MECÁNICA DE FLUIDOS
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
A TRAVÉS DE TUBERÍAS
Jorge SIFUENTES SANCHO
2015 1
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA APUNTES DE DE CLASE DEL CURSO: CURSO: MECÁNICA DE DE FLUIDOS II DOCENTE: JORGE SIFUENTES SANCHO FECHA: MAYO DEL 2015 FECHA: MAYO DEL 2011 © Editorial COSAN, 2015 Calle Linares 213, Urb La Capilla, La Molina Lima, Perú. Teléfono: 941-308-848 Correo.
[email protected] [email protected]
PARA USO INTERNO
DISTRIBUCIÓN GRATUITA
2
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE CONTENIDO Página 8.1 Régimen de flujo en una tubería cilíndrica
5
8.1.1 Régimen laminar 8.1.2 Régimen turbulento
5 6
8.2
Pérdidas de energía en una tubería
10
8.2.1 Pérdida de presión 8.2.2 Factor de corrección de energía cinética
11 12
8.3 Pérdida primaria en tuberías
8.4
8.5
17
8.3.1 Régimen Laminar. Hagen-Poiseuille Hagen-Poiseui lle 8.3.2 Régimen turbulento 8.3.2.1 La ecuación de Darcy-Weisbach Darcy-Weisbach 8.3.2.2 El Diagrama de Moody 8.3.2.3 Caso de tubos lisos 8.3.2.4 Caso de tubos rugosos 8.3.2.5 Tubería comercial. Colebrook Colebrook 8.3.3 Flujo en secciones no circulares
17 20 20 21 26 27 37 37
Pérdidas secundarias
44
8.4.1 Expresiones analíticas 8.4.2 Coeficientes experimentales experimentales lambda 8.4.3 El concepto de longitud equivalente
44 50 57
Curva característica de pérdidas
78
8.5.1 Régimen laminar 8.5.2 Régimen turbulento
8.6
Circuito de Tuberías 8.6.1 Tuberías equivalentes 8.6.2 Tuberías en serie - Caso1: Presión a la salida de una tubería - Caso 2: Caudal o flujo volumétrico a ser transmitido - Cálculo de diámetro de tubería 8.6.3 Tuberías en paralelo - Caso 4: Distribución Distribuc ión de flujos - Caso 5: Cálculo del flujo total 8.6.4 Sistema de reservorios y nudos - Caso 6: Cálculo de caudales - Caso 7: Existencia de bombas 8.6.5 Red de tuberías - Método de cálculo - Método Hardy - Cross
83 83 84 89 94 99 100 108
3
MECÁNICA DE FLUIDOS Página
8.7
Tubería comercial. Envejecimiento de la tubería
8.8
Cálculo del Diámetro Económico de Tubería
8.9
Diseño de Sistema de bombeo
8.10
Dimensionamiento de sistemas de ductos 8.10.1 8.10.2
8.11
Método de Equifricción Método de Reganancia Reganancia Estática
Selección y aplicación de bombas
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS APÉNDICE
4
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
DINÁMICA DEL FLUJO INCOMPRESIBLE FLUJO INTERNO Una clasificación general del flujo es separarlo en flujo externo y flujo interno. Los flujos externos se presentan alrededor de objetos sólidos y los internos dentro de objetos tales como tubos, conductos y canales. Las ecuaciones diferenciales que describen estos flujos son esencialmente las mismas, sin embargo, las condiciones límites son diferentes y por lo tanto los flujos resultantes son completamente diferentes. Se define como flujo interno aquél flujo que se realiza en el interior de un conducto que se encuentra completamente lleno por el fluido –flujo con cargase analiza principalmente el caso de tuberías (conducen líquidos o gases a presión y tienen paredes relativamente gruesas) y de ductos ( gases a baja presión, paredes relativamente delgadas). El propósito principal de este capítulo es mostrar los resultados experimentales que se necesitan para calcular la disipación de la energía en las líneas de tuberías y ductos. Se confina la atención a los fluidos homogéneos de viscosidad y densidad constantes. El caso de tubos o conductos no completamente llenos del fluido en estudio (ejemplo: drenajes, alcantarillas) se consideran como canales abiertos y no se tratarán ahora.
8.1
REGIMEN DEL FLUJO EN UN TUBO CILÍNDRICO
8.1.1 RÉGIMEN LAMINAR La figura muestra el desarrollo de la capa límite en el interior de un tubo de radio R. En el borde de entrada su espesor es cero, y luego va creciendo como un anillo circular, hasta que en abscisa X = X T , ( X T ) = R y el perfil de velocidades queda totalmente formado; la zona anterior al punto T viene a ser una zona de régimen de transición. El espesor de la capa límite dentro del ducto se puede estimar como:
( x) 4,92 x / Re x
[8.01]
por lo que X T se obtiene de la condición ( X T ) = R: X = X T, = 0,010204 ReD
[8.02]
siendo ReD = V D / ; D = 2 R y V es la velocidad promedio (caudal entre el área de paso del flujo). Hay que notar que Re D es una constante, mientras que Rex es una variable local.
5
MECÁNICA DE FLUIDOS
T
Regimen ransitorio
2R
(x)
x
XT
Figura 8.01. Régimen laminar
8.1.2 RÉGIMEN TURBULENTO En el caso de que la capa límite alcance el régimen turbulento antes de que el perfil de velocidades quede totalmente formado, éste último alcanzaría una forma más llena y no la distribución del caso laminar, que se puede demostrar que es parabólico. Flujo desarrollado V
T
X
T
a. Laminar
V
I
T
I XI
XT
b. Turbulento Figura 8.02. Flujo desarrollado
6
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En el caso de que la capa límite alcance el régimen turbulento antes de que el perfil de velocidades quede totalmente formado, éste último alcanzaría una forma más llena y no la distribución laminar que se puede demostrar que es parabólica. La coordenada XI que corresponde al inicio de la capa límite turbulenta, se da por la condición: 0,80 x 10 5 < Re XI < 1,20 x 10
6
[8.03]
de donde se deduce que: 0,80 x 10 5 < Re D (XI / D) < 1,20 x 10 6
[8.04]
Tomando el caso límite XI = XT, combinando las ecuaciones [8.04] y [8.02], se obtiene: 0,80 x 10 5 < 0,01 Re2 D De donde: 2 800 < Re D < 11 000
< 1,20 x 10
6
[8.05]
Esta ecuación se interpreta de la forma siguiente: - Para ReD < 2800; Xi > XT, y el régimen se mantiene laminar. - Para Re D > 11 000; XI < XT, y el régimen de flujo en la tubería es turbulento. - Para 2800 < ReD < 11000, puede darse cualquiera de los casos anteriores. El flujo será un régimen de transición. Tomando el valor límite de Re = 2800 para régimen laminar, de la ecuación [8.02] se tiene: XT = 0,0103 (2800) D = 28,84 D la longitud de entrada, a Re crítico = 2800 es: XT = 29 D F.M. White da la correlación de: XT = 0,06 Re D . D régimen laminar XT = 4,4 Re D 1/6 D régimen turbulento
Re≤ 2300 laminar Re > 4000 turbulento
Considerando: i) ii)
[8.06] [8.07]
XT = 0,06 x 2300 x D = 138 D Re D XT
4000 18
10 4 20
10 5 30
[8.08] 10 6 44
10 7 65
10 8 95
7
MECÁNICA DE FLUIDOS La mayoría de las aplicaciones típicas con tubos tienen XT / D de 1000 o más, en cuyo caso los efectos de entrada son despreciables y se pueden llevar a cabo el análisis para flujos completamente desarrollados. Esto es posible para flujos laminares y turbulentos, incluyendo paredes rugosas y secciones transversales no circulares.
EJEMPLO 8.01. Un tubo de 26, 66 cm de diámetro interior y 20 m de longitud conduce 5,2 galones USA por minuto de agua a 20 ºC. a. Dé una breve explicación del tipo de flujo laminar o turbulento que se estaría produciendo en la tubería. b. Determinar a qué distancia de la entrada el flujo se encuentra completamente desarrollado. c. Si el caudal se incrementa a 20,8 galones USA por minuto, determinar a qué distancia de la entrada el flujo se encuentra completamente desarrollado SOLUCIÓN a)
Figura E 8.01 Considerando un tubo de sección transversal y rugosidad uniformes, y el flujo se ha “desarrollado totalmente”, esto es, si se está lo bastante lejos de la entrada al tubo para que las condiciones se hayan estabilizado: El flujo en dicho tubo puede ser bien ordenado y suave (laminar) o puede adquirir fluctuaciones caóticas del movimiento (turbulento) que se superponen al flujo medio. El carácter del flujo se determina por la rugosidad de las paredes, el fluido y las condiciones del flujo. Un parámetro para determinar si el flujo es laminar o turbulento es el número de Reynolds, definido como: V D 4 V D [8.09] Re
D
donde V es la velocidad media del flujo ( 4 / D 2 ), y son la densidad y viscosidad absoluta del fluido, respectivamente; y es la viscosidad cinemática y es el flujo volumétrico. En general, para tuberías de uso industrial: 2000 < 2300 < 4000 <
Re Re Re Re
< < <
2000 2300 4000
Régimen laminar Régimen crítico Régimen de transición Régimen Turbulento.
Esto es solo una referencial útil. En laboratorio, bajo condiciones especiales se ha observado que el flujo permanece laminar aún para Reynolds tan altos como 100 000.
8
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE b) Caudal igual a 5,2 GPM USA <> 5,2 x 6,03083 x 10 -5 = 0,000328031 m 3 /s. La velocidad media: V = / A V
4
V
D 2
4 x 0,000328031 m 3/ s
0,0266 2
0, 5903 m / s
agua a 20 ºC de tablas, Fluido: = 1000 kg / m 3
= 0,001 Pa.s = 1,0 x 10 – 6
m 2 /s. Q = 0,000328031 .
El número de Reynolds: Re
V D
V D
4
Re
D
0,5903 x 0,0266 1,0 x10
6
1571, 098
El flujo es turbulento y la longitud de entrada está dada por la ecuación:
XT = 4,4 Re D 1/6 D = 4, 4 x (1571,98) 1/6 = 0,399094 m Esta longitud corresponde a 0,399094 x 100 / 20 = 1,99547 % de la longitud del tubo, de manera que puede considerarse que el flujo se encuentra totalmente desarrollado. c) caudal igual 20,8 galones USA por minuto (0,00125441264 m 3 /s) V
4
V
D 2
4 x 0,00125441264 m 3 / s 0,0266 2
2,2567744 m / s
El número de Reynolds: Re
V D
V D
4 D
Re
2, 256774 x 0,0266 1,0 x10
6
60 030
El flujo es turbulento y la longitud de entrada está dada por la ecuación:
XT = 4,4 Re D 1/6 D régimen turbulento = 4, 4 x ( 60 030) 1/6 = 0,7323674553 m
[8.07]
Esta longitud corresponde a 0,7323674553 x 100 / 20 = 3,6618 % de la longitud del tubo, de manera que puede considerarse que el flujo se encuentra totalmente desarrollado.
9
MECÁNICA DE FLUIDOS 8.2
PÉRDIDA DE ENERGÍA EN UNA TUBERÍA
Para transportar un flujo másico de un fluido determinado, de un punto 1 hacia otro punto 2 requiere el uso de elementos primarios (tuberías); elementos secundarios (uniones, codos, te, , etc.); válvulas, elementos de medición y control, el uso de una bomba (o compresor) para impulsar di cho flujo volumétrico, y el motor.
̇ ̇
= ℎ
L2, D2
̇
L1, D1
̇ = ̇
PUMP
Figura 8.03 Considerando flujo permanente y uniforme, la ecuación de energía establece: h1 + ep 1 + ec 1 + ̇ / ̇ = h2 + ep 2 + ec 2 + ̇ / ̇
[8.10]
Siendo P la potencia mecánica (trabajo al eje). Suponiendo P = 0 y como h = u + p / y ̇ / ̇ = hq . p1
Z1
V12 2 g
p2
Z2
V22 2g
u2 u1 g
hq
donde el miembro de la izquierda es la energía total del fluido en la entrada y es igual a la energía del fluido en la salida más los términos de variación de energía interna y el flujo de calor. Estos dos últimos términos, representan la pérdida de “energía mecánica”, como consecuencia del transporte del flujo másico del punto 1 al punto 2. u:
-hq:
10
aumento de energía interna del fluido calor transferido desde el fluido, situado en el interior del volumen de control, hacia el medio ambiente.
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En situaciones reales en que se transporta un fluido, cualquier aumento en la energía interna es de poca aplicación, puesto que esta se pierde de ordinario, en el almacenamiento posterior; y es generalmente, antieconómico contribuir a calentar el medio ambiente, particularmente la atmósfera. Denominando a la agrupación de estos dos últimos términos pérdida de energía (los ingenieros lo denominan pérdidas de carga) y representarlo por h , la ecuación de energía queda: p1
ó:
Z1
V12 2 g
p2
Z2
V 22 2 g
h 12
[8.11]
E1 = E2 + E
Las causas de la degradación de energía mecánica E = h 1-2, son: i) ii)
El trabajo de rozamiento contra los esfuerzos cortantes de fricción. Pérdida por fricción o pérdida primaria hf. Las fuerzas de arrastre engendradas por los elementos de unión, de control y los cambios de dirección, que en conjunto producen efectos disipativos en el fluido. Se denominan pérdidas secundarias h S.
Luego ∆ℎ 1 2 = ∑ ℎ + ∑ ℎ
[8.12]
Para el caso de la Fig.8.03: donde hf 1, hf 2 son las pérdidas primarias en la tubería 1 y 2 respectivamente, y hs es la pérdida secundaria, se tiene:
h hf 1 hf 2 hS Queda por determinar la forma como se evaluarán las perdidas primarias (en las tuberías) y las perdidas secundarias (en accesorios, válvulas y aparatos de medición y control del flujo).
8.2.1 PÉRDIDA DE PRESIÓN Se refiere a la pérdida de energía E (h) expresada en unidades de presión. Conocido el flujo volumétrico ( ̇ ), la trayectoria de la tubería de longitud L y diámetro interior D; se puede calcular las velocidades V 1 y V2 y medir las alturas Z1 y Z 2; y además supuesto conocido la pérdida de energía (carga) h 1-2 , de la ecuación (8.11) se obtiene la caída de presión p , p V [8.13] Z h
2 g
con la cual se determina la potencia de la bomba: = Δ ∀ ̇
[8.14]
11
MECÁNICA DE FLUIDOS La potencia del motor, que acciona a la bomba: =
La potencia eléctrica, que toma de la red el motor: =
En el caso de que la bomba y el motor que lo acciona estén juntos, su eficiencia viene dado por: mB = m x B En el caso de tubería horizontal y de un sólo diámetro, de la ecuación [8.13], Z = 0, se tiene que la caída de presión p / g es igual a la perdida de energía h. denominada comúnmente como pérdida por fricción Es importante observar que la pérdida de energía depende de la distribución de velocidades, del tipo de fluido y, algunas veces, de la rugosidad de la superficie de la tubería. De este modo, si se mantienen estas condiciones, la pérdida de carga h, se determina con independencia de la orientación de la tubería. Es decir, ∆ h no varía.
8.2.2 FACTOR DE CORRECCIÓN DE ENERGÍA CINÉTICA Debido a que en el tubo se forma un perfil de velocidades, aparece el problema de cuál es la velocidad a escoger. Es práctica común en la ingeniería utilizar la velocidad promedio Vm, definido como Vm = flujo volumétrico / área de paso del flujo. Lo correcto sería utilizar el promedio de energía cinética sobre el perfil de velocidad.
[8.15]
donde por simplificación V 1 y V2 representan a Vm 1 y Vm2 respectivamente.
12
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En la mayor parte de los problemas de flujo en tubos se puede omitir los términos 1 , 2 por varias razones. 1. Normalmente un flujo en tuberías implica un flujo turbulento, en el cual es alrededor de la unidad. 2. En el flujo laminar, en el que es grande, las cargas de velocidad son de ordinario despreciables cuando se comparan con los otros términos de la ecuación de energía. 3. Las cargas de velocidad, en general, son tan pequeñas en comparación con la carga de presión y de posición, que la inclusión de tiene poco efecto en el resultado final. 4. El efecto de tiende a cancelarse, ya que aparece en ambos lados de la ecuación. 5. En ingeniería, las respuestas no requieren (en general) tanta precisión que se justifique la inclusión de en la ecuación.
Figura 8.04 Perfil de velocidades Flujo Laminar: V = 2 Vm [ 1- ( r / R) 2 ]
[8.16]
Flujo Turbulento: V = Vm [ 1 + 4,3 √ f + 2,15 √ f log(1- ( r/R ) ]
[8.17]
distancia a partir de la pared del tubo y = R – r, luego:
V = Vm [ 1 + 4,3 √ f + 2,15 √ f log( y / R ) ]
[8.18]
La velocidad máxima ( r = 0; ó y = R):
V máx = Vm [ 1 + 1,43 √ f ]
[8.19]
13
MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8. 02:
Calcule la velocidad media y el factor de corrección de energía cinética para el flujo laminar cuyo perfil de velocidades se muestra
H (m)
8m
3m
V ( m/s)
2 m/s 4 m/s SOLUCION De la figura: u1
2 3
4 2 y 5 5
u2
y
(a) La velocidad media um: 3
8
u b dy u
Q T = Q1 + Q2 =
1
0 3
Q T
2
3 0
y
um
3
QT A
18 b 8b
b dy
3 8
y b d y
2
4 2 y b dy 3 b 15 b 18 b 5 5
2,25 m / s 3
u dA A um 1
(b) El factor de corrección :
8 3 3 2 3 4 2 y b dy y b dy . . 3 5 5 8b 2,253 0 3
1
1
1
.
1
3 8b 150b
8b 2,25
(a + b) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
14
158b 8b 2,25
3
, 17339
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8. 03:
Evaluar el factor de corrección de energía cinética ( ) para el flujo en tuberías, en régimen laminar y turbulento. Explique su importancia. Utilizar la siguiente distribución de velocidades
v
r 2 1 ( ) para régimen laminar v max R v v max
(1 (
y R
r R
8.20]
1/7
)
para el régimen turbulento
[8.21]
1/ 7
) R
r
y
Laminar
Turbulento
SOLUCIÓN
a. Régimen Laminar
m Vm R
2
R
0
V 2 r dr
R
0
Vmax [1 ( r / R ) ] 2 r dr
2
V max 2
2
R
V m 1 V max 2
Luego:
[8.22]
V r 2 2 [ 1 ( ) ] Vm R
El factor de corrección por energía cinética ( ) está dado por: 1 A
3
V V m dA 15
MECÁNICA DE FLUIDOS
1 A
16 A
16 A
R
R
0
0
3
r 8 1 ( ) 2 r dr R 2
r r r 1 ( ) 3( ) 3( ) r dr R R R 6
R 2 8
4
2
2
[8.23]
b. Régimen turbulento m Vm R
Considernado:
V=
2
R
0
V 2 r dr
V máx ( y / R ) 1/7
r = R - y dr = -dy y 1/ 7 Vmax [ ] 2 (R y ) ( dy ) 0 R 2 49 Vmax R 60
V m 49 60 V max
Y de.
Se tiene:
R
0, 817 0, 82
[8.24]
( y / R ) 1/7
V / V máx =
1 V y 1/ 7 ( ) Vm R 0,817
Luego: y 1 ( ) A 0,817 R
1
3
2 r dr
1 1 49 2 R 2 3 2 0,817 170 R
= 1,058 16
1/ 7
[8.25]
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3
PÉRDIDA PRIMARIA EN UNA TUBERÍA.
El estudio se limita a un flujo totalmente desarrollado y permanente en el cual son despreciables las variaciones hidrostáticas.
8.3.1 REGIMEN LAMINAR. LEY DE HAGEN-POISEUILLE Ecuación aplicable: 1
DV Dt
p g 2 V
2
Vr
x
Vx
Al despreciar las variaciones hidrostáticas resulta un flujo en el que todos los parámetros Figura 8.05 son independientes de la dimensión temperatura, La componente de la ecuación de Navier-Stokes en la dirección x, es la ecuación del movimiento:
0
dp dx
i o (
d 2Vx dr
2
d 2Vx
)i r dr
Ordenando: d dr
(r
dVx ) dr
1
r
Integrando: r
dVx dr
Vx
) r 2 4
r 2
C 1
C1 L n r
C2
Condiciones de contorno: para r = 0,
para r = R,
Vx
=
Vx = 0
Esto es incongruente con la realidad física ya que la velocidad es finita en el centro del tubo. Haciendo C1 = 0 . C2 = - R 2 / 4
Luego, la ecuación de distribución de velocidad está dada por:
Vx
R 2
r 2 [1 ( ) ] 4 R 17
MECÁNICA DE FLUIDOS El flujo volumétrico se obtiene de: R
Vx . dA Vx .2 r dA A
0
Como:
dp dx
p2 p1 x2 x1
( p2 p1 ) L
p L
y R = D / 2:
p D 4 128 L
[8.26]
Denominada ecuación de Poiseuille. Hagen, un ingeniero alemán, realizo experimentos con agua que fluía por tubos pequeños de latón, publicando sus resultados en el año 1839. Poiseuille, un científico francés, realizó experimentos con agua que fluía por tubos capilares, para determinar las leyes del flujo de la sangre por las venas del cuerpo, publicando sus estudios en el año 1840. Poniendo al flujo volumétrico en función de la velocidad media V; multiplicando y dividiendo por V. .g el miembro de la derecha, la pérdida de carga de presión puede escribirse como:
p g
64 L V 2 Re D 2 g
hf
[8.27]
Debido a que la tubería es horizontal, la pérdida de carga de presión es igual a la perdida de carga hf
EJEMPLO 8. 04:
En un tubo horizontal de 30 mm de diámetro interior fluye glicerina a una temperatura de 30 ºC con un gasto de 3 x 10 - 3 m 3 /s. a. ¿Cuál es la caída de presión en pascales por cada 10 m de longitud? b. ¿Cuál es la pérdida de energía por fricción en m de fluido por cada 10 m de longitud de tubería? c. ¿Qué potencia de bomba se requiere si la tubería tiene una longitud de 100 m? hf
p L
18
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE - ¿Cuál es la caída de presión en kPa por cada 10 m de longitud? - ¿Cuál es la pérdida de energía por fricción en m de fluido por cada 10 m de longitud de tubería? ¿Cuál es la potencia de la bomba, para una longitud de 100 m? -
Objetivo:
Datos: Fluido:
Tubería:
Glicerina a 30 ºC, del gráfico
Horizontal
= 0,68 Pa.s = 6,0 x 10 – 4
Di = 30 mm L = 10 m
= 1133 kg / m 3 Q = 0,003 m 3/s
Análisis: Ecuaciones 4 V 2
Cálculos V
D
Re
V D
f
h1 2
V D
4
Re
D
64
4 x 0, 003 m 3 / s 0,030 2
f
Re
4,244 x 0,003 6,3 x10 64 202,095
4
4, 244 m / s
202,095
0,3167
L V 2 64 L V 2 f D 2 g Re D 2 g
luego:
h1 2
10 m 4,244 0, 3167 0, 030 m 2 g
Resultado:
2
96, 91 m
hf = 96,91 m
La pérdida de carga de presión
p12 g h f p12 1270 kg / m 3 g 96, 91 m 1 207 397, 5 Pa Resultado:
p = 1207 kPa
P = P p12 g h f
P 1207397, 5 Pa 0, 003 m3 / s 3622 watt Resultado:
P = 3,622 kW 19
MECÁNICA DE FLUIDOS 8.3.2 REGIMEN TURBULENTO La velocidad en un punto del campo fluido fluctúa tanto en magnitud como en dirección. Estas fluctuaciones se pueden observar con mediciones de velocidad precisas, y normalmente se ven sus efectos en los medidores de presión. Las fluctuaciones se originan por una multitud de pequeños remolinos creados por el esfuerzo cortante viscoso entre partículas adyacentes. Estos remolinos crecen en tamaño y luego desaparecen cuando sus partículas son absorbidas en remolinos adyacentes. Por tanto hay una mezcla continua de partículas con la transferencia correspondiente de cantidad de movimiento. La viscosidad disipa la energía, generando pequeñas cantidades de calor.
8.3.2.1
LA ECUACIÓN DE DARCY-WEISBACH
Los cambios de presión a lo largo de una tubería horizontal, dependen de las magnitudes fundamentales:
Geométricas: Longitud de la tubería, L. Diámetro interior de la tubería, D. Rugosidad de la pared interior, e. Físicas: Densidad del fluido, Viscosidad absoluta del fluido , Técnicas: Velocidad media, V. La función analítica que representa al flujo:
F ( L, D, e, , , V , p) 0
Aplicando el Teorema de Buckinghan-vasch, considerando V, , D como grupo de variables independiente, se llega a:
p
V 2
L
L e V D ) ´´ ( D D
Dividiendo por g toda la ecuación, y como no está aún definido, se puede dividir por 2 para formar el término de energía cinética en el miembro de la derecha. Luego: p Lg
V2
L
2g
D
(
V D
e D
)
La función desconocida se llama coeficiente de fricción o coeficiente de rozamiento f. Este coeficiente se determina experimentalmente. Finalmente, la pérdida de carga queda:
hf f
20
L
V 2
D
2 g
[8.28]
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Conocida como ecuación de Darcy – Weisbach. Ahora, resta hallar la relación funcional f = f ( ρ V D / μ ; e / D ) = f ( Re, ) 8.3.2.2
[8.29]
EL DIAGRAMA DE MOODY
Nikuradse, utilizó tubos con rugosidad artificial, para lo cual pegó granos uniformes de arena en la pared de la tubería. Moody ha efectuado un extenso estudio de tuberías comerciales, para mejorar el gráfico de Nikuradse. Este gráfico se conoce como diagrama de Moody. Debido a que la rugosidad de los materiales es muy variable, que la posición relativa entre las rugosidades interfiere directamente el flujo, y que la suciedad y corrosión afectan también la rugosidad, se hace evidente que el diagrama de Moody es una aproximación. Por todo esto, es difícil lograr una predicción precisa de las pérdidas por fricción.
Figura 8.06 . Rugosidad de la pared interior de tuberías La tabla siguiente muestra el valor promedio de la rugosidad e. Cuadro 8.1 . Valores promedio de Rugosidad
Material
Rugosidad e ( m ) Vidrio Liso Plástico 3,0 x 10 -7 HDP 2,130 x 10 -5 Tubo extruido: cobre, latón y acero 1,5 x 10 -6 Acero, comercial o soldado 4,6 x 10 -5 Acero inoxidable 4,7520 x 10 -5 Acero al carbono 4,5720 x 10 -5 Acero al carbono galvanizado 15,240 x 10 -5 Hierro galvanizado 1,5 x 10 - 4 Hierro dúctil, recubierto 1,2 x 10 - 4 Hierro dúctil, no recubierto 2,4 x 10 - 4 Concreto, bien fabricado 1,2 x 10 - 4 Acero remachado 1,8 x 10 - 3
Rugosidad e ( pies) Liso 1,0 x 10 - 6 5,0 x 10 - 6 1,5 x 10 - 4
5,0 x 10 - 4 4,0 x 10 - 4 8,0 x 10 - 4 4,0 x 10 - 4 6,0 x 10 - 3
Fuente: Mott, CRANE - otros
21
MECÁNICA DE FLUIDOS
Rugosidad promedio de tubos comerciales HDP Vidrio, cobre Tubería estirada Acero, hierro forjado Hierro fundido asfaltado Hierro galvanizado Hierro fundido Madera cepillada Concreto Acero remachado
0,0213 0,0003 0,0015 0,046 0,12 0,15 0,26 0,18- 0,9 0,3 – 3,0 0,9 – 9,0
Figura 8.07. Diagrama de Moody
22
MECÁNICA DE FLUIDOS El tubo de vidrio tiene una superficie interior virtualmente lisa en cuanto a la hidráulica, lo que indica un valor muy pequeño de rugosidad. Las tuberías y tubos de plástico son casi tan lisos como el vidrio. La forma y el tamaño definitivos del tubo de cobre, latón y ciertos aceros, se obtienen por extrusión sobre un molde interno, lo que deja una superficie bastante lisa. Para la tubería de acero estándar (como las de las cédulas 40 y 80) y tubos de acero soldado, se emplea el valor de rugosidad que se menciona para el acero comercial o soldado. El hierro galvanizado tiene adherido un recubrimiento metalúrgico de zinc para que sea resistente a la corrosión. Es común que al hierro dúctil se le recubra en su interior con un tipo de cemento para protegerlo de la corrosión y para mejorar la rugosidad de la superficie. El tubo de concreto bien fabricado tiene valores de rugosidad similares a los del hierro dúctil recubierto. La fórmula de Darcy-Weisbach, junto con el Diagrama de Moody provee de un método de cálculo rápido de la pérdida de fricción, tanto para régimen laminar como para régimen turbulento. El ajuste de la curva en régimen laminar da para el coeficiente de rozonamiento: f = 64 / Re
[8.30]
EJEMPLO 8. 05:
El líquido en el tubo de la figura tiene un peso específico de 10 kN/m aceleración del líquido es cero. Determine si el líquido está estacionario, se mueve hacia arriba o hacia abajo. Si el diámetro del tubo de cobre es de 1 cm y la viscosidad del líquido es de 3,125 x 10 – 3 N.s/m 2, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad promedio en el tubo?. 3. La
Objetivo: Determinar si el líquido está estacionario, se mueve hacia arriba o hacia abajo Determinar la magnitud de la velocidad promedio en el tubo. Datos: Fluido:
g = 10 KN / m 3
p1 = 110 KPa
Z1 = 10 m
a=0 m/s
2
= 3,125 x 10 – 3 N.s / m 2 Tubería:
Cobre
e = 0,0003 mm D = 1 cm L = 10 m
p2 = 20 KPa
Z2 = 0 m
Trayectoria:
P1 Pa 110000
23
Z1 m 10
V1 m/s
P2 Pa 200000
Z2 m 0
V2 m/s
MECÁNICA DE FLUIDOS Análisis: La energía en una posición cualquiera está dado por: E = p g + Z + V 2 / 2g Si:
E1 = E2 E1 > E2 E1 < E2
el líquido está estacionario. el fluido se mueve hacia abajo. Flujo descendente el fluido se mueve hacia arriba. Flujo ascendente.
E 1 = 110 KPa m 2 + 10 m + V
2
E 2 = 200 KPa m 2 + 0 m + V
/ 2g = 20 m + V 2 / 2g
Como: E1 > E2
2
/ 2g = 21 m + V 2 / 2g
el fluido se mueve hacia abajo. Flujo descendente
La pérdida de energía se puede hallar a partir de: 21 m + V
1m =
2
/ 2g = 20 m + V
2
E1 = E2 + h
/ 2g + h
L V 2 10 V 2 f h = f D 2 g 0, 01 2 g
[a]
Asumiendo flujo laminar: f = 64 / Re 64 64 3,125 10 3 Pa.s f 196,2 V 10000 / 9, 81 V 0, 001 m V D
Con la ecuación [b] en la ecuación [a], se obtiene: Re
V D
10000 / 9, 814 1 m / s 0, 001 m
3,125 103 Pa.s
[b]
V = 1m/s
3261, 97 El flujo no es laminar.
Tubería de cobre:
tubo liso
Del Diagrama de moody:
f = 0,042
Ajuste de los datos de tubería lisa, del Diagrama de Moody: f calc
0,5
2log
2,51
Re f asum
f asumido = f calculado =
[8.31]
0,04243 0,04242
reemplazando este valor de
f = 0,0424 en la ecuación [a]:
V = 0,68025 m / s.
Aplicando la ecuación de Blassius: f = 0,316 / Re ¼ f = 0,041549 Aplicando la ecuación de Lebaua- Hanocq: 1000 fo = 6,68 + 532 Re - 0,33 Para todo valor de Reynolds. f = 0,5 ½ Ecuación de Prandtl: f = 2 log [Re D / f ] - 0,8 f =
24
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Se va a impulsar un flujo de 1,9 m 3 / min de aceite combustible de densidad relativa igual a 0,85 y viscosidad absoluta de 75 cp, a través de 9000 m de tubería de acero, en posición horizontal. Se sugiere utilizar una tubería de acero de D interior = 57,47 cm; rugosidad igual a 0,085 mm. a. Determine la pérdida de presión, en kPa. b. ¿Cuál es la pérdida debida a la fricción, en m de fluido?. c. Determine la potencia requerida por la bomba ( B = 78%) para impulsar el flujo volumétrico de 1,9 m 3 / min.
EJEMPLO 8. 06:
Objetivo: Datos:
Determinar la pérdida de presión, en kPa. Determinar la pérdida debida a la fricción, en m de fluido. Determinar la potencia requerida por la bomba, en kW. Opinión sobre la tubería.
Fluido:
Aceite combustible C = 850 kg / m 3
= 75 cp <> 0,075 Pa.s
Q = 1,9 m 3/ min <> 0,031667 m 3/s omba = 0,78 %
Tubería:
Acero
e = 0,085 mm DN = 24 pulgadas NR
Di = 574,7 mm L = 9000 m
Análisis: Ecuaciones 4 V 2
Cálculos V
D
Re
V D
V D
f
h1 2
4 D
Re
64 Re
L V 2 f D 2 g
4 x 0, 031667 m 3/ s 0,5747 2 m
2
0,122077 m / s
850 x 0,122077 x 0,5747 0,075 64 f 0,080491 795,12
9000 m 0,122077 0, 08049 0, 5747 m 2 g
2
795,12
0, 95738 m
hf = 0,9574 m
p12 g h f
p12 850 kg / m 3 g 0, 9574 m 7 983, 279 Pa p = 7,983 KPa 7,983 KPa x 0,031667 m3 / s
P BOMBA = p x
P BOMBA =
Resultado:
P BOMBA = 0,25279 Kw
25
MECÁNICA DE FLUIDOS 8.3.2.3
CASO DE TUBOS LISOS Son aquellos donde la rugosidad es pequeña, como en el caso de vidrio, plástico o de los tubos galvanizados de tal forma que las asperezas se ahoguen dentro de la capa límite laminar o subcapa laminar y no influencien las líneas de corriente; en éste caso fo = f (Re).
L
r
R
∀ ̇
Fuente: Figura 8.08. Tubería lisa
El equilibrio de fuerzas sobre el volumen de control se reduce al de la fuerza cortante que actúa sobre la superficie lateral y la diferencia de presión p1 – p2 que actúa sobre las secciones 1 y 2.
r L = ( p1 – p2 ) π r 2
=
−
La ecuación (4.22) se aplica al régimen laminar como al turbulento. representa la suma de los esfuerzos cortante laminar y turbulento; su valor máximo junto a la pared vale.
=
−
[8.32]
Este valor máximo de o, se puede medir experimentalmente tomando nota de la caída de presión (p1 – p2 ). Del análisis dimensional se obtuvo: h1 2
Luego.
g
h1 2
L V 2 f D 2 g
L V 2 2 o L 4 o L f D 2 R D
De manera que: o
f 8
V 2
Válido para flujo laminar y flujo turbulento
26
[8.33]
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE H. Blasius en 1911 llevó a cabo por primera vez un análisis crítico del material experimental ya bastante abundante y lo ordenó de acuerdo con la ley de semejanza de Reynolds. Fórmula de Blassius: f = 0,316 / Re1/4
[8.34]
concuerda con los resultados experimentales para Reynolds entre 3 000 y 10 5. En un tubo “hidráulicamente liso”, las proyecciones de las rugosidades sobre la pared son lo suficientemente pequeñas para quedar sumergidas dentro de la sub-capa laminar y no influyen sobre el flujo fuera de ésta. Se han propuesto ciertas fórmulas empíricas, Así: Fórmula de Lebeau-Hanocq: 1000 f o = 6,68 + 532 Re - 0,33 aplicado a cualquier valor de Reynolds. 0,5 Ecuación de Prandtl: f 2 log
[8.35]
Re. D 0,8 f 1 / 2
[8.36]
Cuadro 8.2. Valor del coeficiente de fricción f. Re
Tubos lisos Tubos rugosos: e = Blasius Lebeau- Prandtl Nikuradse D = Hanocq Nikuradse Moody
0,046 mm 50 mm Jain Colebrook
2000
0,0473
0,0500
0,0494
0,0494
3000
0,0427
0,0446
0,0435
0,0435
0,044
0,0443
4000
0,0397
0,0411
0,0399
0,0399
0,039
0,0408
5000
0,0376
0,0387
0,0374
0,0374
0,036
0,0390
0,0384
60 000
0,0202
0,0208
0,0201
0,0201
0,024
0,0234
0,0232
100 000
0,0178
0,0186
0,0180
0,0180
0,022
0,0221
0,0219
700 000
0,0109
0,0129
0,0124
0,0124
0,020
0,0198
0,0197
8 000 000
0,0059
0,0095
0,0084
0,0084
0,018
0,0193
0,0193
90 000 000
0,0032
0,0079
0,0060
0,0060
0,0193
0,0192
100 000 000
0,0032
0,0079
0,0059
0,0059
0,0192
0,0192
8.3.2.4
0,034
0,019
0,0501
CASO DE TUBOS RUGOSOS
Desafortunadamente, no existe aún una forma científica de medir o especificar la rugosidad de las tuberías comerciales. Varios investigadores han trabajado con tuberías que tenían rugosidad artificial producida de distintas maneras, de tal modo que la rugosidad podía ser medida y descrita por factores geométricos. Se demostró que la fricción dependía de la forma y del tamaño de las rugosidades, de su distribución o separación, quedando todavía mucho por hacer antes de que se resuelva este problema por completo. Para tuberías rugosas, su estudio se ha realizado por dos caminos: - Experimental, realizado por Nikuradse - Matemático, hecho por Prandtl y Von Kármán
27
MECÁNICA DE FLUIDOS Experimento de Nikuradse Nikuradse estudió experimentalmente el factor de fricción (Re; ), creando una rugosidad artificial al pegar granos de arena de diferente tamiz a una tubería lisa. Los resultados obtenidos aparecen en la figura siguiente, donde se observa que el eje horizontal divide al plano en tres zonas: Laminar, de transición y turbulenta.
Figura 8.9. Estudio de Nikuradse i) ii)
en la zona laminar se da la relación: f = 64 / Re en la zona turbulenta con tubería lisa, la superficie laminar de espesor o es mayor que la rugosidad absoluta e de la tubería y anula su efecto, siendo fo = f(Re). En la zona turbulenta con tubería rugosa y altos números de Reynolds: la subcapa laminar queda bajo las crestas rugosas y éstas ejercen un tipo de oposición al flujo llamado “arrastre por ondulación”, que para Reynolds muy altos es proporcional al cuadrado de la velocidad; este tipo de arrastre prevalece sobre el arrastre viscoso y resulta f = f ( ), siendo la tendencia de las curvas a un recorrido horizontal. Una ley empírica aplicable a ésta región es:
f 0,5 1,14 2 log
Ó
f
0,5
/ 3,71)
2 log (
[8.37]
la notación expresa: cuando el número de Reynolds tiende al infinito; a esta zona se denomina zona cuadrática.
28
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE iii)
En la zona de transición las curvas de = constante, parten de la misma región en el régimen laminar, pasan por la zona de tubería lisa, y luego de recorrerlas parcialmente efectúan ligeras oscilaciones para aproximarse a .
Los gráficos de Nikuradse se trazaron para una rugosidad uniforme, que no es el caso de las tuberías comerciales; un gráfico similar, aplicable a éstas últimas fue hecho por Moody y recibe el nombre de Diagrama de Moody.
MÉTODO DE PRANDTL Y VON KÁRMÁN Basándose en el estudio teórico de la turbulencia definieron dos variables adimensionales X e Y, según: X = Re . √ Y = - 0,5 + 2 log Por métodos teóricos fue imposible hallar una relación F ( X;Y), que hubiera definido el valor de . Estas variables fueron correlacionadas basándose en resultados experimentales de Nikuradse y otros, en un gráfico semilogaritmico. NIKURADSE I
Y
Y = 2 log X – 0,8
NIKURADSE II
TURBULENCIA COMPLETA
Y = 1,14
COLEBROOK
TUBOS LISOS
Log X
Figura 8.10. Colebrook
29
MECÁNICA DE FLUIDOS En este gráfico semilogarítmico, se observa que: -
Para valores grandes de , y por lo tanto de X, la curva tiende a la recta Y = 1,14, que coincide con los resultados de la zona de tuberías rugosas y alto número de Reynolds en el diagrama de Nikuradse. Reemplazando por sus valores da: f 0,5 2 log 1,14 f 0,5 1,14 2 log log (3, 71535) f 0,5 log ( / 3, 71535)
f 0,5 2 log (
2
log( )
2
2
)
3,71 Zona completamente turbulenta
-
[8.38]
En la zona izquierda los resultados tienden a cumplir la relación: Y = 2 log X – 0,8 , que luego de reemplazar a X e Y por sus valores, da:
f 0,5 2 log 2 log(Re. f ) 0,8 f ) 2 log
f 0,5 0,8 2 log(Re.
0,8 2 log(Re. f ) log(2,51)
2
log(
1
)2
Re. f
f
0,5
2,51 2 log Re f
[8.39]
Relación independiente de la rugosida relativa , y correspondiente al caso de tubos lisos. Ecuación de Prandtl para cualquier número de Reynolds. -
30
En la zona intermedia la curva presenta un máximo para Y, que significa un mínimo para
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3.2.5
TUBERÍA COMERCIAL. DIAGRAMA DE COLEBROOK
Colebrook realizó ensayos similares a los de Nikuradse, en tuberías comerciales, cuya rugosidad no es uniforme. Graficando sus resultados en plano log X – Y, se obtiene una curva inferior a la de Nikuradse, donde no existe un máximo para Y, que difiere mucho en la zona central y tiende a coincidir en los extremos. La curva de Colebrook tiene el siguiente ajuste empírico:
2,51
0, 27 X
Y 2 log
Que escrito en términos de , y Re es:
f
0,5
2 log
3,71 Re f 2,51
[8.40]
Como para un X dado, la curva de Colebrook tienen un menor Y que la de Nikuradse, quiere decir que predice un mayor , y es por tanto una fórmula de seguridad que da valores máximos de . En consecuencia la fórmula de Colebrook es universal en cuanto a aplicación, excepto en el régimen laminar, donde se aplica la ecuación de Hagen – Poiseuille. Analizando la ecuación (8.40) -
Para valores muy grandes de Re: = ( ) f
-
0,5
2 log f 3,71
[8.41]
Para valores muy pequeños de e: = ( Re )
f
0,5
2 log
Re f 2,51
[4.42]
Que son las dos fórmulas de Nikuradse. La unión de estos dos resultados es: la ecuación de Colebrook. La ecuación de Colebrook se considera aceptable para el cálculo de la fricción turbulenta. Moody (en 1944) dibujó la ecuación en lo que hoy se
31
MECÁNICA DE FLUIDOS denomina diagrama de Moody. Este diagrama es fiable si se aceptan errores inferiores al 15% en cálculo de diseño. A partir de ensayos con tubos comerciales se hallan valores típicos de rugosidad. Cuadro 8.3:
Rugosidades de diferentes materiales de tuberías
Material Plomo, vidrio, cobre
e: Rugosidad en mm 0,0015
Acero estirado Nuevo
0,02
a
0,10
Despues de largo uso y limpiado
0,15
a
0,20
ligeras incrustaciones
0,15
a
0,40
Con fuertes incrustaciones
0,15
Moderadamente ox idadas o con 3,00
Chapa de acero galvanizada Lisa (ventilación)
0,07
a
Normalmente galvanizada
0,02
a
Nuevas
0,05
a
Nuevas y embetunadas
0,05
a
Limpiadas
0,15
a
0,20
Uniformemente oxidadas
0,15
a
0,40
Con ligera incrustación
1,00
a
4,00
Con fuerte incrustación
2,00
a
4,00
0,50
a
10,00
0,10
Tuberías de acero soldadas
Tubería de acero remachada Tubería de hierro fundido Asfaltada (nueva)
0,122
Nueva
0,26
a
1,00
Nueva embetunada
0,10
a
0,15
Con oxidación
1,00
a
1,50
Con incrustación
1,50
a
4,00
alisada
0,30
a
0,80
rugosa
1,20
a
3,00
Pretensado
0,25 a
0,10
Tubería de hormigón
Tubería de eternit
0,05
Tubería obra de albañilería
1,30
Tubería de madera Sin cepillar
0,70
Cepillada
0,20
Latón industrial Cemento bruto Cemento alisado Tubería de PVC (Policloruro de vi ni lo)
32
0,025 hasta 0,3 0,007
3,00 a
0,80
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.7: Se está impulsando, a través de un tubo de hierro galvanizado de 185 m (e = 0,15 mm), 40 litros/s de kerosén de densidad relativa 0,82 2 2 y viscosidad cinemática 2,3 mm /s hacia dentro de un tanque de almacenamiento. La presión en el extremo de entrada del tubo es de 370 kPa y el nivel del líquido en el tanque de almacenamiento está a 20 m arriba del de la bomba. Despreciando todas las pérdidas que no sean las debidas a la fricción en el tubo, calcular el diámetro mínimo del tubo para impulsar 40 L / min de kerosén.
V
Z
SOLUCION
PUM
p
La ecuación de energía entre (1) y (2):
g
Z
1
V 2
h
2 g
(370 000 0) Pa 0 V 12 20 m hf 820 kg / m 3 9, 81 m / s 2 2g
La ecuación de Darcy: h1 2 46 = 20 +
Con
1 =
∀ ̇
196 667 = 185
L V 2 f D 2 g
( ̇ 1)
,3 = ̇
=
,
[1]
El número de Reynolds: Re
V D
V D
La rugosidad relativa: f asumido En [1] D = En [2] Re = En [3] = Moody f =
4
Re
D
4 x 0, 040 D 2,3 10
6
22 143, 29 D
[3]
= e / D = 0,00015 / D 0,015 0,107 2,07 10 0,0014 0,023
5
[2]
0,023 0,11669 1,89 10 0,00128 0,0227
5
D interior = 0,1167 m Otra alternativa de solución es asumir el diámetro, en lugar de asumir f. Si el caudal, fuese de 40 L/min ¿Cuál sería ahora el diámetro?
33
MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8.8: Petróleo es bombeado a razón de 0,0283 m 3/s; a través de una tubería de 15,24 cm de diámetro interior construida de acero (e = 0,046 mm), la longitud de la tubería es de 310 m. a. Si el petróleo es bombeado a 30°C, y la tubería está horizontal: a.1. ¿Cuál es la pérdida de energía en metros del fluido?. a.2 ¿Cuál será la presión indicada por el manómetro colocado al final de la tubería, si al inicio de la tubería otro manómetro indica 31,74 bar?. a.3. ¿Cuál será la potencia requerida por la bomba, considerando una eficiencia del 80 %?. b. Idem que (a) pero la tubería es vertical y el flujo es ascendente. c. Si el petróleo se bombea a 120°C, y la tubería está horizontal: c1. ¿Cuál es la pérdida de energía en metros de fluido?. c.2 ¿Cuál es la potencia de la bomba?. d. Compare con los resultados obtenidos en los ítems (a), (b) y (c). Opine al respecto. T(°C) D.R. 30 80 120
0,86 0,93 0,96
(m2 /s) 7,00 x 10 - 6 1,20 x 10 - 6 2,52 x 10 - 6 p1 = 31,74 bar
SOLUCION
p2 2
1
(a) Tubería horizontal = 0,0283 m3/s D = 0,1524 m
L = 310 m; Di = 15,24 cm; e = 0,046 mm
L = 310 m = 28,3 L/s e = 0,046 mm T = 30°C: = 860 kg/m 3 = 710 - 6 m2/s.
= 6,02 10 – 3 Pa.s. = 860 kg/ m3
La ecuación de energía entre (1) y (2): p1
z 1
V 12 2 g
p2
p1 p2
z 2
V 2 2 2 g
h12
h12
[1]
La caída de presión es igual a la pérdida por fricción. i) Cálculo de la pérdida de energía por fricción: h12 f
4 0,0283m 3 / s V 1,55m / s 2 2 A ( 0,1524) m
34
2 L V
D 2 g
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE VD Re
e D
Re
1,55 x 0,1524 7 x 10 6
0,046 mm. 152,4 mm
0,000301837
2,51 Re f 3,71 2,51 0,000 301 837 2 log 33 746 f 3,71 f 0,5 2 log
La ecuación de Colebrook: f 0,5
33 746 > 2000 flujo turbulento
Se asume un valor de f (entre 0,010 y 0,025), igual a 0,02; se reemplaza en el miembro derecho de la ecuación y se evalúa obteniéndose para f del miembro izquierdo de la ecuación un valor de 0,0242. Como éste valor de f calculado no es igual al valor de f asumido, se toma f asumido = 0,0242 y se obtiene f calculado = 0,0236 y así se continua hasta que los valores de f asumido y f calculado coincidan f = 0,0237.
f asum f calc
0,0200 0,0202 0,0202 0,0237
Luego: h1 2
0,0237 0,0237
310 (1,55) 0,0237 0,1524 2 g
2
5,903m
ii) Presión indicada por el manómetro en la posición (2): 31,74 x10 5 Pa p 2 5,903m 0,86 x9810 N / m 3
En [1]:
p2 = 31,242x 10 5 Pa
p2 = 31,24 bar
iii) La potencia que requiere la bomba: Potencia al eje P
.
p
(31,74 31,24) x10 5 Pa 0,0283m 3 / s P 1769 watt 0,80
P = 1,769 kW b) Tubería vertical: Como f = f (Re, = e/D), y los valores de Re y e/D se mantienen constantes, la pérdida por fricción será l a misma: h12 f
2 L V
D 2 g
hf = 5,903 m
35
MECÁNICA DE FLUIDOS La ecuación de energía entre (1) y (2): p1 p2
Z h1 2
31,74 105 Pa p2 310m 5,903m 0,86 9810 N / m3
p2 = 5,088 x 105 Pa = P
p2 = 5,09 bar
(31,74 5,09) x105 Pa 0,0283 m 3 / s 0,80
94 274 watt
P = 94,274 kW c) Procediendo de la misma forma que el ítem (a):
4 0,0283m 3 / s V 1,55m / s 2 2 A ( 0,1524) m
0,5
f
Re
1,55 x 0,1524
e
2,52 x10
D
6
93 738
0,046 mm. 152,4 mm
0,000 301837
2,51 0,000 301 837 93738 f 3,71
2 log
f as = 0,0237
0,0194
0,0197
0,01966
f calc = 0,0194
0,0197
0,01966
0,01967
h1 2 0,0196
P
310 0,1524
1,55 2 g
2
4,882m
0,86 9810 4,82 Pa 0,0283m3 / s 0,80
1457 watt
P = 1,457 KW
La potencia es aproximadamente el 82% de la potencia del caso (a).
36
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Obviamente, este ahorro en la energía habrá de compararse con el costo de elevar la temperatura a 120 °C.
8.3.3
FLUJO EN SECCIONES NO CIRCULARES
PERFILES DE VELOCIDAD PARA SECCIONES NO CIRCULARES ¿Por qué alguien querría saber la forma en que la velocidad varia en una tubería circular? -
En el estudio de la transferencia de calor Cuando el agua caliente fluye a lo largo de un tubo de cobre, el calor se transfiere del agua a la pared del tubo y de ahí al aire circundante. La cantidad de calor que se transfiere del agua a la pared del tubo depende de la velocidad del agua en la capa delgada más cercana a la pared, a la cual se conoce como capa límite.
-
La medición del flujo volumétrico en un conducto Algunos artefactos, como el Tubo de Pitot, detectan la velocidad local en un punto pequeño dentro del flujo. En la utilización de dichos equipos, para determinar el flujo volumétrico a partir de V = A x V, se necesita la velocidad promedio, no la velocidad local. Se debe atravesar el diámetro del conducto para realizar varias mediciones de la velocidad en ubicaciones específicas, para después calcular la velocidad promedio.
FLUJO EN SECCIONES NO CIRCULARES Existen muchas aplicaciones prácticas de flujo donde la sección transversal no es circular. -
Intercambiador de calor de coraza y tubo. El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo interior hacia el lado derecho. En el espacio entre la superficie exterior del tubo interior (tubo), y la superficie interior del tubo exterior (carcasa) hay agua fría que fluye hacia la izquierda, tomando calor de la pared caliente del tubo interior.
37
MECÁNICA DE FLUIDOS Fuente: Mott
Figura 8.11. Intercambiador de calor Tubo coraza -
Ductos para distribución de aire y evacuación de gases El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo interior hacia el lado derecho. En el espacio entre la superficie exterior del tubo interior (tubo), y la superficie interior del tubo exterior (carcasa) hay agua fría que fluye hacia la izquierda, tomando calor de la pared caliente del tubo interior.
Fuente: Internet
Figura 8.12. Evacuación de gases
Fuente: Internet
Figura 8.13. Ductos de aire acondicionado -
Flujo dentro de una máquina
El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo Los sistemas de manejo de gases y aire, tales como los sistemas de aire acondicionado, conductos de aire en plantas de generación de energía y gases de combustión, por lo general tienen conductos rectangulares. Un
38
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE intercambiador de calor de doble tubo de doble tubo tiene un flujo en una sección anular concéntrica, mientras que un intercambiador de calor “compacto” de placas y aletas tiene un flujo en conductos triangulares. El flujo en intercambiadores de calor calor de carcasa carcasa y tubos o en haces haces de barras combustibles de los reactores nucleares, ocurre en conductos de forma muy compleja. Si el flujo f lujo es laminar, en ocasiones es posible obtener una solución exacta similar a la ecuación de Hagen – Poiseuille. Si el flujo es turbulento, no existen soluciones puramente analíticas; y los datos experimentales disponibles no son abundantes como en el caso de tuberías circulares, por lo que no se dispone de correlaciones generales. Las ecuaciones de Hagen-Poiseulle, Darcy Weisbach, W eisbach, Colebrook y el Diagrama de Moody llevan a soluciones adecuadas para el flujo en tuberías circulares. El análisis práctico del flujo en conductos no circulares se basa en la idea de encontrar un flujo en tubería circular “equivalente”, lo que permitiría usar las ecuaciones válidas para tubería circular.
Una aproximación excelente lo constituye el concepto “Diámetro hidráulico”, definido como:
Dh
4 Area Area de pas paso o del flujo flujo perimetr peri metro o mojado moj ado
Luego: ReDh
V Dh Dh
V Dh Dh
La velocidad V es la velocidad real,
La rugosidad relativa:
[8.43]
4
Dh
[8.44]
V = caudal / Área de paso de flujo.
= e / Dh
[8.45]
El coeficiente de fricción f, se lee lee del Diagrama de Moody o se usan las ecuaciones siguientes:
Régimen laminar: Re < 2000 Hagen-Poiseuille f Régimen turbulento: Re > 4000 Colebrook f
0,5
2,51 2 log Re 3,71 f Dh
64
[8.46]
Re Dh
Dh
[8.47]
Ecuación de Darcy-Weisbach:
h1 2
L V 2 64 L V 2 f Dh 2 g Re Dh Dh 2 g
[8.48]
39
MECÁNICA DE FLUIDOS En el caso de régimen de flujo laminar la aproximación es de: ± 40 % En el caso de régimen de flujo turbulento la aproximación es de: ± 15 % Como la ecuación de Colebrook y el Diagrama de Moody tienen una precisión de ± 10 % para una tubería circular; el concepto del diámetro hidráulico es bastante aceptable para los cálculos en flujo turbulento. Para el caso laminar, la ecuación de Navier-Stokes permite resolver el flujo en forma exacta; esto permitiría establecer algún factor de corrección para mejorar la exactitud del diámetro hidráulico. Diámetro hidráulico D
D
2 a b
b
ab a
b
b a
a
b
D1
4 a 2 b2 4 a b a2b
D2 – D1
D2
Figura 8.14. Ductos de aire acondicionado
En canales abiertos se usa el concepto de “Radio hidráulico”
R h
Area Are a transv tra nsvers ersal al perime per imetro tro mojad mo jado o
También: Dh = 4 R h
40
A p
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Caso de tubos: Rh = D / 4
EJEMPLO 8.09: Aire con un peso específico de 12,5 m
3
/ s y una viscosidad dinámica de 2,0 x 10 Pa.s, fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura mostrada, entre la pared interior del ducto y la parte exterior del tubo, con una rapidez de 150 m 3 / h. -5
100 mm
50 mm D = 25 mm
50 mm
Objetivo: calcular: a. El área de paso del flujo, en mm 2 . El perímetro mojado, en mm. b. El diámetro hidráulico Dh, en mm. La velocidad del fluido, en m / s. c. El número de Reynolds del flujo Re Dh. d. El factor de fricción f. e. La pérdida de energía por fricción hf, en m de fluido f. La pérdida de carga de presión p, en Pa. g. La potencia requerida para mover el flujo P, en kW..
Datos: Fluido: = 12,5 N/ m 3 = 2,0 x 10 - 5
aire
Tubería: e = 0,075 mm L = 20 m.
acero
= 150 m 3 / h <> 0,041667 m 3 / s
Análisis: El área de paso de flujo está dado por : Af = 50 x 50 + ½ 50 x 50 + ¼ π 25 2 = 3259, 1261 mm 2 El perímetro mojado.
p = 50 mm + 50 mm + 100 mm + √ (50 2 + 50 2 ) + π x 25 = 349,25067 mm el diámetro hidráulico está dado por
41
MECÁNICA DE FLUIDOS
Dh
4 Af
Dh
p
la velocidad de flujo: V
349,2507
0, 041667 m3 / s
V
Af
4 3259,1261
3259,1261 106
37,327 mm
12, 784 m / s
El número de Reynolds del flujo Re Dh
V Dh
Re Dh
V Dh
4 Dh
12,9/ 9,81 x 12,784 0,037327 2,0 105
30 403,61
La rugosidad relativa
Dh=
e/Dh
=
0,046 / 37,327 = 0,00200927
el coeficiente de fricción f f asumido [ log (
0,25 5,74 Re Dh0,9
f 0,5 2 log
Dh 3, 7
)]
2,51
Re Dh f
f
0,5
2
= 0,02835
3,71
Dh
2,51 0,00200927 2 log 0,02805 3,71 30403,61 0,02835
La pérdida de carga por fricción h12 f
2 L V
D 2 g
20 m 12,7847 h f 0, 02805 0, 037327 m 2 g
2
125, 2051 m
La pérdida de carga de presión p g h f
h f
p 12, 5 N / m3 125, 2051 m 1565, 0631 Pa La potencia:
42
P B p
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P B 1565, 0631 Pa 0, 041667 m3 / s 65, 212 Watt P = 0,0652 kW
RESUMEN PÉRDIDA PRIMARIA EN CONDUCTOS CIRCULARES
El cálculo de la perdida de presión para régimen de flujo laminar, se puede realizar con la ecuación de Hagen - Poiseuille, en la forma: p D 4
128 L El volumen, en m s; la pérdida de presión, en Pa; el diámetro interior de la tubería, en m; la viscosidad absoluta, en Pa.s y la longitud, en m. 3 /
El cálculo de la perdida por fricción, para régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento se realiza mediante la ecuación de Darcy – Weisbach : hf f
L
V 2
D
2 g
donde f es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa . Para la determinación del factor de fricción f , se dispone de dos alternativas : A. El uso del Diagrama de Moody, y el uso de B. Ecuaciones semi-empíricas : El número de Reynolds: Re
V D
V D
La rugosidad relativa: e D
4 D
En general, para tuberías de uso industrial: 2000 < 2300 < 4000 <
Re Re Re Re
< < <
Régimen laminar: Tubería lisa o rugosa
Régimen turbulento: Transición, turbulento
2000 2300 4000 f
64 Re
Régimen laminar Régimen crítico Régimen transición Régimen Turbulento
Hagen-Poiseuille
2,51 f 0,5 2 log [ ] Re f 3,71
Colebrook 43
MECÁNICA DE FLUIDOS f [ log (
0,25 5,74 Re
0,9
3,7
) ]2
Jain
Esta ecuación produce valores para f que se encuentran entre 1,0% del valor de los correspondientes a la ecuación de Colebrook, dentro del intervalo de rugosidad relativa (D /e) comprendido entre 1000 y 1x10 6; y para números de Reynolds e 5 x10 3 hRe < 1x 10 8. Esta es virtualmente la zona de turbulencia completa del diagrama de Moody.
PÉRDIDA PRIMARIA EN CONDUCTOS NO CIRCULARES CONCEPTO DE DIÁMETRO HIDRÁULICO
Dh
ReDh
4 Area de paso del flujo
perimetro mojado
V Dh
V Dh
4
La velocidad V es la velocidad real,
La rugosidad relativa:
Dh
V = caudal / Área de paso de flujo.
= e / Dh
El coeficiente de fricción f, se lee del Diagrama de Moody o se usan las ecuaciones siguientes:
Régimen laminar: Re < 2000 Hagen-Poiseuille f Régimen turbulento: Re > 4000 Colebrook 0,5 f
64 Re Dh
2,51 2 log Re 3,71 f Dh Dh
Ecuación de Darcy-Weisbach:
h1 2
L V 2 64 L V 2 f Dh 2 g Re Dh Dh 2 g
En el caso de régimen de flujo laminar la aproximación es de: ± 40 % En el caso de régimen de flujo turbulento la aproximación es de: ± 15 %
44
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
45
MECÁNICA DE FLUIDOS 8.4
PÉRDIDAS SECUNDARIAS Massey
En el transporte de fluidos mediante tuberías, además de la pérdida de carga por fricción, se puede incurrir en pérdidas en las uniones, cambios de sección transversal, en los dobleces, elementos de medición, válvulas y accesorios de todas clases. En las conducciones largas se pueden despreciar estas pérdidas sin serio error, si se comparan con la pérdida producida en la tubería. En tramos cortos, pueden sobrepasar a la pérdida primaria, y se hace necesario su cálculo. Las pérdidas resultan de modo invariable por los cambios súbitos de velocidad (ya sea en magnitud o en dirección); los cuales generan turbulencias a gran escala, en los cuales la energía se disipa en forma de calor. Por lo general, el origen de la pérdida se confina a un tramo muy corto del tubo, pero la turbulencia puede persistir corriente abajo una distancia considerable. El flujo después del cambio súbito de velocidad es en exceso complicado, y los procesos de fricción en la tubería son afectados inevitablemente por la turbulencia adicional. Sin embargo, para propósitos de análisis, se considera que los efectos de la turbulencia y la pérdida adicional se concentran en el dispositivo o accesorio. Usualmente la pérdida secundaria se expresa mediante ecuaciones analíticas, coeficiente experimental lambda o mediante longitud equivalente de tubería. 8.4.1 EXPRESIONES ANALÍTICAS EXPANSIÓN BRUSCA
Figura 8.15.
Este tipo de pérdida puede ser sometida al análisis. El flujo llena los tubos y se asume que es permanente. El fluido que emerge del tubo más pequeño es incapaz de seguir la desviación abrupta del límite, formándose cavidades de remolinos turbulentos en las esquinas, lo que produce disipación de energía en forma de calor. 46
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Para el volumen de control considerado: en la sección (1), las líneas de corriente son rectas y paralelas y, en consecuencia, la presión es uniforme. Corriente abajo del agrandamiento, el mezclado vigoroso producido por la turbulencia ayuda a uniformizar la velocidad dando como resultado una presión uniforme en la sección (2). En la zona de aguas muertas, (con el apoyo de la evidencia experimental) se puede suponer que la presión continúa siendo igual a p 1; por lo tanto: La ecuación de cantidad de movimiento: F = m (V 2 – V 1 )
v12 A1
p1 A1 + p1
p2
p2 A 2 +
v 22 A - v 12 A 2
v 22 A 2 (a)
1
Ecuación de la energía: p
1
V2
Z 1
1
2g
hs
p
p
1
Z 1
V 2 2 g
hs
V 2 V 2
p2
1
g
2
(b)
2 g
Ecuación de continuidad:
v1
A
1
A1
v 2
A2
v 2
(c)
v 1
A 2
i)
p1
De (a):
p2
v 2 - v 1 2
p1
Con _( c ):
p2
hs
hs
Ó. ii)
1
V2
2g
( V
hs
hs
2
1
A1 A 2
v 22 - v1 v 2
Reemplazando en (b): 2 V2 2 V
2
2 V V 2 2 V V 1 2 2 1 2
V
g
V 2 V 2
1
2g
V 2 )2
2
2 g
V2 2V
2
1
V 2 V12
(d)
2 g
[8.49 ]
2 g ( V
2
V 1 )2 2 g
De ( c ):
v2
A1 A 2
v 1 47
MECÁNICA DE FLUIDOS (
En (d):
hs
hs
A A 1 V ) 2 2 ( 1 V ) V V 2 1 1 A2 1 A2 1 2 g
A1 V 12 A1 2 ( ) 2 ( ) 1 2 g A2 A2 hs
[1 (
A
1
2
) ]
A
V2 1
[ 1 (
2g
2
D12
2
) ]
D
V2 1 2g
K
V 2 1 2 g
2
2
hs K
iii)
V 1
[8.50 ]
2 g
También: hs
[1 (
A
2
A
2
) ]
V2 2
2g
[ 1 (
2 2
D
1
D
2
) ]
V2 2 K ``
2g
V 2 2 2 g
1
Los valores de K concuerdan bien con los datos experimentales cuando la velocidad V1 es aproximadamente de 1,2 m/s (4 ft/s). a velocidades mayores, los valores reales de K son más pequeños que los teóricos. Si se conoce la velocidad del flujo, se recomienda utilizar los valores experimentales. Cuadro 8. 4. Coeficiente K de expansión súbita. hs = k V1 2 / 2g D2 / D1
0,60 m/s 2 ft/s
1,0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,2
0,11
0,10
0,09
0,09
0,09
0,09
0,08
1,4
0,26
0,25
0,23
0,22
0,22
0,21
0,20
1,6
0,40
0,38
0,35
0,34
0,33
0,32
0,32
1,8
0,51
0,48
0,45
0,43
0,42
0,41
0,40
2,0
0,60
0,56
0,52
0,51
0,50
0,48
0,47
2,5
0,74
0,70
0,65
0,63
0,62
0,60
0,58
3,0
0,83
0,78
0,73
0,70
0,69
0,67
0,65
4,0
0,92
0,87
0,80
0,78
0,76
0,74
0,72
5,0
0,96
0,91
0,84
0,82
0,80
0,77
0,75
10,0
1,00
0,96
0,89
0,86
0,84
0,82
0,80
I nfi ni to
1,00
0,98
0,91
0,88
0,86
0,83
0,81
1,2 m/s 4 ft/s
3 m/s 10 ft/s
4,5 m/s 15 ft/s
6 m/s 20 ft/s
9 m/s 30 ft/s
12 m/s 40 ft/s
Fuente: King. H. W. Y E.F. Brater , 1963. Handbook of Hidraulics, 5a. Ed.., Nueva York: cGraw w -Hill, tabla 6-7
48
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE PÉRDIDA POR SALIDA En la ecuación anterior, si A 2 tiende al infinito, la pérdida tiende a V 2 / 2g. Esto ocurre, por ejemplo, en la salida sumergida de un tubo que descarga dentro de un depósito grande. Hs = 1,00 x v1 2 / 2 g. El valor de k = 1,0 se emplea sin que importe la forma de la salida en el lugar donde el tubo se conecte a la pared del tanque.
Figura 8.16. Expansión brusca EXPANSIÓN PROGRESIVA (DIFUSOR) La pérdida de carga en un agrandamiento súbito ( o a la salida de un tubo) se puede reducir en forma considerable por la sustitución de un agrandamiento cónico, gradual, conocido como difusor o recuperador. La función de éste es reducir gradualmente la velocidad del fluido y eliminar de este modo, en tanto sea posible, los remolinos responsables de la disipación de energía. En el difusor de la figura, las pérdidas por desprendimiento de la capa límite son de la forma: 2 hp1 K
( V
1
V 2 ) 2
Donde K depende del ángulo . En su geometría existe la relación: L = 0,5 ( D2 – D1 ) cotang
49
MECÁNICA DE FLUIDOS El difusor se diseña con pequeño ángulo , para evitar el desprendimiento de la capa límite y las pérdidas consiguientes. Sin embargo un pequeño implica grandes valores de L, y las pérdidas por rozamiento en la pared aumentan considerablemente.
D1
D2
Dx
L
Figura 8.17. Difusor Las pérdidas únicamente por fricción se dan por:
2 dx V
d hp f 2 D
2
Por continuidad el caudal = V π D 2 / 4 = constante. Y según la geometría del difusor dx = 0, cotang dD, reemplazando e integrando se obtiene una función de f. hp2 [
1 8
f . cot ang
A1 A2 A2 A1
(V1V 2) ]
2
2
La pérdida total de presión, hp = hp1 + hp2. hp [ K
1 8
f . cot ang
A1 A2 A2 A1
(V1V 2) ]
2
[8.51]
2
La figura siguiente muestra la existencia de un ángulo que minimiza la pérdida total hs
hs hs1
hs2
Figura 8.18. Expansión progresiva Se define el coeficiente de recuperación de presión: El factor de pérdida de carga K se relaciona con cp:
50
cp
p2 p1 V 2 / 2 1
hs D K 1 1 2 V / 2g D2 1
2
cp
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
Figura 8.19. Coeficiente de expansión brusca
51
MECÁNICA DE FLUIDOS 8.4.2 COEFICIENTES EXPERIMENTALES Hay resultados experimentales que indican que las pérdidas secundarias son proporcionales con el cuadrado de la velocidad promedio, con frecuencia se expresan en la forma:
hs
V 2 2 g
[8.52]
Donde es un coeficiente que en la mayoría de los casos se evalúa experimentalmente. Para números de Reynolds altos, el valor de es prácticamente constante
CONTRACCIÓN SÚBITA
Figura 8.16 Generalmente es la inversa de un agrandamiento súbito; sin embargo no es posible aplicar la ecuación de momento al volumen de control entre las secciones (1) y (2). Esto se debe a que, apenas corriente arriba de la junta, la curvatura de las líneas de corriente y la aceleración del fluido hacen que la presión en la cara anular varia de modo no conocido. Inmediatamente corriente debajo de la junta se forma una vena contraída, después de la cual la corriente se ensancha otra vez para llenar el tubo. Entre la vena contraída y la pared del tubo se forman remolinos, y estos son los que causan principalmente la disipación de energía. Entre la vena contraída y la sección de corriente abajo (2) el patrón de flujo es similar al que ocurre después de un agrandamiento súbito; en consecuencia, se supone que la pérdida de carga se da por:
52
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
53
MECÁNICA DE FLUIDOS
54
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
55
MECÁNICA DE FLUIDOS
Fuente: Karassick, Manual de Bombas
56
D: en pulgadas
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
Fuente: Karassick, Manual de Bombas
D: en pulgadas
57
MECÁNICA DE FLUIDOS
Fuente: Karassick, Manual de Bombas
58
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
8.4.3 LONGITUD EQUIVALENTE El fundamento es que la pérdida de energía producida por un accesorio sea igual a la pérdida primaria producida en una longitud determinada de tubería. A dicha longitud se denomina longitud equivalente.
hs
Lequiv
V2
2 g
f
f
Lequiv
V 2
D
2 g
D n D (L / D ) D
Cuando se conoce f, se puede expresar L equiv como “n diámetros”, es decir n = Lequiv / D. El error en que se incurre al considerar constante a n y a para un accesorio en particular, es por lo general pequeño en comparación con el debido a otras incertidumbres. Sumando la longitud equivalente a la longitud del tubo, se obtiene la longitud efectiva, y esta longitud efectiva se utiliza para obtener:
h
f
L Lequiv D
V
2
2g
f
Lefect D
V
2
2 g
Usualmente se da en tablas (L/D) y nomogramas (Lequiv). En un problema particular pueden presentarse el uso de estas tres formas, con lo cual la pérdida secundaria estaría dado por: m
V2 hs i f 2g 1 n
Lequi 1
D
V2 2g
r
hsi
[26]
1
59
MECÁNICA DE FLUIDOS
60
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
61
MECÁNICA DE FLUIDOS
62
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
EJEMPLO 8.10: (Fuente: Karassick) Se requiere impulsar 5 000 GPM (USA) de agua fría de un reservorio A, abierto a la atmósfera, hacia un reservorio B que se encuentra a una presión manométrica p2 = 250 kPa, siendo la tubería de acero estirada NR 40 ( e = 0,1 mm ) para la línea de succión y la línea de descarga. La línea de succión es de 4 m de longitud, 20 pulgadas de diámetro nominal y tiene los siguientes elementos roscados: Cedazo de aspiración, un codo radio largo, dos uniones universales y una válvula de compuerta. La línea de descarga es de 14 pulgadas de diámetro nominal, 165 m de longitud, y tiene los siguientes accesorios: Una válvula de globo, una válvula de retención, tres uniones universales, dieciséis uniones simples y tres codos radio largo. Tomando como referencia el eje de la bomba, se tiene que la superficie libre líquida del reservorio A se encuentra a -2 m y la superficie libre del reservorio B se encuentra a 15 m; ambas distancias permanecen constantes.
a. Calcule la pérdida de carga en el sistema. b. Seleccione una bomba comercial. c. Una vez instalada la bomba, se tiene que el manómetro en la entrada a la bomba indica una presión de vacío de 25,649 kPa, ¿Cuál será la lectura en el manómetro colocado en la salida de la bomba?.
SOLUCION
a) La pérdida de carga en el sistema: h
h h succión hdesc arg a
[1]
(I) Tubería de succión. 63
MECÁNICA DE FLUIDOS h succión
Vs 2
L entrada codo 2 un.u. válvula ) ( f 2 g D s comp.
De la tabla: 12b, 12c
D s
20 , NR40
Dis
[2]
47,79 cm
El caudal o flujo volumétrico: 5000 GPM x 6,308 10-5 0,3154 m3 /s
Velocidad media: V s 4 x 0,3154 / 0,47792
V 2
1,758 m /s
f s 0,0149 .
Las pérdidas secundarias: De la tabla 4a, 4b, y 4c; se tiene: Cedazo de aspiración:
0,40
50
0,060
Codo RL:
0,10
25 25 50
0,125 0,375 0,045
DN = 20´´ Válvula de compuerta : DN = 20´´ Uniones: DN = 20´´
64
%
0,30 0,03
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Reemplazando valores en [2]: h succ
1,758 2 2 g
4
( 0,0149
0,4779
0,6 0,125 2 0,045 0,375 )
h succ 0,2071 m de agua. (II) Tubería de descarga o impulsión:
hdesc arg a
[3]
De manera similar
Vd 2
L globo reten 3 un.u. 16 u.univ. 3 codo ) ( f 2 g Dd válvula válvula RL [4]
Reemplazando valores en [2]: Dd
14"
Did
33,33 cm
V d 3,615 m/s 0,1 / 333,3 0,0003
Re 1,2 x 10
6
f d 0,0155
De la tabla 4a, 4b, y 4c; se tiene:
%
DN = 14´´ Codo RL: Válvula de retención : DN = 14´´
0,12
Válvula de globo : DN = 14´´ Uniones: DN = 14´´
5,50
2,00
0,03
25 30
25 50
0,150 2.600 6,875 0,045
Reemplazando valores en la ecuación [4]: hdesc arg a
3,615 2 2 g
( 0,0155
165 0,3333
6,875 2,6 3 0,045 16 0,045 3 0,150)
m de agua. hdesc arg a 12,2907
[5]
Reemplazando [3] y [5] en [1]:
h 0,2071 m 12,2907 m 12,4978 m de agua. 12,5 m
65
MECÁNICA DE FLUIDOS b)
Selección de la bomba: Se requiere especificar la carga total H y el flujo volumétrico Ecuación de energía entre 1 y 2: H
H
p 2 p1
z 2 z 1
V 22 V 12 2 g
h12
250 000 m 17 m 12,5 m = 25, 484 m 17 m 12, 5 m 54,984 m 9810
H = 55 m <> 180 pies 5 000 GPM De la figura A, la bomba: A-1015L cubre las necesidades.
De la figura B, se tiene que el diámetro del impulsor es de 14,6 pulgadas; la eficiencia
66
89% ;y
se requiere 260 HP ( 194 kW ) para mover la bomba.
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
c) Cálculo de la lectura de la presión colocado en la descarga de la bomba: La ecuación de energía entre la entrada y salida de la bomba: H p /
H (
p d
z V 2 / 2 g
0,6 m ) (
p s
0,25 m ) ( Zd Zs )
V d 2 V s2 2 g
Reemplazando valores: H (
p d
0,6 m ) 2,614576 0,25 0 0,5085 m 54,683 m
P d / 51,2099 m
P d 502,369 kPa.
67
MECÁNICA DE FLUIDOS También puede determinarse P d , planteando la ecuación de energía entre la descarga de la bomba (d) y la superficie libre del reservorio B, punto (2). p d
z d V d 2
/ 2 g
p d
z 2
V 22 2 g
hd 2
P d 3,615 2 250 000 0,6 0 15 m 0 11,991 52,475 m 2 g 9810 P d
51,209 m de agua fría. P d 51,209 m 9810 m / s 2 Pd 502,360 kPa.
EJEMPLO 8.11: Se va a construir un sistema de bombeo similar, para lo cual la tubería será nueva (e = 0,0456 mm), y la bomba a utilizar será del mismo tipo. Determine la pérdida de carga en el sistema, cuando se impulse 5000GPM. Sugerencia: Haga uso de hoja de Excel para resolver este problema SUCCIÓN
Tuberias: Diámetro Nominal. NR Diámetro interior Rugosidad absoluta Espesor de tubería. Área de flujo Longitud de tubería
La pérdida por fricción: La pérdida secundaria Total =
D Di e t Af L
DESCARGA
20 pulg. 40 0,4779 m 0,04560 mm mm 0,179376 m ² 4,00 m
hf hs h
SUCCIÓN 0,01820 m 0,116608 m 0,13481 m
La pérdida por fricción en el sistema de tuberías
68
14 pulg. 40 0,33330 m 0,04560 mm mm 0,087249 m ² 165,000 m
11,90 m
DESCARGA 4,59 m 7,1799615 m 11,76512 m
h = 11,90 m
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE RESUMEN PÉRDIDAS SECUNDARIAS 8.4.1 EXPRESIONES ANALÍTICAS
V12 V 22
hs
2 g
8.4.2 COEFICIENTES EXPERIMENTALES
hs
V 2 2 g
8.4.3 LONGITUD EQUIVALENTE
Lequiv ( L / D) D
h
f
L Lequiv D
V
2
2g
f
Lefect D
V
2
2 g
En un problema particular pueden presentarse el uso de estas tres formas, con lo cual la pérdida secundaria estaría dado por: m
V2 hs i f 2 g 1 n
Lequi 1
D
V2 2g
r
hsi 1
69
MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8.12 La figura muestra un sistema de cañerías que proporciona 4,11 m 3 / min de agua a 21°C para un proceso. La tubería es de acero soldado sin costura, de diámetro interior 25,4 cm, 27,9 cm y rugosidad absoluta igual a 0,046 mm. Determine:
a. b. c. d. e.
La pérdida de carga sólo en la tubería . ∆ h f La pérdida de carga en los accesorios y válvulas . h s . La pérdida de carga en el sistema. ∆ h 1-2 . ∆ h sist, ∆ h La altura de la bomba . H B. La potencia para accionar la bomba, si ésta tiene una eficiencia del 87%. Una expresión para la altura de la bomba : H B = A + B n
f. Trace la curva HB vs Q, para caudales de 50 L/s, 60 L/S, 70 L/s, 80 L/s y 90 L/s.
2
1
70
27,9 cm
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
Considerando:
ÍTEM Diámetro [cm] Longitud [m] Rugosidad [mm]
SUCCIÓN 27,9 3 0,046
DESCARGA 25,4 87 0,046
Puede considerarse: longitud total de la tubería es de 90 m y diámetro 25,4 cm; como una primera aproximación para el cálculo de la pérdida de energía
71
MECÁNICA DE FLUIDOS
72
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.13: La figura muestra una bomba que debe elevar agua (a 20C) de un pozo a un tanque hidroneumático. Se conocen los siguientes datos característicos de la bomba:
Flujo volumétrico Litros / minuto Item 1 0 2 300 600 3 900 4 1200 5
Altura (HB) metros 100 100 95 89 78
Eficiencia % 0 30 60 68 65 p = 29 430 Pa
a. Determinar el flujo volumétrico que la bomba impulsa, la eficiencia de la bomba y la potencia que el motor debe de entregar a la bomba. b. Estimar la presión manométrica en la succión de la bomba. c. Obtener una expresión analítica para la curva del sistema de la forma : HB = A + B n d. Determinar si las válvulas de pie y de retención funcionan en su posición abierta, suponiendo que éstas válvulas requieren una caída mínima de 1034 Pa si están abiertas
73
MECÁNICA DE FLUIDOS
74
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
75
MECÁNICA DE FLUIDOS PUNTO DE OPERACIÓN DE LA BOMBA
H m HB BOMBA
HB SISTEMA
93,8 m Eficiencia
Punto de operación 680 L / min
76
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.14: Una bomba cuya curva de capacidad de carga se muestra en la figura, bombea agua por un sistema. Determine el flujo volumétrico aproximado que hace circular la bomba. El agua se encuentra a una temperatura de 12 ºC.
2
1
SOLUCIÓN La curva mostrada en la figura, denominada curva de la bomba, es una forma de representar los resultados de ensayo a que se somete la bomba. Ésta curva lo proporciona el fabricante. A éste gráfico se añade la curva del sistema. La intersección de ambas curvas se denomina punto de funcionamiento de la bomba. Y de allí se puede obtener el caudal que circula, así como la altura total que la bomba está dando.
Curva del sistema: Considerando los puntos [1] y [2], indicados en la figura, la altura de la bomba se expresa como:
H
p 2 p1
z 2 z 1
V 22 V 12 2 g
h12 [1]
En donde: p2 = p amb
77
MECÁNICA DE FLUIDOS p1 = p amb Z2 = 6 m Z1 = 0 m V2 = V m / s V1 = V m / s Cálculo de la pérdida de energía en el sistema: h12
V2
( f
2 g
L D
cedazo
globo reten rompuerta 3 acoples 6 u .univ . 3 codo )
aspiracion
válvula
válvula
válvula
RL
[2]
El flujo volumétrico es la incógnita a determinar, por lo que se incluye en reemplazo de la velocidad. V = 4 / D 2
= 4 x / 2 = 905,4147874
El coeficiente de fricción: se requiere conocer el número de Reynolds y la rugosidad relativa. Re
V D V D
4
D
ρ = 999,6 kg / m 3 = 1,2462 x 10 – 3 Pa.s
T agua = 12 ºC De tablas
= 1,2467 x 10 – 6 m 2 / s Re = 4 x
/π
x 0,0375 x 1,2467 x 10 – 6 m 2 / s = 27 234 342
= e / D = 0, 260 mm / 37,5 mm = 0,006933
De la ecuación de Colebrook: f =
2,51 f 0,5 2 log 3,71 Re f
Para un juego de valores de Re y , hay un valor del coeficiente de fricción que es solución para dicha pareja de valores. Para un flujo volumétrico de 21,598 L/s:
Re =
=
588204 0,00171
el valor del coeficiente de fricción es f =
78
0,02280
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
Los coeficientes experimentales
: %
total
1 cedazo de aspiración
2,0
± 50%
3,0
3,0
3 codos roscados, RL
0,5
± 25%
0,625
1,875
1 válvula de compuerta
0,2
± 30%
0,26
0,26
1 válvula de globo
7,0
± 25%
8,75
8,75
1 válvula de retención
2,5
± 30%
3,25
3,25
2 uniones universales
0,06
± 50%
0,09
0,18
4 uniones simples
0,06
± 50%
0,09
0,36
TOTAL =
17,675
79
MECÁNICA DE FLUIDOS
80
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.4
CURVA CARACTERÍSTICA DE PÉRDIDAS
Haga un análisis de la pérdida por fricción, ecuación de Darcy-Weisbach, para flujo laminar y flujo turbulento. 2
L V La ecuación de Darcy-Weisbach: h f f D 2 g
i) Régimen laminar: f = 64 / Re h f
2 64 L V
V . D D 2 g
32 L
D 2 g
V
Con V = 4 / D2: h f
128 4
D g
h f = C. 1
(a)
ii) Régimen completamente turbulento: f es constante → f = f ( ) = constante
f = f ( Re, ) h f
L 1 4 f D 2 g D 2
hf = C
2
2
f
8 L 2
5
D g
2
(b)
iii) Régimen turbulento: f es función de Re y de De las ecuaciones (a) y (b): n hf = C
donde: 1,0 n 2,0; siendo los límites el régimen laminar y el régimen completamente turbulento.
81
MECÁNICA DE FLUIDOS
n hf = C
hf = C
1
2 hf = C
p/ + V 2/2g
La altura de la bomba:
82
p/
+ V 2/2g
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE CURVAS CARACTERÍSTICAS DE LA BOMBA En una curva típica de rendimiento se puede apreciar el comportamiento de la eficiencia de la bomba, la potencia requerida y el rango óptimo de operación en función de la tasa de descarga, la cual depende de la velocidad de rotación, tamaño del impulsor, diseño del impulsor, número de etapas, la cabeza o columna dinámica en contra de la cual la bomba debe operar y las propiedades físicas del fluido a bombear. ALTURA DE COLUMNA (ft) RANGO DE OPERACION
ALTURA DE COLUMNA EFICIENCIA DE LA BOMBA
POTENCIA AL FRENO (BHP)
60 HERTZ RPM @ 60 Hz = 3500, Graveda especifica = 1.00 Bomba electrosumergible de Centrilift Serie 513
Fig. 2.4 Curva característica para una etapa a 60 Hertz Fuente: Schlumberger
La curva de Altura de columna: es trazada utilizando los datos de desempeño reales. Como puede observarse, cuando la capacidad aumenta, la altura de columna total (o presión) que la bomba es capaz de desarrollar se reduce. Generalmente, la columna más alta que una bomba puede desarrollar, se da en un punto en que no hay flujo a través de la bomba; esto es, cuando la válvula de descarga está cerrada. La curva de Potencia al Freno (BHP): se traza con base en los datos de la prueba de desempeño real. Esta es la potencia real requerida por la bomba centrífuga, tomando como base los mismos factores constantes que se mencionaron anteriormente, para entregar el requerimiento hidráulico. Rango de Operación: Este es el rango en el cual la bomba opera con mayor eficiencia. Si la bomba se opera a la izquierda del rango de operación a una tasa de flujo menor, la bomba puede sufrir desgaste por empuje descendente (downthrust). Si la bomba se opera a la derecha del rango de operación a una tasa de flujo mayor, la bomba puede sufrir desgaste por empuje ascendente (upthrust). La Eficiencia de la bomba centrífuga: no se puede medir directamente, debe ser computada de los datos de la prueba ya medidos. La fórmula para calcular el porcentaje de eficiencia es:
83
MECÁNICA DE FLUIDOS Eficiencia (%) =
Alt. de columna Capacidad Gravedad Específica 100 3,960 BHP
Donde: Alt. columna = Pies Capacidad = Galones/minuto BHP = Potencia al freno (HP)
EMPUJES EN LABOMBA Empuje Axial en la Bomba: hay dos zonas donde se produce el empuje en una bomba. El primero es producido por las presiones del fluido (P T & PB) en el impulsor (Figura. 25). La presión del fluido en el área superior del cuerpo del impulsor (A T) produce una fuerza hacia abajo en el impulsor. La presión del fluido en el área inferior del impulsor (AB) y la fuerza de inercia (F M) del fluido haciendo un giro de 90 grados en la entrada producen una fuerza hacia arriba. La sumatoria de estas fuerzas de denomina fuerza de empuje del impulsor (F I).
FI = PT AT - PB AB - FM Eje: la segunda zona de empuje es producida por las presiones del fluido actuando sobre el extremo del eje de la bomba (Figura. 2-6) y se conoce como empuje del eje (FS). En este caso, la presión (PD) producida por la bomba menos la presión de entrada de la bomba (PE) actuando en el área del eje (AS) produce una fuerza hacia abajo (FS ).
FS = (PD - PE) AS Impulsor Fijo (o de Compresión) vs. Impulsor Flotante: El método del manejo del empuje ejercido por una bomba varía dependiendo del tipo de impulsor. La etapa de la bomba de impulsor fijo tiene sus impulsores montados en el eje de tal forma que no se les permite moverse o deslizarse axialmente sobre el mismo. Los impulsores están localizados de manera tal que están girando dentro de un espacio limitado por una distancia mínima a los difusores ubicados arriba y abajo de estos. Por lo tanto, el empuje del impulsor (FI) es transferido al eje de la bomba. El cojinete de empuje de la sección de sello tiene que llevar el empuje total (FT = FI + FS) de la bomba. La etapa de la bomba de impulsor flotante permite que su impulsor se mueva axialmente por el eje tocando las superficies de empuje del difusor. La etapa soporta y absorbe el empuje del impulsor (F I). El empuje es transferido a través de las arandelas de empuje al difusor y al alojamiento. Por lo tanto, la sección de sello solamente soporta el empuje del eje (F S) como se muestra en la Figura 2-6 (F S o FT = FS).
84
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
AS = Area del eje
Fig. 2.5
AT = Area
superior del impulsor
AT = Area
inferior del impulsor
Empuje axial
Fuente: Manual REDA.
Fig. 2.6 Empuje del eje Fuente: Manual REDA
Es un concepto errado pero muy común pensar que el impulsor flota entre las superficies de empuje del difusor a un flujo óptimo. Cuando el impulsor alcanza o se acerca a su punto de empuje equilibrado (F I=0), empezará a ser inestable y comenzará a oscilar hacia arriba y hacia abajo. Por este motivo los impulsores están diseñados para ser estables o para presentar un leve empuje hacia abajo a su volumen de diseño óptimo y para pasar por esta región de transición a un caudal más alto. En la figura 2-7 se observa una curva de empuje típica de una bomba centrífuga.
Fig. 2.7 Curvas de empuje axial Fuente: Manual de REDA.
85
MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8.15: Por la tubería mostrada fluye un aceite (S = 0.92 a razón de 6600 Litros / h, en el sentido indicado en la figura. a) ¿Cuál es el valor de la caída de presión? [ p 1 - p2 ] en m de aceite?. b) Hallar la perdida debido a la fricción. c) Hallar el factor de fricción f. d) ¿Es flujo laminar ?. Evalúe el número de Reynolds Re. e) Hallar la viscosidad absoluta del aceite. 142 N
1 1,2 m
h =250 mm Z1
2 Z2 25 mm
DR Hg = 13,6
86
FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE
87
