Flujo Viscoso en Conductos

FLUJO VISCOSO EN CONDUCTOS

Área de Mecánica de Fluidos

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Técnica Indu strial 2º Curso Esp. M ecánica

IN GENI GE NI E RÍ A FLUIDOMECÁNICA FLUIDOMECÁNICA FLUJO VISCOSO EN CONDUCTOS 1. INTRODUCCIÓN 2. PÉRDIDAS LINEALES 3. PÉRDIDAS SINGULARES 4. COMBINACIÓN DE TUBERÍAS 5. BIBLIOGRAFÍA 6. ANEXOS 7. PROBLEMAS RESUELTOS

1


2

1. INTRODUCCIÓN El flujo de un fluido en un conducto viene acompañado de una pérdida de energía, que suele expresarse en términos de energía por unidad de peso de fluido circulante, que se denomina pérdida de carga y que tiene dimensiones de longitud. Desarrollando la ecuación de energía en régimen estacionario entre dos secciones de una tubería (Primer Principio de Termodinámica: Q – W = ΔE), se tiene: • • • ⎞ • ⎛ v 2 ⎞ • ⎛ v12 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ Q− ⎜ WS + WV + WP ⎟ = m ⎜ + g z 2 + u 2 ⎟ − m ⎜ + g z1 + u1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ •

•

•

Considerando proceso adiabático ( Q = 0 ), sin trabajo realizado o extraído entre las dos secciones ( WS suponiendo flujo incompresible (ρ = cte.) y sin variación de energía interna (u1 = u2), se tiene: • • • ⎡ v 22 − v12 ⎤ ⎛ ⎞ − ⎜ WV + WP ⎟ = m ⎢g (z 2 − z1 ) + 2 ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎣

(1)

= 0 ),

(2)

El trabajo realizado por la presión viene determinado por:

p − p WP = p 2 Q 2 − p1 Q1 = m 2 1 ρ •

•

(3) •

El trabajo consumido por los esfuerzos viscosos da lugar a una disminución de la energía ( WV = E P ). A la energía pérdida por unidad de peso se le denomina pérdida de carga hp, que con las consideraciones anteriores tiene la expresión:

E p

p1 − p 2 v12 − v 22 h p = • = (z1 − z 2 ) + + g 2g ρ mg

(4)

p se le denomina cota piezométrica. Por tanto, en una tubería de sección ρg transversal constante, las pérdidas de carga dan lugar a una disminución de la cota piezométrica. Si, además, la tubería es horizontal, la pérdida de carga se manifiesta como una disminución de presión en el sentido del flujo. La línea piezométrica se obtiene uniendo los valores de la cota piezométrica sobre un circuito. A la suma de los términos z +

La pérdida de carga está relacionada con otras variables fluidodinámicas según el tipo de flujo, laminar o turbulento. Además de las pérdidas de carga lineales (a lo largo de tramos rectos de conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en otros elementos de la instalación como codos, ramificaciones, válvulas, etc.


3

2. PÉRDIDAS LINEALES Las pérdidas lineales son las producidas por las tensiones viscosas originadas por la interacción entre el fluido y las paredes de una tubería o un conducto. En un tramo de tubería de sección constante, la pérdida de carga se puede obtener mediante un balance de fuerzas en la dirección del flujo: fuerzas de presión + fuerzas de gravedad + fuerzas viscosas= 0

π D2 π D2 π D 2 z1 − z 2 p1 − p 2 −ρ g L − τw π D L = 0 4 4 4 L ⎡ p1 − p 2 ⎤ 4 L τw z z h ( ) − + = = ⎢ 1 2 ⎥ pl ρ g D g ρ ⎣ ⎦

ρ g (π D2L/4) (z2-z1)/L

p1 (π D2/4)

(5)

p2 (π D2/4)

v

τw

Las características de los esfuerzos cortantes son muy distintas según el flujo sea laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar , las diferentes capas del fluido fl uido discurren ordenadamente, siempre en dirección paralela al eje de la tubería y sin mezclarse, siendo la viscosidad el factor dominante en el intercambio de cantidad de movimiento (esfuerzos cortantes). En flujo turbulento, en cambio, existe una continua fluctuación tridimensional en la velocidad de las partículas (también en otras magnitudes intensivas, como la presión o la temperatura), que se superpone a las componentes de la velocidad. Este es el fenómeno de la turbulencia, que origina un fuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido, lo que da unas características especiales a este tipo de flujo.

Diferentes comportamientos del flujo: (a) laminar, (b) de transición y (c) turbulento.


4

Distribución de (a) tensión cortante y (b) velocidad en un flujo turbulento cerca de un contorno sólido.

Perfiles de velocidad en un conducto de sección circular en (a) régimen laminar y (b) régimen turbulento. El caudal es el mismo.

Chorro laminar (arriba) y chorro turbulento (abajo).

El tipo de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas, es decir del número de Reynolds :

ρ v D v D (4 Q / π D 2 ) D 4 Q = = Re = = μ μ/ρ ν πDν

(6)

siendo ρ la densidad del fluido, v la velocidad media, D el diámetro de la tubería, μ la viscosidad dinámica o absoluta del fluido, ν la viscosidad cinemática del fluido y Q el caudal circulante por la tubería. Para una tubería, cuando Re<2000 el flujo es laminar; si Re>4000 el flujo se considera turbulento, entre 2000 < Re < 4000 existe una zona de transición. En régimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma analítica en función de la distribución de velocidad en cada sección (que se puede obtener a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes), y las pérdidas de carga lineales hpl se pueden obtener con la llamada ecuación de Hagen-Poiseuille (realizaron ensayos sobre flujo laminar hacía 1840), que muestra una dependencia lineal entre la pérdida de carga y el caudal:

h pl =

32 μ L v 128 μ L Q = 2 4 ρg D ρgπD

(7)

En régimen turbulento, no es posible resolver analíticamente las ecuaciones de Navier-Stokes. Tal y como se justificó al principio de este apartado, las pérdidas de carga dependen de la tensión cortante en la pared. Se pueden relacionar las variables implicadas mediante la relación siguiente:


5

τ w = F( v, D, ε, μ, ρ)

(8)

y a partir de la aplicación del teorema Pi de Buckingham se puede transformar en:

8 τw = f (Re, ε / D) ρv 2

(9)

Teniendo en cuenta la relación entre la tensión cortante en la pared y las pérdidas de carga (5):

8 ρ g D h pl D h pl 8 τw f (R ( R e , / D) D ) = ε = 2 = 2 v v2 ρ ρv 8L L 2 2g Despejando las pérdidas de carga, se obtiene la ecuación de Darcy-Weisbach :

L v2 8 f L = 2 5 Q2 h pl = f D 2g g π D siendo f un parámetro adimensional, denominado factor de fricción o factor número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubería: f = f(Re, r).

(10) de Darcy que,

en general, es función del

En régimen laminar también es valida la ecuación de Darcy-Weisbach, en cuyo caso el factor de fricción depende exclusivamente del número de Reynolds, y vale:

f laminar =

64 Re

(11)

En régimen turbulento el factor de fricción depende, además de Re, de la rugosidad relativa: r= /D, donde es la rugosidad de la tubería, que representa las alturas promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Según pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esa dependencia está determinada por la relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar , que es la zona de la capa límite turbulenta, directamente en contacto con la superficie interior de la tubería; en esta subcapa las fuerzas viscosas son tan grandes frente a las de inercia (debido al alto gradiente de velocidad) que el flujo en ella es localmente laminar. Cuando el espesor de la subcapa límite laminar es grande respecto a la rugosidad, la tubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds, según la expresión empírica (Prandtl, 1935):

1 2.51 ⎞ = −2 log⎛ ⎜ ⎟ f Re f ⎝ ⎠

(12)

Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de fricción fr icción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa (von Karman, 1938):

1 ε ⎞ = −2 log⎛ ⎜ r ⎟ f ⎝ 3.7 ⎠

(13)

Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una única expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo el régimen turbulento:

1 ε 2.51 ⎞ = −2 log⎛ ⎜ r + ⎟ 3 . 7 f Re f ⎠ ⎝

(14)

Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción no aparece en forma explicita, y debe recurrirse al calculo numérico (o a un procedimiento iterativo) para su resolución. A partir de ella, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, en el que se muestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se


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determina el factor de fricción a partir de la intersección de la vertical del número de Reynolds, con la isocurva correspondiente. Dicho diagrama se muestra en el Anexo I. Posteriormente otros autores ajustaron los datos experimentales y expresaron el factor de fricción en función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa con una fórmula explícita: Barr:

1 ε r 5.1286 ⎞ = −2 log⎛ ⎜ + 0.89 ⎟ f ⎝ 3.7 Re ⎠

(15a)

Haaland:

1.11 ⎛ ⎛ ε 1 6.9 ⎞⎟ ε ⎛ ⎞ r ⎜ = −1.8 log ⎜ ⎟ + ⎜ Re ⎠⎟ f ⎝ ⎝ 3,7 ⎠

(15b)

Moody:

1/ 3 ⎡ ⎛ 106 ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ f = 0.001375⎢1 + ⎜⎜ 200 ε r + Re ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

(15c)

Para conductos no circulares, es posible utilizar las expresiones deducidas para conductos circulares sustituyendo el diámetro D por el denominado diámetro hidráulico, Dh, que se define de la siguiente manera:

Dh =

Sección transversal Perímetro mojado

3. PÉRDIDAS SINGULARES Las pérdidas singulares son las producidas por cualquier obstáculo colocado en la tubería y que suponga una mayor o menor obstrucción al paso del flujo: fl ujo: entradas y salidas de las tuberías, codos, válvulas, cambios de sección, etc. Para su estimación se puede emplear la siguiente expresión:

v2 8ξ h ps = ξ = 2 4 Q 2 2g g π D

(16)

donde hps es la pérdida de carga en la singularidad, que se supone proporcional a la energía cinética promedio del flujo; la constante de proporcionalidad, , es el denominado coeficiente de pérdidas singulares. Otra posibilidad consiste en considerar el efecto de las pérdidas singulares como una longitud adicional de la tubería. Por comparación de las ecuaciones (10) y (16), la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de pérdida singulares mediante:

Le = ξ

D f

(17)

Existen nomogramas, como el mostrado en el Anexo II, que permiten estimar las longitudes equivalentes para los casos de elementos singulares más comunes, en función del diámetro de la tubería. En realidad, además del diámetro, la longitud equivalente depende del coeficiente de fricción, pero éste no se suele contemplar en esos nomogramas, por lo que el cálculo es sólo aproximado.


7

4. COMBINACIÓN DE TUBERÍAS En una instalación de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberías acopladas en serie, en paralelo o como una combinación de ambas. En las tuberías en serie, el caudal que circula por ellas es el mismo, y la pérdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puede considerar como una única tubería cuyo término resistente es la suma de los términos individuales. Se define resistencia de una tubería al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal proporciona la pérdida de carga:

k =

8 f L g π2 D5

2 h p total = ∑ h p i = ⎛ ⎜ ∑ k i ⎞⎟ Q ⎝ i ⎠ i

(18)

(19)

En las tuberías en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudales individuales, pero la pérdida de carga entre los extremos es la l a misma para todas las tuberías. Las ecuaciones que rigen las tuberías en paralelo son:

Q total = ∑ Q i

(20)

h p = k 1Q12 = k 2 Q 22 = ... = k i Q i2

(21)

i

5. BIBLIOGRAFÍA Blanco Marigorta, E.; Velarde Suárez, S; Fernández Francos, J. “Sistemas de bombeo”, Universidad de Oviedo, Delegación de Alumnos de la ETSII de Gijón 1994. Fox, R.W.; R.W.; McDonald, A.T. A.T. “Introducción a la Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, 1995. Shames, I.H. “La Mecánica de los Fluidos”, McGraw-Hill, 1995. Streeter, Streeter, E.B.; Wylie, E.B. “Mecánica de los fluidos”, McGraw-Hill, 1998. White, F.M. F.M. “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, 2003.


6. ANEXOS ANEXO I. Diagrama de Moody

8


ANEXO II. Nomograma de estimación de la longitud equivalente de elementos singulares

9


10

ANEXO III. Normativa sobre tuberías TUBERÍA DE ACERO, ACERO, sin soldadura. Normas:

DIN 2440/61, AFNOR 29025/59, B.S. 1387/57- Medium, ISO / R-65- Medium Paso nominal

[Pulgadas] 1/8

[mm] 6

Diámetro exterior [mm] 10.2

Espesor

Peso

[mm] 2

[kg/m] 0.407

1/4

8

13.5

2.35

0.650

3/8

10

17.2

2.35

0.852

1/2

15

21.3

2.65

1.22

3/4

20

26.9

2.65

1.58

1

25

33.7

3.25

2.44

1-1/4

32

42.4

3.25

3.14

1-1/2

40

48.3

3.25

3.61

2

50

60.3

3.65

5.10

2-1/2

65

76.1

3.65

6.51

3

80

88.9

4.05

8.47

3-1/2

90

101.6

4.05

9.72

4

100

114.3

4.50

12.1

5

125

139.7

4.85

16.2

6

150

165.1

4.85

19.2


11

7. PROBLEMAS RESUELTOS 1) Aplicación de la ecuación de Hagen-Poiseuille: Viscosímetro capilar. En flujo laminar en conductos de sección transversal circular, las ecuaciones de Navier-Stokes pueden ser resueltas, y la pérdida de carga viene determinada por 128 μ L la ecuación de Hagen-Poiseuille: h p = Q . Una aplicación característica de este resultado es la determinación ρ g π D4 de la viscosidad cinemática de un fluido, por la medida de la pérdida de carga en su flujo por un conducto capilar. Para los datos suministrados, DETERMINE: 1. Viscosidad absoluta del fluido en centiPoises. 2. Potencia disipada por rozamiento viscoso v iscoso en el capilar. 3. Caudal máximo en l/min que puede circular por el conducto, para asegurar que el flujo es laminar (Flujo laminar: Re<2300). DATOS: DATOS:

Viscosímetro: Viscosímetro: horizontal; longitud: L= 2400 mm, diámetro: D = 10 mm Fluido: caudal = 6 l/min; pérdida de presión: Δ p = 16 kPa; densidad: ρ = 830 kg/m3

Δ p

RESOLUCIÓN: Q

Q

L

g h p π D 4 1. Viscosidad absoluta: Se obtiene despejándola de la Ec. de Hagen-Poiseuille: μ = . La pérdida de carga 128 L Q ρ

⎛ Δ p ⎞ viene determinada por : h p = ⎜⎜ Δz + ⎟⎟ , en donde Δz es la variación de cota y Δ p la pérdida de presión. Si la tubería ρg ⎠ ⎝ es horizontal (Δz = 0), la pérdida de presión es: Δ p = ρ g h p , con lo que la viscosidad es: μ

=

Δ p π D 4 = 16.36 10 −3 Pa s = 16.36 cP 128 L Q

Se comprueba que el número de Reynolds es menor de 2300 para asegurar que el flujo en el capilar es laminar: Re =

4 ρQ = 645.9 πDμ

Es laminar

2. Potencia disipada: Pμ = Q Δ p = 1.6 W 3. Caudal máximo para asegurar flujo laminar: la condición es: Re<2300, con lo que se tiene: Re =

4 ρQ 2300 π D μ < 2300 ⇒ Q < = 3.56 10 − 4 m 3 / s = 21.36 l / min 4ρ πDμ


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2) Aplicación de la ecuación de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte. En la zona de corte de las máquinas herramienta se debe aportar un aceite. El dispositivo más sencillo consiste en un depósito superior, del que por gravedad el aceite se lleva mediante un conducto a la zona de corte; el sistema se completa con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depósito superior. Para los datos suministrados, DETERMINE el diámetro que tiene que tener el conducto. DATOS: DATOS:

Conducto: vertical; longitud: L = 350 mm Aceite: caudal = 100 cm3/minuto Viscosidad: μ = 1.9 10-3 Pa s; densidad: ρ = 950 kg/m3

RESOLUCIÓN: Se supone inicialmente que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicar la Ec. de Hagen-Poiseuille: h p =

128 ν L Q g π D4

El flujo se establece exclusivamente por gravedad, por lo que la pérdida de carga viene determinada por la disminución de cota desde la sección inicial a la final. En este caso, al ser el conducto recto y totalmente vertical, la disminución de cota coincide con la propia longitud del conducto, con lo que la pérdida de carga coincide con la longitud del conducto:

⎫ ⎛ Δ p ⎞ h p = ⎜⎜ Δz + ⎟⎟ ⎪ ρg ⎠ ⎪ ⎝ Δz = L ⇒ h p = L⎪⎪ 1/ 4 ⎛ 128 ν Q ⎞ ⎪ Δ p = 0 ⎟⎟ = 1.93 mm ⎬ ⇒ D = ⎜⎜ π g ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ 128 ν L h p = Q ⎪ ⎪⎭ g π D4 Se comprueba que el flujo es laminar: Re =

4 ρQ = 549.8 < 2300 πDμ

Es laminar

3) Aplicación de la ecuación de Darcy-Weisbach Darcy-Weisbach para determinar el valor de las pérdidas de carga. DATOS: DATOS: INCÓGNITA:

L, D, Q (o v), ε, ν h pl

RESOLUCIÓN: Se calcula el valor del número de Reynolds y el valor del coeficiente de fricción: h pl =

8 f L g π2 D5

Ejemplo: DATOS: L = 100 m, D = 0.25 m, Q = 0.1 m 3s, ε = 0.25 mm, ν = 1.1 10-6 m2/s 4Q = 4.63 10 5 , rugosidad relativa: ε/D = 0.001 πDν ⎛ ⎞ ⎜ 0.001 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + Coeficiente de fricción (Ec de Barr) ⎟; f = 0.0204 0 . 89 3 . 7 f 5 ⎜ ⎟ 4.63 10 ⎝ ⎠ 8 0.204 100 2 0.1 = 1.73 m Pérdidas de carga: h pl = g π 2 0.25 5

Número de Reynolds: Re =

(

)

Q2


13

Darcy-Weisbach para determinar el caudal que circula por una tubería. 4) Aplicación de la ecuación d e Darcy-Weisbach

DATOS: INCÓGNITA:

h pl, L, D, ε, ν Q

Una aplicación de esta situación es el cálculo del caudal que circularía entre dos depósitos abiertos a la atmósfera situados a diferente cota, unidos por un tramo recto de tubería. En este caso, la pérdida de carga (despreciando posibles pérdidas singulares) es igual a la diferencia de cotas entre las superficies libres de ambos depósitos. RESOLUCIÓN: En este caso no se puede despejar el caudal de la ecuación de Darcy-Weisbach Darcy-Weisbach porque el caudal también influye inf luye a través del coeficiente de fricción. Pero sí que se sabe en qué curva de rugosidad relativa se va a estar. Hay varias posibilidades: i) Suponer régimen turbulento completamente desarrollado, obteniendo una primera estimación de f; a continuación, de la ecuación de Darcy-Weisbach se despeja el caudal: g π 2 D 5 h pl Q= 8 f L A continuación se calcula el número de Reynolds y se comprueba si la hipótesis de régimen turbulento completamente desarrollado era correcta; para ello se recalcula el coeficiente de fricción (ahora con la ecuación completa) y se compara con el valor supuesto. Si no coinciden se recalcula el caudal y se repite el proceso hasta obtener la convergencia adecuada. ii) En vez de suponer régimen turbulento completamente desarrollado, se supone directamente un caudal y se procede como en el segundo párrafo del método anterior. Esta posibilidad plantea la incertidumbre del valor inicial del caudal.

Ejemplo: DATOS: h pl = 2 m, L = 100 m, D = 0.25 m, ε = 0.25 mm, ν = 1.1 10-6 m2/s Se considera régimen turbulento completamente desarrollado, y se calcula el coeficiente de fricción a partir de la 1 0.001 ⎞ = −2 log ⎛ rugosidad relativa: ε/D = 0.001: ⎜ ⎟; f = 0.0196 . Ahora se obtiene el caudal: ⎝ 3.7 ⎠ f g π 2 0.255 2 = 0.1097 m 3 / s 8 0.0196 100

Q= Número de Reynolds: Re =

4Q = 5.08 105 ; a continuación se calcula el coeficiente de fricción con la ecuación πDν

⎛ ⎞ ⎜ 0.001 1 5.1286 ⎟ completa (Ec de Barr) = −2 log ⎜ + ⎟; f = 0.0203 0 . 89 3 . 7 f 5 ⎜ ⎟ 5.08 10 ⎝ ⎠ Ahora se obtiene el caudal: g π2 0.255 2 = 0.1078 m3 / s Q= 8 0.02 0.0203100 03100 4Q = 4.99 10 5 ; a continuación se calcula el coeficiente de fricción con la ecuación Número de Reynolds: Re = πDν ⎛ ⎞ ⎜ 0.001 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + completa (Ec de Barr) ; f = 0.0203 . Se obtiene el mismo valor que en la 0.89 ⎟⎟ f 5 ⎜ 3.7 4.99 10 ⎝ ⎠ iteración anterior, por lo que el caudal circulante es Q = 0.1078 m 3 / ss..

)

(

(

)


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Darcy-Weisbach para determinar el diámetro de una tubería. 5) Aplicación de la ecuación d e Darcy-Weisbach

DATOS: INCÓGNITA:

h pl, Q, L, ε, ν D

Una posible aplicación de esta situación es la determinación del diámetro de una tubería que debe conectar dos depósitos abiertos a la atmósfera situados a diferente cota, entre los que se desee que circule por gravedad un caudal determinado. También en este caso la pérdida de carga (despreciando posibles pérdidas singulares) es igual a la diferencia de cotas entre las superficies libres de ambos depósitos. RESOLUCIÓN: En este caso no se puede despejar el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach porque el diámetro también influye a través del coeficiente de fricción. Y tampoco se sabe en qué curva de rugosidad relativa se va a estar. También hay varias posibilidades: i) Introducir la expresión del coeficiente de fricción en la ecuación de Darcy-Weisbach, obteniendo una ecuación en la que la única incógnita es el diámetro.

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎢ ε/D 5.1286 ⎟⎟⎥ + f = ⎢− 2 log⎜ ⎥ ⎜ 3.7 ⎛ 4 Q ⎞ 0.89 ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎜ π ν D ⎝ ⎠ ⎠⎟⎦⎥ ⎝ ⎣⎢ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ε/D ⎢ 5.1286 ⎟⎟⎥ + h pl = ⎢− 2 log⎜ ⎥ ⎜ 3.7 ⎛ 4 Q ⎞ 0.89 ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎜ π ν D ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎠⎟⎥⎦ ⎝ Ecuación que puede ser resuelta analíticamente o por iteración.

−2

−2

8 L Q2 g π 2 D5

ii) Otra posibilidad es partir de una hipótesis inicial del diámetro. A continuación se calculan el número de Reynolds y la rugosidad relativa; con estos valores se obtiene el coeficiente de fricción y de la ecuación de DarcyWeisbach se despeja el diámetro: 1/ 5

⎛ 8 f L Q 2 ⎞ ⎟ D = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎜ ⎝ g π h pl ⎠ Y se vuelve a repetir el proceso hasta obtener la convergencia adecuada. Ejemplo: h pl = 2 m, Q = 0.15 m 3/s, L = 100 m, ε = 0.25 mm, ν = 1.1 10-6 m2/s i) Se sustituyen los valores de las variables en la ecuación deducida anteriormente:

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ 0 . 00025 / D 5 . 1286 + 2 = ⎢⎢− 2 log⎜ 0.89 ⎟⎥ 3.7 ⎜ ⎛ ⎞ ⎟⎥ ⎢ 4 0.15 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎥ ⎢ −6 ⎟ ⎜ ⎜ π D 1 . 1 10 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎠⎟⎥⎦ ⎝ Ecuación de la que se obtiene: D = 0.283 m.

−2

8 100 0.15 2 g π2 D5


15

ii) En este caso se tiene la incertidumbre respecto al valor con el que se comienza el proceso iterativo. Se va a resolver en dos casos “extremos”, para comprobar que no son necesarias demasiadas iteraciones: a) Se parte de un diámetro “muy grande”, D = 10 m: 4Q Número de Reynolds: Re = = 1.74 104 ; rugosidad relativa: : ε/D = 0.000025 πDν ⎛ ⎞ ⎜ 0.000025 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + Coeficiente de fricción (Ec de Barr) ⎟; f = 0.0267 0 . 89 3 . 7 f 4 ⎜ ⎟ 1.74 10 ⎝ ⎠ Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach: Darcy-Weisbach:

)

(

1/ 5

⎛ 8 0.0267 100 0.15 2 ⎞ ⎟ D=⎜ 2 ⎜ ⎟ gπ 2 ⎝ ⎠ Número de Reynolds: Re =

= 0.301 m

4Q = 5.77 10 5 ; rugosidad relativa: : ε/D = 0.00083 πDν

⎛ ⎞ ⎜ 0.00083 1 5.1286 ⎟ Coeficiente de fricción (Ec de Barr) = −2 log ⎜ + ; f = 0.0195 0.89 ⎟⎟ f 5 ⎜ 3.7 5.77 10 ⎝ ⎠ Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach: Darcy-Weisbach:

(

)

1/ 5

⎛ 8 0.0195 100 0.15 2 ⎞ ⎟ D=⎜ 2 ⎜ ⎟ gπ 2 ⎝ ⎠

= 0.282 m

4Q = 6.16 10 5 ; rugosidad relativa: : ε/D = 0.00089 πDν ⎛ ⎞ ⎜ 0.00089 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + Coeficiente de fricción (Ec de Barr) ; f = 0.0197 0.89 ⎟⎟ f 5 ⎜ 3.7 6.16 10 ⎝ ⎠ Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach: Darcy-Weisbach:


)

(

1/ 5

⎛ 8 0.0197 100 0.15 2 ⎞ ⎟ = 0.283 m D=⎜ 2 ⎜ ⎟ gπ 2 ⎝ ⎠ Se obtiene prácticamente el mismo valor que en la iteración anterior, por lo que el diámetro es D = 0.283 m. b) Se parte de un diámetro “muy pequeño”, D = 1 mm: 4Q = 1.74 108 ; rugosidad relativa: : ε/D = 0.25 Número de Reynolds: Re = πDν ⎛ ⎞ ⎜ 0.25 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + Coeficiente de fricción (Ec de Barr) ⎟; f = 0.182 0 . 89 3 . 7 f ⎜ ⎟ 1.74 108 ⎝ ⎠ Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach: Darcy-Weisbach:

)

(

1/ 5

⎛ 8 0.182 100 0.15 2 ⎞ ⎟ D=⎜ 2 ⎜ ⎟ gπ 2 ⎝ ⎠

= 0.442 m

4Q = 3.93 10 5 ; rugosidad relativa: : ε/D = 0.00056 πDν ⎛ ⎞ ⎜ 0.00056 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + Coeficiente de fricción (Ec de Barr) ; f = 0.0184 0.89 ⎟⎟ f 5 ⎜ 3.7 3.93 10 ⎝ ⎠ Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach: Darcy-Weisbach:


)

(

1/ 5

⎛ 8 0.0184 100 0.15 2 ⎞ ⎟ D=⎜ 2 ⎜ ⎟ gπ 2 ⎝ ⎠

= 0.280 m

FLUJO VISCOSO EN CONDUCTOS Número de Reynolds: Re =

16

4Q = 6.20 10 5 ; rugosidad relativa: : ε/D = 0.00089 πDν

⎛ ⎞ ⎜ 0.00089 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + Coeficiente de fricción (Ec de Barr) ; f = 0.0197 0.89 ⎟⎟ f 5 ⎜ 3.7 6.16 10 ⎝ ⎠ Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy-Weisbach: Darcy-Weisbach:

)

(

1/ 5

⎛ 8 0.0197 100 0.15 2 ⎞ ⎟ = 0.283 m D=⎜ 2 ⎜ ⎟ π g 2 ⎝ ⎠ Obteniéndose el mismo valor que partiendo de un diámetro inicial muy grande: D = 0.283 m.


6)

17

Cierto caudal de agua circula por tres tuberías en serie, cuyas características se indican a continuación. Entre los puntos A y B existe una diferencia de cotas de z A – z B = 5 metros y una diferencia de presión total pTA – pTB = 150 kPa. Tuberías en serie.

DETERMINE el caudal circulante. Agua: ρ = 1000 kg/m3; ν = 10-6 m2/s

DATOS: Tubería 1 2 3

Longitud (m) 100 150 80

Diámetro (m) 0.08 0.06 0.04

Tubería 1

Rugosidad (mm) 0.24 0.12 0.20

Tubería 2

Tubería 3

Q B A RESOLUCIÓN: Se plantea la ecuación de la energía entre A y B: 2 2 p A v A p B v B + +z = + +z +h ρ g 2 g A ρ g 2 g B pAB

Se reordena de la siguiente manera: 2 p A v A ⎛ p + − ⎜⎜ B + h pAB = ρ g 2g ⎜ρ g ⎝

2 ⎞ vB ⎟ + z − z = p TA − p TB + z − z = 150000 + 5 = 20.3 m A B ρg 2 g ⎟⎟ A B 1000 9.8 ⎠

Por otro lado, la pérdida de carga total es la suma de las pérdidas de carga en cada tubería: h pAB = h p1 + h p 2 + h p3 =

8 f 1 L1

g π 2 D15

Q2 +

f L ⎞ 8 Q 2 8 f 2 L 2 2 8 f 3 L 3 2 ⎛ f L f L Q + Q = ⎜⎜ 1 1 + 2 2 + 3 3 ⎟⎟ ⎜ 5 g π 2 D 52 g π 2 D 53 D 52 D 53 ⎠⎟ g π 2 ⎝ D1

Se desconoce el valor de los coeficientes de fricción, que dependen del caudal (que es la variable buscada). Se procede mediante un proceso iterativo empezando con el valor del coeficiente de fricción correspondiente a régimen turbulento ε / D ⎞ 1 = −2 log ⎛ completamente desarrollado ⎜ ⎟: ⎝ 3.7 ⎠ f ε/D Tubería f 1 0.003 0.0262 2 0.002 0.0234 3 0.005 0.0303 Llevando estos valores a la expresión anterior y despejando el caudal, se obtiene Q = 0.00287 m 3/s. Ahora se recalculan los coeficientes de fricción utilizando la ecuación de Barr (completa): Tubería 1 2 3

ε/D 0.003 0.002 0.005

Re 45677 60903 91354

f 0.0291 0.0263 0.0317


18

Llevando de nuevo estos valores a la expresión anterior y despejando el caudal, se obtiene Q = 0.00283 m 3/s. Se recalculan los coeficientes de fricción utilizando la ecuación de Barr (completa):

ε/D 0.003 0.002 0.005

Tubería 1 2 3

Re 45040 60054 90081

f 0.0292 0.0263 0.0317

Se aprecia que los cambios producidos en esta iteración son muy pequeños. Llevando los valores de los coeficientes de fricción a la expresión anterior y despejando el caudal, se obtiene de nuevo Q = 0.00283 m3/s.

7) Tuberías en paralelo. Las tres tuberías del problema anterior se conectan en paralelo. Entre los puntos A y B existe una diferencia de cotas de zA – zB = 5 metros y una diferencia de presión total pTA – pTB = 150 kPa. DETERMINE el caudal circulante. Agua: ρ = 1000 kg/m3; ν = 10-6 m2/s

DATOS:

Tubería 1 B

A Tubería 2 Q Tubería 3 RESOLUCIÓN: Se plantea la ecuación de la energía entre A y B yendo por cada una de las tuberías: 2 2 p A v A p B v B + +z = + +z +h ; i = 1, 2, 3 ρ g 2 g A ρ g 2 g B pABi 2 p A v A + h pABi = ρg 2g

2 ⎞ ⎛ p vB ⎜ ⎟ + z − z = p TA − p TB + z − z = 150000 + 5 = 20.3 m; i = 1, 2, 3 B −⎜ + A B A B ρg 1000 9.8 ⎜ ρ g 2 g ⎟⎟ ⎝ ⎠

Es decir, se tienen las tres ecuaciones siguientes: 20.3 =

8 f 3 L 3 2 8 f 1 L1 2 8 f 2 L 2 2 = = Q ; 20 . 3 Q ; 20 . 3 Q3 1 2 g π 2 D15 g π 2 D 52 g π 2 D53

Se desconoce el valor de los coeficientes de fricción, que dependen del caudal (que es la variable buscada). Se procede mediante un proceso iterativo empezando con el valor del coeficiente de fricción correspondiente a régimen turbulento ε / D ⎞ 1 = −2 log ⎛ completamente desarrollado ⎜ ⎟: ⎝ 3.7 ⎠ f ε/D Tubería f 1 0.003 0.0262 2 0.002 0.0234 3 0.005 0.0303


19

Llevando estos valores a las expresiones anteriores y despejando el caudal, se obtiene Q 1 = 0.0175 m3/s, Q2 = 0.0074 m3/s, Q3 = 0.0032 m3/s. Ahora se recalculan los coeficientes de fricción utilizando ut ilizando la ecuación de Barr (completa): Tubería 1 2 3

ε/D 0.003 0.002 0.005

Re 278521 157032 101859

f 0.0268 0.0247 0.0315

Llevando estos valores a las expresiones anteriores y despejando el caudal, se obtiene Q 1 = 0.0173 m3/s, Q2 = 0.0072 m3/s, Q3 = 0.0032 m3/s. Una nueva iteración no altera apenas los resultados, por lo que el caudal total circulante es: QT = Q1 + Q2 + Q3 = 0.0173 + 0.0072 + 0.0032 = 0.277 m3/s = 27.7 litros/s


20

8) Una tubería de 800 m de longitud y 0.6 m de diámetro conecta dos depósitos tal como se3 muestra en la figura (a). El caudal que circula, causado por la diferencia de niveles entre los dos depósitos es de 0.5 m /s. El coeficiente de fricción (supuesto constante) de la tubería es 0.04. 1) DETERMINE el caudal que circularía entre los dos depósitos si se conecta, en paralelo, otra tubería de 0.5 m de diámetro, desde el depósito elevado hasta un punto situado a 550 m del mismo (ver figura (b)). El coeficiente de fricción (supuesto constante) de esta tubería es 0.02. 2) Se pretende sustituir el conjunto de tuberías del circuito del apartado anterior por una única tubería de diámetro constante y coeficiente de fricción 0.04, de forma que el caudal circulante sea el mismo (ver figura (c)). CALCULE el diámetro de dicha tubería. DATOS: DATOS:

Despréciense las posibles pérdidas singulares.

H

L2, D2, f 2

QT

QT1 L1, D1, f 1

L1, D3, f 3

QT1

(a)

(b)

(c)

RESOLUCIÓN: Se desconoce el desnivel H existente entre las superficies libres de los depósitos. Para obtenerlo, se utilizan los datos suministrados para el caso (a). Se plantea la ecuación de la energía entre dos puntos A y B que están sobre la superficie libre de los depósitos superior e inferior, respectivamente: z A = z B + hp AB ⇒ H = hp AB =

8 f 1 L1

g π 2 D15

Q T2 =

8 0.04 800 g π 2 0.6 5

0.5 2 = 8.5 m

1) Ahora se desconoce el valor de los caudales que circulan por cada tubería. Se plantea la ecuación de la energía entre los puntos A y B a lo largo de una línea de corriente que pasa por la tubería de diámetro D1: z A = z B + hp L 2 , D1 + hp L 1 − L 2 , D1 ⇒ H =

8 f 1 L 2

g π 2 D15

Q12 +

8 f 1 (L1 − L 2 ) 2 Q T1 g π 2 D15

(1)

Ahora se plantea la ecuación de la energía entre los puntos A y B a lo largo de una línea de corriente que pasa por la tubería de diámetro D2: z A = z B + hp L 2 , D 2 + hp L1 − L 2 , D1 ⇒ H =

8 f 1 L 2

8 f L Restando ambas expresiones: Q12 = 2 2 Q 22 g π 2 D15 g π 2 D 52 Por otro lado:

Q T1 = Q1 + Q 2

8 f 2 L 2 2 8 f 1 ( L1 − L 2 ) 2 Q2 + Q T1 2 5 2 5 g π D2 g π D1

⇒ Q2 =

f 1 D 52

f 2 D15

Q1 = 0.896 Q1

(2)

(3)

(4)

Entre (3) y (4) se obtiene: Q T1 = 1.896 Q1 . Llevando esta expresión a (1) se obtiene una expresión en la que la única incógnita es Q1:

FLUJO VISCOSO EN CONDUCTOS 8.5 =

21

8 0.04 550 2 8 0.04 250 Q1 + 3.59 Q12 = 42.49 Q12 ⇒ Q1 = 0.372 m 3 / s 2 5 2 5 g π 0.6 g π 0.6 Q T1 = 1.896 Q1 = 0.705 m 3 / s

2) Ahora se quiere colocar una única tubería por la que circule un caudal Q T1 = 0.705 m 3 / s . Se vuelve a plantear la ecuación de la energía entre los puntos A y B, obteniendo: z A = z B + hp AB ⇒ H = hp AB =

8 f 3 L1

g π 2 D 53

Q T21 =

8 0.04 800

0.705 2 = 8.5 m ⇒ D 3 = 0.69 m g π 2 D 53


22

9) Pérdidas lineales: La pérdida de carga, h pl, en una tubería de sección constante determina la disminución de cota

piezométrica que experimenta el flujo; h pl, siempre es positiva, y por ello la cota piezométrica siempre disminuye. Si la tubería es ascendente, es decir la cota va aumentando, siempre hay disminución de presión estática en la dirección de la corriente; en cambio, si la tubería es descendente, es decir la cota va disminuyendo, la presión estática puede aumentar o disminuir en la dirección de la corriente. En este último caso, se puede determinar la disminución que debe experimentar la cota (es decir, el ángulo de inclinación de una tubería recta) de tal forma que la presión estática se mantenga constante. Con los datos suministrados, DETERMINE: 1. Pérdida de carga carga y potencia disipada disipada en el tramo de tubería. 2. Potencia pérdida por efectos viscosos en el tramo de tubería. 3. Ángulo de inclinación de la tubería (supuesta recta) para que la presión sea constante. DATOS: DATOS:

Tubería: Flujo: Fluido:

L = 12 m; D = 200 mm; ε = 0.2 mm Q = 160 litros/s ν = 10-6 m2/s

RESOLUCIÓN: 1. PÉRDIDA DE CARGA: El factor de fricción depende del número de Reynolds: Re =

4Q 4 0.160 = = 1.019 10 6 6 − π D ν π 0.200 10

⇒

FLUJO TURBULENTO

Al ser el flujo turbulento, el factor de fricción depende también de la rugosidad relativa, y se puede obtener mediante una ecuación (se utilizará la de Barr) o mediante el diagrama de Moody: Moody Re = 1.019 10 6 ⎛ ε / D 5.1286 ⎞ ⇒ 1 ε 0.2 ⎜ ⎟ = − + Barr : 2 log ε r = = = 0.001 0 . 89 ⎜ ⎟ f D 200 ⎝ 3.7 Re ⎠

f = f (Re, ε r ) =

h p =

8 f L g π 2 D5

⇒

f = 0.02

Q 2 = 1.588 m

2. POTENCIA DISIPADA POR EFECTOS VISCOSOS: La pérdida de carga es la energía disipada por unidad de peso: h p =

Pμ ; con lo que la potencia disipada es: Pμ = ρ g Q h p = 1000 9.8 0.160 1.588 = 2490 W ρQg

3. INCLINACIÓN PARA QUE LA PRESIÓN SEA CONSTANTE:

Δ p ρg Para que la presión sea constante, la pérdida de carga deber ser igual a la disminución de cota: h p = Δz. Si la tubería es recta, la relación entre la disminución de cota y la longitud, viene determinada por: h p = Δz +

z1-z2

L

z1 - z2 = L senα

α

Con lo que el ángulo de inclinación, para que Δ p = 0; es:

α = arcsen

h p 1.588 = arcsen = 7.6º L 12


23

10) Pérdidas singulares. En el circuito de la figura, cuando la válvula se encuentra completamente abierta (ξ = 0) se establece por gravedad un caudal Q entre el depósito superior y el inferior. 1) DETERMINE el coeficiente de pérdidas singulares de la válvula si se desea que el caudal circulante sea Q/2. Supóngase que el coeficiente de fricción es constante e igual a 0.022. 2) DETERMINE el coeficiente de pérdidas singulares de la válvula si se desea que el caudal circulante sea Q/2. Supóngase ahora que el coeficiente de fricción no es constante y que la rugosidad absoluta de la tubería es ε = 0.1 mm. DATOS: DATOS:

Características de la tubería: D = 0.5 m, L = 100 m Desnivel entre los depósitos: H = 10 m Agua: ρ = 1000 kg/m3; ν = 10-6 m2/s

H

L, D

ξ RESOLUCIÓN: 1) Se va a determinar en primer lugar el valor del caudal Q. Para ello se aplica la ecuación de la energía entre dos puntos A y B que están sobre la superficie libre de los depósitos superior e inferior, respectivamente: z A = z B + hp lAB ⇒ H = hp lAB =

8 f L g π 2 D5

Q2 =

8 0.022 100 2 Q = 10 m ⇒ Q = 1.31 m 3 / s g π 2 0.55

Por tanto se desea que entre ambos depósitos circule un caudal Q / 2 = 0.655 m 3 / s. Se vuelve a aplicar la ecuación de la energía entre los puntos A y B pero teniendo en cuenta la presencia de la válvula: z A = z B + hp lAB + hp sV ⇒ H = hp lAB + hpsV =

8 f L Q 2 8 ξ Q2 + = 10 2 5 2 4 4 4 gπ D gπ D

8 0.022 100 1.312 8ξ 1.312 + = 10 ⇒ ξ = 13.2 g π 2 0.55 4 g π 2 0.5 4 4 2) Se va a determinar en primer lugar el valor del caudal Q. Para ello se aplica la ecuación de la energía entre dos puntos A y B que están sobre la superficie libre de los depósitos superior e inferior, respectivamente: z A = z B + hp lAB ⇒ H = hp lAB =

8 f L g π 2 D5

Q2 =

8 f 100 g π 2 0.55

Q 2 = 10 m ⇒ Q =

g π 2 0.55 10 8 f 100

No se puede obtener el caudal pues depende del coeficiente de fricción (que depende del caudal). Se va a utilizar un procedimiento iterativo. Se considera régimen turbulento completamente desarrollado, y se calcula el coeficiente de 1 ⎛ 0.0002 ⎞ fricción a partir de la rugosidad relativa: ε/D = 10-4/0.5 = 0.0002: = −2 log ⎜ ⎟; f = 0.0137 . Ahora se ⎝ 3.7 ⎠ f obtiene el caudal: g π 2 0.55 10 = 1.66 m 3 / s Q= 8 0.0137 100

FLUJO VISCOSO EN CONDUCTOS Número de Reynolds: Re =

24

4Q = 4.23 10 6 ; a continuación se calcula el coeficiente de fricción con la ecuación πDν

⎛ ⎞ ⎜ 0.0002 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + completa (Ec de Barr) ; f = 0.0140 0.89 ⎟⎟ f 6 ⎜ 3.7 4.23 10 ⎝ ⎠ Ahora se obtiene el caudal:

(

g π 2 0.55 10 = 1.64 m 3 / s 8 0.0140 100

Q= Número de Reynolds: Re =

)

4Q = 4.18 10 6 ; a continuación se calcula el coeficiente de fricción con la ecuación πDν

⎛ ⎞ ⎜ 0.0002 1 5.1286 ⎟ = −2 log ⎜ + completa (Ec de Barr) ; f = 0.0141 0.89 ⎟⎟ f 6 ⎜ 3.7 4.18 10 ⎝ ⎠ Ahora se obtiene el caudal:

(

)

g π 2 0.55 10 = 1.64 m 3 / s Q= 8 0.0141 100 Por lo que el caudal que circula con la válvula abierta es Q = 1.64 m 3 / s . Por tanto se desea que entre ambos depósitos circule un caudal Q / 2 = 0.82 m 3 / s. Se vuelve a aplicar la ecuación de la energía entre los puntos A y B pero teniendo en cuenta la presencia de la válvula: z A = z B + hp lAB + hp sV ⇒ H = hp lAB + hpsV =

8 f L Q 2 8 ξ Q2 + = 10 2 5 2 4 4 4 gπ D gπ D

Es preciso calcular el coeficiente de fricción de la tubería: Número de Reynolds: Re =

4 Q/2 = 2.09 10 6 ; a πDν

⎛ ⎞ ⎜ 0.0002 1 5.1286 ⎟ continuación se utiliza la ecuación de Barr: = −2 log ⎜ + ⇒ f = 0.0143 0.89 ⎟⎟ f 6 ⎜ 3.7 2.09 10 ⎝ ⎠

(

)

8 0.0143 100 1.64 2 8ξ 1.64 2 + = 10 ⇒ ξ = 8.38 2 5 2 4 4 4 g π 0.5 g π 0.5

Flujo Viscoso en Conductos

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