INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
Sea X 1 , X 2 , … , X n una muestra aleatoria de tamaño n, escogida de una población normal con varianza 2 ❑ , parámetro desconocido. Un estimador puntual de la varianza ❑2 es la varianza muestral ´ ¿ X i − X
2
¿ ¿ n
∑¿ i= 1
S ^
2
=¿
cuyo valor s 2 es la estimación puntual de
.
2
❑
^
Para determinar el intervalo de confianza para la varianza !
2
❑
se utiliza la estadística:
( n−1 ) S 2 ^
2
σ
cuya distribución es c"i#cuadrado con n#$ grados de libertad, esto es, X 2 ( n−1 ) para n &ado el nivel de confianza: $#α, en la distribución X 2 'n#$(, se encuentran los valores X 2 2 X 1− / 2, n−1 tales )ue 'figura $( ∝
P * X 2
∝
/ 2, n −1
2
X ≤
≤
X 1−
∝
/ 2, n−1
+ ! $# α
Figura.1 Intervalo de confanza de la varianza
Sustituyendo ! 'n#$(
2
2
S / σ ^
P
2
❑
resulta:
[
( n−1 ) s2 ^
2
X 1−
∝
/ 2, n−1
]
2
σ
[
( n−1 ) s 2 ^
2
X
∝
/ 2, n−1
]
!$#α
-uego, si s 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de una población normal, entonces, el intervalo de confianza de '$# α ¿ $/ para σ 2 es: ^
( n −1 ) s 2 ^
2
X 1−
∝
/ 2, n −1
σ 2
( n−1 ) s2 ^
2
X
∝
/ 2, n−1
≥ ∝
%.
/ 2, n −1
y
-os valores, X 2 / 2, n−1 y X 21− / 2, n−1 se "allan la tabla c"i#cuadrado con n#$ grados de libertad y con áreas acumuladas respectivas de α0% y $#α0%. ∝
∝
Ejemplo1.- Una ma)uina corta automáticamente masas de
pan. Para estimar la variabilidad de los pesos de las partes, se tomó una muestra aleatoria de $ partes cortadas por la má)uina, resultando los siguientes pesos en gramos. 1.2,
1.1,
$.$, $.3, 1.1, $.$
1.4,
$.3,
$.5,
1.1.
&esarrolle un intervalo de confianza del 16/ para la varianza de los pesos de todas las partes cortadas por la má)uina. Suponga )ue los pesos de todas las partes cortadas se distribuyen seg7n lo normal. Solución:
8on α =0.005 , n=10 y r = n−1= 9 grados de libertad, en la tabla c"i#cuadrado se encuentran: 2
X
∝
/ 2, n − 1
2
X 1−
2 0.025,9
= X
! %.4 y
2
∝
/ 2, n−1
= X 0.975,9 =19.02
&e los datos de la muestra resulta: -os límites de confianza inferior y superior del 16/ para la varianza son respectivamente: Por lo tanto, el intervalo de confianza del 16/ para la varianza es: 9bserve )ue sacando raíz cuadrada en este intervalo, resulta: ue viene a ser el ine!"#lo $e con%i#n&# $el '() p#!# l# $e*"i#ción e*+n$#! $e l# po,l#ción $e lo* pe*o* $e o$#* l#* p#!e* co!#$#*. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RAZON DE DOS VARIANZAS
Sean y las varianza de dos muestras aleatorias independientes de tamaños y seleccionadas de dos poblaciones normales respectivas con varianzas y . Un estimador puntual de la razón de las varianza: es la estadística Para determinar el intervalo de confianza de se utiliza la estadística ; definida por: ue tiene distribución de probabilidad ; con grados de libertad y .
ventas de una cadena de "ipermercados )uiere comparar la variabilidad de las ventas diarias de dos sucursales > y ?. Se sabe )ue todas las ventas de > y de ? se distribuyen normalmente. &os muestras aleatorias de ventas: Una de 2 días de > y otra de @ días de ? revelaron las siguientes ventas en miles de soles:
Auestra de >: %%, %, %$, $1, $4, %3, %$, $2. Auestra de ?: $%, $6, $5, $3, $@, $5. Utilice un intervalo de confianza del 16/ para la razón de dos varianzas, para determinar si son iguales o no las varianzas de las dos poblaciones de ventas diarias de > y ?B. Solución:
Sean , C las variables aleatorias )ue representan las ventas de > y de ? respectivamente. Se supone )ue las distribuciones de , C son normales. 8on , y grados de libertad y en la tabla ; se encuentran: &e los datos de la muestra resultan: -os límites de confianza del 16/ para inferior y superior son respectivamente: Por lo tanto, el intervalo de confianza del 16/ para la varianza es: &ado )ue el intervalo contiene a la unidad, es decir, dado )ue: Se debería inferir con un nivel de confianza del 16/, )ue las dos varianzas poblacionales son iguales. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS EDIAS Ine!"#lo $e con%i#n&# p#!# l# $i%e!enci# en!e $o* me$i#*: V#!i#n&#* / *upue*#* conoci$#*.
Sean y las medias de dos mue*!#* #le#o!i#* in$epen$iene* de tamaños y seleccionadas respectivamente de dos poblaciones con medias y varianzas supuestas conocidas. Un estimador puntual de la diferencia de madias es la estadística cuyo valor es la estimación puntual. Si las dos poblaciones son normales , entonces, y tienen distribuciones respectivas normal y 'para y (.
se obtiene de la tabla normal de manera )ue:
-a ilustración del intervalo de confianza de es la figura '(, donde, Son los límites de confianza inferior y superior respectivamente de la diferencia de las medias poblacionales. Ejemplo0.- Un ingeniero industrial a cargo de
una planta de producción )uiere determinar si "ay diferencia en el n7mero de unidades producidas en los dos turnos: matutino y vespertino. Gl )uiere usar la tHcnica de estimar la diferencia entre las medias de los dos turnos sabiendo )ue las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 55 y @6 respectivamente. Para esto escogió dos muestras aleatorias independientes de 66 obreros del turno matutino y @6 de obreros del turno vespertino de un día cual)uier, y "allo )ue el n7mero medio de unidades producidas respectivas fue 536 y 5. &etermine un intervalo de confianza del 12/ para la diferencia , donde es la media de toda la producción matutina y es la media de toda la producción vespertina. I
-a estimación puntual de la diferencia de las dos medias poblacionales es la diferencia de las medias muestrales: demás, la diferencia es positiva. Por lo tanto, se infiere )ue , es decir el turno matutino produce más. Ine!"#lo $e con%i#n&# p#!# l# $i%e!enci# en!e $o* me$i#*: V#!i#n&#* / *upue*#* $e*conoci$#*. A Po,l#cione* no no!m#le*
Si y son los valores de las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños y seleccionadas respectivamente de dos poblaciones cuyas distribuciones son no normales con varianzas y supuestas desconocidas, entonces, siempre )ue los tamaños de las muestras sean ' (, los parámetros y se estiman puntualmente por y .
Sean y las medias y y las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaños y respectivamente seleccionadas de dos poblaciones normales con varianzas y supuestas desconocidas. 21 V#!i#n&#* *upue*#* i3u#le*:
demás, se comprueba )ue ambas U y J son independientes.
Eiene distribución t#student con grados de libertad. -a varianza com7n muestral definida por: es un estimador insesgado de la varianza com7n poblacional . dado el nivel de confianza , en la distribución se "alla el valor 'figura( tal )ue: sustituyendo la eDpresión de E, y manipulando algebraicamente, resulta, -uego, Si y son las medias )ue resultan de dos muesrtas independientes de tamaños y rescogidas respectivamente de dos poblaciones normales con varianzas y supuestas desconocidas e iguales, entonces, el intervalo de confianza del de es: &onde es el valor del error estándar de la diferencia de medias.
-a ilustacion es la figura'(, donde: Son los limites de confianza de , inferior y superior respectivamente 2 V#!i#n&#* *upue*#* $i*in#*:
'8"anc"amayo( y ? 'uillabamba(. y la otra de $% sacos de ?, revelaron los siguientes porcentaKes de impurezas por saco de cafH. >: 5, 3, @, @, 6, @, 4, 5, 4, @. ?: 4, @, $, 2, 1, 4, @, 4, 1, 6, 2.
Sean y las poblaciones de porcentaKes de impurezas por saco de cafH de > y ? respectivamente. Se supone )ue las poblaciones son normales con varianzas desconocidas supuestas iguales. &e las muestras se obtiene: demás, como , debería eDportar la variedad >.
