Ejercicios: Intervalo de confianza para la media Docente Ing. Luis A. Fernández Vizcarra
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Introducción: Actualmente se debe estar consciente de que las poblaciones son generalmente muy grandes como para ser estudiadas en su totalidad. Debido a su tamaño se requiere que se seleccionen muestras, los cuales se pueden utilizar más tarde para hacer inferencias sobre las poblaciones.
Hoy por lo menos dos tipos de estimadores que se utilizan comúnmente. Un estimador puntual. Una estimación por intervalo.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Un estimador puntual utiliza una estadística para estimar el parámetro (medio, proporción) en un solo valor o punto.
Una estimación por intervalo especifica el rango dentro del cual está el parámetro desconocido; tal intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se da en su actitud. Por lo tanto se llama Intervalo de Confianza (I.C.) Existen tres niveles de confianza relacionados comúnmente con los intervalos de confianza: 99, 95 y 90 % que son denominados coeficientes de confianza y son simplemente convencionales. Las estimaciones por intervalo gozan de ciertas ventajas sobre las estimaciones puntuales, debido al error de muestreo.
EL FUNDAMENTO DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
El intervalo de confianza para la media tiene un límite inferior de confianza (LIC) y un límite superior de confianza (LSC). Estos límites se hallan calculando primero la media muestral (X ), luego se suma una cierta cantidad a X para obtener el LSC y la misma cantidad se resta de X para obtener el LIC. La determinación de dicha cantidad es el objetivo de este trabajo.
CASOS 1. Intervalo de confianza para la Media Poblacional – Muestras Grandes (n≥30) Uno de los usos más comunes de los intervalos de confianza para la media es cuando el tamaño de la muestra es mayor e igual a 30 utiliza a la distribución (n≥30) , utiliza a la distribución Z. Se lee: La media poblacional (µ) se encuentra entre LIC y LSC con una probabilidad o confianza de γ.
Donde: X
:
media muestral
µ
:
media poblacional
δ
:
desviación estándar
η
:
tamaño muestral
Zo
:
Z1 – /2 α
=
Punto crítico
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 1 Su producto requiere que un cierto componente utilizado en su fabricación promedie 15.2 gramos. Si usted compra 100 componentes y encuentra que X = 14.8 gramos, con S= 3.2 gramos. ¿Qué le diría un intervalo del 99% sobre lo aconsejable de comprarle más a este proveedor?
Datos: η
=
100 componentes (tamaño de la muestra).
X
=
14.8 gramos (media promedio de la muestra)
S
=
3.2 gramos (desviación estándar).
γ
=
99% = 0,99 (nivel de confianza).
α
= tolerable).
1%
= 0,01 (nivel de significancia o error
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 1 Solución: Hallando Zo = Z1 – /2 α
=
Z1 – 0,01/2 =
Z 0,995
Zo = 2,58
P X − Z
0
σ n
≤ µ ≤ X + Z 0
= γ n
σ
Reemplazando valores: P [ 14,8 –+2.58 x 3,2 ≤ µ ≤ 14,8 - 2.58 x 3,2 ] = 0,99 √100
√100
P [15.63 ≤ µ ≤ 13.97] = 0,99 Interpretación: Con una confianza del 99% se puede decir que el peso promedio de un componente cualquiera se encuentra entre 15.63 y 13.97 gramos y es aconsejable comprarle a dicho proveedor.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 2 Para estimar el gasto promedio de los clientes en la cafetería de la universidad, los estudiantes de una clase de estadística toman una muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de S/. 5.67, con una desviación estándar de S/. 1.10. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para los gastos promedios de todos los clientes? Interprete sus resultados.
Datos: η
=
200 clientes
X
=
S/. 5.67
δ
=
S/.1.10
γ
=
95% = 0,95.
α
=
5%
= 0,05.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 2 Solución: Zo = Z1 – /2 α
Zo = 1,96
=
Z1 – 0,05/2 =
P X − Z
0
σ n
Z 0,975
≤ µ ≤ X + Z 0
= γ n
σ
P [ 5.67 – 1.96 x 1.10 ≤ µ ≤ 5.67 + 1.96 x 1.10 ] = 0,95 √200
√200
P [ 5.52 ≤ µ ≤ 5.82 ] = 0,95
Interpretación: Con una confianza del 95% se puede decir que los gastos promedios de todos los clientes se encuentra entre 5.52 y 5.82 soles.
2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL – MUESTRAS PEQUEÑAS N < 30. En los dos ejemplos anteriores, el tamaño de la muestra era mayor a 30 (n ≥ 30). Sin embargo, no siempre puede ser posible obtener por lo menos 30 observaciones. En muchos casos una muestra grande no es posible. Cuando debe tomarse una muestra pequeña, la distribución normal no puede aplicarse. Cuando se utiliza una muestra pequeña, puede ser necesaria una distribución alternativa, la distribución “t”Student ( o simplemente la distribución “t”).
La distribución “t” se utiliza cuando cumple 3 condiciones: (1)
La muestra es pequeña.
(2)
La desviación estándar (υ) es desconocida.
La población es normal o casi normal.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 2 Al igual que distribución “Z”, la distribución “t” tiene su forma algebraica de expresar su intervalo.
P X − t
0
s n
LIC
≤ µ ≤ X + t 0
= γ n
s
LSC
Se lee: La media Poblacional (µ) se encuentra entre LIC y LSC con una probabilidad o confianza de γ . Donde: X : media muestral
µ : media poblacional
S : desviación estándar
n : tamaño muestral
to = t(1 -
α
/2), n-1 grados de libertad
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 3 Un grupo estudiantil popular, vende latas de cerveza de 16 onzas. Diez estudiantes compran un total de 22 latas y utilizando su propia taza de medida, estiman los contenidos promedio. LA media muestral es de 15.2 onzas, con S= 0,86 .¿Con un nivel de confianza del 95%, los estudiantes compran la cantidad correcta?
Datos: n
=
22 vasos de cerveza
X
=
15,2 onzas
S
=
0,86 onzas
Y
=
95 %= 0,95
α
=
5%
=
0,05
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 3 Solución: t0 = t1 -
/2, n-1
α
= 22-1 t(1 – 0,05/2),(2,22-1) = t0.975,21 =
to = 2.080
P X − t
0
s n
≤ µ ≤ X + t 0
= γ n
s
Reemplazando: P [ 15,2 – 2.08 x 0,86 ≤ µ ≤ 15,2 + 2.08 x 0,86 ] √22
=
0,95
√22
Interpretación: Con una confianza del 95% se puede decir que el contenido de los vasos de cerveza se encuentra entre 14.83 y 15.57 onzas. Respuesta: Los estudiantes están pagando por latas que tienen menos contenido.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 4 Una gran empresa de contabilidad contrató un psicólogo industrial para medir la satisfacción laboral de sus socios más antiguos. n 17 socios se les practicó una prueba para medir la satisfacción laboral; los puntajes promedio fueron de 120 puntos y la varianza para todos sus socios es de 120. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90% para el puntaje promedio? Datos: n
=
17 socios
X
=
120
S
=
√ 5 = √ 120
γ
=
90 %
=
0,90
α
=
10%
=
0,10
=
10,98
EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 4 Solución: to = t(1 -
/2),(n-1)
α
= t(1 – 0,10/2),(17-|) = t0.95,16 =
to = 1.746 P [ 120 – 1.746 x 10.98 ≤ µ ≤ 120 + 1.746 x 10.98 ] = 0,90 √17
P [ 120 – 4.68 P [
√17
≤ µ ≤ 120 + 4,68 ]
115,32 ≤ µ ≤
124.68 ]
= 0,90
= 0,90
Interpretación Con una confianza del 90% se puede decir que el puntaje promedio se encuentra entre 115.32 y 124.68 puntos.
CONCLUSIONES
Los intervalos de confianza son una gran herramienta que nos ayuda a tomar decisiones muy importantes en nuestra vida laboral, vida diaria.
Existen dos tipos de distribución; la distribución Z se utiliza cuando n≥30 y la distribución T se utiliza cuando n < 3t.
Las estimaciones por intervalo son mejores que las estimaciones puntuales debido al error de muestreo.
