II.2. Flujo Interno
1
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Industriales
Curso 2008-2009
Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte
2. FLUJO INTERNO.
Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón diciembre 2008
_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
II.2. Flujo Interno
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2. FLUJO INTERNO. 2.1. Flujos laminar y turbulento. 1.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. 1.1.2. Modelos de turbulencia. 2.2. Flujo estacionario e incompresible en conductos. 1.2.1. Pérdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach. 1.2.2. Cálculo de tuberías. 1.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. 2.3. Flujo no estacionario. 1.3.1. Oscilaciones tubo en U. 1.3.2. Establecimiento del flujo. 1.3.3. Golpe de ariete. 2.4. Problemas resueltos.
2.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO. En flujo viscoso interno, el fluido está confinado entre paredes (conductos) y en función del número de Reynolds, se tienen comportamientos radicalmente distintos: -
En flujos con viscosidad dominante (Re bajos), las partículas siguen las trayectorias marcadas por las paredes, el flujo es ordenado y las magnitudes solo depende de la posición y del tiempo; es el denominado flujo laminar. En el flujo de Poiseuille entre placas planas, el fluido se mueve en laminas paralelas a las paredes, siendo la central la de máxima velocidad. En el flujo en un conducto circular (tubería), el fluido se mueve en tubos concéntricos, con velocidad exclusivamente axial (desde velocidad nula en la pared a velocidad máxima en el eje)
-
En flujos con inercia dominante (Re altos), el flujo es agitado y fluctuante, en cuanto a que los valores de las magnitudes oscilan en torno a un valor medio; es el denominado flujo turbulento. En el caso del flujo por una tubería, aunque la velocidad es fundamentalmente axial, hay componentes radiales y tangenciales, y además con fluctuaciones continuas.
-
En flujos intermedios sin dominio apreciable de la viscosidad o de la inercia, se pueden presentar fluctuaciones esporádicas en función de perturbaciones externas, es el flujo de transición.
2.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. Para resolver un flujo genérico, se dispone de un sistema homogéneo de 7 ecuaciones diferenciales: 2 de constitución1 y 5 de conservación2; con las 7 magnitudes del flujo: 4 escalares: p, ρ, T, û, y las 3 componentes del vector velocidad. Pero el sistema solo tiene solución analítica para casos muy concretos con fuertes hipótesis restrictivas. Actualmente no se dispone de la solución general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos; no obstante, las técnicas numéricas, están aportando soluciones, aunque es conveniente su validación experimental. Particularizando para el flujo incompresible, isotrópico e isotermo de un fluido newtoniano , las magnitudes del flujo son la presión y las tres componentes de la velocidad; disponiendo de 4 ecuaciones diferenciales: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:
1 2
0 1
r Ec. de Navier-Poisson: τ = λ ( ∇⋅ ∇ ⋅ v ) ⋅ I + 2μ ⋅ ε& , tensor de tensiones para un fluido newtoniano y Ec. térmica de estado (f(p,ρ,T)=0).
Ec. de continuidad, Ec. Vectorial de Navier-Stokes (3 ecuaciones escalares) y Ec. de Energía. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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2. FLUJO INTERNO. 2.1. Flujos laminar y turbulento. 1.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. 1.1.2. Modelos de turbulencia. 2.2. Flujo estacionario e incompresible en conductos. 1.2.1. Pérdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach. 1.2.2. Cálculo de tuberías. 1.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. 2.3. Flujo no estacionario. 1.3.1. Oscilaciones tubo en U. 1.3.2. Establecimiento del flujo. 1.3.3. Golpe de ariete. 2.4. Problemas resueltos.
2.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO. En flujo viscoso interno, el fluido está confinado entre paredes (conductos) y en función del número de Reynolds, se tienen comportamientos radicalmente distintos: -
En flujos con viscosidad dominante (Re bajos), las partículas siguen las trayectorias marcadas por las paredes, el flujo es ordenado y las magnitudes solo depende de la posición y del tiempo; es el denominado flujo laminar. En el flujo de Poiseuille entre placas planas, el fluido se mueve en laminas paralelas a las paredes, siendo la central la de máxima velocidad. En el flujo en un conducto circular (tubería), el fluido se mueve en tubos concéntricos, con velocidad exclusivamente axial (desde velocidad nula en la pared a velocidad máxima en el eje)
-
En flujos con inercia dominante (Re altos), el flujo es agitado y fluctuante, en cuanto a que los valores de las magnitudes oscilan en torno a un valor medio; es el denominado flujo turbulento. En el caso del flujo por una tubería, aunque la velocidad es fundamentalmente axial, hay componentes radiales y tangenciales, y además con fluctuaciones continuas.
-
En flujos intermedios sin dominio apreciable de la viscosidad o de la inercia, se pueden presentar fluctuaciones esporádicas en función de perturbaciones externas, es el flujo de transición.
2.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. Para resolver un flujo genérico, se dispone de un sistema homogéneo de 7 ecuaciones diferenciales: 2 de constitución1 y 5 de conservación2; con las 7 magnitudes del flujo: 4 escalares: p, ρ, T, û, y las 3 componentes del vector velocidad. Pero el sistema solo tiene solución analítica para casos muy concretos con fuertes hipótesis restrictivas. Actualmente no se dispone de la solución general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos; no obstante, las técnicas numéricas, están aportando soluciones, aunque es conveniente su validación experimental. Particularizando para el flujo incompresible, isotrópico e isotermo de un fluido newtoniano , las magnitudes del flujo son la presión y las tres componentes de la velocidad; disponiendo de 4 ecuaciones diferenciales: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:
1 2
0 1
r Ec. de Navier-Poisson: τ = λ ( ∇⋅ ∇ ⋅ v ) ⋅ I + 2μ ⋅ ε& , tensor de tensiones para un fluido newtoniano y Ec. térmica de estado (f(p,ρ,T)=0).
Ec. de continuidad, Ec. Vectorial de Navier-Stokes (3 ecuaciones escalares) y Ec. de Energía. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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2
Tanto el flujo laminar laminar como el turbulento, vienen vienen descritos por las las ecuaciones anteriores. anteriores. En flujo laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analíticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes del flujo, se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución analítica. Las primeras medidas experimentales sobre flujos laminar y turbulento, las realizó Osborne R EYNOLDS EYNOLDS, 3 con el flujo en tuberías de vidrio. En los ensayos en flujo laminar (bajos Re), obtuvo que el flujo se podía asimilar al movimiento de tubos concéntricos, cada uno a una determinada velocidad, con valor máximo en el eje, y con un perfil parabólico hasta velocidad nula en las paredes. Estaba constatando que se trataba de un flujo de Poiseuille, en donde el gradiente de presión axial es el que provoca el flujo, y que la velocidad sólo tiene componente axial, y varía con el radio:
3 4
En los ensayos en flujo turbulento (altos Re), obtuvo que aunque el movimiento es fundamentalmente axial, las componentes radial y tangencial son no nulas, aunque de poca magnitud.
Y sobre todo observo, que aunque estando en flujo estacionario, el valor de una magnitud, en una determina posición del flujo, no es constante, aunque oscilan en torno a un valor medio. Estas consideraciones, le llevaron a considerar a las variables, como suma de un valor medio y de su correspondiente fluctuación temporal. Así la componente axial de velocidad será:
5 6
En donde el valor medio de la componente axial de la velocidad, a lo largo de un periodo de promedio (siempre mucho mayor que el tiempo característico asociado a las fluctuaciones de velocidad) es:
vz’ vz
t
Fig. 1. En un instante y posición: vz = velocidad axial; vz’ = fluctuación de velocidad axial; = valor medio de la velocidad axial.
Análogamente se tienen expresiones para las otras dos componentes de la velocidad y para la presión:
7 8 9
Aunque el inicio del estudio de flujo turbulento se inicio con las experiencias de Reynolds en flujo en conductos de sección circular (tuberías), en donde se utilizan coordenadas cilíndricas, por la facilidad de la notación en coordenadas cartesianas, los desarrollos siguientes entorno a la turbulencia los desarrollaremos en cartesianas.
3
En flujo en tuberías, se suele tomar como Re límite de flujo laminar: Re = 2300; no obstante se puede tener flujo laminar a Re mayores, pero una perturbación exterior provoca el paso a flujo turbulento. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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Por su propia definición, el valor medio de la fluctuación turbulenta es nulo, definiéndose como una medida de la turbulencia, su valor cuadrático medio, que se denomina intensidad de turbulencia; así para la fluctuación de la componente “x” del vector velocidad, que usualmente se denota por “u”, se tiene:
10
Para flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes (u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuación, integran un conjunto de 4 ecuaciones que se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes):
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂ p ⎡ ⎛ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ⎞ ∂ u '·u ' ∂ u '·v' ∂ u '·w ' ⎤ du ρg x − + ⎢μ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂x ⎢⎣ ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂z ⎥⎦ dt ∂y ∂z ⎠ ρg y −
∂ p ⎡ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ ∂ v'·u ' ∂ v'·v' ∂ v'·w ' ⎤ dv + ⎢μ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂y ⎢⎣ ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂z ⎥⎦ dt ∂y ∂z ⎠
∂ p ⎡ ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎟ ∂ w '·u ' ∂ w '·v' ∂ w '·w ' ⎤ dw ⎜ ρg z − + ⎢μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂z ⎣⎢ ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂z ⎦⎥ dt ∂y ∂z ⎠
[11]
En el término de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos:
∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w μ , μ , μ ; μ , μ , μ ; , μ , μ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: − ρ(u'·u'), − ρ(v'·v'), − ρ(w '·w ') − ρ(u'·v'), − ρ(u '·w '), − ρ(v'·w ') Esfuerzos laminares:
μ
Cada una de las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, es suma de dos términos: el laminar y el ∂u τ xx = μ − ρ(u´u´) = τ la min ar + τ turbulento turbulento; por ejemplo la primera componente “xx” es: ∂x El tensor de tensiones viscosas completo es:
⎛ ∂ u ⎞ ⎜ μ − ρ(u '·u ') μ ∂ u − ρ(u '·v') μ ∂ u − ρ(u '·w ') ⎟ ∂y ∂z ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂v ⎟ = ∂v ∂v T = ⎜ μ − ρ(u '·v') μ − ρ(v'·v') μ − ρ(v'·w ') ⎟ ∂y ∂z ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂w ⎟ ∂w ∂w − ρ(u '·w ') μ − ρ(v'·w ') μ − ρ(w '·w ')⎟⎟ ⎜⎜ μ ∂y ∂z ⎝ ∂x ⎠
[12]
Resumiendo: en flujo turbulento las tensiones tangenciales, están integradas por dos tipos de tensiones: -
Las tensiones debidas a la viscosidad y a los gradientes de velocidad, que se denominan laminares. Las tensiones debidas a la densidad y a las fluctuaciones de velocidad, que se denominan turbulentas.
A las tensiones turbulentas se les suele denominar esfuerzos turbulentos de Reynolds.
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2.1.2. Modelos de turbulencia. La determinación de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, de los que citaremos los denominados de “una ecuación” de Boussineq y de Prandtl.; y los de “dos ecuaciones” como los k-ε y los k-ω.
a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ : se define la viscosidad turbulenta, como una propiedad del flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad:
μt =
⎛ ∂u ∂v ⎞ − ρ(u '·v') = τ turbulento ≈ μ t ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ ∂y ∂x ⎠
esfuerzo turbulento gradiente de velocidad
[13]
b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como el recorrido libre medio de una partícula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partícula; con lo que las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: u’≈v’≈L(∂u/∂y); siendo la viscosidad turbulenta :
μ t ≈ ρL2
∂u ∂y
[14]
Von Karman, estableció la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posición (y) en la capa límite4, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo turbulento de Reynolds:
L = κ⋅ y
μ t ≈ ρL2
∂u ∂u = ρ(κy )2 ∂y ∂y
τ turbulento = (τ t )xy = −ρ(u '·v') =≈ μ t
∂u ∂y
[15]
⎛ ∂u ⎞⎟ ∂u ∂u ⎞ 2 2 ∂u ⎛ ⎜ = ⎜⎜ ρ(κy )2 = ρκ ⎜ ∂y ⎟⎟ ⋅ y ⎟ ∂y ∂ ∂ y y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
El coeficiente de Karman, κ es una constante universal en flujo turbulento
[16]
= 0,41
Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidades en flujo turbulento, que viene dado por la ley logarítmica de la capa límite de Millikan:
⎛ 1 (R − r )u * ⎞ + B ⎟⎟ u (r ) = u * ⎜⎜ ln ν ⎝ k ⎠
[17]
En donde u* es la velocidad de fricción, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: τw=ρ(u*)2; k es el coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.
4
El concepto de CAPA LÍMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la lección II.3 (Flujo externo). Básicamente, es la zona del flujo en las proximidades de las paredes sólidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos debidos a altos gradientes de velocidad. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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2.2. FLUJO ESTACIONARIO e INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS. En el transporte de un fluido por un conducto, es necesario determinar la potencia necesaria para mover un determinado caudal. En función del régimen del flujo se tienen soluciones analíticas para flujo laminar y soluciones de análisis dimensional para flujo turbulento. Aunque en flujo turbulento se pueden tener soluciones numéricas con determinados modelos de turbulencia, la bondad de los resultados de análisis dimensional son suficientemente precisos para las aplicaciones técnicas. En ingeniería hidráulica, la potencia disipada (Pd) por el flujo en un conducto, se suele calcular a partir de la evaluación de la energía disipada (Ep) por unidad de peso (mg), a la que se denomina PERDIDA DE CARGA:
18 19
2.2.1. Pérdida de carga: Ecs. de Hagen-Poiseuille y de Darcy-Weisbach. Se ha definido perdida de carga, como la energía disipada por unidad de peso; para una tubería (longitud L, diámetro D) se denominan pérdidas lineales.
Régimen Laminar (Re<2000): los esfuerzos de rozamiento son exclusivamente laminares, siendo posible la resolución analítica de Navier-Stokes (flujo estacionario e incompresible) obteniendo una distribución parabólica de la velocidad axial5, determinada por el gradiente de presión piezométrica (absoluta + hidrostática) en la dirección axial:
41 20 1281 21
Con la que se puede obtener la siguiente expresión del caudal:
En flujo estacionario, el caudal es constante, y el gradiente de presión piezométrica es el que determina el caudal que circula por la tubería; el signo negativo que acompaña al gradiente, significa que como el caudal es positivo, el gradiente de presión piezométrica debe ser negativo, es decir disminuir en la dirección del flujo (x). El citado gradiente viene dado por la variación de presión (Δp) y la variación de cota (Δz) por unidad de longitud de la tubería (L):
∆ ∆ 22
La perdida de carga es la perdida de energía por unidad de peso hp = -ΔE/mg = -(ΔEc+ΔEp+ΔEf )/mg; en donde se consideran los términos de energía cinética, potencial y trabajo de flujo; si el caudal y el diámetro son constantes, no hay variación de energía cinética, con lo que la perdida de carga es suma de las pérdidas de energía potencial y trabajo de flujo: hp = -(ΔEp+ΔEf )/mg = -(Δz + Δp/ρg). Para flujo laminar queda como expresión de la perdida de carga:
∆ ∆ 128 23
Si la tubería es horizontal (Δz=0), se obtiene la Ec. de Hagen-Poiseuille que da la caída de presión, provocada por el flujo laminar de un fluido newtoniano de viscosidad dinámica μ, con un caudal Q a través de un tramo de tubería de longitud L y diámetro D:
5
∆ 128 24
Aunque en coordenadas cilíndricas la velocidad axial, se denota por vz, para no confundirla con la dirección vertical en la que actúa la fuerza gravitatoria, que se denomina cota y se denota por “z”, designaremos a la velocidad axial como vx y a la dirección axial por “x”. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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Régimen Turbulento (Re>4000): los esfuerzos de rozamiento tienen términos laminares y términos turbulentos, con lo que no es posible la resolución de Navier-Stokes. No obstante, como la perdida de carga viene determinada por la tensión de rozamiento del fluido sobre las paredes de la tubería:
4 4 25
Por análisis dimensional, se puede obtener que la tensión en la pared viene determinada por el número de Euler asociado a dicha tensión que se denomina factor de fricción o de Darcy:
4 8 26 2 27
Quedando como expresión de la pérdida de carga, la Ec. de Darcy-Weisbach:
Aunque estrictamente el factor de fricción aparece para poder determinar las pérdidas de carga en régimen turbulento, se podría obtener el correspondiente factor de fricción asociado al régimen laminar, en donde la perdida de carga viene dada por la Ec. [23], obteniéndose, que el factor de Darcy sólo depende del Re.
64 28 4 29
En donde Re es el número de Reynolds del flujo que circula por la tubería:
Con lo la Ec. de Darcy-Weisbach también sería aplicable a flujo laminar, con el factor de Darcy dado por la Ec. [28]; no obstante es más cómodo usar directamente la Ec. derivada de la Hagen-Poiseuille, la Ec. [23]. En cambio en régimen turbulento, el factor de fricción depende, además del número de Re, de la rugosidad relativa: r= /D; en donde es la rugosidad absoluta de la tubería, que representa las alturas promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Según pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esa dependencia está determinada por la relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que es la zona de la capa límite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubería y los esfuerzos son exclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa límite laminar, la tubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds, según la expresión empírica que obtuvo Prandlt, a parir de la ley logarítmica de velocidad en la capa límite: Tubería lisa:
⎛ 2,51 ⎞ 1 ⎟⎟ = −2 log⎜⎜ f Re f ⎝ ⎠
[30]
Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa (von Karman, 1938): Régimen Turbulento Completamente Desarrollado
⎛ ε ⎞ 1 = −2 log⎜⎜ r ⎟⎟ f ⎝ 3,7 ⎠
[31]
Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una única expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo el régimen turbulento:
1 23,7 2,51 32
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Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción aparece en forma explícita, y debe recurrirse al cálculo numérico para su resolución. Una solución alternativa, es la ecuación de Haaland:
⎡⎛ ε ⎞1,11 6,9 ⎤ 1 ≅ −1,8 log ⎢⎜⎜ r ⎟⎟ + ⎥ Re ⎥ ⎢⎣⎝ 3,7 ⎠ f ⎦
[33]
De la que se puede obtener directamente la función implícita f=f(Re): f ≅
0,3086 1,11 ⎡ ⎞ 6,9 ⎤ log ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎥ Re ⎥ ⎢⎣⎝ 3,7 ⎠ ⎦ 2 ⎢⎛ ε r
[34]
Para resolver el problema de la resolución numérica de la Ec. de Colebrook, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, en donde se muestra una familia de curvas de iso-rugosidad relativa, con las que se determina el factor de fricción a partir de la intersección de la vertical del número de Reynolds, con la iso-curva correspondiente. En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logarítmica, el factor de fricción vs el número de Reynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa. El flujo laminar Re<2000) viene representado por una recta de pendiente negativa, ya que el factor de Darcy, 8·τ 8·(8μv / D ) 64 64 = = correspondiente sería: f = w2 = , con lo que: log(f) = log 64-log(Re) vDρ / μ Re ρv ρv 2 El flujo turbulento, se divide en tres zonas, en función del número de Reynolds: 2000>Re>4000: zona crítica de paso de flujo laminar a turbulento 4000>Re y f=f(εr ,Re): zona de transición con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds 10000>Re y f=f(εr ): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad
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2.2.2. Cálculo de tuberías: CASO (1): cálculo de la pérdida de carga. D, L, ε ρ, μ Q
DATOS:
tubería: fluido: flujo:
CÁLCULO:
perdida de carga: hp
RESOLUCIÓN: 1. número de Reynolds:
Re =
vDρ 4Q = μ πDν
2. para FLUJO LAMINAR (Re<2000):
h pl
la min ar
=
128 μ L Q ρ g π D4
3. para FLUJO TURBULENTO (Re>4000): f = f (Re, εr ) :
⎛ ε 1 2,51 ⎞⎟ = −2 log⎜⎜ r + ⎟ f ⎝ 3,7 Re f ⎠
Ec. Colebrook:
Ec. Darcy-Weisbach:
h pl
L v2 8f L = f = ... = 2 5 Q 2 D 2g gπ D
CASO (2): cálculo del caudal. D, L, ε ρ, μ hp
DATOS:
tubería: fluido: flujo:
CÁLCULO:
caudal: Q h p gD 3 vDρ 4Q = = ... = Re = μ πDν 32Lυ 2
RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000):
Ec. Hagen-Poiseuille:
h p ρgπD 4 Q= 128μL
2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000): Ec. Darcy-Weisbach: Número de Reynolds:
Ec. Colebrook:
⇒ Re =
⇒
f =
h p gπ 2 D 5 / 8L
4Q πDν
Q2
K = 2 Q
⇒
2 5 ⎞ ⎛ ⎜ K = h p gπ D ⎟ ⎜ 8L ⎟ ⎝ ⎠ 4Q K 4 K = Re⋅ f = πDν Q πDν
⎛ ε 2,51πDν ⎞ ⎟ Q = −2 K ·log⎜⎜ r + 4 K ⎟⎠ ⎝ 3,7
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CASO (3): cálculo del diámetro. L, ε ρ, μ Q, hp
DATOS:
tubería: fluido: flujo:
CÁLCULO:
diámetro: D
RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): Ec. Hagen-Poiseuille:
h p gD 3 vDρ 4Q = = ... = Re = μ πDν 32Lυ 2 128μLQ D=4 h p ρgπ
2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000): Ec. Darcy-Weisbach: ⇒
f =
8LQ 2
= C·D
5
[Ec.1]
⎛ h p gπ 2 ⎞ ⎜C = ⎟ 2 ⎟ ⎜ 8LQ ⎠ ⎝
⎛ ⎞ ⎜ε/D ⎟ 1 2 , 51 ⎟ [Ec.2] = −2 log⎜ + 4Q ⎜ 3,7 ⎟ f f ⎟ ⎜ πDν ⎠ ⎝
⇒
Ec. Colebrook:
h p gπ 2 D 5
En las dos ecuaciones, se tienen como incógnitas f y D, la resolución simultanea por métodos iterativos da sus valores.
DATOS
Dinicial = Q / π
… se supone una velocidad de 4 m/s en la iteración inicial
D = Dinicial D = (f Colebrook /C)0,2 Ec. 1: f=C·D5
ε D 4Q Re = πDν
εr =
SI
Ec.2
⇒
f − fColebrook < 10−5
f Colebrook =f(Re,εr )
NO
FIN
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2.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. En una instalación de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberías acopladas en serie, en paralelo o como una combinación de ambas, que integran una red de tuberías. En las tuberías en serie, el caudal que circula por ellas es el mismo, y la pérdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puede considerar como una única tubería cuyo término resistente es la suma de los términos individuales. Se define resistencia de una tubería al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la pérdida de carga: L 8 k = f 5 2 [35] D π g ⎛ ⎞ ⎜ h p total = hpi = ⎜ k i ⎟⎟ Q 2 [36] ⎜ ⎟ ⎝ i ⎠ i Para régimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de fricción solo depende de la rugosidad relativa, y es constante a partir de un determinado valor (alto) del número de Reynolds; con lo que se puede suponer que la resistencia de la tubería es constante.
∑
∑
Cuando dos o más tuberías se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudales individuales, pero la pérdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberías. Las ecuaciones que rigen las tuberías en paralelo son: Q total = Qi [37]
∑ i
h p = k 1Q12
= k 2 Q 22 = ... = k i Q i2
[38]
Cuando se tiene una red de tuberías, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cada una de las tuberías que integran la red. Se establecen los términos de malla y de nudo, para cada malla la suma de pérdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones, integrado por la “m” ecuaciones de las mallas y las “n” ecuaciones de los nudos, que es homogéneo (m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la “t” tuberías que integran la red..
Ecuaciones de las mallas: de la malla “1” a la malla “m” ; para una determinada malla “i”, se establece un sentido positivo de la malla (normalmente el dextrógiro); el caudal circulante por una tubería “ij” es positivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo que se tiene para cada malla “i”: k ij Q ij Q ij = 0
tubería 32 tubería 31
+
malla 3
∑
k 31Q i1 Q 31 + k 32 Q 32 Q 32 + k 33 Q 33 Q 33 + k 34 Q 34 Q 34 = 0
tubería 35
Ecuaciones de los nudos: del nudo “1” al nudo “n” ; para un determinado nudo “i”, el caudal que le llega de una determinada tubería “ij” es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene para cada nudo “i”: Q 35 + Q 45 + Q 55 + Q 65 = 0 Q ij = 0
tubería 33
tubería 34
j
malla
4 tubería 45
malla
3
∑
malla
nudo 5
j
tubería 65
5 tubería 55
malla
6
En el método de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, se calcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteración de cálculo se va aproximando a la solución. El caudal corrector para una malla “i” viene dado por la ecuación:
∑ k Q Q (ΔQ ) = − 2∑ k Q ij
ij
ij
j
i
ij
[39]
ij
j
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12
2.3. FLUJO NO ESTACIONARIO. Consideraremos dos casos de flujo no estacionario (o transitorio): (1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubería conectada a un depósito, desde que se abre la válvula de descarga a la atmósfera, hasta que se alcanza régimen estacionario en todo el conducto. (2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenómeno del golpe de ariete, en donde el cierre de la válvula de descarga, provoca oscilaciones de presión, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efecto de la compresibilidad del fluido.
2.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario. A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa (dm), entre dos secciones separadas por un diferencial de longitud axial (dx), en un determinado instante (t), en donde la velocidad de todas las partículas en el interior de la tubería es v = v(t):
τw p
v(t)
p+
∂p dx ∂x
τw dx H
L
40 La tensión en la pared puede expresarse a partir del coeficiente de fricción de Darcy: τw = f ρv2/8; y el área de la sección recta es: A = πD2/4; con lo que se tiene la ecuación diferencial v vs t:
8 12 41 El gradiente de presión en la dirección del flujo, se obtiene a partir de la perdida de carga, que aparece en el balance energético entre la superficie libre del depósito y el chorro de salida:
1,06 2 42
En donde hpE son las pérdidas de carga singulares en la conexión de entrada entre depósito y tubería; h pS son las pérdidas de carga singulares en la sección de salida del chorro a la atmósfera y h pl son las pérdida de carga lineales a lo largo de la longitud de la tubería. El coeficiente 1,06 viene dado porque en el término de la energía cinética de salida (por unidad de peso) se utiliza la velocidad media, y se supone que el flujo en todo momento es turbulento; aunque estrictamente sería laminar desde el instante inicial de apertura de la válvula, hasta el instante en que la velocidad de salida, da lugar a un Re > 2000, y en ese intervalo el coeficiente, que es el factor de corrección de energía cinética, tendría un valor de 2, en vez de 1,06 que es el correspondiente a flujo turbulento (ver ejercicio 2.1.) _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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La relación entre perdida de carga lineal (a lo largo de toda la longitud de la tubería) y el gradiente de presión axial para una tubería horizontal es:
43
A partir de las Ecs. [42] y [43], se puede obtener el gradiente de presión en un determinado instante:
1,06 2 44 2 45
Obteniendo finalmente la ecuación diferencial entre la velocidad y el tiempo:
En donde la constante C( = k pe+k ps+1,06+f/D), se puede determinar a partir del valor de la velocidad media en régimen estacionario (v0):
2 0 2 46 1 47
Separando variables en la Ec. [45] queda:
La integración nos da el tiempo transcurrido desde el instante inicial con velocidad nula hasta un instante determinado en donde la velocidad de todas las partículas que circulan por la tubería es “v”:
2 48 Por el carácter asintótico de la función v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando se alcanza el 99% de v0; con lo que su valor es:
2 0,0,9999 2,646 49
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2.3.2. Golpe de Ariete. A partir de la figura, cuando la válvula de descarga se cierra instantáneamente, el fluido empieza a pararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la sección de la válvula (2) en el instante inicial, hasta la sección de conexión con el depósito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresión6, que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presión7, viene determinada por la compresibilidad del fluido, la geometría y la elasticidad de la tubería:
1/// 50 Δp=ρgv0
Δp
v0 (1)
Ec. Allievi
(i)
L
(2)
Cuando la onda de sobrepresión llega a la sección (1) de conexión con el depósito, todo el fluido de la tubería está parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depósito, sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el depósito secciones de fluido, en dirección al depósito; las secciones movilizadas del depósito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresión al llegar al depósito a rebotado una onda de depresión. Cuando la onda de depresión, llega a la válvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubería en movimiento hacía el depósito, y sin sobrepresión,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la válvula al depósito) se van parando y quedando a baja presión. La llegada de la onda de depresión a la válvula, provoca un rebote de una onda de depresión, que conforme se mueve hacia el depósito, va parando el flujo y dejándolo a baja presión.
6
La sobrepresión del cierre instantáneo de la válvula, viene dada por la Ec. de Allievi: Δp=ρv0a; en donde “v0”es la velocidad media del fluido antes del cierre, y “a” la velocidad de la onda de sobrepesión. Se deduce a partir del balance de fuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presión:
∑ dF = ρQ·Δv
dp·A = ρv 0 A·[v 0 − (v 0 − a )]
dp = ρv 0 a
7
La velocidad de la onda de presión depende del módulo de compresibilidad del líquido circulante, y de las características elásticas de la tubería: un aumento de presión hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su módulo de compresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubería, en función de su diámetro, espesor y módulo de elasticidad o módulo de Young (E), lo que lleva a obtener un módulo de dilatación volumétrica (K’):
dp dp K =V = ... = V D D K dV dp + V dp 1+ K eE e E K K ρ a0 dp 1 + ( D / e)(K / E) K ' = = = = a= ρ ρ dρ 1 + (D / e)(K / E) 1 + ( D / e)(K / E)
− dVfluido =
V D dp ; dVtubería = V dp ; K eE
K ' = V
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La llegada de la onda de depresión, a la sección (1) del depósito, deja a todo el flujo parado, pero a depresión; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubería, dejando sucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presión inicial: la onda de depresión al llegar al depósito rebota una onda de sobrepresión. Esta situación se prolonga hasta que la onda de sobrepresión, llega a la válvula, y se vuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presión provocado por el cierre de la válvula. A este fenómeno de generación de oscilaciones de presión (sobre y depresión), generado por el cierre de válvulas, se denomina golpe de ariete. Aunque en el análisis anterior, no se han considerado efectos disipativos, en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones máximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempo se van amortiguando. La resolución numérica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por el método de características, permite obtener resultados contrastados con los experimentales.
∂p ∂v + ρa 2 =0 ∂t ∂x ∂p f ρv v ∂v ρg·senα + + +ρ = 0 ∂x D 2 ∂t
Continuidad: Navier-Stokes en dirección axial:
La ecuación de continuidad, se obtiene a partir de considerar el módulo de dilatación volumétrica fluido- tubería: K’=ρdp/dρ=ρa2, y despreciando la variación convectiva de presión frente a la local
∂v dρ +ρ = 0 ∂x dt ρ dρ = dp K '
⇒
ρ dp K ' + ρ ∂v = 0 ∂x dt
dp ⎛ K ' ⎞ ∂v + ⎜ ⎟ρ = 0 dt ⎜⎝ ρ ⎟⎠ ∂x
∂p ∂v + ρa 2 =0 ∂t ∂x
En la ecuación de Navier-Stokes en dirección axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidad de volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubería tiene un ángulo de inclinación α; y se ha despreciado la aceleración convectiva frente a la local. Para explicar cualitativamente el fenómeno del golpe de ariete, en el cierre instantáneo de una válvula, consideremos las siguientes gráficas de la presión en función del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) y una sección intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubería de longitud L, es L/a; con lo que el tiempo que tarda la onda de presión generada por el cierre de la válvula será 2L/a. El cierre no es posible que sea instantáneo, distinguiendo entre cierre rápido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento en caso contrario. En cierre rápido, cuando la primera onda de presión generada por el cierre de la válvula, retorno a la válvula, ésta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presión de igual magnitud. En cierre lento, cuando la primera onda llega en el instante 2L/a, la válvula está parcialmente abierta, y parte de la intensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo. En el cierre rápido, prácticamente se alcanza la sobrepresión de Allievi:
∆ 51
En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvo la ecuación de la presión máxima, en función del tiempo de cierre, considerando el cierre de la válvula, sin pérdidas y lineal (%cierre = 100·t/tcierre):
% cierre CP1 CP2 CP3 CP4 CP5
cierre lento
cierre lineal
CP6
t 2L/a
tcierre
á 1 √ 4 52
Si la ley de cierre de la válvula no es lineal, se puede seguir el método de Bergeron, en donde se considera el cierre en cierres parciales instantáneos (CP), cada fracción de tiempo 2L/a.
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p(1)
L 2a
Δp p0 −Δp
t
p(i) Δp p0 −Δp
p(2)
t
4L a
Δp p0 −Δp
2L t= 2a
t=
6L 2a
t
t=
L 2a
t=
3L 2a
t=
5L 2a
t=
7L 2a
t=0
t=
4L 2a
t=
8L 2a
sección (i )
DEPÓSITO (1): LA ONDA REFLEJADA ES DE SENTIDO CONTRARIA A LA ONDA INCIDENTE
ONDA DE SOBREPRESIÓN (+ p) ONDA DE DEPRESIÓN (- p)
VÁLVULA (2): LA ONDA REFLEJADA ES DEL MISMO SENTIDO QUE LA ONDA INCIDENTE
Movimiento de ondas de sobrepresión (+Δp) y de depresión (-Δp), desde su origen en el cierre de la válvula (t=0), hasta la repetición del ciclo en la propia válvula (t=4L/a).
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P 2.1. Factor de corrección de energía cinética. En una sección de una tubería, la energía cinética es distinta a la energía cinética asociada a la velocidad media del flujo, teniendo que obtener un factor de corrección (α). DETERMINE: 1. La velocidad media y el factor de corrección de la energía cinética para flujo laminar. 2. La velocidad media y el factor de corrección de la energía cinética para flujo turbulento. DATOS: Flujo laminar: u = U0(1-r 2/R 2); Flujo turbulento: u = U0(1-r/R)m En donde “u” es la velocidad axial en una posición radial “r”, y U0 la velocidad máxima a radio cero. Para flujo turbulento el exponente “m” depende del número de Re, según la siguiente tabla: m Re
1/6 104
1/7 105
1/8 106
1/9 107
: : 1 ó í é: 2 1 / 2 12 2 1 / 2 2 2 1 / 2 1 22 1 / 2 4113223
RESOLUCIÓN: La velocidad media y el factor de corrección de energía cinética son:
(1) FLUJO LAMINAR: en donde la distribución de velocidad axial es radial:
u = u(r) = U0(1-r 2/R 2)
En flujo laminar, la distribución de velocidad es parabólica, la velocidad media es la mitad que la máxima, y el factor de corrección de energía cinética es 2. Por tanto cuando se exprese la energía cinética de la masa que atraviesa una sección de la tubería (por unidad de tiempo) se deberá poner: La no existencia del factor (1/2) en la presión dinámica es muy despistante y hay que tener cuidado. (2) FLUJO TURBULENTO: en donde la distribución de velocidad axial es radial:
u = u(r) = U0(1-r/R)m
A partir de los datos de la tabla adjunta para flujo turbulento, se tienen los siguientes resultados: m Re v/U0 α
1/6 1/7 4 10 105 0,7912 0,8167 1,0768 1,0584
1/8 1/9 6 10 107 0,8366 0,8526 1,0459 1,0371
En flujo turbulento, la distribución de velocidad es tal, que la velocidad media es un poco más pequeña que la máxima, y el factor de corrección de energía cinética es prácticamente 1. Por tanto cuando se exprese la energía cinética de la masa que atraviesa una sección de la tubería (por unidad de tiempo) se deberá poner:
1 12
La existencia del factor (1/2) en flujo turbulento, de nuevo es despistante pues es como si no hubiese factor de corrección. Muchas veces para evitar esta confusión, aunque el factor sea prácticamente 1, se suele poner su valor para destacar la existencia del factor de corrección y que la distribución de velocidad no es uniforme; p.e.:
1,06
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P 2.2. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosímetro capilar. En flujo laminar en conductos, las ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver analíticamente, y la pérdida de carga viene determinada por la ecuación de Hagen-Poiseuille. Una aplicación característica de este resultado, es la determinación de la viscosidad de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar. DETERMINE: 1. Viscosidad dinámica en cP y cinemática en cSt. 2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar. 2. Caudal máximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar. DATOS:
Viscosímetro: longitud: L= 2400 mm, diámetro: D = 10 mm Fluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presión: -Δp = 16 kPa; densidad: ρ = 830 kg/m3 Flujo laminar: Re<2300 Considere tubería horizontal. Ec. Hagen-Poiseuille:
∆ 128 24 Δp
RESOLUCIÓN: Q
L
Q
(1) VISCOSIDADES DINÁMICA Y CINEMÁTICA: de la Ec. de Hagen-Poiseuille, la viscosidad absoluta es
16,36210 16,362 , ∆ 128160000, 0 10 128 2,46 1 0 /60
Se recuerda que 1 mPa·s = 1 cP (centiPoise); precisamente las primeras medidas de viscosidad las realizo Poiseuille, y en su honor los físicos designaron a la unidad CGS de viscosidad absoluta o dinámica como POISE: 1 P = 1 gr/(cm·s). En condiciones ambientales de 1 bar y 20ºC, el agua tiene una viscosidad de 0,01 P es decir 1 cP (centiPoise), e igual a 1 mPa·s; por lo que la unidad habitual en la que se expresa la viscosidad dinámica es el mPa·s. La viscosidad cinemática se obtiene directamente de la relación: ν = μ/ρ
16, 3 62 1 0 830 19,71410 19,714 ,
Se recuerda que 1 mm2/s = 1 cSt (centiStoke); precisamente la importancia de la viscosidad cinemática, aparece por primera vez reflejada en la ecuaciones de Navier-Stokes; y en honor de Stokes, se designa a la unidad CGS de viscosidad cinemática como STOKE: 1 St= 1 gr/(cm·s). En condiciones ambientales de 1 bar y 20ºC, el agua tiene una viscosidad de 0,01 St es decir 1 cSt (centiStoke), e igual a 1 mm2/s; por lo que la unidad habitual en la que se expresa la viscosidad cinemática es el mm2/s. Comprobemos que el número de Reynolds, es menor de 2300, para asegurar que el flujo en el capilar es laminar:
4 4 4 6 0 1 0 /60 , / 0,01019,71410
(2) POTENCIA DISIPADA:
Pμ = Q ⋅ Δp = ( 6 ⋅ 10 −3 / 60 ) ( −16000 ) = -1,6W
(3) CAUDAL MÁXIMO PARA FLUJO LAMINAR: la condición es: Re<2300, con lo que se tiene:
4 2300 23000, 0 1 1 9, 7 14 1 0 2300 4 4 1,42410 , _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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P 2.3. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte. En las máquinas herramienta, en la zona de corte se debe aportar un aceite. El dispositivo más sencillo, es tener un depósito superior, del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte; el sistema se completa con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depósito superior. El nivel del aceite (H) en el depósito superior se mantiene constante. DETERMINE el diámetro que tiene que tener el conducto. DATOS:
H
Depósito superior: nivel de aceite: H = 20 mm Conducto vertical: longitud: L= 350 mm Coeficientes de pérdidas entrada y salida: K pse = 0,4; K pss = 0,9 Fluido: caudal = 100 cm3/minuto; viscosidad: μ= 1,9·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 950 kg/m3
L
RESOLUCIÓN: Supondremos inicialmente, que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicar la Ec. de Hagen-Poiseuille, para determinar las pérdidas lineales a lo largo del conducto: 128νL Q gπD4 El balance energético (en términos de energía por unidad de peso, es decir en altura o carga) entre la superficie libre y el chorro de salida es (recuerde que el factor de corrección de la energía cinética en flujo laminar es α=2): hp =
2 128 8 2 128 2 2 / 128 8
Expresando la velocidad media en función del caudal y la pérdida de carga por la Ec. de Hagen-Poiseuille:
De donde se obtiene la expresión del diámetro:
/ 100 1 0 0, 0 019 100 1 0 8 128 0, 3 50 60 60 950 0 , 4 0, 9 2 9, 8 9, 8 0,0200,350 Comprobemos, que el flujo es laminar:
100 1 0 4 4 0,002 1,60995010 , 2300 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
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P 2.4. Aplicación de la Ec. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto.
El alto caudal, que circula por un oleoducto, hace que las pérdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento, en donde la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal. Por lo cual, es necesario localizar subestaciones de bombeo, entre el pozo de petróleo y el puerto de carga. DETERMINE: 1. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo. 2. La potencia disipada por viscosidad. DATOS: Conducto horizontal: diámetro: D = 2000 mm, rugosidad: ε = 0,2 mm Crudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por día);(1 barril = 50 galones USA = 189,27 litros) viscosidad: μ= 5,36·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 860 kg/m3 Presión manométrica salida bomba: 40 bar RESOLUCIÓN: (1) LONGITUD DEL OLEODUCTO ENTRE SUBESTACIONES: la pérdida de carga viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach: L 8 h p = f 5 2 Q2 D πg En donde el factor de fricción o factor de Darcy, viene determinado por la Ec. de Colebrook: 1 2,51 ⎞ ⎛ε = −2 ⋅ log ⎜ r + ⎟ f ⎝ 3,7 Re f ⎠ La rugosidad relativa es: εr = ε/D = 0,2/2000 = 0,0001; y el número de Reynolds es:
,381 4,47510 4 26,44232610
En donde el caudal se ha calculado en el S.I.:
B 1día 0,18927m3 = 4,381m3 / s Q = 2 ⋅ 10 día 24 ⋅ 3600s 1Barril 6
La viscosidad dinámica del crudo es: ν=μ/ρ = 5,36·10-3/860 = 6,2326·10-6 m2/s Con rugosidad relativa: εr = 0,0001 y número de Reynolds: Re = 4,475·105, de la Ec. de Colebrook se obtiene, el factor de Darcy: f=0,014. El factor de fricción, también se puede obtener a partir del diagrama de Moody:
0,014 4,475·105
En el problema, la pérdida de carga, viene impuesta por la pérdida de presión admisible en el conducto (al considerarse horizontal), y que viene dada por la presión manométrica a la salida de la bomba: −Δp 40 ⋅ 105 = = 474,608m hp = ρg 860 ⋅ 9, 8
474, 6 08 2 8 80,0144,3819,8 , ∆ 4,381 4010 17524
(2) POTENCIA DISIPADA POR FRICCIÓN EN LA TUBERÍA:
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P 2.5. Aplicación de la Ec. de Darcy-Weisbach: determinación de diámetro de un conducto.
El problema básico de diseño en flujo en conductos, es la determinación del diámetro del conducto, para unas determinadas prestaciones. Los datos de partida, son habitualmente, el fluido a transportar, el caudal a mover y la pérdida de carga admisible; en cuanto a la geometría del conducto, se conoce su longitud y su rugosidad, pero no su diámetro. Si el flujo es laminar, el problema es inmediato ya que de la Ec. de Hagen-Poiseuille, lo único que se desconoce es el diámetro. En cambio, en flujo turbulento, en la Ec. de Darcy-Weisbach, se desconocen tanto el diámetro como el factor de fricción; por lo que se tiene que utilizar la Ec. de Colebrook, que a su vez también tiene como únicas incógnitas, el diámetro y el factor de fricción: la forma implícita de la Ec. de Colebrook, hace necesario recurrir a un método iterativo de resolución simultanea de las dos ecuaciones. Considere la tubería que une la salida de la bomba hasta la entrada a un sistema de riego por aspersión, en donde a partir de los datos: DETERMINE el diámetro mínimo del conducto. DATOS:
Conducto horizontal: longitud: L = 50m, rugosidad: ε = 0,1 mm Agua: caudal: Q = 1,8 m3/minuto; viscosidad: μ = 1 mPa·s; densidad: ρ = 1000 kg/m3 Perdida de presión admisible: 2,34 bar
RESOLUCIÓN: la pérdida de carga viene determinada por la Ec. de Darcy-Weisbach: h p = f
L 8 2 Q ; de D5 π2 g
donde se tiene la relación entre el diámetro y el factor de fricción: h p π2 g 5 f= D Ec.1 8LQ2 1 2,51 ⎞ ⎛ε El factor de fricción viene dado por la Ec. de Colebrook: = −2 ⋅ log ⎜ r + ⎟; f ⎝ 3,7 Re f ⎠ En donde εr =ε/D; y Re=4Q/πDν; con lo que se obtiene una segunda relación entre f y D:
⎛ ⎞ ⎜ ε/ D 1 2,51 ⎟ = −2 ⋅log ⎜ + ⎟ 4Q 3,7 f ⎜⎜ f ⎟⎟ πDν ⎠ ⎝
Ec. 2
Para la resolución del sistema, de puede obtener una única ecuación explicita entre f y D; en donde k =
⎛ ⎜ ε/ D 1 2,51 = −2 ⋅ log ⎜ + 4Q kD5 ⎜⎜ 3,7 kD5 πDν ⎝
h p π2 g 8LQ 2
⎞ ⎟ ⎟ Ec. 3 ⎟⎟ ⎠
−Δp 2, 34 ⋅ 105 = = 23,878 m ; L = 50 m; Q = 1,8m3/min=0,03m3/s; ρg 1000 ⋅ 9, 8 h p π2 g 23, 878 ⋅ π2 ⋅ 9, 8 = = 6415,4 m-5 Se tiene que la constante de la Ec. 3, es: k= 2 2 8LQ 8 ⋅ 50 ⋅ 0, 03 Con lo que se tiene la ecuación: En el problema, con los datos :
hp =
⎛ ⎜ 0,1 ⋅ 10−3 / D 1 2,51 = −2 ⋅ log ⎜ + 4 ⋅ 0,03 3,7 6415,4D 5 ⎜⎜ 6415,4D 5 −6 πD ⋅ 10 ⎝ Cuya solución es:
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
D = 80 mm
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II.2. Flujo Interno
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Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultáneas (1) y (2), es por iteraciones; cuyo diagrama de resolución es: DATOS
Dinicial = Q / π D = Dinicial D = (f Colebrook /k)0,2 Ec. 1: f=k·D5
ε D 4Q Re = πDν
ε r =
Ec.2
⇒
f − fColebrook < 10−5
f Colebrook =f(Re,εr )
NO
SI FIN
En el problema: 1ª ITERACIÓN: D = Q / π = 0,03/ π = 0,098m (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s) Ec. 1: f = kD5 = 6415,4·0,0985 = 0,057 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,098·10-6) = 4·105 εr = 0,1·10-3/0,098=0,001 f Colebrook = 0,0205 2ª ITERACIÓN: D = (f Colebrook /k)0,2 = (0,0205/6415,4)0,2 = 0,080 m Ec. 1: f = 0,0205 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105 εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125 f Colebrook = 0,021 3ª ITERACIÓN: D = (f Colebrook /k)0,2 = (0,021/6415,4)0,2 = 0,080 m Ec. 1: f = 0,0205 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105 εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125 f Colebrook = 0,021 (CONVERGENCIA) …. D=80 mm
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II.2. Flujo Interno
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P 2.6. Flujos estacionario y no estacionario.
En el sistema de inyección por raíl común de un motor Diesel de inyección directa, se dispone de un colector de combustible a muy alta presión, de la que salen conductos para cada uno de los cilindros. En el extremo de cada conducto, se localiza una electroválvula que deja pasar el combustible al inyector. El tiempo de apertura de la electroválvula se controla electrónicamente, en función del régimen de giro del motor y de la carga. En el cierre de la electroválvula (prácticamente instantáneo), se provoca un golpe de ariete que genera una onda de sobrepresión en el conducto. DETERMINE: 1) La velocidad del combustible en el conducto (v0), en flujo estacionario. 2) La función v=v(t) que da la evolución temporal de la velocidad en el conducto. 3) Tiempo de apertura del inyector y velocidad que alcanza el combustible en el conducto. 4) Velocidad de la onda de presión en el golpe de ariete provocado por el cierre. 5) Sobrepresión máxima en el cierre de la electroválvula. DATOS: Conducto: D = 2 mm; L = 300 mm ; espesor: e =3 mm; rugosidad: ε = 0,01 mm ; módulo Young: E = 2500MPa Presión manométrica en el “common-rail”: 1323 bar; Presión manométrica en cámara combustión: 54,3 bar Combustible: densidad: ρ = 832 kg/m3; módulo de compresibilidad: K = 1620 MPa Inyector: coeficiente de perdidas: K PS = 28,3; tiempo apertura: el equivalente a 5º de giro del cigüeñal. Motor: 4 cilindros, 4 tiempos, girando a 4000 rpm
(1) VELOCIDAD EN RÉGIMEN ESTACIONARIO: La caída de presión entre el “common-rail” y la cámara de combustión, determinan las pérdidas lineales en el conducto de unión y las pérdidas singulares en el inyector:
2 2 2 12 2
Despreciando la variación de cotas entre el raíl común y la cámara de combustión, las energías cinéticas y las perdidas singulares en la conexión de la tubería con el raíl común, nos queda:
De donde la velocidad de régimen estacionario es:
El coeficiente de fricción de Darcy en el conducto, viene dado por la Ec. de Colebrook, que para flujo turbulento totalmente desarrollado toma la forma:
1 ⎛ ε / D ⎞ = −2 log⎜⎜ ⎟⎟ f ⎝ 3,7 ⎠
⇒
f =
1 1 = = 0,030 2⎛ ε / D ⎞ 2 ⎛ 0,01 / 2 ⎞ 4 log ⎜ ⎟ 4 log ⎜ ⎟ ⎝ 3,7 ⎠ ⎝ 3,7 ⎠
Con lo que el valor de la velocidad de régimen permanente es:
2 2 1 32354, 3 1 0 8320,00,30002,300 28,3 96,43 /
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II.2. Flujo Interno
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(2) ECUACIÓN DE ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO: se considera una apertura instantánea del inyector, con lo que en el régimen no estacionario, la evolución temporal de la velocidad por el conducto, desde velocidad nula en el inicio, hasta que se alcance asintóticamente la velocidad de flujo estacionario, se puede obtener a partir del balance de fuerzas elementales sobre un volumen elemental en el interior del conducto (de tamaño τw dV=A·dx): p
v(t)
p+
∂p dx ∂x
τw dx
4 2 12
El área de la sección recta es: A = πD2/4; con lo que la expresión anterior se reduce a:
El gradiente de presión en la dirección axial, se determina por la diferencia de presiones entre el inicio de la tubería en el raíl común y el final en su conexión con el inyector, por unidad de longitud de la tubería:
Si consideramos que desde el instante inicial el flujo es turbulento completamente desarrollado (es mucho suponer, pero por facilitar las cosas …), el factor de Darcy es constante y la tensión en la pared será:
8 12 1 1 2
Con todo se tiene la ecuación diferencial v vs t:
Es interesante darse cuenta que el paréntesis, es un valor conocido, pues en régimen estacionario con velocidad constante (v0, que habíamos obtenido en el apartado anterior) la aceleración es nula y se obtiene:
Quedando definitivamente:
Separando variables:
Cuya integración desde el instante inicial (t=0, v=0) hasta un instante t con velocidad v es:
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II.2. Flujo Interno
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Con lo que la evolución temporal de la velocidad es:
11 10542,2 3 1 0 2 2832132354, 0,30096,43
En donde la constante de tiempo “a” es:
(3) TIEMPO DE APERTURA DEL INYECTOR Y VELOCIDAD EN EL INSTANTE DEL CIERRE DEL INYECTOR: El tiempo de apertura del inyector se determina a partir de la velocidad de giro del motor y de los grados del cigüeñal en los que se tiene abierto dicho inyector:
4000 10º 360º 60 0,41710 0,417
Tenga en cuenta que un ciclo de trabajo (2 vueltas para un motor de 4 tiempos) girando el motor a 4000 rpm se realiza en 30 milisegundos (=(60000 ms/min)/ (2000 ciclos/min)). Con todo lo anterior, la velocidad alcanzada al cabo de los 0,417 ms en los que está abierto el inyector será:
1 , , , 1 1 96,43 ,,, 1 94,08 /
Que es prácticamente la velocidad de equilibrio, por el alto valor de la constante de tiempo. (4) VELOCIDAD DE LA ONDA DE PRESIÓN PROVOCADA POR EL CIERRE INSTANTANEO DEL INYECTOR: se dispone de todos los datos, con lo que: K / ρ 1620·106 / 832 = = 1166,07 m/s a= 1 + DK / eE 1 + 0,002·1620·106 / 0,003·2500·106
/ 1 620 1 0 / 832 1395,4 /
El numerador de la expresión (
) es la velocidad sónica en el fluido en flujo externo, que es igual a:
El efecto de la elasticidad de la tubería (a través del modulo de elasticidad o de Young) provoca una ligera disminución de la velocidad de propagación de los pulsos de presión, provocados por el cierre del inyector. (5) INCREMENTO DE PRESIÓN MÁXIMA PROVOCADA POR EL CIERRE DEL INYECTOR: viene dado por la Ec. de Allievi: (Δp )ariete = ρa·Δv En donde Δv, es la disminución de velocidad provocada por el golpe de ariete; en este caso desde la velocidad que se alcanza en el tiempo de apertura del inyector (prácticamente la de flujo estacionario), hasta velocidad nula en su cierre instantáneo:
(Δp)ariete = ρa·Δv = 832·1166,07·94,08 = 91,274·MPa = 912,74 bar El periodo de las ondas de presión provocada por el cierre del inyector, es de 2L/a, es decir: T = 2·0,300/1166,07 = 0,515 ms Recordando que el inyector vuelve a abrirse al cabo de 2 vueltas del cigüeñal, que corresponde a un tiempo de 30 ms, es decir unos 58 ciclos de pulsos de presión, suficientes para que se extingan los pulsos de presión. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
II.2. Flujo Interno
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P 2.7. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario.
En una central hidráulica de alta montaña, por la tobera principal, se descarga un chorro hacía los alabes de la turbina Pelton. Desde la toma del embalse, hasta la tobera, hay una tubería por la que circula el agua. DETERMINE: 1. Velocidad media en régimen estacionario, y caudal estacionario. 2. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario: desde que se abre totalmente la válvula de control de la tobera, hasta que la velocidad media alcanza el 99 % de la velocidad estacionaria. DATOS:
Central: diferencia de cotas entre embalse y chorro: H = 385 m Tuberías: diámetro: D = 800 mm; longitud: L = 3467 m; rugosidad absoluta: ε = 1 mm Coeficientes de pérdidas singulares: entrada tubería: k pse = 0,8; tobera: k pss=4,4 Reducción de área de la tobera: 5:1
H v(t) RESOLUCIÓN: (1) VELOCIDAD MEDIA EN RÉGINE ESTACIONARIO: el balance energético entre la superficie libre del embalse y el chorro de salida es: v2 v2 v2 v2 L v 02 + K pss 0 + α chorro = K 0 H = K pse 0 + f 2g D 2g 2g 2g 2g La velocidad del chorro es 5 veces la de la tubería, con lo que la constante K es: K = K pse + fL/D + K pss + α·25 Suponiendo, que el flujo es turbulento totalmente desarrollado, es decir, el factor de fricción, sólo depende de la rugosidad relativa a través de la Ec. de von Karman: 1 ⎛ ε ⎞ = −2 log⎜⎜ r ⎟⎟ f ⎝ 3,7 ⎠
f =
1 1 = = 0,02075 2 ⎛ ε r ⎞ 2 ⎛ 1 / 800 ⎞ ⎟⎟ 4 log ⎜⎜ ⎟⎟ 4 log ⎜⎜ ⎝ 3,7 ⎠ ⎝ 3,7 ⎠
Considerando como valor del coeficiente de corrección de energía cinética: α = 1,06; la constante K es:
K = K pse + fl / D + K pss + 1,06·25 = 0,8 + 0,02075·3467 / 0,800 + 4,4 + 1,06·25 = 121,63
La velocidad media en régimen estacionario queda: v 0 =
2gH 2(9,8)(385) = = 7,88 m/s K 121,63
πD 2 π0,800 2 = 7,88 = 3,96 m3/s El caudal en régimen estacionario es: Q 0 = v 0 4 4
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(2) TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO: La ecuación de conservación de cantidad de movimiento, aplicada a un elemento de fluido entre son secciones de la tubería en la dirección axial es: p
τw v(t) dz
dx
p+
∂p dx ∂x
/
El gradiente de presión piezométrica en la dirección axial, se determina por las pérdidas de carga lineales en el tramo de tubería:
Las pérdidas de carga en la tubería, se pueden obtener del balance energético (energía por unidad de peso): v2 v2 v2 v2 v2 + (1,06·25) = h pl + (K pse + K pss + 1,06·25) = h pl + C H = K pse + h pl + K pss 2g 2g 2g 2g 2g
2 8 12 12 0 1 2 1
Si consideramos que desde el instante inicial el flujo es turbulento completamente desarrollado (es mucho suponer, pero por facilitar las cosas …), el factor de Darcy es constante y la tensión en la pared será:
Con todo se tiene la ecuación diferencial v vs t:
El paréntesis viene determinado por la velocidad de régimen estacionario:
Quedando la Ec. diferencial:
La evolución temporal de la velocidad media en la tubería, viene dada por la integración de la ecuación diferencial anterior:
t
A
v = v0
e −1 t e +1 A
A=
2gH Lv 0
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Se considera como tiempo de establecimiento del flujo estacionario, el instante en donde la velocidad media es el 99% de la correspondiente a flujo estacionario:
⇒
t=
Lv v + 0,99v 0 Lv 0 1,99 Lv Lv0 v 0 + v = = 2,646 0 ·ln t establecimiento = 0 ·ln 0 ·ln 2gH v 0 − v 2gH v 0 − 0,99v 0 2gH 0,01 gH
Numéricamente: t establecimiento = 2,646
Lv 0 (3467 )(· 7,88 ) = 2,646 = 19,2 s (9,8)(· 385 ) gH
En la gráfica siguiente, se representa la evolución temporal de la velocidad en la tubería: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Velocidad (m/s) vs tiempo (s)
t−
A
2gH 2·(9,8)( · 385 ) = = 0,276 s −1 A= Lv 0 (3467 )(7,88 )
v = v0
t−
1
t+
1
0, 276·
e = 7,88 e t e +1 e 1
A
0, 276·
Sería interesante evaluar lo que pasa con el número de Reynolds:
0,10800 810 6,30410 ee
t−
0, 276·
t
0, 276·
1
+1
7,E+06 6,E+06 5,E+06 4,E+06 3,E+06 2,E+06 1,E+06 0,E+00 0
5
10
15
20
25
30
Re vs t(s) Es decir, prácticamente a partir del primer segundo, el Re es mayor de 106, y por tanto el flujo es turbulento.
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P 2.8. Golpe de ariete: en el sistema del problema anterior, se inicia la operación de cierre de la válvula de descarga. En función del tiempo de cierre (lento o rápido), analice el movimiento de las ondas de presión y sus amplitudes en la válvula de descarga. En el cierre de la válvula, cada posición del elemento de cierre origina una determinada velocidad de paso del agua (desde v0 con la válvula totalmente abierta, a 0 con la válvula cerrada); considere, que la velocidad de paso el proporcional a la raíz cuadrada de la presión en la válvula: v i = k i p i ; la constante de proporcionalidad, depende de la posición del elemento de cierre y de la densidad del fluido. DETERMINE: 1. Velocidad de la onda de presión. 2. Sobrepresión máxima de Allievi (cierre instantáneo). 3. Oscilaciones de presión en la válvula con cierre instantáneo. DATOS:
Central Hidráulica: diferencia de cotas entre embalse y chorro: H = 385 m Agua: módulo de compresibilidad: K = 2200 MPa; densidad: ρ = 1000 kg/m3 Tuberías: diámetro: D = 800 mm; longitud: L = 3467 m; rugosidad absoluta: ε = 1 mm espesor: e =10 mm; módulo de Young: E= 2000 MPa Velocidad en régimen estacionario: v0 = 7,88 m/s
RESOLUCIÓN: (1) Velocidad de la onda de presión :
K ρ a0 = a= 1 + ( D / e)(K / E) 1 + ( D / e)(K / E)
La velocidad sónica en el seno del agua, viene dada por su módulo de compresibilidad (K=2200 MPa) y su densidad (ρ=1000 kg/m3):
a 0 = K / ρ =
2200·10 6 = 1483,24 m/s 1000
El efecto de la elasticidad de la tubería, hace que la velocidad de la onda de presión en el golpe de ariete (a), sea inferior a la correspondiente a flujo no confinado (a0); en este caso del orden del 90%.
a=
a0 1483,24 = =157,223 m/s 1 + (D / e)(K / E) 1 + (800 / 10)(2200 / 2000)
(2) Sobrepresión máxima de Allievi: con cierre instantáneo, conforme el fluido se va parando, su presión experimenta un incremento, que se puede obtener, a partir de analizar un volumen de control estacionario, en un entorno diferencial al frente de onda: a
p0
a
v0
v=0
p0+ p
p0 (a+v0)
a
p0+ p
a
∑ dF = ρQ·Δv
⇒
p 0 A − (p 0 + Δp )A = ρv 0 A(a − (a + v 0 ))
Δp = ρav 0 = 1000
⇒
Δp = ρav 0
kg m m ·157,223 ·7,88 = … = 12,4 bar 3 s s m
Esta sobrepresión, se suele expresar en unidades de carga o altura:
ΔH =
Δp ρav0 a 157,223 = = v0 = 7,88 = 126,42 m ρg ρg g 9,8
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