UNIVERISIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL VALLEJO
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD II
INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA ALUMNOS: GUTIERREZ ESPINOZA MANUEL JASSO GONZALEZ CAROLINA MORALES IGNOROSA ILEAN TAPIA LUENGAS WENDY ANGELICA
GRUPO: 606 PROFESORA: GARCIA MARTINEZ MARIA DE LOURDES
INTRODUCCION: Un intervalo de confianza (1-α): Proporciona un intervalo de valores, centrado en el valor estadístico de la muestra, en el cual supuestamente se ubica el parámetro de la población, con un riesgo de error conocido. El valor de alfa α se considera a menudo como la probabilidad de cometer un error en la estimación, ya que indica la proporción de las veces en que uno se equívoca si; 1- α=95% entonces el riesgo que se corre es del 5%; 1- α=90% entonces el riesgo es del 10%; 1- α=98% el riesgo del 2%. El nivel de confianza se dividirá de tal manera que la mita de 1- α este por arriba de la media y la otra por debajo. Esto determina la probabilidad α/2 en cada una de las dos colas de la distribución.
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. En general, los intervalos de confianza se construyen a partir de la información muestral, de modo que tanto los cambios de α como los cambios de n (el tamaño de la muestra) afectan la amplitud del intervalo. Mientras mayor sea el número de observaciones más confianza se tendrá en la estimación. Una de las formulas que se utilizaran es: ̅
Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación del valor μ.
Errores Si estamos estimando µ con Ẋ, y µ resulta estar dentro del intervalo de confianza que construimos entonces como Ẋ esta en el centro del intervalo, el máximo error que puede tener Ẋ con respecto a µ se da en el caso en que µ coincida con uno de los límites del intervalo. Entonces, por ejemplo, en el caso de que la población sea normal y
sea
conocido, y por lo tanto siendo la formula que utilizaremos.
Ẋ
√
Entonces el máximo error que podemos cometer es
√
Es decir, el máximo error posible coincide con el término al que le aplicamos el ±
INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIAS 1. MUESTRAS GRANDES (n ≥ 30) Cuando conocemos σx, el error estándar de x, podemos encontrar el intervalo de confianza para la media de la población de una población normal por medio de las siguientes formulas:
x± zc √ En el caso de que la toma de muestras sea de una población infinita o si el muestreo se lleva a cabo con remplazo de una población finita, y por si el muestreo es sin remplazo de una población finita de tamaño N.
X ± zc
√
√
En general, la desviación estándar σ de la población es desconocida, de manera que debemos utilizar el estimador S.
2. MUESTRAS PEQUEÑAS (n < 30) y POBLACION NORMAL
En este caso usamos la distribución t para obtener los niveles de confianza. En general, los límites de confianza para las medias de las poblaciones están dados por:
x± tc
Donde el valor de t, se puede obtener de:
√
Estimación de la media cuando no se conoce σ distribución “t”
Cuando no se conoce el valor de la desviación estándar de la población (lo que generalmente ocurre), la desviación estándar de la muestra se utiliza como una estimación de σ y s sustituye a σ, en ecuaciones de intervalos de confianza y errores. Además, por l Teorema Central del límite de sabe que, cuando el tamaño de la muestra es mayor a 30, la distribución de muestreo de las medias será casi normal. Sin embargo para muestras de 30 o menos observaciones, la aproximación normal resulta inadecuada. En lugar de ello, los cálculos de los intervalos de confianza se deben basar en la distribución t, que es la distribución teórica correcta siempre se utiliza s. La forma de ésta distribución t es muy parecida a la distribución normal. La distribución t presenta un área mayor en sus extremos (colas). Esto significa que, para un nivel de confianza dado, el valor de t será un poco mayor que el correspondiente valor de Z. Para utilizar una tabla de valores de t, se debe conocer dos cosas: el nivel de confianza deseado y los grados de libertad que son igual a n-1, o una unidad menor que el tamaño muestral. La distribución t se usa en las siguientes circunstancias: la población tiene una distribución normal, se desconoce σ (pero se conoce “s” o puede calcularse) y el tamaño de la muestra es menor o igual a 30.
INTERVALO DE CONFIANZA: (Procedimiento en cinco pasos)
PASO 1: Planteamiento Describir el parámetro poblacional de interés.
PASO 1: Especificar los criterios del intervalo de confianza. a. Comprobar los supuestos. b. Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar. c. Establecer el nivel de confianza,
PASO 3: Recolectar y presentar hechos muéstrales: Recolectar la información muestral.
PASO 4: Determinar el intervalo de confianza: a. Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
PASO 5: Presentar los resultados: Establecer el intervalo de confianza.
Cuando en el problema no hay Desviación Estándar, y la muestra menor a 30. Una maquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor del taller toma una muestra aleatoria de 10 cajas para estimar el peso medio de la población de todas las cajas llenadas por las máquinas. Los valores de muestra son: 11.02, 11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27, 10.93, 10.94. Encuentre e interprete un intervalo de confianza para el peso medio de las cajas de cereal llenadas por la máquina. Para la información precedente ∑ ̅
Datos: ̅
Desarrollo:
∑
√∑
̅
√
Por tanto: ̅ ̅
̅ =11.215-1.833(0.1007)=
11.030
̅
Podemos establecer que, basados en la muestra, estamos 90% seguros de que el intervalo (11.030, 11.400) contiene el peso medio real de las cajas
BIBLIOGRAFÍA: Howard B. Chrisensen Estadística “Paso a Paso” Ed. Trillas Martínez Trejo J.C Estadística y Probabilidad Murray R. Spiegel "Teoría y problemas de Probabilidad y Estadística”
