PROBABILIDAD CONDICIONAL Y TEOREMA DE BAYES 1. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres tres distintos fabricantes B1, B2 y B 3. El 50% del total se compra a B 1 mientras que a B 2 y B3 se les compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor; a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito circuito defectuoso. b) Si un circuito no está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B 2. 2. Con base en varios estudios una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de descubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de formaciones del tipo I, en un 20% de formaciones del tipo II y en un 30% de formaciones del tipo III. Si la compañía no descubre petróleo en ese lugar, determínese la probabilidad de que exista una formación del tipo II. 3. Un taller repara componentes tanto de audio como de video. Sea A el evento en el que el siguiente componente traído a reparación es un componente de audio, y sea B el evento en el que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (así que el evento B está contenido en A). Suponga que P(A) = 0.6 y P(B) = 0.05. ¿Cuál es P(B/A)? 4. 70% de las aeronaves ligeras que desaparecen en vuelo en cierto país son son posteriormente localizadas. De las aeronaves que son localizadas, 60% cuentan con un localizador de emergencia, mientras que 90% de las aeronaves no localizadas no cuentan con dicho localizador. Suponga que una aeronave ligera ha desaparecido. a) Si tiene un localizador de emergencia, ¿cuál ¿cuál será la probabilidad de que no será localizada? b) Si no tiene un localizador de emergencia, ¿cuál es la probabilidad de que será localizada? 5. Una compañía que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y un modelo de lujo. Durante el año pasado, 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo básico. De aquellos que compraron el modelo básico, 30% adquirieron una garantía ampliada, en tanto que 50% de los que compraron el modelo de lujo también lo hicieron. Si se sabe que un comprador seleccionado al azar tiene una garantía ampliada, ¿qué tan probable es que él o ella tengan un modelo básico? VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 6. Identifica las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: a) Aumento de vida alcanzado por un paciente de cáncer como resultado de una cirugía. b) Resistencia a la ruptura (en libras por pulgada cuadrada) de un cable de acero de una pulgada de diámetro. c) Número de venados muertos por año en una reservación estatal de fauna silvestre. d) Número de cuentas vencidas en una tienda de departamentos en un tiempo particular. e) Su presión sanguínea. 7. Si X representa el número de veces que un cliente va a una tienda en un periodo de una semana. Suponga que ésta es la distribución de probabilidad de X: X 0 1 2 3 P(X = x) 0.10 0.40 0.40 0.10 Encuentre el valor esperado de X, el número promedio de veces que un cliente va a la tienda. 8. Una pieza de equipo electrónico contiene seis chips de computadora, dos de los cuales son defectuosos. Al azar se seleccionan tres chips, se retiran del equipo y se inspeccionan. Sea X igual al número de defectos observados, donde X = 0, 1 o 2. Encuentre la distribución de probabilidad para X. Exprese los resultados gráficamente como un histograma de probabilidad. 9. ¿Toma usted café?, ¿cuántos descansos para tomar café se da cuando está en el trabajo o en la escuela? Casi todas las personas que toman café se dan un poco de tiempo para tomarlo y muchas se dan más de un descanso al día para tomarlo. La tabla siguiente, adaptada de un Snapshot de USA Today muestra la distribución de probabilidad para X, el número de descansos diarios que se dan quienes toman café: X 0 1 2 3 4 5 P(X =x) 0.28 0.37 0.17 0.12 0.05 0.01 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que toma café, seleccionada al azar, no se dé descanso para tomar café durante el día? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que toma café, seleccionada al azar, se dé más de dos descansos para tomar café durante el día?
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c) Calcule la media y la desviación estándar para la variable aleatoria X. d) Encuentre la probabilidad de que X caiga en el intervalo . 10. Un vendedor de equipo pesado puede comunicarse con uno o dos de sus clientes por día con probabilidades 1/3 y 2/3 respectivamente. Cada contacto resultará en no venta o en una venta de $50,000 dólares con probabilidades de 9/10 y 1/10 respectivamente. ¿Cuál es el valor esperado de sus ventas diarias? 11. El porcentaje de falla para un sistema de control de proyectiles dirigidos es 1 en 1000. Suponga que, en un sistema de control duplicado, pero completamente independiente, se instala en cada proyectil para que, si el primero falla, el segundo tome el control. La confiabilidad de un proyectil es la probabilidad de que no falle. ¿Cuál es la confiabilidad del proyectil modificado? 12. Suponga que en un supermercado en particular la probabilidad de esperar 5 minutos o más en la fila para pagar es 0.20. En un día determinado, un hombre y su esposa deciden hacer compras individualmente en el mercado, cada uno saliendo en diferentes cajas de pago. Ambos llegan al mostrador al mismo tiempo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre espere menos de 5 minutos para salir? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre y su esposa salgan en menos de 5 minutos? (Suponga que los tiempos de salida para los dos eventos son independientes). c) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o el otro o ambos esperen 5 minutos o más? 13. Un plan de control de calidad exige aceptar un lote grande de cojinetes para cigüeñal si se saca una muestra de siete y ninguno es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si ninguno del lote es defectuoso? ¿Y si 1/10 son defectuosos? ¿Y si ½ son defectuosos? VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 14. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine el rango (valores posibles) de la variable aleatoria. a) Un entablado de madera puede pedirse en espesores de 1/8, ¼ ó 3/8 de pulgada. La variable aleatoria es el espesor total del entablado de 2 pedidos. b) La variable aleatoria es el número de ciclos del reloj de una computadora necesarios para finalizar un determinado cálculo aritmético. c) La variable aleatoria es el contenido de humedad de un lote de materia prima, medido hasta el porcentaje entero más cercano. d) En un sistema de comunicación por voz con 50 líneas, la variable aleatoria es el número de líneas ocupadas en un momento en particular. DISTRIBUCIONES Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD 15. Un grupo de partes moldeadas se clasifica de acuerdo con su longitud, de la siguiente manera: Longitud redondeada a la décima de 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 milímetro más cercana Número de partes 0 3 10 25 40 18 16 2 a) Si la variable aleatoria X es la longitud (redondeada a la décima de milímetro más cercana) de una parte moldeada seleccionada al azar, determine la función de probabilidad de X. b) ¿Cuál es el valor de P(X≤5.1)? c) ¿Cuál es el valor de P(4.95
±2
2
18. Sea X una variable aleatoria discreta. Determinar el valor de k para que la función p( x )= k / x , x = 1,2,3,4 sea la función de probabilidad de X. Determinar, además, P(1≤ X ≤3). 19. Sea X una variable aleatoria continua. Determinar el valor de k para que la función
5 − >0 } ()= 0
sea la función de probabilidad de X. Determinar además:
a) Graficar f (x) b) Calcular P( X ≤5) y P(0≤ X ≤8) c) Determinar la función de distribución acumulativa F( x ) y graficarla. d) Determinar E(X) y VAR(X). 20. La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria está dada por:
0 <0 ()=21 >1 0≤ ≤1
a) Graficar F( x ). b) Obtener P(X<1/2) y P(X>3/4). c) Determinar f ( x ). d) Determinar E(X) y VAR(X). 21. La calificación promedio en una prueba de Estadística fue de 62.5 en escala de 100, con una desviación estándar de 10. El profesor sospecha que el examen fue difícil. De acuerdo con lo anterior desea ajustar las calificaciones de manera que el promedio sea 70 y la desviación estándar de 8. ¿qué tipo de ajuste aX + b debe utilizar? 22. Cierto tipo de componente esta empaquetado en lotes de cuatro. Sea X el número de componentes que funcionan de modo adecuado en un lote elegido de manera aleatoria. Suponga que la probabilidad de que exactamente x componentes funcionen es proporcional a x; en otras palabras, suponga que la función de masa de probabilidad de X es dada por:
2 , 3 , ó 4 ()= 0 =1,
Donde c es una constante. a) Determine el valor de la constante c para que P(X) sea una función de masa de probabilidad. b) Determine P(X = 2) c) Determine la media del número de componentes que funcionan adecuadamente. d) Determine la varianza del número de componentes que funcionan adecuadamente. e) Determine la desviación estándar del número de componentes que funcionan adecuadamente. 23. En 100 días diferentes, un ingeniero especializado en el tránsito de automóviles cuenta el número de éstos que pasan por cierto crucero entre las 5:00 y 5:05 p.m. Los resultados se presentan en la tabla siguiente: Número de Número de días Proporción de días automóviles 0 36 0.36 1 28 0.28 2 15 0.15 3 10 0.10 4 7 0.07 5 4 0.04 a) Sea X el número de automóviles que pasan por el crucero entre las 5:00 y las 5:05 p.m. en un día elegido aleatoriamente. Alguien sugiere que para cualquier entero positivo x, la de masa de probabilidad de X es P1(x) = (0.2)(0.8) x b) Otra persona sugiere que para cualquier entero positivo x, la función de masa de probabilidad es P1(x) = (0.4)(0.6)x. Usando esta función, calcule P(X = x) para valores de x de 0 a 5 inclusive. c) Compare los resultados de los incisos a) y b) con los datos de la tabla. ¿Cuál función de masa de probabilidad parece ser el mejor modelo? Explique. d) Alguien dice que ninguna de las funciones es un buen modelo ya que ninguna coincide exactamente con los datos. ¿Esto es correcto? Explique.
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24. y 25. Se seleccionan aleatoriamente chips de microprocesadores uno tras otro de una gran población y se prueban para determinar si son aceptables para determinada aplicación. El 90% de los chips en la población es aceptable. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chip elegido sea aceptable? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chip elegido sea inaceptable y el segundo sea aceptable? c) Sea X el número de chips que se prueba hasta incluir el primer chip aceptable. Determine P(X = 3) d) Determine la función de masa de probabilidad de X. Sea Y el número de chips probados hasta incluir el segundo chip aceptable. e) ¿Cuál es el valor más pequeño posible de Y? f) ¿Cuál es la probabilidad de que Y tome ese valor? g) Determine P(Y = 3/ X = 1). h) Determine P(Y = 3/ X = 2). i) Determine P(Y = 3). 26. Una masa radiactiva emite partículas de tiempo periódicamente. El tiempo entre dos emisiones es aleatorio. Sea T el tiempo en segundos entre dos emisiones. Suponga que la función de densidad de probabilidad (distribución de probabilidad para variables continuas) de T es dada por:
()={ 0.0 2−. >0 ≤0
a) Determine la media del tiempo entre emisiones. b) Determine la desviación estándar del tiempo entre emisiones. c) Determine la función de distribución acumulativa del tiempo entre emisiones. d) Determine la probabilidad de que el tiempo entre emisiones sea menor a diez segundos. e) Determine la mediana del tiempo entre emisiones. f) Determine el 90avo. Percentil de los tiempos entre emisiones. 27. En una lotería realizada a beneficio de una institución local de caridad, se han de vender 8000 boletos a $90 cada uno. El premio es un automóvil de $240,000. Si usted compra dos boletos, ¿cuál es su ganancia esperada? y ¿cuál es su desviación estándar? 28. Por experiencia, una compañía de transporte sabe que el costo de entregar un paquete pequeño antes de 24 horas es de $14.80. La compañía cobra $15.50 por el envío, pero garantiza la devolución del cargo si no lo entrega antes de 24 horas. Si la compañía no hace entregas en 3% de su paquetería antes del periodo de 24 horas, ¿cuál es la ganancia esperada por paquete?, y encuentre el intervalo de . 29. La función de densidad de las mediciones codificadas del diámetro del hilo de un encaje es:
,0<<1 (+ Encuentre el valor esperado de X y el intervalo ±2 ()= )
0
±2
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y NORMAL 30. En un proceso de producción se examinan lotes de 50 resortes helicoidales para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. El número promedio de resortes helicoidales que no cumplen con los requerimientos es de 5 por lote. Suponga que el número de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, denotado por X, es una variable aleatoria binomial. A) ¿qué valor tienen n y p? B) Calcule P(X≤2) C) Calcule P(X≥49) 31. Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean de tipo D y funcionará solo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada? 32. De 50 edificios en un parque industrial, 12 no cumplen el código eléctrico. Si se seleccionan aleatoriamente 10 edificios para inspeccionarlos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los diez no cumplan el código?, encuentre la media y la varianza. 33. Un puente de peaje cobra 1 dólar para los vehículos de pasajeros y 2.50 dólares para los demás vehículos. Supongamos que, durante las horas del día, el 60% de todos los vehículos son de pasajeros. Si 25 vehículos cruzan el puente durante un periodo determinado durante el día, ¿cuál es el resultado de los ingresos por peaje previstos? [Sugerencia: Sea X = el número de vehículos de pasajeros, entonces, los ingresos por peaje h(X) son una función lineal de X.]
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34. La resistencia a la compresión de una serie de muestras de concreto puede modelarse con una distribución normal con media 6000 kilogramos por centímetro cuadrado, y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 kg/cm2? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5850 y 5950 kg/cm2? c) ¿Cuál es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras? 35. Una familia típica pasa mucho tiempo en un auto de una actividad a otra y también en filas de entrada a restaurantes de comida rápida. Hay una evidencia cada vez mayor que sugiere que estamos empezando a agotarnos. De hecho, en un estudio realizado para el Centro para un Nuevo Sueño Americano, la revista Time informa que el 60% de los habitantes de Norteamérica sienten presión por trabajar demasiado y 80% desean tener más tiempo en familia. Suponga que estos porcentajes son correctos para todos los habitantes de Norteamérica (México a Canadá) y que se selecciona una muestra aleatoria de ellos. a) Hallar la probabilidad mediante tablas binomiales de que más de 20 sientan presión por trabajar demasiado. b) Use la aproximación normal a la distribución binomial para aproximar la probabilidad del inciso a) Compare sus respuestas con el valor del inciso a). c) Hallar la probabilidad mediante tablas binomiales de que entre 15 y 20(inclusive) deseen estar más tiempo en familia. d) Use la aproximación normal a la distribución binomial para aproximar la probabilidad del inciso c) Compare sus respuestas con el valor del inciso c). limks soluciones solución 21 https://books.google.com.mx/books?id=IrACe_79myIC&pg=PA79&lpg=PA79&dq=la+calificaci%C3%B3n+p romedio+en+una+prueba+de+estadistica+fue+de+62.5&source=bl&ots=a62Kf28QHd&sig=FTQVLgsgcIGuOefMfolbl65W84&hl=es419&sa=X&ved=0ahUKEwikw9iPl7PPAhVR5WMKHUJ8DBsQ6AEIHTAA#v=onepage&q=la%20calificaci %C3%B3n%20promedio%20en%20una%20prueba%20de%20estadistica%20fue%20de%2062.5&f=fals e ejercicio 19 https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091030164627AAji56k
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