INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCION POBLACIONAL.docx

INTERVALO INTERVALO DE CONFIANZA CONF IANZA PARA PARA UNA PROPORCION POBLACIONAL Sea  x 1 ,…, x n  una m.a, extraída de una !"#a$%&n Bern!u##% de ar'metr! P. e# e(t%mad!r m'x%m! )er!(ím%# de de# ar'metr! P e( n

 p= x´ = ^

 Xi =numer numero o de exitosen exitosen lamuestra lamuestra ∑ = i 1

n

n

D!nde $ada )ar%a"#e  Xi  t!ma e# )a#!r * (% re(enta #a $ara$terí(t%$a e(tud%ada + e# )a#!r  (% n! #a re(enta. En e(te $a(! #a med%a mue(tra#

 x´

t%ene #a %nterreta$%&n de r!!r$%&n -ue (e !"(er)a en #a mue(tra de e#ement!( $!n #a $ara$terí(t%$a $ara$terí(t%$a e(tud%ada. Sa"em!( -ue

 E| p|= E| x´ |= P ^

Var| p|=Var | X |= ^

 pq  p ( 1− p ) = n n

Lue/!, #a e(tadí(t%$a

 p  t%ene una d%(tr%"u$%&n a(%nt&t%$amente n!rma# ^

dada !r p ( 1− p ) n  p n→∞ n →∞ N ¿

 P;  P ;

*

^

⃗

L! -ue 0a$%#%ta #a $!n(tru$$%&n de #a $ant%dad %)!ta# $!m! #a 0un$%&n  p − p ^

 X 1 ;… ; X n ; Q =q ¿  12

^ √

 p  p ( 1 = p ) n ^

Cu+a d%(tr%"u$%&n e( N 3, *1. En #a $ant%dad %)!ta# (e 4a (u(t%tu%d! Var| p|= ^

 p (1 − p ) por por suestimado suestimadorr n

A(í, ara e# $!e5$%ente de $!n5an6a e(ta"#e$%d! + ¿ * #!( )a#!re( ta"u#ad!( exre(%&n.

q1 2 −Zα / 2  7

0
−α ¿

1, ex%(ten

q 2 2 Zα / 2  -ue )er%5$a #a

 p − p

1 <¿

^

Q < x <¿  P ⌈ q ¿ ¿

q2 ]  2 P

√  p ( 1 = p )

^

[ − Zα / 2 <¿

< Zα / 2 ]

^

2* −α 

n

Zα / 2 e( e# )a#!r de #a a"($%(a de #a d%(tr%"u$%&n N 3, *1 -ue de8a a

D!nde

(u dere$4a una 'rea -ue rere(enta una r!"a"%#%dad %/ua# a

α / 2 .

P!r $!n(%/u%ente, e# %nter)a#! de $!n5an6a de# 3* −α  1 x*9 ara e# ar'metr!  re(u#tante e( *2

 p ( 1− p ) ¿ p − Zα / 2 √ 

^ ^

^

n

√  p ( 1 − p )  p + Zα / 2

;

^ ^

^

n

 >

Observación: $uand! e# mue(tre! (e 4a$e (%n de(#a6am%ent! en una !"#a$%&n 5n%ta de tama:! N + e# tama:! de #a mue(tra $!n(t%tu+e m'( de# ;9 de# tama:! de #a !"#a$%&n, re(u#ta ade$uad! u(ar e# 0a$t!r de $!rre$$%&n !r !"#a$%&n 5n%ta. P!r tant!, e# %nter)a#! de $!n5an6a de# 3* −α  1 x*9 ara e# ar'metr!  e(

*2

¿ p ± Zα / 2 ^

Observación: (% (e ut%#%6a  p ^

√

 N − n  p (1 − p ) >¿  . −  N  1 n ^

^

$!m! e(t%mad!r de , e# err!r

a"(!#ut! de e(t%ma$%&n e( e =¿  p− p ∨¿ ^

Lue/!, $!m! #a exre(%&n de# %nter)a#! de $!n5an6a  3* −α  1 x*9 e(

P

^

[| p− P|< z α  ^

2

√

 ] √

Zα 

 p−¿

2

 p (1 − p ) n ^

√

 p (1 − p )  p (1 − p ) < p < p + z α  n n 2 ^

^

^

^

^

]=P

] =* − α 

^

Su(t%tu+end! e# #ad! dere$4! de #a <#t%ma de(%/ua#dad ara e# err!r de e(t%ma$%&n e + de(e8and! n (e !"t%ene  z α  ¿  p ( 1 − p ) ^ 2

^

2

¿ ¿ n =¿

 p

D!nde

^

e( #a r!!r$%&n !"#a$%!na# $!n!$%da u !"ten%da !r

^

e(tud%!( anter%!re(. S%  p  n! e( $!n!$%da (e uede (u(t%tu%r $!n una e(t%ma$%&n ^

 p ^

!"ten%da en un mue(tre! %#!t! $!n una mue(tra de tama:! n. S% n! (e uede e0e$tuar e# mue(tre! %#!t! de (u(t%tu+e

 p  !r e# ^

)a#!r -ue 4a$e m'x%ma a )ar%an6a. Para en$!ntrar ta# )a#!r der%)am!( #a exre(%&n de #a )ar%an6a.

∫ ( p )=Var ⌈  p ⌉ = p (1n− p ) y la igualamosa 0, es deir omo ^

^

^

^

d

∫ ( p )= ^

∫ ( p ) = 1 −2 p = 0 !  p= 1 ^

d  p ^

 p=

A(%, (%

^

1 2

^

n

^

2

#a )ar%an6a e( m'x%ma. Lue/!, (u(t%tu+end!

 p= ^

1 2

en

#a exre(%&n de# tama:! de #a mue(tra, !"tenem!(

( Z  )2 ∝

n=

2 2

4e

O"(er)a$%&n $uand! #a !"#a$%&n e( 5n%ta de tama:! de N (e uede tener una $!n5an6a de +2 *=

∝

 de -ue e# err!r de e(t%ma$%&n (ea

men!r -ue una $ant%dad e(e$%5$ada e, $uand! e# tama:! de #a mue(tra e( dad! !r.

Z ∝ p ( 1− p ) N  2

^

n=

^

2

Z ∝  p ( 1− p )+ e ( N −1) 2

2

^

^

2

E8em#! *ara )er%5$ar (% un dad! era (e(/ad!. Se #an6& e# m%(m! *> )e$e(, !"ten%?nd!(e >; )e$e( e# n
Para

" =11−a =0,99  y

 a 2

 p= ^

25 120

=0,208333

=0,005 enla ta#la $ se enuentra Z a =2,5757 2

P!r tant!, e# %nter)a#! de $!n5an6a de# 9 ara  e( 1=¿  p− Z a ^

2

√

√

 p (1 − p )  p ( 1− p ) p + Z a %< 0,112844 : 0,303822 >¿ n n 2 ^

^

^

^

1

 C!m! e# %nter)a#! %n$#u+e a# )a#!r 2 6  , ent!n$e( !dem!( de$%r $!n 9 de $!n5an6a de -ue e# dad! n! e( (e(/ad!. E8em#! > de una !"#a$%&n de  em#ead!( de una emre(a %ndu(tr%a# (e (e#e$$%!n& una m.a. de  ara -ue art%$%en en una en$ue(ta. Entre #!( $!mrend%d!( en #a mue(tra > man%0e(tar!n -ue e(ta"an (at%(0e$4!( !r $!m#et! $!n t!da( #a( $!nd%$%!ne( #a"!ra#e( de #a emre(a. C!n(tru%r e# %nter)a#! de $!n5an6a ;9 ara #a r!!r$%&n rea# -ue !%nan de e(ta manera.

S!#u$%&n e# e(t%mad!r untua# de  e( " =1− α  2 .; +

Para

a 2

 p= ^

240 300

= 0.8

=0,025 en lata#la $ seenuentra Z a =1,96 2

Lue/!, en e# %nter)a#! de $!n5an6a de# ;9 ed%d! e(. *

1= p ± Z a ^

2

√

 p ( 1 − p )  N − n ≥¿ 0,8 ± 1,96 n  N − 1 ^

^

¿< 0,75705.0,84295

√

( 0,8 ) ( 0,2 ) 300

&

 2700 2999

>¿

E8em#!  e# d%re$t!r de un $!#e/%! na$%!na# de(ea $a#$u#ar #a r!!r$%&n de #!( * a#umn!( de <#t%m! a:! -ue %en(an (e/u%r e(tud%!( en #a un%)er(%dad. ue tama:! de"e tener#a mue(tra -ue ne$e(%ta t!mar e# d%re$t!r (% (u e(t%ma$%&n de"e e(tar a , de# )a#!r )erdader!. C!n 9 de $!n5an6a E# a:! anter%!r, e# 9 de #!( a#umn!( en$ue(tad!( d%8er!n -ue tenían #anead! (e/u%r e(tud%!( en #a un%)er(%dad. S!#u$%&n  para " =1−a = 0,99  y

 a 2

=0,005, enla ta#la $ se enuentra Z a =2.5757 2

A# ut%#%6ar  p=0,70  $!m! un e(t%mad! %n%$%a# de , e# tama:! ^

re-uer%d! de #a mue(tra e( 2.5757 ¿ ( 0,7 ) ( 0,3 ) ( 1000 ) 2

¿ ¿

n=

Z a /2 p ( 1 − p ) N  ^

^

Z a/ 2 p ( 1− p ) + e ( N − 1 ) 2

^

=¿

^

A(í ue(, e# d%re$t!r de# $!#e/%! de"e t!mar una mue(tra de tama:! n2GG E8em#!  una !r/an%6a$%&n de (a#ud (e %ntere(a en a$tua#%6ar (u %n0!rma$%&n $!n re(e$t! a #a r!!r$%&n de 4!m"re( -ue 0uman. C!n "a(e a e(tud%!( re)%!(, (e $ree -ue #a r!!r$%&n e( de# 9. La !r/an%6a$%&n ##e)a a $a"! una en$ue(ta en #a -ue (e (e#e$$%!na en 0!rma a#eat!r%a *> 4!m"re( a #!( $ua#e( (e #e( re/unta (u( 4'"%t!( de 0umad!r. De #!( en$ue(tad!( > (!n 0umad!re(. Em#ee un m?t!d! ar!x%mad! ara determ%nar (% e(ta e)%den$%a a!+a a# e(tud%! re)%!. U(e a =0,01 420

S!#u$%&n e# e(t%mad!r untua# de  e(  p= 1200 2,; ^

 para" =1−a 0,99  y

a 2

=0,005, en lata#la$ se enuentra z a/ 2=2,5757

P!r #! tant! e# %nter)a#! de $!n5an6a de# 9 ara  e(  $ =¿ p − Z a/ 2 ^

√

√

 p ( 1− p )  p ( 1− p ) >¿ ; p + Z a /2 n n ^

^

^

^

^

¿< 0.35 ± 2,5757

√

( 0.35 ) ( 0.65 ) 1200

% < 0,35454 ; 038546 >¿

C!m! e# %nter)a#! n! %n$#u+e a , ent!n$e( !dem!( de$%r -ue #a e)%den$%a n! a!+a a# e(tud%! re)%!. E8em#!  ante( de una e#e$$%&n re(%den$%a#, un determ%nad! art%d! !#ít%$! e(t' %ntere(ad! en e(t%mar #a r!!r$%&n de e#e$$%!ne( 0a)!ra"#e( a (u $and%dat!. Una mue(tra %#!t! de * e#e$t!re( re)e#! -ue G9 de #!( e#e$t!re( eran 0a)!ra"#e( a# $and%dat! en $ue(t%&n. a1 Determ%ne e# tama:! de mue(tra ne$e(ar%! ara -ue e# err!r $!met%d! en #a e(t%ma$%&n, (ea #! m'( ,* $!n r!"a"%#%dad de ,H. "1 S%, en mue(tra 5na# 3$!n tama:! %/ua# a# !"ten%d! en a1,(e !"(er)& -ue ;;9 de #!( e#e$t!re( eran 0a)!ra"#e( a# $and%dat! en $ue(t%&n, $!n$#u+a un %nter)a#! de $!n5an6a ara #a r!!r$%&n . S!#u$%&n a1 La e(t%ma$%&n untua# de  !"ten%da en e# mue(tre! %#!t! e(  p=0,6  para ^

" =1− a= 0,880 y

a 2

=0,10, enla ta#la $ se enuentra Z a /2 =1,2816

A(í, e# tama:! re-uer%d! de #a mue(tra e(

( 1,2816 )2 ( 0,6 ) ( 0.4 ) =3941,997 n= 2 ( 0,01 ) Lue/! (e de"e t!mar una mue(tra de tama:! n2> "1 En e(te $a(!, e# e(t%mad!r untua# de  e(  p=0.55 & para" =1− a=0.95  y a / 2= 0,025 enla ta#la $ se enuentra Z a /n= 1,96 ^

P!r tant!, e# %nter)a#! de $!n5an6a de# ;9 !d%d! e(  $ =¿ p − Z a/ 2 ^

√

¿< 0,55 −1,96

√

 p ( 1− p )  p ( 1− p ) >¿ ' p + Z a / 2 n n ^

^

^

√

( 0,55 ) ( 0,45 ) 3942

^

^

' 0,55 + 1,96

√

 ( 0,55 ) ( 0,45 ) 3942

% < 0,5347 ; 0,56553 >¿

O"(er)a$%&n 3%nter)a#! de $!n5an6a un%#atera#e(1

*= E# %nter)a#! de $!n5an6a un%#atera# 4a$%a #a %6-u%erda de#

( 1−a ) x 100

ara e# ar'metr!  e(  p ( 1− p ) >¿  $ =¿ 0 ; p + Z a n

√

^

^

^

>= An'#!/amente, e# %nter)a#! de $!n5an6a un%#atera# 4a$%a #a dere$4a de# ( 1−a ) x 100  ara e# ar'metr!  e( 1=¿  p− Z a ^

√

 p ( 1− p ) >¿ n ^

^

3 a1 (% #a %n)e(t%/a$%&n (e rea#%6a en una !"#a$%&n de tama:! N,

e# %nter)a#! de $!n5an6a un%#atera# 4a$%a #a %6-u%erda de# ( 1− a ) x 100 ara e# ar'metr!  e(

1=¿ 0  p + Z a ^

√

√

 p ( 1− p )  N − n >¿ n  N −1 ^

^

"1 an'#!/amente, e# %nter)a#! de $!n5an6a un%#atera# 4a$%a #a dere$4a de# ( 1−a ) x 100  ara e# ar'metr!  e(

1=¿  p− Z a ^

√

√

 p ( 1− p )  N −n >¿ n  N −1 ^

^

E8em#! ; #a rea$$%&n de un e-ue:! %n)er(%!n%(ta $!n re(e$t! a un $am"%! de !#ít%$a -ue m!d%5-ue #a( re/#a( de# 8ue/! de #a e$!n!mía uede ad!tar una de d!( 0!rma( ret%rar (u %n)er(%&n 3A1 O $!nt%nuar $!n #a %n)er(%&n %n%$%ada 3B1. Un %n)e(t%/ad!r -u%ere e(t%mar #a r!"a"%#%dad  de un %n)er(%!n%(ta rea$$%!ne( de manera A. a1 Su!n%end! -ue e# %n)e(t%/ad!r e(tar' (at%(0e$4! $uand! (u err!r de e(t%ma$%&n (ea men!r -ue , $!n una r!"a"%#%dad %/ua# a , $uant!( e-ue:!( %n)er(%!n%(ta( de"e %n$#u%r a una en$ue(ta. C!n(%d?re(e tam"%?n $!n e# %n)e(t%/ad!r e(era -ue  ten/a en )a#!r ,G. "1 E# %n)e(t%/ad!r rea#%6a #a en$ue(ta m.a. de e-ue:!( %n)er(%!n%(ta( de tama:! %/ua# a# -ue !"tu)! en a1 + !"t%ene -ue e# G9 de d%$4a( er(!na( rea$$%!nan de manera A. O"ten/a un )a#!r $!n e# $ua# e# %n)e(t%/ad!r ten/a e# ;9 en $!n5an6a de -ue #a r!!r$%&n !"#a$%!na# n! exeda de d%$4! )a#!r. S!#u$%&n  para" =1−a = 0,90  y a / 2= 0,05, en la ta#la $ enontramos Z a/ 2=1,645

 p=0,60  $!m! e# e(t%mad!r %n%$%a# de  + e# err!r de e(t%ma$%&n

A# ut%#%6ar

^

e =0.04 , e# tama:! re-uer%d! de #a mue(tra e(

( Z a / 2 )2 p ( 1− p ) (1,645 )2 ( 0,6 ) ( 0,4 ) = = 406 n= e2 ( 0,04 )❑ 2 ^

^

P!r tant!, en %n)e(t%/ad!r de"e %n$#u%r en #a en$ue(ta a G e-ue:!( %n)er(%!n%(ta(. "1 a4!ra, ara e# $!e5$%ente de $!n5an6a 58ad! " = 1− a= 0,95, enlata#la $ enontramos Z a= 1,645  Lue/!, e# %nter)a#! de $!n5an6a 4a$%a #a dere$4a ;9 ara  e( 1=¿ 0 ;  p + Z a ^

√

 p ( 1− p ) % < 0 ; ( 1,6400 ) n ^

^

√

( 0,6 ) ( 0,4 ) 406

%< 0 ; 0,6399953 >¿

P!r tant!, en )a#!r ed%d! e( ,G;.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES POBLACIONALES Sean  x 1 , .. x n  una m.a extraída de una !"#a$%&n Bern!u##% 3*, p1 1 1

 y 1 … y n  una m.a extraída de una !"#a$%&n Bena!u##% B

¿ ¿ ¿

 p2 ¿

.Su!n/am!(n-ue am"a( !"#a$%!ne( (!n %deend%ente(. L!( e(t%mad!re( m'x%m! )er!(ím%#e( de #!( ar'metr!( re(e$t%)amente. m

 X  ∑ =

i

1=¿ X 1 =

i 1

n1

= numero deexitos enlamuestra 1 n1

 p¿ ^

m

 X  ∑ =

i

 p2= x´2= ^

i 1

n2

= numero de xitos enla muestra 2 n2

Sa"em!( -ue  E [ p 1− p2 ] = E [  p1 ] − E [ p2 ]= p1− p 2 ^

^

^

^

^

^

 p1  +

 p2 ,(!n