 10 - 6 2,52 x 10 - 6

SOLUCION (a) Tubería horizontal  = 0,0283 m3 /s D = 0,1524 m

2

1



L = 310 m e = 0,046 mm T = 30°C: = 860 kg/m3 = 7 10 - 6 m2 /s. La ecuación de energía entre (1) y (2): p1

2

z1

V 1

p1

p2

2g

p2

z2

h1

V 2

2

h1

2g

2

[1]

2

La caída de presión es igual a la pérdida por fricción. i) Cálculo de la pérdida de energía por fricción : V

34

 A

4

h1

3

0,0283m / s 2

(0,1524) m

2

1,55m / s

2

f

2 L V

D 2 g

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Re

VD

e D

1,55 x 0,1524

Re

0,04 6 mm. 15 2,4 mm

33 746

6

7 x 10

0,000301837

La ecuación de Colebrook: f

0,5

> 2000 flujo turbulento

2 log

f

0,5

2 log

2,51 Re f

2,51

0,000 301 837

33 746 f

3,71

3,71

Se asume un valor de f (entre 0,010 y 0,025), igual a 0,02; se reemplaza en el miembro derecho de la ecuación y se evalúa obteniéndose para f del miembro izquierdo de la ecuación un valor de 0,0242. Como éste valor de f calculado no es igual al valor de f asumido, se toma fasumido = 0,0242 y se obtiene fcalculado = 0,0236 y así se continua hasta que los valores de f asumido y fcalculado coincidan f = 0,0237. f asum 0,0200 0,0202 f calc 0,0202 0,0237 Luego:

h1

0,0237 0,0237

0,0237

2

(1,55)

31 0 0,1524

2

2g

5,90 3m

ii) Presión indicada por el manómetro en la posición (2): 31,74 x10 5 Pa

p 2 0,86 x 9810 N / m 3

En [1]:

p2 = 31,242x 105 Pa

5,90 3m

p2 = 31,24 bar

iii) La potencia que requiere la bomba: Potencia al eje

.

p

P

P

(31,74

31,24) x10 5 Pa 0,0283m 3 / s 0,80

1769 watt

P = 1,769 kW b) Tubería vertical: Como f = f (Re, = e/D), y los valores de Re y e/D se mantienen constantes, la pérdida por fricción será la misma: h1

2

f

2 L V

D 2 g

hf = 5,903 m

La ecuación de energía entre (1) y (2): 35

MECÁNICA DE FLUIDOS p1

p2

Z

31,74 105 Pa

h1

p2

2

310m 5,903m

0,86 9810 N / m3

p2 = 5,088 x 105 Pa =

5,09) x10 5 Pa 0,0283 m 3 / s

( 31,74

P

p2 = 5,09 bar

0,80

94 274watt

P = 94,274 kW c) Procediendo de la misma forma que el ítem (a): 

V

3

0,0283m / s

4

2

A

(0,1524) m

1,55 x 0,1524

Re

2,52 x 10

e D

f

0, 5

2 log

fas = 0,0237 fcalc = 0,0194 h1

2

6

1,55m / s

2

93 738

0,04 6 mm. 152,4 mm

0,00 0 30 1837

2,51

0,000 301 837

93738 f

3,71

0,0194 0,0197

0,0196

0,0197 0,01966

310 0,1524

1,55 2g

0,01966 0,01967

2

4,882m

0,86 9810 4,82 Pa 0,0283 m3 / s P 1457 watt 0,80

P = 1,457 KW La potencia es aproximadamente el 82% de la potencia del caso (a). Obviamente, este ahorro en la energía habrá de compararse con el costo de elevar la temperatura a 120 °C.

36

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3.3

FLUJO EN SECCIONES NO CIRCULARES

PERFILES DE VELOCIDAD PARA SECCIONES CIRCULARES ¿Por qué alguien querría saber la forma en que la velocidad varia en una tubería circular? -

En el estudio de la transferencia de calor Cuando el agua caliente fluye a lo largo de un tubo de cobre, el calor se transfiere del agua a la pared del tubo y de ahí al aire circundante. La cantidad de calor que se transfiere del agua a la pared del tubo depende de la velocidad del agua en la capa delgada más cercana a la pared, a la cual se conoce como capa límite.

-

La medición del flujo volumétrico en un conducto Algunos artefactos, como el Tubo de Pitot, detectan la velocidad local en un punto pequeño dentro del flujo. En la utilización de dichos equipos, para determinar el flujo volumétrico a partir de V = A x V, se necesita la velocidad promedio, no la velocidad local. Se debe atravesar el diámetro del conducto para realizar varias mediciones de la velocidad en ubicaciones específicas, para después calcular la velocidad promedio.

FLUJO EN SECCIONES NO CIRCULARES Existen muchas aplicaciones prácticas de flujo donde la sección transversal no es circular. Intercambiador de calor de coraza y tubo. El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo interior hacia el lado derecho. En el espacio entre la superficie exterior del tubo interior (tubo), y la superficie interior del tubo exterior (carcasa) hay agua fría que fluye hacia la izquierda, tomando calor de la pared caliente del tubo interior.

Fuente: Mott

Figura 8.12. Intercambiador de calor Tubo coraza 37

MECÁNICA DE FLUIDOS -

Ductos para distribución de aire y evacuación de gases El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo interior hacia el lado derecho. En el espacio entre la superficie exterior del tubo interior (tubo), y la superficie interior del tubo exterior (carcasa) hay agua fría que fluye hacia la izquierda, tomando calor de la pared caliente del tubo interior.

Fuente: Internet

Figura 8.13. Evacuación de gases

Fuente: Internet

Figura 8.14. Ductos de aire acondicionado -

Flujo dentro de una máquina

El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo Para hacer uso de las ecuaciones desarrolladas para la tubería de sección circular, se hace uso del concepto de diámetro hidráulico, definido como:

Dh

38

4 Area de paso del flujo

perimetro mojado

[8.43]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE V Dh

Luego: Re Dh

V Dh

4 Dh

[8.44]

La velocidad es la velocidad real, es decir: V = caudal / Área de paso de flujo. La rugosidad relativa:

= e / Dh

[8.45] f

Regimen laminar: Hagen-Poiseuille

64 Re Dh

[8.46]

Régimen turbulento: Colebrook f 0,5

2 log

2,51 ReDh f

Dh

3,71

[8.47]

Ecuación de Darcy-Weisbach: h1

2

f

L

V

2

Dh2 g

64 Re Dh

L

V 2

Dh2 g

[8.48]

En el caso de régimen de flujo laminar la aproximación es de: ± 40 % En el caso de régimen de flujo turbulento la aproximación es de: ± 15 % Aire con un peso específico de 12,5 m 3 / s y una viscosidad dinámica de 2,0 x 10 - 5 Pa.s, fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura mostrada, entre la pared interior del ducto y la parte exterior del tubo, con una rapidez de 150 m 3 / h.

EJEMPLO 8.09:

100 mm

50 mm D = 25 mm

50 mm

39

MECÁNICA DE FLUIDOS Objetivo: calcule: a. El área de paso del flujo, en mm

2

b. El perímetro mojado, en mm. c. La velocidad del fluido, en m / s. d. El diámetro hidráulico Dh, en mm. e. El número de Reynolds del flujo Re Dh. f. El factor de fricción f. g. La pérdida de energía por fricción hf, en m de fluido h. La pérdida de carga de presión p, en Pa. i. La potencia requerida para mover el flujo P, en kW..

Datos:

Fluido: aire = 12,5 N/ m 3 = 2,0 x 10 - 5 = 150 m 3 / h <> 0,041667 m 3 / s Tubería: acero e = 0,075 mm L = 20 m. Análisis: El área de paso de flujo está dado por :

Af = 50 x 50 + ½ 50 x 50 + ¼ π 25 2 = 3259, 1261 mm 2 El perímetro mojado.

p = 50 mm + 50 mm + 100 mm + √ (50 2 + 50 2 ) + π x 25 = 349,25067 mm el diámetro hidráulico esta dado por Dh

4 Af

4 3259,1261 Dh 349,2507

p

37,327

la velocidad de flujo: 3

V

V

Af

0,041667 m / s 3259,1261 10

6

El número de Reynolds del flujo V Dh

Re Dh

4 Dh

Re Dh

40

V Dh

12,9 / 9,81 x 12,784 2,0 10

5

0,037327

30 403,61

12, 784 m / s

mm

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE La rugosidad relativa Dh=

e/Dh

= 0,046 / 37,327 = 0,00200927

el coeficiente de fricción f f asumido

[ log (

0,5

f

0,25 5,74 Re Dh 0,9

0,5

3, 7

= 0,02835

2

)]

2,51

2 log

f

Dh

Dh

3,71

Re Dh f

2,51

2 log

30403,61

0,00200927 3,71

0,02835

0,02805

La pérdida de carga por fricción h1

2

f

2 L V

D 2 g

h f

0, 02805

20 m

12, 7847

0, 037327 m

2g

2

125, 2051 m

La pérdida de carga de presión p

g

hf

hf

p

3 12, 5 N/ m 125, 2051

m 1565, 0631 Pa

La potencia P B

p

P B 1565, 0631 Pa

3

0, 041667 m / s

65, 212 Watt

P = 0,0652 Kw

41

MECÁNICA DE FLUIDOS RESUMEN PÉRDIDA PRIMARIA 

El cálculo de la perdida de presión para régimen de flujo laminar, se puede realizar con la ecuación de Hagen - Poiseuille, en la forma: p

D

128

4

L

El volumen, en m 3 / s; la pérdida de presión, en Pa; el diámetro interior de la tubería, en m; la viscosidad absoluta, en Pa.s y la longitud, en m. 

El cálculo de la perdida por fricción, para régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento se realiza mediante la ecuación de Darcy – Weisbach : hf

f

2

L

V

D

2g

donde f es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa . Para la determinación del factor de fricción f , se dispone de dos alternativas : A. El uso del Diagrama de Moody, y el uso de B. Ecuaciones semi-empíricas : El número de Reynolds: V D

Re

La rugosidad relativa:

V D

4

e

D

D

En general, para tuberías de uso industrial: 2000 < 2300 < 4000 <

Re Re Re Re

< < <

Régimen laminar: Régimen turbulento: f

[ log (

0,25 5,74 0, 9

)]

2000 2300 4000 f

Régimen laminar Régimen crítico Régimen transición Régimen Turbulento

64 Re

f

0,5

2 log [

2,51 Re f

3,71

]

2

3,7 Re Esta ecuación produce valores para f que se encuentran entre 1,0% del valor de los correspondientes a la ecuación de Colebrook, dentro del intervalo de rugosidad relativa (D /e) comprendido entre 1000 y 1x10 6; y para números de Reynolds que van de 5 x10 3 hasta 1x 10 8 . Esta es virtualmente la zona de turbulencia completa del diagrama de Moody

42


43


PERDIDAS SECUNDARIAS Massey

En el transporte de fluidos mediante tuberías, además de la pérdida de carga por fricción, se puede incurrir en pérdidas en las uniones, cambios de sección transversal, en los dobleces, elementos de medición, válvulas y accesorios de todas clases. En las conducciones largas se pueden despreciar estas pérdidas sin serio error, si se comparan con la pérdida producida en la tubería. En tramos cortos, pueden sobrepasar a la pérdida primaria, y se hace necesario su cálculo. Las pérdidas resultan de modo invariable por los cambios súbitos de velocidad (ya sea en magnitud o en dirección); los cuales generan turbulencias a gran escala, en los cuales la energía se disipa en forma de calor. Por lo general, el origen de la pérdida se confina a un tramo muy corto del tubo, pero la turbulencia puede persistir corriente abajo una distancia considerable. El flujo después del cambio súbito de velocidad es en exceso complicado, y los procesos de fricción en la tubería son afectados inevitablemente por la turbulencia adicional. Sin embargo, para propósitos de análisis, se considera que los efectos de la turbulencia y la pérdida adicional se concentran en el dispositivo o accesorio. Usualmente la pérdida secundaria se expresa mediante ecuaciones analíticas, coeficiente experimental lambda o mediante longitud equivalente de tubería. 8.4.1 EXPRESIONES ANALÍTICAS EXPANSIÓN BRUSCA

Figura 8.15.

Este tipo de pérdida puede ser sometida al análisis. El flujo llena los tubos y se asume que es permanente. El fluido que emerge del tubo más pequeño es incapaz de seguir la desviación abrupta del límite, formándose cavidades de remolinos turbulentos en las esquinas, lo que produce disipación de energía en forma de calor. [Escribir texto]

Página 44

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Para el volumen de control considerado: en la sección (1), las líneas de corriente son rectas y paralelas y, en consecuencia, la presión es uniforme. Corriente abajo del agrandamiento, el mezclado vigoroso producido por la turbulencia ayuda a uniformizar la velocidad dando como resultado una presión uniforme en la sección (2). En la zona de aguas muertas, (con el apoyo de la evidencia experimental) se puede suponer que la presión continua siendo igual a p1; por lo tanto: La ecuación de cantidad de movimiento: p1

v12 A 1

A1+ p1 p 2

p2

F = m (V 2 – V 1 )

v 22 A 2

A2 +

v 22 A 2 - v 12 A1

(a)

Ecuación de la energía: p

1

V2

Z 1

p

1

Z 1

2g

hs

p

2 g

V2

p

1

V 2

2

1

g

hs

V 2

2 g

2

(b)

Ecuación de continuidad:

v1 A 1

i)

v 2 A 2

A1

v 2

A2

v 1

(c) p1 p 2

De (a):

p1 p 2

Con _( c ):

hs

hs

ii)

A2

1

2g

1

g V2

2 V1 V2

V2

1 V 2

V

2

hs

V2

2g

( V 1 V 2 )2 2 g

hs

Ó.

2

A1

v 22 - v1 v 2 V2

Reemplazando en (b): 2 V2

v 22 - v 12

2

V2

2

V2

2 g

2

2 V1 V 2 V 2 1

(d)

2 g

[8. ]

( V 2 V 1 )2 2 g

De ( c ):

v2

A1 A2

v 1 45

MECÁNICA DE FLUIDOS A ( 1 V )2

En (d):

hs

A2

hs

V 12

(

2g

A1 A2

2 ( A

1

A

) ] 2

A1 A2

iii)

K

A2

1

) 1

V2

1

[1 (

2g

2

hs

V 2

1

2 g

)2

[1 (

hs

1

A 2 ( 1 V ) V 1

D 12 D

2

) ]

V2

V 2

1

K

2g

1

2 g

2

V 12

[8. ]

2 g

También: hs

[1 (

A

2

A1

) ] 2

V2

2

2g

[1 (

D 22 D

2

) ]

V2

2

2g

K ``

V 2

2

2 g

1

Los valores de K concuerdan bien con los datos experimentales cuando la velocidad V1 es aproximadamente de 1,2 m/s (4 ft/s). a velocidades mayores, los valores reales de K son más pequeños que los teóricos. Si se conoce la velocidad del flujo, se recomienda utilizar los valores experimentales. Cuadro 8. . Coeficiente K de expansión súbita. hs = k V1 2 / 2g D2 / D1

0,60 m/s 2 ft/s

1,2 m/s 4 ft/s

3 m/s 10 ft/s

4,5 m/s 15 ft/s

6 m/s 20 ft/s

9 m/s 30 ft/s

12 m/s 40 ft/s

1,0

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1,2

0,11

0,10

0,09

0,09

0,09

0,09

0,08

1,4

0,26

0,25

0,23

0,22

0,22

0,21

0,20

1,6

0,40

0,38

0,35

0,34

0,33

0,32

0,32

1,8

0,51

0,48

0,45

0,43

0,42

0,41

0,40

2,0

0,60

0,56

0,52

0,51

0,50

0,48

0,47

2,5

0,74

0,70

0,65

0,63

0,62

0,60

0,58

3,0

0,83

0,78

0,73

0,70

0,69

0,67

0,65

4,0

0,92

0,87

0,80

0,78

0,76

0,74

0,72

5,0

0,96

0,91

0,84

0,82

0,80

0,77

0,75

10,0

1,00

0,96

0,89

0,86

0,84

0,82

0,80

Infi ni to

1,00

0,98

0,91

0,88

0,86

0,83

0,81

Fuente: King. H. W. Y E.F. Brater, 1963. Handbook of Hidraulics, 5a. Ed.., Nueva York: cGraw w -Hill, tabla 6-7

46

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE PÉRDIDA POR SALIDA En la ecuación anterior, si A 2 tiende al infinito, la pérdida tiende a V 2 / 2g. Esto ocurre, por ejemplo, en la salida sumergida de un tubo que descarga dentro de un depósito grande. Hs = 1,00 x v1 2 / 2 g. El valor de k = 1,0 se emplea sin que importe la forma de la salida en el lugar donde el tubo se conecte a la pared del tanque.

Figura 8.16. Expansión brusca EXPANSIÓN PROGRESIVA (DIFUSOR) La pérdida de carga en un agrandamiento súbito ( o a la salida de un tubo) se puede reducir en forma considerable por la sustitución de un agrandamiento cónico, gradual, conocido como difusor o recuperador. La función de éste es reducir gradualmente la velocidad del fluido y eliminar de este modo, en tanto sea posible, los remolinos responsables de la disipación de energía. En el difusor de la figura, las pérdidas por desprendimiento de la capa límite son de la forma: 2 hp1

K

( V 1 V 2 ) 2

Donde K depende del ángulo . En su geometría existe la relación: L = 0,5 ( D2 – D1 ) cotang

47

MECÁNICA DE FLUIDOS El difusor se diseña con pequeño ángulo , para evitar el desprendimiento de la capa límite y las pérdidas consiguientes. Sin embargo un pequeño implica grandes valores de L, y las pérdidas por rozamiento en la pared aumentan considerablemente.

D1

D2

Dx

L

Figura 8.17. Difusor Las pérdidas únicamente por fricción se dan por:

d hp

2

2 dx V f 2 D

Por continuidad el caudal = V π D 2 / 4 = constante. Y según la geometría del difusor dx = 0, cotang dD, reemplazando e integrando se obtiene una función de f. hp 2

(V1 V 2) 2 1 A1 A 2 [ f . cot ang ] 8 2 A2 A1

La pérdida total de presión, hp = hp1 + hp2. hp

[K

(V1 V 2) 2 1 A1 A 2 ] f . cot ang 8 2 A2 A1

[8.]

La figura siguiente muestra la existencia de un ángulo pérdida total hs

que minimiza la

hs hs1

hs2

Figura 8.18. Expansión progresiva Se define el coeficiente de recuperación de presión: El factor de pérdida de carga K se relaciona con cp:

p2 p 1

c p

2 1 / 2

V K

hs

2 1 / 2g

V

48

1

D

1 D 2

2

cp


Figura 8.19. Coeficiente de expansión brusca 49

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.4.2 COEFICIENTES EXPERIMENTALES Hay resultados experimentales que indican que las pérdidas secundarias son proporcionales con el cuadrado de la velocidad promedio, con frecuencia se expresan en la forma: 2

hs

V

2g

Donde es un coeficiente que en la mayoría de los casos se evalúa experimentalmente. Para números de Reynolds altos, el valor de es prácticamente constante

CONTRACCIÓN SÚBITA

Figura 8.16 Generalmente es la inversa de un agrandamiento súbito; sin embargo no es posible aplicar la ecuación de momento al volumen de control entre las secciones (1) y (2). Esto se debe a que, apenas corriente arriba de la junta, la curvatura de las líneas de corriente y la aceleración del fluido hacen que la presión en la cara anular varia de modo no conocido. Inmediatamente corriente debajo de la junta se forma una vena contraída, después de la cual la corriente se ensancha otra vez para llenar el tubo. Entre la vena contraída y la pared del tubo se forman remolinos, y estos son los que causan principalmente la disipación de energía. Entre la vena contraída y la sección de corriente abajo (2) el patrón de flujo es similar al que ocurre después de un agrandamiento súbito; en consecuencia, se supone que la pérdida de carga se da por:

50


51


52


53


54


55


56

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.4.3 LONGITUD EQUIVALENTE El fundamento es que la pérdida de energía producida por un accesorio sea igual a la pérdida primaria producida en una longitud determinada de tubería. A dicha longitud se denomina longitud equivalente. V

hs

2

f

2g

Lequiv

D

f

2

Lequiv

V

D

2g

n D ( L/ D) D

Cuando se conoce f, se puede expresar L equiv como “n diámetros”, es decir n = Lequiv / D. El error en que se incurre al considerar constante a n y a para un accesorio en particular, es por lo general pequeño en comparación con el debido a otras incertidumbres.

Sumando la longitud equivalente a la longitud del tubo, se obtiene la longitud efectiva, y esta longitud efectiva se utiliza para obtener: h

L

f

L equiv

V

2

2 g

D

L efect

f

D

V

2

2 g

Usualmente se da en tablas (L/D) y nomogramas (Lequiv). En un problema particular pueden presentarse el uso de estas tres formas, con lo cual la pérdida secundaria estaría dado por: m n

hs

i 1

V

Lequi

2

2g

f

1

D

V

2

2g

r

hsi

[26]

1

57


58


59


60

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.10: Se requiere impulsar 5 000 GPM (USA) de agua fría de un reservorio A, abierto a la atmósfera, hacia un reservorio B que se encuentra a una presión manométrica p2 = 250 kPa, siendo la tubería de acero estirada NR 40 ( e = 0,1 mm ) para la línea de succión y la línea de descarga. La línea de succión es de 4 m de longitud, 20 pulgadas de diámetro nominal y tiene los siguientes elementos roscados: Cedazo de aspiración, un codo radio largo, dos uniones universales y una válvula de compuerta. La línea de descarga es de 14 pulgadas de diámetro nominal, 165 m de longitud, y tiene los siguientes accesorios: Una válvula de globo, una válvula de retención, tres uniones universales, dieciséis uniones simples y tres codos radio largo. Tomando como referencia el eje de la bomba, se tiene que la superficie libre líquida del reservorio A se encuentra a -2 m y la superficie libre del reservorio B se encuentra a 15 m; ambas distancias permanecen constantes. a. Calcule la pérdida de carga en el sistema. b. Seleccione una bomba comercial. c. Una vez instalada la bomba, se tiene que el manómetro en la entrada a la bomba indica una presión de vacío de 25,649 kPa, ¿Cuál será la lectura en el manómetro colocado en la salida de la bomba?.

SOLUCION a) La pérdida de carga en el sistema: h

hsucción

hdescarg a

h

[1]

61

MECÁNICA DE FLUIDOS (I) Tubería de succión. hsucción

Vs 2

2g

( f

De la tabla: 12b, 12c

L entrada

Ds Ds

codo

2

20 , NR40 

un.u.

Dis

válvula ) comp.

[2]

47,79 cm

El caudal o flujo volumétrico: 

5000 GPM x 6,308 10 -5



0,3154 m 3 /s

Velocidad media: V s

V 2

4 x 0,3154 / 0,4779 2 1,758 m /s

f s

0,0149.

Las pérdidas secundarias: De la tabla 4a, 4b, y 4c; se tiene:

62

%

Cedazo de aspiración:

0,40

50



0,060

Codo RL: DN = 20´´ Válvula de compuerta : DN = 20´´ Uniones: DN = 20´´

0,10 0,30 0,03

25 25 50



0,125 0,375 0,045

 


Reemplazando valores en [2]: 1,758 2

hsucc

2g

( 0,0149

4 0,4779

0,6

0,125 2

0,2071 m de agua.

hsucc

[3]

(II) Tubería de descarga o impulsión: hdescarg a

0,045 0,375 )

Vd 2

( f

2g

L Dd

globo válvula

reten válvula

De manera similar 3

un.u.

16

u.univ.

3

codo ) RL

[4]

Reemplazando valores en [2]: Dd

14"

V d

3,615 m / s



0,1 / 333,3 Re

1,2 x 10

f d

0,0155

33,33 cm

Did

0,0003

6

De la tabla 4a, 4b, y 4c; se tiene:

%

Codo RL: DN = 14´´ Válvula de retención : DN = 14´´ Válvula de globo : DN = 14´´ Uniones: DN = 14´´

0,12 2,00 5,50 0,03

0,150 2.600 6,875 0,045

25 30 25 50

Reemplazando valores en la ecuación [4]: hdescarg a

3,615 2g

2

( 0,0155

hdesc arg a

165 0,3333

6,875 2,6

3

0,045 16

0,045

3

12,2907 m de agua.

0,150)

[5]

Reemplazando [3] y [5] en [1]: h 0,2071m 12,2907 m

12,4978 m de agua.

12,5 m

63


b)

Selección de la bomba: Se requiere especificar la carga total H y el flujo volumétrico  Ecuación de energía entre 1 y 2: H

H

p2

p1

250 000 9810

2

z 2

z1

V 2

2

V 1

2g

h1

2

m 17 m 12,5 m = 25, 484 m 17 m 12,5 m 54,984 m

H = 55 m <> 180 pies 

5 000

GPM

De la figura A, la bomba: A-1015L cubre las necesidades.

De la figura B, se tiene que el diámetro del impulsor es de 14,6 pulgadas; la 89% ;y se requiere 260 HP ( 194 kW ) para mover la bomba. eficiencia 64


c) Cálculo de la lectura de la presión colocado en la descarga de la bomba: La ecuación de energía entre la entrada y salida de la bomba: p /

H

H

(

pd

z

0,6 m )

V 2 / 2 g

(

p s

0,25 m )

( Zd Zs)

V d 2

V s2

2g

Reemplazando valores: H

Pd /

Pd

(

p d

0,6 m )

2,614576 0,25

0

0,5085 m

54,683 m

51,2099 m

502,369 kPa.



65

MECÁNICA DE FLUIDOS También puede determinarse Pd , planteando la ecuación de energía entre la descarga de la bomba (d) y la superficie libre del reservorio B, punto (2). p d

Pd

Pd

z d

0,6

p d

V d 2 / 2 g

0

51,209 m

2

z 2

V 2

hd

2g

3,6152

250 000

2g

9810

2

15 m

0 11,991

52,475 m

de agua fría. Pd

Pd

51,209 m 9810m / s 2

502,360 kPa.



EJEMPLO 8.11: Se va a construir un sistema de bombeo similar, para lo cual la tubería será nueva (e = 0,0456 mm), y la bomba a utilizar será del mismo tipo. a. Determine la pérdida de carga en el sistema, cuando se impulse 5000GPM. b. Manteniendo las válvulas totalmente abiertas, el nuevo caudal impulsado ¿será mayor o menor a 5000 GPM?. ¿porqué? Sugerencia: Haga uso de hoja de Excel para resolver este problema

66


RESUMEN PERDIDAS SECUNDARIAS 8.4.1 EXPRESIONES ANALÍTICAS 2 2 V1 V 2 hs 2g 8.4.2 COEFICIENTES EXPERIMENTALES 2

V

hs

2g

8.4.3 LONGITUD EQUIVALENTE

( L/ D) D

Lequiv

h

L

f

L equiv

V

2

2 g

D

f

L efect D

V

2

2 g

En un problema particular pueden presentarse el uso de estas tres formas, con lo cual la pérdida secundaria estaría dado por: m n

hs

i 1

V2 2g

Lequi f

1

D

V2

r

2g

1

hsi

67


68

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.12 La figura muestra un sistema de cañerías que proporciona 4 m 3 / min de agua a 21°C para un proceso. La tubería es de acero soldado sin costura, de diámetro interior 25,4 cm y rugosidad absoluta igual a 0,046 mm. Determine:

a. b. c. d. e.

f.

La pérdida de carga sólo en la tubería . ∆ h f La pérdida de carga en los accesorios . h i . La pérdida de carga en el sistema. ∆ hs. La altura de la bomba . H B. La potencia para accionar la bomba, si ésta tiene una eficiencia del 87%. n Una expresión para la altura de la bomba : H B = A + B

69


70

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.13: La figura muestra una bomba que debe elevar agua (a 20C) de un

pozo a un tanque hidroneumático. hidroneumáti co. Se conocen los los siguientes datos característicos de la bomba:

Flujo volumétrico Litros / minuto Item 1 0 2 300 3 600 900 4 1200 5

Altura (HB) metros 100 100 95 89 78

Eficiencia % 0 30 60 68 65 p = 29 430 Pa

a. Determinar el flujo volumétrico volumétrico que la bomba impulsa, impulsa, la eficiencia de la bomba y la potencia que el motor debe de entregar a la bomba. b. Estimar la presión presión manométrica en la succión succión de la bomba. c. Obtener una expresión analítica analítica para la curva del sistema de la forma : HB = A + B  n d. Determinar si las válvulas de pie y de retención funcionan en su posición abierta, suponiendo que éstas válvulas requieren una caída mínima de 1034 Pa si están están abiertas

71


72


73

MECÁNICA DE FLUIDOS PUNTO DE OPERACION DE LA BOMBA

H m HB BOMBA

HB SISTEMA

93,8 m Eficiencia

Punto de operación

680 L / min

74

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.14: Una bomba cuya curva de capacidad de carga se muestra en la figura, bombea agua por un sistema. Determine el flujo volumétrico aproximado que hace circular la bomba. El agua se encuentra a una temperatura de 12 ºC.

2

1

SOLUCIÓN La curva mostrada en la figura, denominada curva de la bomba, es una forma de representar los resultados de ensayo a que se somete la bomba. Ésta curva lo proporciona el fabricante. A éste gráfico se añade la curva del sistema. La intersección de ambas curvas se denomina punto de funcionamiento de la bomba. Y de allí se puede obtener el caudal que circula, así como la altura total que la bomba está dando. Curva del sistema: Considerando los puntos [1] y [2], indicados en la figura, la altura de la bomba se expresa como: H

p2

En donde: p2 = p amb

p1

2

z 2 z1

V 2

2

V 1

2g

h1

2

[1]

75

MECÁNICA DE FLUIDOS p1 = p amb Z2 = 6 m Z1 = 0 m V2 = V m / s V1 = V m / s Cálculo de la pérdida de energía en el sistema: h1

V2 2

2 g

( f

L cedazo aspiracion

D

globo válvula

reten válvula

3

rompuerta válvula

acoples

6

u .univ .

3

codo RL

)

[2]

El flujo volumétrico es la incógnita a determinar, por lo que se incluye en reemplazo de la velocidad.

D2 = 4 x

V = 4 /

2

/

= 905,4147874

El coeficiente de fricción: se requiere conocer el número de Reynolds y la rugosidad relativa. V D

Re

V D

4 D

ρ = 999,6 kg / m 3

T agua = 12 ºC

= 1,2462 x 10 – 3 Pa.s

De tablas

= 1,2467 x 10 – 6 m 2 / s Re = 4 x

/ π

x 0,0375 x 1,2467 x 10

– 6

m 2 / s = 27 234 342

= e / D = 0, 260 mm / 37,5 mm = 0,006933

De la ecuación de Colebrook: f =

f

0,5

2 log

2,51 Re f

3,71

Para un juego de valores de Re y , hay un valor del coeficiente de fricción que es solución para dicha pareja de valores. Para un flujo volumétrico de 21,598 L/s: Re = =

588204 0,00171

el valor del coeficiente de fricción es f =

0,02280

Los coeficientes experimentales : %

76

total

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 1 cedazo de aspiración 3 codos roscados, RL 1 válvula de compuerta 1 válvula de globo 1 válvula de retención 2 uniones universales 4 uniones simples

2,0 0,5 0,2 7,0 2,5 0,06 0,06

± ± ± ± ± ± ±

50% 25% 30% 25% 30% 50% 50%

3,0 0,625 0,26 8,75 3,25 0,09 0,09 TOTAL =

3,0 1,875 0,26 8,75 3,25 0,18 0,36 17,675

77


CURVA CARACTERÍSTICA DE PÉRDIDAS

Haga un análisis de la pérdida por fricción, ecuación de Darcy-Weisbach, para flujo laminar y flujo turbulento. La ecuación de Darcy-Weisbach: h f

f

2 L V

D 2 g

i) Régimen laminar: f = 64 / Re h f

64

2 L V

32 L

D 2 g

V . D D 2 g

V

Con V = 4  / D2: h f

128



4

D g

h f = C.

1

(a)

ii) Régimen completamente turbulento: f es constante f = f ( Re, h f

L 1 f D 2 g

hf = C

→ f=f(

) 2

4

D

f

2

 2

8 L 2

5

D g

) = constante

2

(b)

iii) Régimen turbulento: f es función de Re y de De las ecuaciones (a) y (b):

hf = C

 n

n 2,0; siendo los límites el régimen laminar y el donde: 1,0 régimen completamente turbulento.

78


n hf = C 

hf = C 

1

2 hf = C 

p/ + 2

V / 2g

La altura de la bomba:

p/ +

2

V / 2g

79

MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8.15: Por la tubería mostrada fluye un aceite (S = 0.92 a razón de 6600 Litros / h, en el sentido indicado en la figura. a) ¿Cuál es el valor de la caída de presión? [ p 1 - p2 ] en m de aceite?. b) Hallar la perdida debido a la fricción. c) Hallar el factor de fricción f. d) ¿Es flujo laminar ?. Evalúe el número de Reynolds Re. e) Hallar la viscosidad absoluta del aceite. 142 N

1 1,2 m

h =250 mm Z1

2 25 mm

Z2

DR Hg = 13,6

80


81


82

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.6 CIRCUITO DE TUBERÍAS

Un caso muy frecuente, que se presenta en el transporte de un fluido, es la selección de una bomba, ventilador o compresor, para lo cual habrá de determinar las pérdidas de energía en la instalación. Se considera que los sistemas de tuberías se componen de:  Elementos de tuberías: Son tramos de tubería de diámetro constante.  Accesorios válvulas y elementos de control: conexiones, codos, reductores, Válvulas, medidores de presión, y cualquier otro dispositivo que pueda crear una pérdida en el sistema.  Equipo de bombeo: Que añaden energía al fluido y las turbinas que extraen energía del fluido. En este capítulo se exponen las reglas para la solución de los problemas de los sistemas de tuberías y ductos, relacionando:  Geometría de las tuberías: Longitud (L), diámetro (D), rugosidad (e).  Propiedades del fluido: Densidad ( ), viscosidad ( ).  Caída de presión ( ∆ p ), velocidad ( V Variables técnicas: ), flujo volumétrico o caudal ( , Q ). 8.6.1

ECUACIONES APLICABLES   

  

8.6.2

Ecuación de energía. Ecuación de continuidad. Ecuación de ímpetu Ecuación de Darcy – Weisbach Ecuación de Hagen – Poiseuille. Ecuación de Colebrook

Ecuaciones (

).

TUBERÍAS EN SERIE

Son aquellas distribuidas en forma tal que todos los tramos conducen el mismo caudal , pero tienen diferentes caídas de presión, tales que: L1, D1, e1, hp1 L2, D2, e2, hp2

1

hp

=

A-B

=

2

=

L3, D3, e3, hp3

=

3

hp1 + hp2 + hp3

hp A-B = =

i = constante hpi.

83

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.6.2.1. CASO 1 :

PRESION A LA SALIDA DE UNA TUBERIA

a. Datos:

- Geometría de las tuberías: L, D, e - Condiciones del flujo en una sección: Velocidad, presión, etc.

b. Incógnita:

condiciones del flujo en otra sección.

c. Solución:

Se resuelve directamente aplicando las ecuaciones ( Ecuación de energía. Ecuación de continuidad. Ecuación de darcy – Weisbach. Ecuación de Hagen - Poiseuille Ecuación de Colebrook.

):

PROBLEMA 1 : Se encuentra fluyendo 0,018 m 3 / s de agua a 40°C de A hacia B a través del sistema mostrado. Determine la pérdida de carga Δh entre el punto A y el punto B, si ambas tuberías son de acero soldado sin costura. Fluido:

Agua a 40ºC T ( ºC ) 37,8

( cst ) 0,690

43,3

0,610

( kg / m 3 ) 993,1 991,0

A

=1

= 1,12

H 2

= 0,8 ± 40% =1,12

hs = ΔV / 2g

B

= 1,12

Solución Tubería: Fluido: 84

L/D = 40

= 1,0

Acero soldado sin costura Di = 90,9 mm Di = 165,2 mm e = 0,00015 pies <> 0,04572 mm Agua a 40ºC

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE T ( ºC ) 37,8 40,0 43,3 0,69 0,61

0, 69

(40 37,8)

43,3 37,8 993,1 991,0

993,1

( kg / m 3 ) 993,1 992,3 991,0

( cst ) 0,690 0,658 0,610

0,658 cst 992, 26 kg / m 3

(40 37,8)

43,3 37,8

En unidades S.I.: = 0,658 x 10 - 6 m 2 / s = 992,26 kg / m 3 La pérdida de carga entre [A] y [B] se encuentra aplicando la ecuación: n

hf +

h

a la tubería [1] y la tubería [2].

hs 1

m

h

2

L

f

V i

D 2 g

( L/ D) j

2

n

V

1

1

f

2g

D

2

( V ) k

2g

D

2

r

V

2g

1

m

2

h A

f

B

2

n

L V D 2 g

i 1

V

1

f

2 g

( L/ D) j D

D

2

r

V

2 g

(V22

V 12 ) k

2g

1

tuberia 1 m

f

L V2

n

i

D 2 g

1

V2

f

2 g

1

( L/ D) j D

D

V2

2 g

r

1

(V22

2 V 1 ) k

2 g tuberia 2

Cálculo de los coeficientes f1 y f2: tubería 1: V1

4

0, 018

2, 774 m / s

0,0909 2

4 0,018

Re1

0,0909

0,658 10

6

383 171

= 0,04572 mm / 90,9 = 0,000 502 97 f 1

0,5

2 log

2, 51

0, 00050297

383171 f asum

3,71

85


f asum = 0.5 0.01696 0.01796 0.01793 0.01793 f calc = 0.01696 0.01796 0.01793 0.01793 0.01793

Tubería 2: V2

4

0, 018 0,1652 2

0, 8397 m / s

4 0,018

Re2

0,1652

0,658 10

210 837

6

2 = 0,04572 / 165,2 = 0,000 276 8 f 2

1

0,5

2 log

2,51

0, 0002768

210 837 f asum

3,71

f asum = 5 0.01489 0.01765 0.01745 0.01747 f calc = 0.01489 0.01765 0.01745 0.01747 0.01747

Reemplazando valores: h A

B

0, 01793

55

2, 774

0, 0909

2g

0, 01747

2

(1, 00

30

0,8397

0,1652

2g

1,12

1,12)

2

(1,12

1, 00)

2, 774

B

4, 255 m 0,114 m

h A

B

5,882 m

1, 271 m

0,8397

0,175 m

2, 774

2

0,83

2

2g

2

2g 40

0,1652

0,1652

0,8397

2

2g

0

0, 356 m

0

0, 0359 m

0

2g

0, 01747

h A

2

0, 0251 m

0

6, 057 m 3

– 4

P2. Se encuentra fluyendo 0,015 m / s de alcohol metílico a 25ºC ( = 5,60 10 Pa3 s, = 789 kg / m ). La línea de succión es una tubería de acero estándar Calibre 40 de 4 pulgadas de diámetro nominal y de 15 metros de largo. La longitud total de la tubería de acero estándar Calibre 40 de 2 pulgadas de diámetro nominal en la línea de descarga es de 200 metros. Suponga que la entrada del depósito 1 es a través de una entrada de orilla cuadrada y que los codos son estándar roscado. La válvula es de globo completamente abierta. a. Calcule la presión en la sección de descarga de la bomba, así como b. la potencia proporcionada a la bomba que se muestra en la figura; si su eficiencia es del 76%.

86


87


88

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.6.2.2 CASO 2 :

CAUDAL QUE PUEDE SER TRANSMITIDO

a. Datos:

- Presiones en varias secciones de la tubería. - Geometría de las tuberías: Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e. b. Incógnita: Flujo transmisible. c. Solución: 

i)

Aplicando las ecuaciones :  Ecuación de energía.  Ecuación de continuidad.  Ecuación de Darcy – Weisbach.  Ecuación de Colebrook.

Ecuaciones (

).

se obtiene una ecuación en función de la velocidad V y el factor de fricción f : F ( V, f ) = 0 [1] Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen - Poiseuille f = 64 / Re - De la ecuación [ 1 ], se obtiene la velocidad V - Se determina el número de Reynolds: D D 4 [2]  Re V V D

y debe verificarse Re < 2000 Si no es así, el flujo es turbulento. ii)

Régimen turbulento: - Se asume un valor de f : - De la ecuación: F ( V, f ) = 0 se obtiene la velocidad V

f = f asumido =

[ 0,010 - 0,20 ] [1]

- Se determinan el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa D

Re

V

D

:

V

= e/D - De la ecuación de Colebrook: 0,5

f calculado

2 log

2,51 Re f asumido

3,71

se determina el factor de fricción f calculado - Si f calculado es diferente del f asumido, se repite el procedimiento, iniciándolo con el valor de f calculado; y así sucesivamente hasta lograr que f calculado = f asumido . - La aproximación a que se hace alusión, bastará con obtener tres cifras significativas iguales. Luego se calcula el caudal  V A .

89

MECÁNICA DE FLUIDOS Determine el flujo volumétrico desde A hasta B, si la bomba en E tiene las siguientes P3: características : ∆ HB = 30 -  / 8



donde ∆ HB : [ m ];

: m3 / s

La tubería es de acero comercial soldado y sin costura DN = 8 , cédula 30. El fluido es agua = 1000 kg / m 3; = 0,0113 10 - 4 m2 / s. Considere los elementos secundarios indicados en la figura. 1

A

100 m

30 m

C

= 0,8

E =0,2

30 m

2 = 1,0

= 0,8

80 m

Solucion

20 m D

B

Para el sistema, la altura de la bomba está dado por: H

2

p

z

B

HB = 0 + ∆ Z + 0 + hf + ∑ hs DN = 8” NR30

= ∆ Z + [ f

L

+

D

V

h SISTEMA

2g

i]

V

2

2g

Di = 8,071” <> 20,50 cm

= 0,000223 V 2 210 HB = - 40 + [ f + 0,2 + 2 0,8 + 1,0 ] 0,205 2g V

Con

2

2 2 ( 4  / D )

2g

2 8

2g

g

2 D 4

2 8 g

2 0.2054

46.78491  2

2 HB = - 40 + [ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491  Igualando con el HB de la bomba: 

70 =

8

∆ HB = 30 -

 /8

+ [ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491  2 = A

[1]

Para el cálculo del factor de fricción f, se requiere determinar el número de Reynolds Re, y la rugosidad relativa . Re

D

D

V



D

4

Re π

90

4

V

0,205 0,0113 10 4



5 496 496393 393 

[2]


= 0,000223 f

i)

0, 5

[3]

2 log

2,51

[4]

3,71

Re f

Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen – Poiseuille : f = 64 / 5 496 393 4 

V

π



En [ 1 ] :

70 =

D

2

f = 64 / Re

 = 0,000011644 /  4 

[5]

30,297 

2 π 0,205

+ [ 1024,39 0,000011644 /  + 2,8 ] 46,78491  2

8 

70 =

+ [ 0,011928 /  + 2,8 ] 46,78491  2 = A

8

V (m3 /s)= A=

En [ 2 ] :

0,7 64,58

0,73 70,22

0,72 68,31

0,729 70,02

Re = 5 496 393 0,729 = 4 006 871 > 2000

¡el flujo es turbulento! ii)

Régimen turbulento :

- Se asume un valor de  : 0,71 m3 / s - Se determinan: De [ 2 ] : Re = 3 902 439 De [ 3 ] : = = 0,000223 En [ 4 ] : la ecuación de Colebrook : 0,5 calculado

f

f asumido = f calculado =

2,51

2 log 3 902 439

0,000223

f asumido

3,71

0.017 0.01426175 0.01428229 0.01428212 0.014261746 0.01428229 0.01428212 0.01428212

se determina el factor de fricción f = 0,01428 - Se reemplaza este valor de f = 0,01428 en la ecuación [ 1 ] : 70 =

0,71

2

+ [ 1024,39 (0,01428 ) + 2,8 ] 46,78491 (0,71) = A

8

Se obtiene el valor de A = 411, diferente de 70. Se asume otro valor para el flujo volumétrico y se repite el procedimiento hasta que el valor de A sea igual a 70.

91


P4: En el ejemplo anterior, ¿Cuál es el máximo flujo volumétrico que se descarga sin el uso de la bomba?. 1

A

100 m

30 m

C

= 0,8

E =0,2

30 m

2 = 1,0

= 0,8

80 m

20 m D

B

Solucion Para el sistema, la altura de la bomba está dado por:

2 HB = - 40 + [ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491  Al no haber bomba, el valor de HB es cero, con lo cual: 40 =

[ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491  2 = A

[1]

Para el cálculo del factor de fricción f, se requiere determinar el número de Reynolds Re, y la rugosidad relativa . Re

V

D

π

0,205 0,0113 10 4

= 0,000223

4

V

4

Re

92

D



D



5 496393 

[2] [3]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE f

i)

0, 5

2 log

2,51

[4]

3,71

Re f

Asumiendo el caso de régimen laminar : f = 64 / Re f = 64 / 5 496 393

V

4  π

En [ 1 ] :

D

2

4  2 π 0,205

 = 0,000011644 / 

40 = [ 1024,39 0,000011644 /  + 2,8 ] 46,78491  2 40 = [ 0,011928 /  + 2,8 ] 46,78491  2

En [ 2 ] :

= A

Re = 5 496 393 0,5505 = 3 025 544 > 2000

Como Re > 2000 iii)

[5]

30,297 



¡el flujo es turbulento!

Régimen turbulento :

- Se asume un valor de  : 0,5505 m3 / s - Se determinan: De [ 2 ] : Re = 3 025 764 De [ 3 ] : = = 0,000223 En [ 4 ] : la ecuación de Colebrook : 0,5 calculado

f

f asumido = f calculado =

2,51

2 log 3 025 764

0,000223 3,71

f asumido

0.01 0.01443197 0.01436736 0.01436808 0.014431973 0.01436736 0.01436808 0.01436808

se determina el factor de fricción f = 0,014368 - Se reemplaza este valor de f = 0,014368 en la ecuación [ 1 ] : 40 =

2

[ 1024,39 (0,014368) + 2,8 ] 46,78491 (0,5505) = A

Se obtiene el valor de A = 248, diferente de 40.

Se asume otro valor para el flujo volumétrico y se repite el procedimiento hasta que el valor de A sea igual a 40.

93


El flujo volumétrico que descarga la bomba es de 0,290083 m3 / s; y el flujo volumétrico que se descarga por gravedad es de 0,218258 m3 / s. Esto sugiere que podría arreglarse para utilizar la descarga por gravedad, y la diferencia de 0,290083 - 0,218258 = 0,071825 m3 / s descargarlo mediante una bomba, de menor tamaño que la que se utiliza, según el problema. 8.6.2.3 CASO 3 :

CÁLCULO DEL DIÁMETRO DE TUBERÍA

a. Datos :

- Caída total de presión o presión en dos secciones de la tubería. - Geometría de las tuberías : Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e. - Flujo másico transportado o flujo volumétrico. b. Incógnita : Diámetro. c. Solución : 

i)

Aplicando las ecuaciones :  Ecuación de energía.  Ecuación de continuidad.  Ecuación de Darcy – Weisbach.  Ecuación de Colebrook.

Ecuaciones (

).

se obtiene una ecuación en función del diámetro y el factor de fricción f : F ( D, f ) = 0 [1] Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen - Poiseuille - Se determina el número de Reynolds: V V 4 1 [2] Re D D D

y debe verificarse Re < 2000 Se puede usar también el siguiente procedimiento: - Factor de fricción f = 64 / Re - De la ecuación [ 1 ], se obtiene el diámetro D. - Se evalúa el número de Reynolds en la ecuación [ 2 ], y se debe verificar : Re < 2000. Si no es así, el flujo es turbulento.

94

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE ii)

Régimen turbulento : - Se asume un valor de f : - De la ecuación: F ( D, f ) = 0 se obtiene el diámetro D.

f = f asumido =

[ 0,010 - 0,20 ] [1]

- Se determinan el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa V

Re

D

V

4

D



:

1 D

= e/D - De la ecuación de Colebrook : 0,5

f calculado

2 log

2,51 Re f asumido

3,71

se determina el factor de fricción f calculado - Si f calculado es diferente del f asumido, se repite el procedimiento, iniciándolo con el valor de f calculado; hasta conseguir la aproximación deseada. - La aproximación a que se hace alusión, bastará con obtener tres cifras significativas iguales. Luego se calcula el caudal  V A . P5: Un sistema de tuberías, con la geometría de la línea central que se muestra en la 3 figura, debe transportar un flujo volumétrico de por lo menos 0,290083 m / s de agua desde el tanque A hasta el tanque B. ¿Cuál será el diámetro mínimo de la tubería para descargar el flujo volumétrico indicado?. 1

A

100 m

30 m

C

= 0,8

E =0,2

30 m

2 = 1,0

= 0,8

80 m

20 m D

B

Solucion

Aplicando la ecuación de energía entre los niveles de las superficies libres líquidas de los tanques A y B : z

40 m =+ [ f

h

210 D

SISTEMA

= hf + ∑ hs

+ 0,2 + 2 0,8 + 1,0 ]

=

[f

L D

+

i]

V

2

2g

V 2

2g

95

MECÁNICA DE FLUIDOS Con V

2

2 2 ( 4  / D )

2g

2 8 

2g

40 = [ f

g

210

8

(0,290 083)

2 D 4

g

2

0,006 952 897

2 D 4

D

+ 2,8 ] 0,006 952 897 4 D

D

4

[1]

Para el cálculo del factor de fricción f, se requiere determinar el número de Reynolds Re, y la rugosidad relativa . D

Re 4

Re π

=e/D = f

i)

0, 5

D

D

V

4

V

0,290 083



D 326 854

0,0113 10 4

[2]

D

0,000045720 / D

[3]

2,51

2 log

Re f

[4]

3,71

Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen – Poiseuille: f = 64 / 326 854 / D = 0,000 195 806 D

En [ 1 ] :

40 = [ 0,000 195 806 D

210 D

f = 64 / Re

+ 2,8 ] 0,006 952 897 D 4

40 = [ 0,041 119 260 + 2,8 ] 0,006 952 897 4 D 40 = [ 2,841 119 260 ] 0,006 952 897 Re

En [ 2 ] :

D 4 326 854 0,149 073

D = 0,149073 m



2 192 577

> 2000

¡el flujo es turbulento! iv) Régimen turbulento : - Se asume un valor de D = 0,205 - Se determinan: De [ 2 ] : Re = 1 594 410 De [ 3 ] : = = 0,000223 En [ 4 ] : la ecuación de Colebrook : 0,5 calculado

f

2,51

2 log 3 902 439

f asumido

0,000223 3,71

f asumido = 0.01 0.01472776 0.0146129 0.01461503 f calculado = 0.01472776 0.0146129 0.01461503 0.01461499

96

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE - Se reemplaza este valor de f = 0,0146 40 = [ 0,0146

en la ecuación [ 1 ] :

210 + 2,8 ] 0,205

0,006 952 897

= A

0,205 4

[1]

Se obtiene el valor de A = 69,9 diferente de 40. Se asume otro valor para el diámetro y se repite el procedimiento hasta que el valor de A sea igual a 40. 40 = [ f

0,006 952 897

210

+ 2,8 ]

4

Re π

= A

D 4

D 0,290 083

326 854

0,0113 10 4

D

[1] [2]

D

= e / D = 0,000 04572 / D 0, 5

f

[3]

2,51

2 log

[4]

3,71

Re f

En la tabla de tubería de acero soldado se ubica este valor de Di = 0,22958 m = 9,03858 pulgadas y corresponde a: DN = 10 pulgadas

NR40

Di = 10.020 pulgadas. = 0,2545 m

Se ha de utilizar una válvula para regular el flujo volumétrico. El flujo volumétrico que la tubería descarga es de 0,37525 m3 / s . 40 m = [f

210

+ 0,2 + 2 0,8 + 1,0 ]

0,2545

Con

( 4  / D 2 ) 2

2g

2g

8 2

π

D ν

π

0,2545

= e / D = 0,000180

0,0113

g

2 0.25454

 2= A

4



8 2

2 D 4

g

40 = [825,1473 f + 2,8 ] 19,69564 4

2

2g

V 2

Re

V

10 4



2 19,69564 

[1] [2]

4 427 350 

[3]

97


f

Ecuación De ( 2 ) De ( 3 ) De ( 4 ) En ( 1 )

: : : :

0, 5

2 log



asumido Re =

f

A =



=

2,51 Re f

1 0,2900 1283932 0,000180 0,014255 24,1212

[4]

3,71

2 0,4000 1770940 0,000180 0,014049 45,3545

3 0,3758 1663798 0,000180 0,014085 40,1151

4 0,37524 1661319 0,000180 0,014086 39,9976

5 0,37525 1661363 0,000180 0,014086 39,9997

0,37525 m 3 / s

1

f f

asumido calculado

0,1 0,0137629 0,0142681 0,0142546 0,0137629 0,0142681 0,0142546 0,0142549

2

f f

asumido calculado

0,010 0,0141535 0,0140467 0,0140489 0,0141535 0,0140467 0,0140489 0,0140488

3

f f

asumido calculado

0,01 0,0141959 0,0140824 0,0140848 0,0141959 0,0140824 0,0140848 0,0140847

4

f f

asumido calculado

0,01 0,0141969 0,0140832 0,0140857 0,0141969 0,0140832 0,0140857 0,0140856

5

f f

asumido calculado

0,01 0,0141969 0,0140832 0,0140856 0,0141969 0,0140832 0,0140856 0,0140856

P6: Determine el diámetro requerido de una tubería de acero soldado sin costura cédula 40 para descargar por lo menos 630 GPM de agua ( T = 18ºC ) del tanque A hacia el tanque B.. La línea contiene 76,2 m de tubería recta, tres válvulas de globo totalmente abiertas y seis codos estándar de 90º. Todas las conexiones son con brida. [ pulgadas ] A

1 45,72 m

B

2

Agua 18ºC

98

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.6.3

TUBERIAS EN PARALELO

Son aquéllas distribuidas en forma tal que todos los tramos están sometidos a la misma diferencia de presiones, pero conducen diferentes caudales.

L1, L2, L3 Son longitudes equivalentes. Características del sistema:

hp A

B

hp1







1

2

hp 2



3

hp3

hp A-B 

= constante n



i

i 1

Es evidente que se requiere que en el nudo B, todos los ramales deben de llegar con la misma presión, para que el sistema funcione. La figura anterior bien seria el modelo de un sistema de agua de enfriamiento de tres equipos (ejem. Grupos electrógenos). Después de refrigerar a cada uno de los equipos, el agua caliente se impulsa hacia una torre de enfriamiento, luego, una bomba lleva el agua enfriada al sistema en paralelo.

[Escribir texto]

Página 99

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.6.3.1 CASO 4:

DISTRIBUCIÓN DE FLUJOS

a. Datos:

- Condiciones del flujo aguas arriba nodo A. - Geometría de las tuberías : Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e. - Flujo másico transportado o flujo volumétrico. b. Incógnita: Presión en el nodo B o caída de presión. c. Solución: 

-

Asumir

-

Determinar el correspondiente hp1. En el ramal 2 con hp2 = hp1 se determina

-

1 por el ramal 1.

2 .

En el ramal 3 con hp3 = hp1 se determina 3 . Los flujos volumétricos reales se obtienen proporcionalmente los flujos volumétricos primas :



 

1

2

3



1

 

1

1

 1  2



 3

 2 



 3 



2

2

repartiendo

 3



-

3

- Comprobar los valores obtenidos de



i , calculando.

hp1 , hp2 y hp3 . Se debe de verificar:

hp1 = hp2 = hp3 .

- Suele fijarse un porcentaje de error aceptable:

% Error

hp máximo

hp min

100 2% hp min - Si no se verifica el porcentaje de error 2 %, volver a iniciar el proceso  , hasta que se verifique que el error sea partiendo de:  1 1 2 %. Luego los valores del flujo en cada ramal son los valores reales últimos calculados.

100

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P7:

3

A través de las tres líneas paralelas de la figura fluyen 0,10 m / s de agua 20°C. Determine el caudal volumétrico en cada línea y la caída de presión pA- B. Todas las tuberías son de plástico liso con un diámetro interno de 3,0 cm. La tubería está en un plano horizontal y D1= D2 = D3 = 3 cm. Solución Datos: Agua:



L1 = 260 m

1

D = 3 cm. T = 20°C



= 1000 Kg / m = 10

–6



L2 = 200 m



2

3 A

B

2

m /s



L3 = 300 m

3

e = 0,000 005 Se tiene:





 1

h A

1

h1

B

 2

h2

3

h3

RAMAL 1:



 asumido

0,005 3

3 L

h

f

p 1

0,0016 m 3 / s 2

V 2g

EQUIV

D

4 x 0,0016 m 3 / s

4 

V

D

2

2

0,03 m 2,263 x 0,03

V D V

Re

e D

(1)

0 D

67 906

6

10

2,263 m / s

2

0

La ecuación de Colebrook : f cal01,5

2 log

as

=

67 906

f asumido

0,0212

0

0,0133

0,01956 0,0195

calc =

En ( 1 ) :

0,010

2,51

h p1

0212

0,0193 260 0,0195 0,03

0,01956 2,263 2g

0,019529 2

44,112 m

101


RAMAL 2: L

h ' p 2 44,112 m

f

D 1

0,129821616 = f V

2

2

[2]

V 0,030

Re

0 D

e D

[3]

30 000 V

6

10

h' p 1

V 2g

200 0,030

f

2

V 2g

EQUIV

[4]

0

La ecuación de Colebrook : 0,5

2,51

2 log

f cal1

Re

De [ 3] :

f asumido

=

as

Re =

De [ 5 ] :

calc =

[5]

0

0,0195

0,0189

De [ 2 ] : V =

2,5802 m / s 2,6228

77 407

78 626

0,0189

0,0189

El flujo volumétrico :

 '2 3

2,6208 m s

4

(0,030)

2

m2

0,001 852 5 m 3 / s

RAMAL 3: L

h' p 3

f

44,112 m

f

D

300 0,030

V 2 2g

0,086 547 744 = f V 10 6 e 0 D D

h' p 1

2

V 0,030

Re

2

V 2g

EQUIV

[2] [3]

30 000 V

[4]

0

La ecuación de Colebrook :

f

0,5

cal1

102

2 log

2,51 Re

f

asumido

0

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE [5] =

as

De [ 2 ] : 2,086 5

0,0189

V=

De [ 3] :

2,139 8 m / s

Re =

De [ 5 ] :

0,0198

calc =

0,019 88

2,090 7

64 198

62 722 62 595

0,0198

0,01988

0,019 88

El flujo volumétrico :

 '3 4.

4

(0,030)

2

m

2

0,001 474 8 m 3 / s

LOS FLUJOS VOLUMÉTRICOS REALES : 

   5.

m s

2,086 5

1

i



'1



'i



'2

 

'3

0,0016 0,001 852 5 0,001 474 8

0,001 6

0,005 m 3 / s

2

0,001 852 5 0,004 927 3

0,005 m3 / s

0,001 879 8 m3 / s

3

0,001 474 8 0,004 927 3

0,005 m3 / s

0,001 496 6 m3 / s

VERIFICACIÓN :

CÁLCULO DE LA PÉRDIDA EN CADA RAMAL L h

1

f

p

EQUIV

D

2

0,03 m V D V e D

[a]

= 0,001 624 m / s 4 x 0,001 624 m 3 / s

V

2

V 2g

3

RAMAL 1:

Re

0,001 624 m 3 / s

0 D

2

2,297 49 x 0,03 10

6

2,297 49 m / s

68 925

0

103

MECÁNICA DE FLUIDOS La ecuación de Colebrook : =

as

f

2 log

cal 1

0,0195

0,019 465

2,51 68 925

f

0 asumido

0,019 47 0,019 47

0,019 465

calc =

En [ a ] : 2

0,5

0,019 47

0,019 47 260 0,03

0,019 47

h p1

45,397 m

= 0,001 879 8 m / s 4 x 0,001 879 8 m 3 / s

2,659 37 m / s

2

0,03 m 2

2,659 37 x 0,03

V D V

Re

2

3

RAMAL 2:

V

2,297 5 2g

10

0 D

e D

79 781

6

0

La ecuación de Colebrook: f cal01,5

2,51

2 log

=

as

79 781

0,0189 0,018 86

En [ a ] : h p 2

0,018 87

0,018 867

2,659 37 2g

2

= 0,001 496 6 m / s 4 x 0,001 496 6 m 3 / s 2

0,03 m 2 V D V e D

0,018 867

3

RAMAL 3:

Re

200 0,03

0,018 867

V

104

0,018 86

0,018 867

calc =

3

f asumido

0

0 D

2,117 26 x 0,03 10 0

6

2,117 26 m / s

63 518

45,338 8 m

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE La ecuación de Colebrook : f cal01,5

2 log

as

=

0,019 88

0

f asumido

63 518

0,019 81

0,019 82 0,019 82

calc =

En [ a ] :

2,51

0,019 81

0,019 82

0,019 82

h p3

Resúmen :

% error

300 0,03

0,019 82 2,117 26 2g

hp1 = hp2 = hp3 =

45,39 45,285 45,285

100

2

45,284 86 m

45,397 m 45,339 m 45,285 m 0,248

o.k.

Luego, los caudales parciales son : 3 1 = 0,001 624 m / s.

1,624 litros / s

3 2 = 0,001 879 m / s.

1,879 litros / s

3 1 = 0,001 497 m / s.

1,497 litros / s

3

0,005 000 m / s

5,000 litros / s

P8: Las tuberías mostradas son de acero soldado sin costura. Determine el flujo en cada ramal.

105


1 FLUIDO Agua a 20 Densidad Viscosidad absoluta Viscosidad cinemática caudal 200 GPM 2 TUBERIA RAMAL

DN

ºC 1000 0,0013 0,0000013 0,012616

kg / m 3 Pa s m2/s m3/s

Acero soldado sin costura

NR

L m 260 200 300

1 1 1/2 40 2 2 1/2 40 3 2 40

DI m 0,040895 0,062712 0,052502

e mm 0,0850 0,0650 0,0457

Af m2 0,00131 0,00309 0,00216

Af/L 5,1E-06 1,5E-05 7,2E-06 2,8E-05

C. SOLUCIÓN Q m3/s 0,002010 0,006912 0,003695 0,012617

Ramal 1 2 3

% Error =

0,011%

DN [m] 1 1/2

NR

DN [m] 2 1/2

NR

DN [m] 2

NR

40

40

40

0,0051%

L Di Af m m m2 260 0,0408948 0,00131349

e mm 0,085

Q m3/s 0,00201

kg / m 3 1000

m Pa s 0,0013

V m/s 1,530276069

L m 200

Di Af m m2 0,062712 0,00308881

e mm 0,065

Q m3/s 0,00691

kg / m 3 1000

m Pa s 0,0013

V m/s 2,237755047

L Di Af m m m2 300 0,0525018 0,0021649

e mm 0,0457

Q m3/s 0,0037

kg / m 3 1000

m Pa s 0,0013

V m/s 1,706959381

Q inicio =

0,002300

Q tem =

0,002010

Hoja Excell

106

h m 20,909 20,910 20,909

Re 48138,73005

f 0,002078503

Re 107949,3034

f 0,001036484

Re 68937,26154

0,026768314

0,022133131 f

0,000870446

0,022654955

hf m 20,31265707

hs m 0,596774935

h1 m 20,90943201

hf m 18,01558147

hs m 2,894908726

h2 m 20,9104902

hf m 19,22461399

hs m 1,684442374

h3 m 20,90905637


P9. Una tubería de 150 mm de diámetro, se ramifica en una de 100 mm y otra de 50, como se muestra en la figura. Ambas tuberías son de cobre tipo K y tienen una longitud de 30 m. Determine ¿Cuál debería ser el coeficiente de resistencia de la válvula, con la finalidad de obtener flujos volumétricos iguales en cada ramal?.

=

P10: En el sistema de tubería ramificado que se muestra en la figura siguientre, se encuentran fluyendo 850 L /min de agua a 10ºC a través de una tubería Calibre 40 de 4 pulgadas en A. El flujo se divide en dos tuberías Calibre 40 de 2 pulg como se muestra y después se juntan en el punto B. Calcule (a) el flujo volumétrico en cada una de las ramas y (b) la diferencia de presión PA PB Incluya el efecto de las pérdidas menores en la rama inferior del sistema. La longitud total de tubería en la rama inferior es de 60 m. Los codos son estándar.

Q1 = Q2= P A-B =

107


8.6.3.2 CASO 5 : a. Datos:

CALCULO DEL FLUJO TOTAL - Condiciones del flujo aguas arriba ( nodo A ) y aguas abajo ( nodo B ), o ∆ p. - Geometría de las tuberías: Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e.

b. Incógnita: Flujo total. c. Solución: Igual que el caso 2 de las tuberías en serie. P11: La figura muestra un sistema con ramas en el cual la presión en A es de 700 kPa y la presión en B es de 550 kPa. Cada rama tiene una longitud de 60 m. Desprecie las pérdidas en las uniones pero tome en cuenta todos los codos. Si el sistema transporta aceite con un 3 peso específico de 8,80 kN / m , Calcule el flujo de volumen total de aceite. El aceite tiene una -6 2 viscosidad cinemática de 4,80 10 m / s

Q1 = Q2=

108

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE SEMINARIO Nº 1

Ing. Jorge Sifuentes Sancho P.S.1 : Se tiene que impulsar 40 litros de agua desalinizada desde un punto situado a 85 m.s.n.m. temperatura ambiente = 19 ºC, hacia otro punto situado a 2220 m.s.n.m. temperatura ambiente 10 ºC; utilizando tubería de acero soldado sin costura, NR 40. (ASTM A-106 Grado B). La trayectoria es de aproximadamente 5220 m y se estima los siguientes accesorios y válvulas: Longitudes equivalentes de accesorios y válvulas

ELEMENTO CEDAZO DE ASPIRACIÓN UNIONES SIMPLES CODO 45º ROSCADO CODO 90º ROSCADO VÁLVULA DE COMPUERTA VÁLVULA GLOBO VÁLVULA DE RETENCIÓN MEDIDOR DE FLUJO TOTAL

TUBERÍA DE ASPIRACIÓN CANTIDAD L/D TOTAL 1 2 1 2 1 1

75 10 16 30 13 145

75 20 16 60 13 145 0 0 329

TUBERÍA DE DESCARGA CANTIDAD L/D TOTAL 90 38 8 1 1 1 1

10 16 30 13 145 150

0 900 608 240 13 145 150 0 2056

La tuberías a instalar son nuevas (e = 0,0456 mm); para la succión DN = 6 pulgadas de diámetro nominal, NR 40 y L = 8 m; para la descarga DN = 5 pulgadas, NR 40, y longitud 48 km. a. b. c. d.

Determine la pérdida de energía producida en la tubería de succión. Determine la pérdida de energía en la tubería de descarga. Determine la pérdida de energía en el sistema. Determine la potencia de la bomba requerida para impulsar el caudal de 40 l/s.

P.S.2 : Con respecto al P.S.1 Indague el efecto de: a. La rugosidad de la tubería sobre la pérdida de energía en el sistema. b. La temperatura del fluido sobre la pérdida de energía en el sistema. c. En base al ítem (a) y (b), ¿Cuál es la situación más desfavorable para la impulsión del flujo de agua desalinizada? Rugosidad de la tubería

Tubería Nueva Medio uso Usada Muy usada

Rugosidad mm 0,0456 0,062 0,083 0,098

109

MECÁNICA DE FLUIDOS Temperatura del agua

Temperatura

Densidad Viscosidad 3 kg / m Pa . S

ºC 10 15 20

999,7 999,1 998,2

0,001308 0,00114 0,001005

P.S.3 : Con respecto al P.S.1: a. Determine el diámetro económico del sistema de bombeo. b. Verifique el espesor de la tubería. c. ¿Es necesario disponer dos o tres estaciones de bombeo? d. Estime el costo total del sistema de bombeo propuesto.

Z = 85 msnm Z = 640 msnm Z = 1520 msnm

E1 E2 E3

t:

PD

t

ASME B31.3:

85 700 1525

2 (S E

P Y )

Espesor de diseño para presión interna (pulgadas) Presión de diseño interna (psi) Diámetro exterior de la tubería ( pulgadas) Esfuerzo permisible del material. Anexo 5 20000 psi coeficiente. Anexo 7 Factor de calidad. Anexo 6

P: D: S: Y: E:

0,5

f calc

2 log

2,51 Re* f asum

3,71

f calculado = potencia((1/((-2)*log10(((2,51/($C$62*raiz(b67)))+($c$63/3,71)))));2) f

[ log (

0,25 5,74 Re

0, 9

3,7

) ]2

Esta ecuación produce valores para f que se encuentran entre 1,0% del valor de los correspondientes a la ecuación de Colebrook, dentro del intervalo de rugosidad relativa (D /e) comprendido entre 1000 y 1x10 6; y para números de Reynolds que van de 5 x10 3 hasta 1x 10 8 . Esta es virtualmente la zona de turbulencia completa del diagrama de Moody 27 de Agosto del 2011

110

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE SEMINARIO Nº 1

Ing. Jorge Sifuentes Sancho P.S.1: La figura muestra un arreglo horizontal de tuberías y accesorios a través del cual circula 18 l/s de aceite (DR = 0,83; = 1,23 x10 -3 Pa.s). a. Determine la caída de presión hp A-B (en Pa). b. Determine la caída de presión hp A-B, utilizando el concepto de longitud equivalente para los accesorios en cada tubería. c. Determine la caída de presión hp A-B, utilizando el concepto de longitud equivalente para accesorios y tuberías 1 y 3, en función de la tubería 2. d. Opine respecto a los ítems a,b y c. A

B

hp1

hs1

hp2

L1, d1, e1

hs2

hp3

hs3

L3, d3, e3

L2, d2, e2

Válvula Compuerta

Válvula Compuerta

7 LO NG IT U D I Á M ET R O U SG OS ID A DU N IO NES U N IO NE S V Á LV U LA U B ER Í A IN T ER N O SIM PLES N IV ER SA LES C O M PU ER T A m

m

mm

1

20

0,1

0,0456

2

2

30

0,15

0,082

2

3

40

0,2

0,113

4

V Á LV U LA G LO B O

C A M B IO D E Á R EA

1 2

1 1

Rptas: a. hp A-B = Pa b. hp A-B = Pa c. hp A-B = Pa d. para el caso en que el flujo es completamente turbulento, los coeficientes de fricción f1, f1 y f3 son constantes; por lo que la ecuación ( c ) resulta de mucha utilidad. De manera general, considerando la disponibilidad del uso de la PC, es recomendable elaborar una hoja de cálculo. P.S.2: C A UD A L

Q l/s

Con respecto al P.S.1 prepare una hoja de cálculo, para determinar la caída de presión para diferentes flujos volumétricos, y trace un gráfico de flujo volumétrico vs caída de presión. C A ID A DE PR ESIÓN

P Pa

10 15 18 20 25 30 35

111

MECÁNICA DE FLUIDOS P.S.3: Considerando el problema 1, con el adicional de que el punto B se encuentra 23 m sobre el nivel del punto A, seleccione una bomba y un motor adecuados para impulsar 10 l/s, 18 l/s y 25 l/s. FLUJO

BOMBA

VOLUMÉTRICO

HB

PB

l/s

m

Kw

MOTOR costo

PM

S/.

Kw

%

costo %

S/.

10 18 25

P.S.4: Como parte de un informe que se presentará a la gerencia de Proyectos, se le encarga, para un flujo volumétrico de 10 l/s, 18 l/s y 25 l/s, determinar: 1. el costo del equipo de bombeo (Bomba y motor).CB + CM. 2. el costo de energía anual que demandará hacer funcionar el arreglo de tuberías del problema 1. CE Considere un funcionamiento de 10 horas por día, durante los 365 días del año. Costo de energía 0,45 $ / Kw-h. El horizonte del proyecto es de 10 años, el interés es de 14 % anual. 3. el costo total. CT = CB + CM + CE FLUJO

COSTO DE

COSTO DE

COSTO

VOLUMÉTRICO

BOMBA

MOTOR

Q

CB

CM

CBM = CB+CM

l/s

S/.

S/.

S/.

COSTO

COSTO DE

COSTO

ENERGÍA

TOTAL

CBM = CB+CM

CE

CT

S/./AÑO

S/./AÑO

s/. AÑO

EQUIPO BOMBEO EQUIPO BOMBEO

10 18 25

29 de Agosto del 2011

112

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE BIBLIOGRAFIA

113


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema: Aire f asumido

[ log (

114

0,25 5,74 Re

0,9

3, 7

)]

2


115

MECÁNICA DE FLUIDOS P 8.6 Un flujo volumétrico de 0,003 m 3 /s de agua ( T = 20 ºC), se transporta a través de una tubería horizontal de hierro forjado de diámetro interior 4 cm y longitud de 500 m. a. Determine la pérdida de energía debido a la fricción, sin considerar las pérdidas secundarias. b. Determine caída de presión en dicho tramo. c. Calcule la potencia de la bomba necesaria para impulsar dicho caudal. 1

L

2 D

Solución a. La ecuación de Darcy-Weisbach:

h f

f

L

V 2

D

2g

La longitud de la tubería L = 500 m, el diámetro interior D = 0,040 m, la velocidad se evalúa con V = 4 / D 2. Luego hay que calcular bel número de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento, y aplicar la ecuación de Hagen Poiseuille o la ecuación de Colebrook para obtener el coeficiente . La ecuación de energía da:

116


117


[Escribir texto]

Página 118


[Escribir texto]

Página 119


Problema: Aire f asumido

[ log (

120

0,25 5,74 Re

0,9

3, 7

)]

2

Flujo Interno Incompresible: A Través De Tuberí As

Recommend Documents