1. Insesgo: Si el valor esperado del estadístico muestral es igual al parámetro poblacional que se estima, se dice que ese estadístico es un estimador insesgado del parámetro poblacional 1. Insesgo: Si el valor esperado del estadístico muestral es igual al parámetro poblacional que se estima, se dice que ese estadístico es un estimador insesgado del parámetro poblacional
UNIDAD 3 ESTIMACIÓN Anteriormente vimos como manejar información de muestras aleatorias tomadas de una población conocida pero lo más importante es inferir información sobre la población a partir de muestras su!as. "so es lo que se conoce como estimación. A un valor calculado con los datos de una muestra se le llama "S#A$%S#I&'. A la estadística que se usa para predecir el valor de un parámetro de la población se le llama "S#I(A$') si para estimar el parámetro se usa un valor *nico dic+o estimador es llamado "S#I(A$') -#-A/. ropiedades de los estimadores puntuales 1. Insesgo: Si el valor esperado del estadístico muestral es igual al parámetro poblacional que se estima, se dice que ese estadístico es unestimador insesgado del parámetro poblacional. or consiguiente, el valor esperado o media de todos los valores posibles de un estadístico insesgado es igual al parámetro poblacional que se estima. "n el caso de un estimador sesgado, se tiene una gran probabilidad de sobreestimar o subestimar el parámetro poblacional.
A continuación se presentan algunos estimadores insesgados: •
/a proporción muestral 0 como estimador de la proporción poblacional 0p
•
/a media muestral 0 poblacional 02
como estimador del valor esperado
•
/a varian3a de la muestra 04 n516 como estimador de la varian3a de la población 04 n6 Sin embargo, puede demostrarse que la desviación estándar muestral es un estimador sesgado de la desviación estándar poblacional para muestras grandes, este sesgo es poco signi7cativo. "sa es la ra3ón por la cual al encontrar una desviación estándar muestral se divide por n51 ! no por n, !a que lo *ltimo +aría que el estimador fuese sesgado porque tendería a subestimar un poco la varian3a poblacional. 6. Efciencia: Si se tienen dos estimadores puntuales para estimar uncon mismo parámetro poblacional, se porque pre7eretiende usar ela estimador la menor desviación estándar proporcionar estimados más cercanos al parámetro. Al tomar muestras de una población con distribución normal, la desviación estándar de las medias muestrales es menor que la de las medianas muestrales. or consiguiente, la media muestral es más e7ciente que la mediana muestral. 8. Consistencia: -n estimador puntual es consistente si sus valores tienden a acercarse al parámetro poblacional conforme se incrementa el tama9o de la muestra.. Se puede a7rmar que la media de !laque muestra es un estimador de la media poblacional la proporción muestralconsistente es un estimador consistente de la proporción poblacional. -na estimación puntual no proporciona información sobre la variabilidad in+erente del estimador. "n consecuencia, se opta por un segundo mtodo de estimación denominado estimación por intervalos, que indica la precisión de una estimación dic+a idea de precisión es de7nida por el error estándar. -na estimación por intervalo indica un rango dentro del cual se
espera encontrar el valor de alg*n parámetro. "l intervalo que se estime recibe el nombre de intervalo de confanza. -n intervalo de con7an3a se e;presa mediante dos valores: / 0límite inferior ! - 0límite superior, de tal manera que la siguiente proposición de probabilidad es verdadera:
donde < es un n*mero entre = ! 1 0preferiblemente peque9o. "l intervalo de con7an3a resultante se conoce como intervalo de con7an3a de 1==015<> para el parámetro desconocido ?. /as cantidades / ! - reciben los nombres de límites de confian3a inferior ! superior, respectivamente, ! 15< es el nivel de con7an3a.
Se tiene una probabilidad de 1 @ < de seleccionar una muestra que produ3ca un intervalo que contiene el valor verdadero de ?.
Interpretación intervaloaleatorias de con7an3a: Si se recopila un n*mero in7nitode deun muestras ! se calcula un intervalo de confian3a del 1==01 @ <> para ? para cada una de las muestras, entonces el 1==01 @ <> de esos intervalos contiene el verdadero valor de ?. "n la práctica se obtiene sólo una muestra aleatoria ! se calcula un intervalo de con7an3a. uesto que ese intervalo puede o no contener el valor verdadero de ?, no es ra3onable asociar un nivel de probabilidad a este evento especí7co. /a proposición
adecuada es que el intervalo observado l,uB contiene el verdadero valor de ? con una confian3a de 1==015<. "sta proposición tiene una interpretación de frecuencia, es decir, no se sabe si es correcta para la muestra en particular, pero el mtodo usado para obtener ese intervalo proporciona proposiciones correctas el 1==015<> de las veces. "n algunas ocasiones, puede resultar más apropiado un intervalo de confanza unilateral. -n intervalo de confian3a unilateral inferior del 1==015< para ? está dado por el intervalo donde el límite de con7an3a l se elige de modo que $e manera similar, un intervalo de con7an3a unilateral superior para ? está dado por ! el límite u se escoge de modo que "ntre más amplio sea el intervalo de con7an3a, ma!or es la seguridad de que realmente el intervalo contenga el verdadero valor de ?, pero menor información se tiene acerca de ese valor. /o ideal es, entonces, un intervalo de con7an3a relativamente peque9o con una con7an3a grande, lo que se logra aumentando el tama9o de la muestra evaluada. "n esta unidad se presentan mtodos para encontrar intervalos de con7an3a para medias, varian3as ! proporciones.
1.
ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DE UN A POLACIÓN A. !arianza conocida: "ste caso que se plantea es más a nivel teórico que práctico porque difícilmente vamos a poder conocer
con e;actitud mientras que 2 es desconocido. Sin embargo nos apro;ima del modo más simple a la estimación de medias. ara estimar 2, el estadístico que mejor nos va a a!udar es , del que conocemos su le! de distribución 0referenciada en la unidad anterior. "ste es el modo más conveniente para +acer una estimación: Buscar una relación en la que intervengan el parámetro desconocido junto con su estimador, de modo que estos se distribuyan segn una ley de probabilidad que es bien conocida y a ser posible tabulada.
$e este modo, fijado < 0valor arbitrario ! cercano a 1, se toma un intervalo que contenga una masa de probabilidad de 1 5 <. /o ideal es que este intervalo sea lo más peque9o posible por ello lo mejor es tomarlo simtrico con respecto a la media !a que allí es donde se acumula más masa en una distribución normal. Así, las dos colas de la distribución 03onas más alejadas de la media tendrán áreas iguales.
&omo
E"e#$lo 3.%. /a empresa que produce ciertos c+ips asegura que estos soportan, en promedio, C= +oras de funcionamiento, con una desviación estándar de 8 +oras ! una distribución apro;imadamente normal. ara veri7car esa información, otra empresa que utili3a esas baterías en grandes cantidades tomó una muestra aleatoria de 6C unidades ! registró sus tiempos de duración las observaciones fueron: D1.8 DE.6 DF.E D8.6 C6.= D1.C C1.6 DG.1 DE.8 DE.6 DD.H D8.D C=.= DG.F DC.= DG.H DF.F DH.H C1.C DE.F DD.= DE.G C1.= DH.C C1.6 &onstruir un intervalo de confian3a del EC> para , si se supone que la desviación estándar de la población es la proporcionada por la empresa vendedora.
Soluci&n' &omo , bajo la suposición de que los valores recibidos son independientes, el intervalo de con7an3a es:
$ic+o intervalo implica que si se tomaran 1== muestras de 6C unidades ! a partir de ellas se establecieran intervalos de con7an3a, apro;imadamente EC de esos intervalos contendrían el verdadero valor de la media poblacional eso llevaría a pensar que lo que dice la empresa vendedora no es cierto.
ota: o podemos decir que e;iste un EC> de probabilidad de que 2 se localice entre DG.D ! DF.F +oras. /a media poblacional es 7ja ! se locali3a en ese intervalo o no lo +ace 0no +a! probabilidades.
Algo mu! importante es la elección del tama9o apropiado de la muestra que se +a de tomar, porque si es demasiado grande se desperdicia tiempo ! dinero ! si es mu! peque9a, las conclusiones resultantes no son mu! con7ables. Si se quiere establecer qu tan grande debe ser una muestra para asegurar que el error al estimar sea menor a un error predeterminado, debe despejarse n del intervalo de con7an3a, teniendo en cuenta que el error es la parte que se suma o resta de la media muestral. or lo tanto:
$e esa relación, puede deducirse que:
•
A medida que disminu!e la longitud del intervalo 06e, el tama9o requerido de la muestra 0n aumenta para un valor fijo de 4 ! una confian3a especificada.
•
A medida que 4 aumenta, el tama9o requerido de la muestra aumenta para una longitud deseada ! una longitud especi7cada. $ic+o de otra forma, si la población tiene una dispersión grande se requerirá una muestra ma!or que si la población es +omognea.
•
&onforme aumenta el nivel de con7an3a, el tama9o requerido de la muestra aumenta para una longitud 7ja deseada ! una desviación estándar determinada.
E"e#$lo 3.(. JKu tan grande se requiere una muestra en el ejemplo 6.1. si queremos tener EC> de con7an3a de que el error de estimación no e;cederá de =.C +orasL
Soluci&n' "sto implica que para satisfacer los requerimientos, debe tomarse una muestra de 18E elementos. "n algunas situaciones puede que lo importante sea plantear un límite superior para o un límite inferior para ella, pero no ambos. "s posible obtener intervalos de confian3a unilaterales para +aciendo o ! reempla3ando por M<. "l intervalo de confian3a superior del 1==015<> para es: N el intervalo de confian3a inferior del 1==015<> para es:
E"e#$lo 3.3.
$etermine los intervalos de con7an3a inferior ! superior de EC> para en el ejercicio 8.1. "l intervalo de confian3a superior de EC> para es: +oras "l intervalo de confian3a inferior de EC> para es: +oras O. !arianza $o)lacional de*conocida: &omo se +a mencionado, el caso anterior se presentará poco en la práctica, !a que lo usual es que el valor e;acto de los parámetros 2 ! no sean conocidos de lo contrario, no interesaría en buscar intervalos de con7an3a para ellos. Si la muestra tomada es grande, un procedimiento aceptable consiste en reempla3ar 4 por el valor calculado de la desviación estándar muestral. &uando el tama9o de la muestra es peque9o debe emplearse otro procedimiento. ara producir un intervalo de con7an3a válido debe +acerse una +ipótesis más fuerte con respecto a la población de inters ! es que ella está distribuida normalmente. "sto conduce a intervalos de con7an3a basados en la distribución t de Student, que es una distribución continua que tiene una forma mu! similar a la distribución normal estándar 0tiene forma de campana ! es simtrica con una media de = una distribución t especí7ca depende de un parámetro llamado grados de libertad, que para efectos de esta unidad equivale a n @ 1. A medida que aumenta la cantidad de grados de libertad, la diferencia entre la distribución t ! la distribución normal estándar se +ace más ! más peque9a. Si se asume que la población está distribuida normalmente los intervalos de con7an3a se basan en la distribución t de Student. &uando se revisaron las distribuciones muestrales se determinó que
con n @ 1 grados de libertad. Si se escoge un intervalo central en la distribución t, 5t
$e allí se obtiene un intervalo de con7an3a dado por:
E"e#$lo 3.+. Se va a considerar un programa de adiestramiento en cierta empresa su director de manufactura desea contar con un softQare determinado para adiestrar a los empleados de mantenimiento en las operaciones de reparación de máquinas. Se estima que con el softQare se redu3ca el tiempo necesario para el adiestramiento para evaluarlo, el director de manufactura pide un estimado del tiempo promedio de adiestramiento necesario con el programa. /a gerencia aceptó adiestrar a 1C empleados con el nuevo mtodo. A continuación se ven los días necesarios de adiestramiento por cada empleado de la muestra: 1E 6G 66 1C 1F 68 16 1G 1E 61 1C 1D 1F 6G 61
"stime el promedio poblacional con una con7an3a de E=> ! con una de EC>.
Soluci&n' ! S R D.6=E Así, el estimado del intervalo de con7an3a de E=> para el promedio poblacional de tiempo de adiestramiento es de 1H.1 a 6=.E días. aciendo un cálculo similar se obtiene que el estimado para el promedio poblacional con un nivel de con7an3a de E=> está entre 1G.H ! 61.8 días. Lo anterior de#ue*tra ,ue- a #aor nivel de confanza#aor a#$litud del intervalo de confanza - $or ende#enor $reci*i&n en la e*ti#aci&n. $ebe tenerse mu! presente que este intervalo de con7an3a supone que el muestreo se +ace sobre una población normal esta +ipótesis es válida en muc+as situaciones prácticas pero si es mu! alejada de la realidad deben emplearse mtodos no paramtricos, los cuales se evaluarán más adelante. /o anterior se cumple si la población es in7nita o mu! grande pero si es 7nita, el intervalo de con7an3a se debe calcular como:
ara determinar el tama9o apropiado de la muestra a utili3ar es necesario encontrar una estimación preliminar de la desviación estándar de la población. -na forma posible consiste en disponer de la dispersión de otro estudio relacionado 0obviamente, si se considera con7able el mtodo más com*n para +acerlo consiste en la reali3ación de un estudio piloto, basado en la utili3ación de una muestra a la cual se le determina
su desviación estándar ! ese valor es usado para determinar el tama9o apropiado de la muestra. "l tama9o de la muestra para estimar una media poblacional es:
0si la población es in7nita o mu! grande ó
0si la población es 7nita
E"e#$lo 3./. "n el caso del ejemplo 8.D., Jde qu tama9o debe ser una muestra para poder tener el EC> de con7an3a de que el error muestral sea de 1.C o menorL Suponga que la desviación estándar +allada para la muestra es una buena apro;imación para la poblacional.
Soluci&n' /o anterior implica que se debe tomar una muestra de 81 elementos 01G adicionales. 6. ESTIMACIÓN DE LA P0OPO0CIÓN POLACIONAL -n estimador puntual para la proporción de la población se encuentra al dividir el n*mero de ;itos en la muestra entre el n*mero deque elementos que muestrearon . )ecuerde n ! p son losseparámetros de0una distribución binomial. Se sabe tambin que tiene una distribución apro;imadamente normal con
Si se conocen p ! q no tendría sentido +acer una estimación,
pero estas se pueden sustituir por los respectivos estadísticos muestrales, así:
or consiguiente, un intervalo de con7an3a para p está dado por: Se debe tener presente que lo anterior es ra3onable si np ! nq son ma!ores o iguales a C. -n uso práctico al construir un intervalo de con7an3a basado en la información de una muestra se basa en la comparación de dic+o valor con el valor propuesto para el parámetro poblacional si el valor propuesto está dentro del intervalo, se llega a la conclusión de que el valor propuesto puede ser verdadero.
E"e#$lo 3.1. Se sigue con el softQare planteado en el problema 8.D. ara evaluar el programa desde una perspectiva diferente, la gerencia +a pedido determinar alguna medida de la calidad del programa para ello, se pensó en un e;amen practicado al 7nal del adiestramiento. Se tiene una muestra de DC empleados que se puede usar para establecer un estimado para la proporción de empleados que aprueban el e;amen. $e los DC empleados, 8G aprobaron el e;amen. &onstru!a un intervalo del E=> de con7an3a para la proporción poblacional.
Soluci&n' or lo tanto, el intervalo de con7an3a es:
=.H=6 T p T =.FEF "s decir, se puede tener un UE=> de con7an3aV de que entre el H=.6 ! el FE.F> de todos los empleados aprueban el e;amen.
"n este caso tiene un inters particular la selección del tama9o apropiado de la muestra. &omo el error es la parte que se suma ! se resta a en el intervalo de con7an3a, el tama9o apropiado de la muestra es: 0si la población es in7nita o mu! grande ó 0si la población es 7nita ara utili3ar la anterior ecuación se debe +acer una estimación de p. ara ello debemos basarnos en un valor de una muestra anterior o en el establecimiento de a partir de una muestra piloto 0! se determina cuántas observaciones adicionales se necesitan para estimar p con una e;actitud predeterminada o +aciendo una estimación subjetiva 0en este caso, debe conocerse mu! bien lo que se +ace. "l margen de error para estimar una proporción poblacional es casi siempre =.1 o menor. "n las grandes encuestas, generalmente se establece un margen de error de =.=8 a =.=D: el empleo de esos márgenes de error siempre da un tama9o de muestra como para requisitossu7cientemente del teorema delgrande límite central 0np !satisfacer nq W C. los 'tro enfoque para seleccionar el tama9o de muestra consiste en ma;imi3ar la ecuación, teniendo en cuenta que pq es má;imo cuando p R q R =.C. Si este es el caso, el tama9o de la muestra que se requiere está dado por:
"n cualquier caso, al usar p R =.C se garanti3a que el tama9o de la muestra será su7ciente para obtener el margen de error deseado.
E"e#$lo 3.2. -n fabricante produce c+ips para computador cada c+ip es independientemente aceptable con una probabilidad p desconocida. ara obtener un intervalo de con7an3a apro;imado de E=> para p, cu!a longitud sea apro;imadamente =.=C, se toma una muestra inicial de 8= c+ips. Si de estos 8= c+ips, 6G tienen una calidad aceptable. /uego se eval*a una muestra de tama9o apropiado 0los adicionales ! se encuentra que de ellos D=D fueron aceptables. "stime p. Soluci&n' or lo que se tendrían que evaluar DH1 más ! el intervalo de con7an3a de E=> para p sería:
2. ESTIM!I"# $E % &'I#( Por ser una variable cuadrática debe e mplearse la distribución chi cuadrado. Recordemos que si S 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal con varianza σ2, entonces: con n ! "rados de libertad Por lo tanto, el intervalo de con#ianza correspondiente está dado por:
donde $ son los puntos cr%ticos que corresponden al porcenta&e '(2 de la distribución )2 con n ! "rados de libertad.
*.
E)ercicio *.+. +na empresa tiene cierto proveedor de chips. Para veri#icar la in#ormación que suministró el proveedor, antes de #irmar el contrato se tomó una muestra aleatoria de 2 unidades $ se re"istraron sus tiempos de duraciónlas observaciones #ueron: !.* /.2 0./ *.2 2.1 !. !.2 .! /.* /.2 .3 *. 1.1 .0 .1 .3 0.0 3.3 !. /.0 .1 /. !.1 3. !.2
!.
4s absolutamente necesario que la desviación estándar de los tiempos de duración de los chips sea menor de 2 horas. 5 partir de la construcción de un intervalo de con#ianza para σ de /16. 7podr%a decir que los datos apo$an el cumplimiento del requisito8
2. 9onstru$a un intervalo de con#ianza bilateral del /6 para σ2.
Solucin: a Por consi"uiente, con un nivel de con#ianza del /16, los datos apo$an la a#irmación. b
. ESTIM!I"# $E % $I-E'E#!I $E $S ME$IS 5. ;arianzas conocidas: Si se tienen dos poblaciones independientes con medias desconocidas $ varianzas conocidas $ se quiere establecer un intervalo de con#ianza para la di#erencia de las dos medias.
Recordar que la variable aleatoria tiene una distribución normal si las dos poblaciones son normales o si se cumplen las condiciones del teorema del l%mite central. Si se considera lo mismo de casos anteriores:
E)emplo *./. Recientemente se han probado dos tipos di#erentes de aislante de cables el
>5ipo
>?ipo
*
2
2
!
*3
*0
*
!
0
*0
31
*
*
2
2
*
Supon"a que se sabe que el volta&e que pueden soportar los cables con el aislante de tipo 5 tiene una distribución normal con media @ 5 desconocida $ varianza de 1 ;2- mientras que la correspondiente distribución para el aislante de tipo ? es normal con media @ ? desconocida $ varianza !11 ; 2. a Aetermine un intervalo de /6 para @ 5 @? b Aetermine un valor del que podamos decir, con /6 de con#ianza, que es ma$or que @5 @?
Solucin:
a
b Se debe crear un intervalo de con#ianza superior. B ' C !.
?. ;arianzas desconocidas: ?! Si la población tiene una distribución apro=imadamente normal o la muestra tomada es "rande, se puede ree mplazar σ por S $ utilizar la distribución normal. ?2 Si las varianzas son desconocidas, pero se pueden considerar i"uales $ las muestras tomadas son pequeñas, se puede obtener un estimador combinado S p , me&or que S! $ S2 por separado- dicho estimador se e=presa c omo:
Para desarrollar el intervalo de con#ianza, se debe tener en cuenta que
D el intervalo de con#ianza puede e=presarse como:
E)emplo *.10. +n #abricante de bater%as emplea dos t
>
>
!1
!*2
!
!*
!*
!2
!*2
!*1
!*0
!1
!*
!
!1
!
!1
!20
!2
!*
!20
!*!
!
!2
!1
!*3
!*1
!*
Aetermine un intervalo de con#ianza bilateral de /16 pa ra la di#erencia de medias, suponiendo que tienen una varianza comFn.
Solucin:
?* Si no es razonable suponer que las varianzas son i"uales, para establecer el
intervalo de con#ianza, se debe utilizar el estad%stico
el cual tiene una distribución t con "rados de libertad Aicho intervalo de con#ianza es:
? Gbservaciones pareadas: Si e=isten solamente n unidades e=perimentales di#erentes $ los datos están recopilados por pares. Ha caracter%stica distintiva de las muestras pareadas consiste, entonces, en que para cada observación en el primer "rupo ha$ una observación correspondiente en el se"undo "rupo Eautoapareamiento- un e&emplo comFn de autoapareamiento es el e=perimento Iantes $ despu
4n lu"ar de considerar los dos con&untos como muestras distintas, nos concentramos en la di#erencia de las mediciones en cada pare&a. Supon"amos que nuestros dos "rupos de observaciones son los si"uientes:
Kuestra !
Kuestra 2
=!!
=!2
=2!
=22
.
.
.
.
=n!
=n2
4n estas muestras, = !! $ =!2 constitu$en una pare&a, = 2! $ =22 constitu$en otra pare&a, $ as% sucesivamente. 4mpleamos estos datos para crear un nuevo con&unto de observaciones que representen las di#erencias entre cada pare&a: d! C =!! =!2 d2 C =2! =22 . . dn C =n! =n2 4n lu"ar de analizar las observaciones individuales, utilizamos la di#erencia entre los miembros de cada pare&a como la variable de inter
E)emplo *.11. +n producto diet
Su&eto
!2*30
Peso inic. Elb
!*
21!
!/
!/0
!
!*
!1
!03
Peso #inal Elb
!!
!/
!/2
!/3
!1
!!
!
!0*
d
2
*
!
2
4ncuentre un intervalo de con#ianza del /6 pa ra la p
Solucin:
4se intervalo de con#ianza implica que no ha$ nin"una evidencia de que la a#irmación sea #alsa.
. ESTIM!I"# $E % $I-E'E#!I $E $S ''!I#ES
Supon"a que se toman dos muestras aleatorias independientes de tamaño n ! $ n2 de dos poblaciones binomiales con medias n !p! $ n2p2 $ varianzas n!p!q! $ n2p2q2, respectivamente- posteriormente se determina el nFmero de observaciones de cada muestra que pertenece a la clase de inter
es un buen !
2
estimador de la di#erencia de proporciones poblacionales normal Ep p .de una ?a&o la hipótesis de que puede aplicarse la apro=imación distribución binomial, la estad%stica
tiene una distribución que es apro=imadamente normal. 4sto implica que
D por lo tanto:
9omo se va a estimar p! $ p2, estos pueden reemplazarse por intervalo de con#ianza.
en el
E)emplo *.12. Se considera cierto cambio en un proceso de #abricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento actual $ del nuevo para determinar si
Solucin:
9omo el intervalo contiene el cero, no ha$ razón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución si"ni#icativa en la proporción de art%culos de#ectuosos comparado con el m
3. ESTIM!I"# $E% !!IE#TE $E &'I#(S +na estimación puntual de la razón de dos varianzas poblacionales σ!2(σ22 está dada por la razón de las varianzas muestrales S !2(S22. Si σ!2 $ σ22 son las varianzas de poblaciones normales, podemos establecer una estimación por intervalos de σ!2(σ22 mediante el uso de la estad%stica M.
Ha variable aleatoria M tiene una distribución M con n ! ! $ n2 ! "rados de libertad.
Reemplazando M, se encuentra que:
Nota: Para la obtención del intervalo de con#ianza se tuvo en cuenta que
Eteorema
E)emplo *.1*. +na compañ%a #abrica propulsores para uso en motores de turbina. +na de las operaciones consiste en esmerilar el terminado de una super#icie particular con una aleación de titanio. Pueden emplearse dos m
in"eniero de manu#actura le "ustar%a seleccionar el proceso que ten"a la menor variabilidad en la ru"osidad de la super#icie. Para ello toma una muestra de !2 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral de .! micropul"adas $ una muestra aleatoria de ! partes del se"undo proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral de .3 micropul"adas. Se quiere encontrar un intervalo de con#ianza del /16 para el cociente de las dos varianzas poblacionales.
Solucin: Si se supone que los dos procesos son independientes $ que la ru"osidad de la super#icie está distribuida normalmente, entonces:
Puesto que este intervalo de con#ianza inclu$e el uno, no se puede a#irmar, con un nivel de con#ianza de /16 que las desviaciones estándar de las ru"osidades con los dos procesos sean di#erentes.
4. ESTIM!I"# 56ESI# Hos m
intervalo, centrado alrededor de la media a posteriori, que conten"a al !11E!L'6 de la probabilidad posterior.
E)emplo *.17. Supon"a que la distribución a priori para la proporción p de art%culos de#ectuosos que produce una máquina es:
p
1.!
1.2
#Ep
1.
1.
4ncuentre la estimación de ?a$es para la proporción de de#ectuosos que produce esta máquina si una muestra aleatoria de !1 art%culos muestra ! art%culo de#ectuoso.
Solucin: PE!A(pC1.! C
9omo #E=,p C #E= ( p#Ep, entonces:
p
1.!
1.2
#E!,p
1.2*2
1.!13
D como #Ep ( = C #E=,p(#E=
p MEp(=C!
1.!
1.2
1.0*/
1.*!!
P Eestimada por ?a$es C 1.!1.0*/ 1.21.*!! C 1.!*! Nota: 4n este caso la estimación ba$esiana es un poco más alta que la estimación clásica.
+. I#TE'&%S $E T%E'#!I Ha estimación del intervalo de con#ianza puede ser mu$ Ftil cuando se quiere determinar el valor de un parámetro, pero muchas veces el ob&etivo es conse"uir una noción acerca de dónde podr%an caer las observaciones individuales. +n m
4l valor de la constante T puede determinarse mediante una tabla espec%#ica Etabla 5.3. del ap
E)emplo *.1. +na máquina produce piezas de metal de #orma cil%ndrica. Se toma una muestra de estas piezas $ se encuentra que los diámetros son !.1!, 1./3, !.1*, !.1, 1.//, 1./0, 1.//, !.1!, !.1*, !.1, !.12, 1./3 $ 1./ c ent%metros. 4ncuentre los l%mites de tolerancia de //6 OE! V!11Q que contendrán /6 de las piezas de metal que produce esta máquina- supon"a distribución normal.
Solucin: Ede la tabla Por lo que los l%mites de tolerancia de //6 son:
+n intervalo de tolerancia siempre es más a mplio que el correspondiente intervalo de con#ianza.
'5%EMS '8ESTS
!. 5l ensa$ar un nuevo m
2. +n Wn"eniero hace una prueba sobre la duración de un equipo. Para ello e=amina *1 equipos $ obtiene los si"uientes tiempos de duración, en d%as:
2! !02 2/ 22 !3 !// 222 2 21! !0 2/ !/ 210 2 !01 !/ 2* 22 !0 !/0 21 22 2! 2*2 222 211 !0 2/ 21 !0
!. Xallar los l%mites de con#ianza de 01 $ /6 para la duración promedio. 7Yu< puede concluir acerca de la relación entre el nivel de con#ianza $ la precisión8 2. Si se quiere determinar un intervalo de con#ianza del /6 con un error que no sobrepase los !1 d%as, qu< tamaño m%nimo de muestra habr%a que emplear8 7Yu< puede concluir al comparar con la muestra de *18
*. +n art%culo describe el cálculo de los coe#icientes de arrastre para la super#icie aerodinámica N5S5 11!2. Para ello se utilizaron di#erentes al"oritmos computacionales con Kα C 1.3 $ se obtuvieron los si"uientes resultados: 3/ !11 3 0* 0! 0 02 0/ 0 /1 !12 03 3 3* // !1!
!. 9onstruir un intervalo de con#ianza del /*6. 2. 9onstruir un intervalo de con#ianza del /36. 9omparar ambos intervalos. *. Se desea determinar el coe#iciente de arrastre promedio con un error menor de * para un n ivel de con#ianza de /36. 7Yu< tamaño m%nimo de muestra es el adecuado8
. Se tomanHas dosmedias muestras aleatorias demuestrales tamaños !son: $ !1 de dos termocoples di#erentes. $ las varianzas C *11 C *1 S!2 C * S 22 C / 9onstru$a un intervalo de con#ianza del /16 para
µ2 L µ!
si supone que σ! C σ2.
. Aeterminado banco encontró que el uso de ca&eros automáticos 5>K reduce el costo de las transacciones bancarias de rutina. Aicho banco instaló varios 5>K en puntos estrat<"icos de la ciudad- despu
muestra de !11 u suarios reveló que en un mes usaron las máquinas 5>K as%:
Z de veces que usan 5>K
Mrecuencia
1
2
!
*1
2
21
*
!1
!1
!. 4stablezca un intervalo de con#ianza del /16 para la proporción de usuarios que no emplearon los ca&eros en el mes. Wnterprete. 2. 79uántas transacciones al mes realiza un usuario promedio8 *. 4stablezca un intervalo de con#ianza del /16 para el promedio de transacciones durante un mes. Wnterprete. . Si sabe que usuarios de los ca&eros >Kcon#ianza en la ciudad son *01, 7qu< tanse"rande debelosser la muestra para tener 5 una del /16 de que la proporción muestral de usuarios que emplean 5>K no var%e en más de 1.1 respecto a la estimación puntual8. 79uál ser%a la respuesta si considera que la población es in#inita8 . +n #abricante de semiconductores produce controladores que se e mplean en aplicaciones de motores automovil%sticos. 4l cliente requiere que la #racción de controladores de#ectuosos en uno de los pasos de manu#actura cr%ticos no sea
ma$or que 1.1 $ que el #abricante demuestre esta caracter%stica del proceso de #abricación con este nivel de calidad, utilizando α C 1.1. 4l #abricante toma una muestra aleatoria de 211 dispositivos $ encuentra que cuatro de ellos son de#ectuosos. 74l #abricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso8 3. +n in"eniero hace una prueba sobre la duración de un equipo. Para ello e=amina !2 equipos $ obtiene los si"uientes datos en d%asL: 2* !/ 2/ 22 ** !3 !/2 21 !0 2/ *1* 21
!. Xallar intervalos de con#ianza de 0 $ /6 para la duración promedio. 7Yu< se observa al aumentar el nivel de con#ianza8 2. Si se quiere determinar un intervalo de con#ianza de 06 con un error que no supere los ! d%as, 7qu< ta maño de muestra habr%a que emplear8
0. 9ierto art%culo compara varios m
;i"a
!
2
*
3
0
/
K
!,!0 !,!! !,*22 !,**/ !,211 !,12 !,* !,*3 !,/
K
!,1! 1,//2 !,1* !,12 !,1 !,!30 !,1*3 !,10 !,12
Nota: Hos valores mostrados en la tabla corresponden a car"a predecida(car"a observada
/. Se ha estudiado de manera e=tensa un sistema operativo para computadores personales $ se sabe que la desviación estándar del tiempo de respuesta de un comando en particular es 0 milise"undos. Se instala una nueva versión del sistema operativo $ se desea estimar el tiempo de respuesta promedio para el nuevo sistema de modo que pueda ase"urarse que el intervalo de con#ianza del /6 para µ tiene una lon"itud que no sobrepasa los milise"undos. Si puede suponerse que el tiempo de respuesta tiene una distribución normal $ que la desviación estándar es 0 para el nuevo sistema, 7qu< tamaño de muestra recomendar%a utilizar8
!1. Aos e&ecutivos de la W?K están investi"ando la utilidad de dos len"ua&es de diseño para me&orar las tareas de pro"ramación. Para ello pidieron a 0 pro"ramadores e=pertos, #amiliarizados con los 2 len"ua&es, que codi#iquen una #unción estándar en ambos len"ua&es, anotando el tiempo, en minutos, que requieren para hacer determinada tarea. Hos datos re"istrados #ueron:
Hen"ua&eW
Hen"ua&eWW
2.!
23.*
2.2
2.0
2*.0
2.1
20.*
20.0
23.
23.
d
2/.2
2.0
2.
2./
2.!
2.2
7Xa$ su#icientes evidencias de que un len"ua&e es más rápido que el otro8
!1. Se analiza la #racción de productos de#ectuosos producidos por dos l%neas de producción. +na muestra aleatoria de !11 unidades provenientes de la l%nea ! contiene !1 que son de#ectuosas, mientras que una muestra aleatoria de !21 unidades de la l%nea 2 tiene 2 que son de#ectuosas. 4ncuentre un intervalo de con#ianza del //6 para la di#erencia en #racciones de productos de#ectuosos producidos por las dos l%neas.
!2. Se toma una muestra de 1 dispositivos necesarios para el #uncionamiento de computadores $ se someten a una e=i"ente prueba de duración, de ellos no pasan la prueba.
!. 4ncontrar un intervalo de con#ianza de /16 para la proporción poblacional de dispositivos que pasan la prueba, partiendo del conocimiento de que
2. Aar una e=plicación estad%sticoLmatemática de dicho intervalo.
*. 5l utilizar la estimación puntual de p obtenida a partir de la muestra preliminar de 1 dispositivos, 7cuántos dispositivos deben probarse para tener una con#ianza del /16 de que el error al estimar el verdadero valor de p no e=ceda 1.18
!*. Has si"uientes son las cali#icaciones obtenidas por los estudiantes de 4stad%stica 5plicada en el tercer parcial durante el se"undo semestre de 211*
!./
2.3
!.*
2./
2./
2.3
2.2
*.1
2.
.2
2.3
2.2
!.
*.
*.
2.*
2.3
*.*
2.
2.
*.
2.
!.2
2.
2.0
!.
!. 9alcular intervalos de con#ianza de /16 para la media poblacional a partir de !1 muestras aleatorias de tamaño . 2. 4laborar un "rá#ico donde se muestren los intervalos de con#ianza $ µ. *. 7Yu< proporción de los intervalos de con#ianza contienen a µ8. Si no es /16, e=plicar.
!. 9omo parte de un e=perimento, una "ran empresa manu#acturera encontró que el tiempo promedio requerido por ! empleados esco"idos al azar para completar una tarea determinada era 2 minutos, con una desviación estándar de minutos. a 9onstruir un intervalo de con#ianza del /16 para @ b 7Ae qu< tamaño es el error al construir ese intervalo si se toma una muestra de ese tamaño8 c Si ese error se quiere reducir a ! minuto, 7qu< tan "rande debe ser la muestra que se tome8 . Si esa empresa tiene 11 empleados, 7qu< tan "rande debe ser la muestra que se tome para que el error no sea ma$or de ! minuto8
!. Se va a realizar una encuesta en la W+4 para establecer si los estudiantes son buenos lectores o no- usted es el director de la encuesta. 4n la +niversidad ha$ 2*! estudiantes. !. 7Yu< tamaño de muestra debe utilizarse si quiere tenerse un nivel de con#ianza de /6 $ un mar"en de error de 1.18 Parta del conocimiento de que un intervalo de con#ianza para la proporción es:
2. Da se hizo la encuesta. Se estableció que la proporción de buenos lectores es 1.23. 79ómo podr%a a partir de ese dato hacer una estimación del promedio de libros le%dos en el semestre por los estudiantes8
!. Se está interesado en revisar el tamaño de di#erentes paquetes estad%sticos básicos. Se evaluaron / pro"ramas $ se encontró que ocupan, en promedio, *.00 K? con una desviación estándar de !./ K?. 5demás, al hacer la prueba espec%#ica para ello se encontró que la distribución de los tamaños es apro=imadamente normal. 5 manera de e&ercicio se seleccionaron independientemente dos muestras aleatorias, cada una de !2 inspecciones $ se re"istraron los espacios que ocupan en disco Een K?, as%:
Kuestra !
2.
*.
3.2
.2
*.!
2
.
*
!.
2
2.*
*.
Kuestra 2
*.2
.0
2.2
.
*
2.2
.
*.2
*./
2.
*.2
2.
a. Xallar media $ desviación estándar de cada muestra. b. Xallar media de medias $ desviación estándar de las medias. 9omparar con los parámetros poblacionales respectivos $ discutir. c. 5 partir de la primera muestra establecer un intervalo de con#ianza de /16 para \, suponiendo obviamente que no se conoce σ. 7 4se intervalo contiene el verdadero valor de \8 7Si el intervalo es mu$ amplio, a qu< crees que se deba8
"stimación puntual. "l valor, calculado a partir de la información de muestreo, que se emplea para estimar el parámetro de población. /a media muestral, , es una estimación puntual de la media poblacional,
,.
es una estimación puntual de p ! así mismo la desviación estándar de la muestra S es una estimación puntual de la desviación estándar de la población .
Supóngase que una empresa desea calcular la edad promedio de compradores de equipos estreo. Se selecciona una muestra aleatoria de C= adquirientes recientes, se determina la edad de cada uno ! se calcula la edad media de los seleccionados. "l valor medio de esta muestra es una estimación puntual de la media poblacional.
Sin embargo, un valor estimado puntual representa sólo una parte de la +istoria. Al tiempo que se espera que la estimación puntual se acerque al parámetro de la población, quisimos medir que tan cerca se encuentra. -n intervalo de con7an3a cumple con ste propósito.
"stimación intervalodede con7an3a gama de valores obtenidos de datos depor muestreo, modo que el-na parámetro ocurre dentro de esaa partir variedad a una probabilidad especí7ca. /a probabilidad especí7ca en cuestión se denomina nivel de con7an3a. "jemplo "l gerente de puede decidir que la media poblacional está en alg*n sitio entre v X8C ! X8F. #al intervalo con frecuencia va acompa9ado de una a7rmación sobre el nivel de con7an3a que se da en su e;actitud. or tanto se llama intervalo de con7an3a 0I.&. "n realidad +a! tres niveles de con7an3a relacionados com*nmente con los intervalos de con7an3a EE>, EC> ! E=>. o +a! nada mágico sobre stos tres. Se podría calcular un intervalo de con7an3a de F6> si se deseara. "stos tres niveles de con7an3a, denominados coe7cientes de con7an3a, son simplemente convencionales. "l gerente mencionado anteriormente puede tener un EC> de con7an3a en que la media poblacional está entre X8C ! X8F. /as estimaciones por intervalo go3an de ciertas ventajas sobre las estimaciones puntuales. $ebido al error de muestreo, probablemente no será igual a . Sin embargo, no +a! manera de saber que tan grande es el error de muestreo. "l fundamento de un intervalo de con7an3a. Intervalo de con7an3a tiene un límite inferior de con7an3a 0/I& ! un límite superior de con7an3a 0/S&. "stos limites se +a!an calculando primero la media muestral, . /uego sesuma una cierta cantidad para obtener el /S&, ! la misma cantidad se resta de para obtener el /I&.
J&ómo se puede construir un intervalo ! luego argumentar que se puede tener un EC> de confian3a en que contiene a , si incluso no se sabe cuál es la media poblacionalL Yale la pena recordar de la discusión anterior sobre la )egla "mpírica que el EC.C> de todas las medias muestrales caen dentro de dos errores estándar de la media poblacional. "ntonces la media poblacional está má;imo a dos errores de EC.C> de todas las medias muestrales. or tanto, al comen3ar con cualquier media muestral, si se pasa de dos errores estándar por encima de dic+a media ! dos por debajo de ella, se puede tener un EC.C> de con7an3a en que el intervalo resultante contenga la media poblacional desconocida.
EC.C> Z64; RL /I&1 56 4; [1 \6 4; /S&1
/a información desarrollada acerca de la forma de una distribución de muestreo de medias muestrales, lo cual signi7ca una distribución de muestreo de , permite locali3ar un intervalo que contenga una probabilidad especí7ca de incluir a la media de la población, . ara muestras ra3onablemente ma!ores, se puede utili3ar el teorema del límite central ! a7rmar lo siguiente. 1.-n EC> de las medias muestrales seleccionadas de una población estará dentro de 1.EG desviaciones estándares respecto de la media poblacional,. /a desviación estándar mencionada aquí es la desviación estándar de la distribución de muestreo de medias mustrales. /os intervalos calculados de sta manera se denominan el intervalo de con7an3a de EC>J&ómo se obtiene el valor de 1.EGL "l EC> se re7ere al porcentaje de tiempo del intervalo construido similarmente que inclu!e el parámetro que se estima. or ejemplo, el EC> se re7ere al EC> central de las observaciones. or tanto, el C> restante se divide por igual entre los dos e;tremos. Yase el diagrama siguiente: =.C===
=.DHC=
=.=6C
51.EG 1.EG "scala de 3
"l teorema de límitesecentral a7rma la distribución de muestreo de las la medias muestrales apro;ima a laque normal. or lo tanto, puede utili3arse tabla del apndice A, para determinar los valores de 3 adecuados. /ocalice =.DHC= en el cuerpo de la tabla, ! despus lase los valores correspondientes de columna e +ilera. Así resulta 1.EG. $e modo que la probabilidad de encontrar un valor 3 entre = ! 1.EG es o.DHC=. $el mismo modo, la probabilidad de que est en el intervalo 51.EG ! =, es tambin =.DHC=. &uando se combinan ambas, la probabilidad de encontrarse en el intervalo de 51.EG a 1.EG resulta ser =.EC==. "rror "stándar de la (edia (uestral 04;. $esviación estándar de la distribución de muestreo de las medias muestrales. "l error estándar es una medida de la variabilidad de la distribución de muestreo de la media muestral. Se calcula mediante: "rror estándar de la media, 4 cuando se conoce la desviación 4; R estándar de la población. ] n
$onde:
4; es el error estándar de la media, tambin denominado desviación estándar de la distribución de muestreo de la media. 4 es la desviación estándar de la población. n es el tama9o de la muestra. "n la ma!oría de los casos, se desconoce la desviación estándar de la población. or lo tanto, se reempla3a con la desviación estándar de la muestra. "sto es, se cambia 4 por s. $espus se escribe la formula de la manera siguiente:
"rror estándar de la media con base en la desviación S; R s estándar de la población ] n
$os valores afectan el tama9o del error estándar. "l primero es la desviación estándar. Si sta es grande, entonces el error estándar tambin lo será. Sin embargo, el tama9o de la muestra tambin afecta al error estándar. Al aumentar el tama9o de la muestra, el error estándar disminu!e, indicando esto que +a! menor variabilidad en distribución de las medias muestrales. "sta conclusión es lógica, !a que una estimación reali3ada de una muestra grande debe ser más precisa que un cálculo +ec+o a partir de una muestra peque9a. &uando el tama9o de la muestra, n, es al menos igual a 8=, generalmente se acepta que el teorema de límite central asegurará una distribución normal de
las medias muestrales. "sta es una consideración importante. Si las medias muestrales se distribu!en en forma normal, en los cálculos se puede utili3ar la distribución estándar normal, esto es, 3.^ 6.6. #ema: "stimación por intervalos. 6.6.1 'bjetivo de aprendi3aje: Kue el alumno adquiera los conocimientos acerca deaplicación estimaciones por intervalos ! proporciones, así como su correcta a problemas reales de de medias empresa. 6.6.6 )ecurso tiempo del tema: 1.C +oras 6.6.8 $esarrollo: /os intervalos de con7an3a de EC> ! de EE> se calculan como sigue, cuando n W 8=
Intervalo de con7an3a [ Z 1.EG s $e EC> para una media ] n
Intervalo de con7an3a [ Z 6.CF s $e EE> para una media ] n $e EE> para la media
'tros niveles de con7an3a pueden ser empleados. ara estos casos el valor 3 cambia correspondientemente. "n general, un intervalo de con7an3a para la media se calcula por:
Intervalo de con7an3a [ Z 3 s ara una media ] n $onde 3 es el nivel de con7an3a. "jemplo: "n un e;perimento se trata de seleccionar una muestra aleatoria de 6CG gerentes de nivel medio. -n elemento de inters es el ingreso anual. /a media muestral vale XDC D6= 0dólares ! la desviación estándar en la muestra, es X6 =C=. J&uál es el intervalo de con7an3a de EC> para la media de la población 0redondeando a los X1= más cercanoL Solución. "l intervalo de con7an3a está entre XDC 1H= ! XDC GH=, que se obtiene mediante:
[ Z1.EG s R XDC D6=Z1.EG X6 =C= ] n ] 6CG R XDC D6=Z6C1.16C R XDC 1GF.FHC ! XDC GH1.16C
"stos puntos e;tremos se redondean frecuentemente !, en este caso, se registrarían como XDC 1H= ! XDC GH=. _A&#') $" &'))"&&I' A)A -A 'O/A&I` _II#A -na población que tiene un límite superior 7jo se considera 7nita. or ejemplo, +a! 61 8HG estudiantes inscritos en una universidad del este de Illinois, ! la empresa &+r!sler eep &orp, manufacturó E1H unidades en su planta de Aransas el a9o pasado. -na población 7nita puede ser notablemente peque9a por ejemplo podría constar de todos los alumnos inscritos en este ciclo escolar. -na población tambin puede ser mu! grande, como todos los ciudadanos senectos que viven en _lorida. ara una población 7nita, donde el n*mero total de objetos es ! el tama9o de la muestra es n, se +ace el siguiente ajuste de errores estándares de medias. "rror estándar de las medias mustrales utili3ando un factor de corrección:
"ste ajuste se denomina factor de corrección para población 7nita Jor qu es necesario aplicar un factor ! cuál es su efectoL /ógicamente si la muestra es un porcentaje considerable de la población, entonces se esperaría que cualesquiera estimaciones fueran mas precisas que las correspondientes a muestras peque9as. 'bservase el efecto del trmino 05n P 051. Supóngase que la población es1=== ! la muestra es 1==. "ntonces tal ra3ón vale 01===51== P01===51, o sea, E==PEEE, con la raí3 cuadrada se obtiene el factor de corrección =.EDE6. (ultiplicando por el error estándar, se reduce el error apro;imadamente un C>015=.EDE6=.=C. "sta reducción en el tama9o del error estándar resulta en un intervalo de menor de valores en la estimación de la media poblacional.
Si la muestra es de 6==, el factor de corrección es =.FEDE, lo que signi7ca que el error estándar se reduce en más de 1=>. )egla eneral. Si la ra3ón nP es menor que =.=C, se omite el factor de corrección para población 7nita.
#ama9o de muestra _racción de la población _actor de corrección 1= =.=1= =.EECC 6C =.=6C =.EFHE C= =.=C= =.EHC6 1== =.1== =.EDE6 6== =.6== =.FEDE C== =.C== =.H=HC
"jemplo: a! 6C= familias en el peque9o poblado de Scandia. -na encuesta de D= de ellas reveló que la contribución media anual a la iglesia es de XDC=0dólares con una desviación estándar de XHC. "stable3ca un intervalo de con7an3a del EC> par la contribución media anual. $atos [R XDC= MEC>R 1.EG DC=1.EG
SR XHC n R D=
R 6C= Intervalo de con7an3a para una proporción de la población. -na estimación puntual para una proporción poblacional se obtiene dividiendo el n*mero de ;itos en la muestra, entre el n*mero total de muestreado. "jemplo:
Supóngase que 1==que de probaron, las D== personas muestreadas que pro+ibieron un nuevo refresco en comparación con ela7rman que consumen regularmente. /a mejor estimación de la proporción de la población que está a favor de la nueva bebida es =.6C, o sea 6C> que se obtiene dividiendo 1==PD==. 'bservase que una proporción se basa en un conteo del n*mero de ;itos con relación del n*mero total muestreado.
J&omo se estima el intervalo de con7an3a para una proporción de poblaciónL
Intervalo de confian3a utili3ando p Z 34p -na proporción de la población $onde 4p es el error estándar de la proporción.
"rror estándar de la 4p R p 015p proporción muestral n
or tanto, el intervalo de con7an3a se establece mediante:
Intervalo de con7an3a para una proporción muestral p Z 3 p 5 01 5 p n
$onde:
R es la proporción muestral. M R es el valor de 3 del grado de con7an3a seleccionado.
n R es el tama9o de la muestra. "jemplo Suponga que 1G== de 6=== trabajadores sindicali3ados que se muestrean dijeron que planean poner a votación una propuesta para unirse a una federación. Si se utili3a un nivel de con7an3a de =.EC J&uál es la estimación de intervalo para la proporción poblacional JA que conclusión se llegaría con base en el intervalo de con7an3aL Solución: -tili3ando la formula anterior , el intervalo se calcula como sigue:
pZ3 p 015p R =.F=Z1.EG =.F=015=.F= n 6 === R =.F=Z1.EG]=.====F R =.HF6 ! =.F1F /os límites de con7an3a HF.6 ! F1.F> supóngase que por lo menos HC> de los miembros del sindicato deben aprobar la fusión. &on base en los resultados de la muestra, cuando votan todos los trabajadores sindicali3ados, la propuesta
probablemente será aceptada debido a que =.HC está por debajo del intervalo =.HF6 ! =.F1F 6.6.DActividad de aprendi3aje o. 1 #A51: "jercicios de aplicación. 6.6.D.1 Instrucciones: )esuelve de manera correctamente los siguientes ejercicios acerca de intervalos de con7an3a para un media muestral. a Yalor actividad: 1= untos b roducto esperado: Kue los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos. c _ec+a inicio: d _ec+a entrega:
e _orma de entrega: or separado, escrito a mano f #ipo de actividad: Individual g _ec+a de realimentación: "l mismo día de entrega.
