Valor Esperado El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del jue juego go le cor corres respon ponde de una pro probab babili ilidad dad det determ ermina inada, da, est esto o equ equiva ivale le a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resu re sult ltad ados os po posi sibl bles es de dell ju jueg ego o es esta tará rá re repr pres esen enta tado do po porr la di dist stri ribu buci ción ón de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa representa por E(X), está definido por: E(X) = ∑ x xi f (x ) i
Lo anterior significa, que para calcular E(X) calcular E(X) se se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y despus se suman esos productos. El valor esperado representa el valor promedio que promedio que se espera suceda, al repetir el e!pe e! peri rime ment nto o en fo form rmaa in inde depe pend ndie ient ntee un unaa gr gran an ca cant ntid idad ad de ve vece ces. s. El va valo lor r esperado se interpreta f"sicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la dis distri tribuc bución ión de pro probab babili ilidad dad,, por lo que es igu igual al a la media media o o promedi promedio o aritmético,, los cuales se representan con la letra µ. aritmético #e acuerdo a lo anterior podemos escribir que$ E(X) = µ % ∑ x xi f(x ) i
Ejemplo 4. 7. &i se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.
Solución. #efinamos la variable aleatoria X aleatoria X como como la suma de los n'meros que aparecen al lanzar dos dados legales. Como vimos en el problema anterior, la distribución distribución de probabilidad es$ xi f(x ) ) % ∑ x i %
xi f 2 x ) i
( 03)
) (3)
* )3)
+ *3)
+3)
3)
+3)
/ *3)
01 )3)
00 (3)
0( 03)
En particular, si la distribución de probabilidades es simtrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución. 4na aplicación del valor esperado puede ser la siguiente. Ejemplo 4. 8. 4n casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad de pesos cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer para que el jugador ni gane ni pierda.
Solución. &ea X la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar un dado. &u distribución de probabilidad es la siguiente$ 0
(
)
*
+
03
03
03
03
03
03
En este caso el valor esperado debe ser igual al valor , con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. 5plicando la fórmula del valor esperado tenemos$ 02036 7 (2036 7 )2036 7 *2036 7+2036 7 2036 % ).+ ∑ xi f(x ) % i El jugador debe pagar ).+ pesos cada vez que participa en un juego. &i la cuota fuera de * pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de 1.+1 pesos por juego, ya que 8 % *.11 8 ).+1 % 1.+1 pesos. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a ).+ pesos 2debe ser un n'mero entero entre 0 y 6, entonces la E(X) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego.
El significado de E(X) % ).+ pesos, es que si el juego se realiza un gran n'mero de veces, el cociente apro!imadamente igual a ).+ pesos.
debe
ser
Ejemplo 4. 9. Consideremos una loter"a con mil n'meros. Cada n'mero cuesta (+ centavos y el premio es de 011 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta loter"a.
Solución. &ea X la variable aleatoria utilidad que obtiene la persona que participa en la loter"a y los valores que puede tomar son$ Cuando gana % //.-+ pesos 2011 que gana del premio, menos 1.(+ del costo del n'mero6. Cuando pierde$ 91.(+ pesos 2costo del n'mero6 :or su parte, la probabilidad de ganar es 030111 y de perder ///30111. #e acuerdo a los datos anteriores, la distribución de probabilidad es$ X = xi f(x ) i
//.-+ 030111
81.(+ ///30111
:or lo tanto, el valor esperado es$
∑ xi f(x ) % 2//.-+6 20301116 7 281.(+6 2///301116 % 81.0+ i
; sea que la persona que participe en la loter"a espera perder 0+ centavos en cada juego.
