Ejercicios de intervalo intervalo de confanza confanza ( recopilación) recopilación) Desa Desarr rrol olle le cuid cuidad ados osam amen ente te cada cada ejer ejerci cici cio o e inte interp rpre rete te cada cada situ situac ació ión. n. Prácticamente todos ellos están en la red, ya resu esueltos, pero no necesariamente el desarrollo mostrado es el correcto. Si lo desea busue, pero su trabajo es razonar sus proceso y respuesta. ! trabajar. ". #os #os tiempo tiemposs de reacció reacción, n, en mili mili se$undos se$undos,, de "% sujetos sujetos &rente &rente a una una matriz de "' estmulos &ueron los si$uientes **+, *-, '"*, *++, '/, *-, '-%, '"0, */, '0*, '/0, *'/, **, '/, '+*, '-%, *" Suponiendo ue el tiempo de reacción se distribuye 1ormalmente, determine un intervalo de confanza para la media a un nivel de confanza del '2.
/. En una una mues muestr tra a de ' suje sujeto toss las las punt puntua uaci cion ones es en una una esca escala la de e3troversión tienen una media de 0/,% puntos y una desviación tpica de "/,*. a) 4alcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confanza, a un nivel del -2, para la media de la población. b) 5ndiue, con con un nive nivell de conf confan anza za del del '2, '2, cual cual ser sera a el má3i má3imo mo erro errorr ue ue podr podra amo moss come comete terr al toma tomarr como como medi media a de la pobl poblac ació ión n el valo valorr obtenido en la estimación puntual.
0. 4on los datos datos del proble problema ma ", calcule calcule a un nivel nivel de confanza confanza del -2 -2 un intervalo de confanza para la varianza e indiue cual sera el má3imo erro errorr por por e3ce e3ceso so y por por de&e de&ect cto o ue ue podr podra a come comete ters rse e util utiliz izan ando do el estimador inses$ado de la varianza.
*. En una muestra muestra de 0-- universi universitar tarios ios el +-2 6a respo respondi ndido do ue asiste asiste semanalmente al cine. Entre ue valores se encuentra, con un nivel de confanza del '2, la proporción de universitarios ue acude todas las semanas al cine.
'. Se 6a obte obteni nido do una una mues muestr tra a de /' alum alumno noss de una una 7acul aculta tad d para para estimar la califcación media de los e3pedientes de los alumnos en la 7acul aculta tad. d. Se sabe sabe por por otro otross curs cursos os ue ue la desv desvia iaci ción ón tpi tpica ca de las las puntu puntuac acion iones es en dic6a dic6a 7acult acultad ad es de /.-" /.-" puntos puntos.. #a media media de la muestra &ue de *.. 5ntervalo de confanza al - 2. •
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Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación)
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5ntervalo de confanza al 2
. Se 6a obtenido una muestra de "' vendedores de una Editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la Empresa. #a media y varianza de la muestra (en miles de euros) son ' y /, respectivamente. •
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5ntervalo de confanza para la venta media por trabajador en la Editorial al - 2. 5ntervalo de confanza para la varianza de las ventas por trabajador en la Editorial al - 2.
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%. Se 6a obtenido una muestra al azar de "'- vendedores de una Editorial para estimar la proporción de vendedores en la Editorial ue no alcanza un lmite de ventas mnimo establecido por la dirección. De entre los seleccionados, '- no 6an conse$uido lle$ar al limite de ventas mnimo establecido.
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5ntervalo de confanza para la proporción de trabajadores en la Editorial ue no alcanza el lmite al +- 2. 5ntervalo de confanza para la proporción de trabajadores en la Editorial ue no alcanza el lmite al 2. 5nterprete los intervalos obtenidos.
+. 8na muestra de / personas seleccionadas al azar de una población de un barrio, tiene una media salarial de "+-- euros y una varianza de "-.--- euros. Estime la media salarial en el barrio a un nivel confanza de -.
. 4on los datos del ejemplo anterior estime la varianza salarial en el barrio a un nivel de confanza del +-.
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Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) "-.Se desea estimar la demanda diaria de un producto ue re$istra una empresa. Para ello se seleccionan "- das al azar con los si$uientes valores en miles 0', **, 0+, '', 00, ', %, *', *+, *- 9bten$a el intervalo de confanza para la demanda media diaria a un nivel de confanza del - 2. 9bten$a el intervalo de confanza para la varianza un nivel de confanza del - 2
"".Se uiere obtener un intervalo de confanza para el valor de las ventas medias por 6ora ue se producen en un :iosco . Para ello realizamos una muestra consistente en ele$ir al azar las ventas ue se realizaron durante "--- 6oras distintas ; muestra cuyos resultados &ueron ventas medias por 6ora *--- pts, y varianza de dic6a muestra *--- pts al cuadrado . 9btener dic6o intervalo con un nivel de confanza del '.' 2.
"/.
"0.9btener el intervalo de confanza para la varianza de una población normal con muestreo aleatorio simple , y nivel de confanza "=a .
"*.Se desea determinar un intervalo de confanza con nivel de confanza del 2 para la proporción de amas de casa ue compran sólo una vez a la semana. Si se sabe ue en una muestra aleatoria simple de *-- amas de casa sólo "+- de afrmaron comprar una vez a la semana.
"'.Estimar el porcentaje de individuos ue no lee nin$>n periódico al da en un pueblo de "--- 6abitantes y con un nivel de si$nifcación del "2 .Para ello llevamos a cabo una muestra de tama?o "-- a personas distintas del pueblo, resultando ue de @stas +- no leen el periódico.
0
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) ".En una empresa de '--- trabajadores desea conocerse si 6a variado muc6o la valoración positiva de la $estión de la dirección, ue el a?o pasado se concluyó &e6acientemente ue era del +- 2 de los trabajadores. Para ello se realiza una muestra de tama?o /-- resultando ue la valoración positiva era considerada por el ''2 de los trabajadores encuestados. APodemos afrmar ue la valoración 6a variado con probabilidad de euivocarnos del "2. B
"%.El ratio de productividad anual de nuestra empresa es una variable aleatoria de comportamiento desconocido si bien conocemos ue su dispersión relativa es de / unidades de medida, desconociendo la media de dic6o ratio. Dar un intervalo con confanza mnima del - 2 , para dic6a media, si esco$idos *- das, resultó ue la productividad media se situó en el valor .
"+.El n>mero de errores diarios ue se cometen al intentar conectar con una determinada red in&ormática se distribuye normalmente con media desconocida. Para intentar conocer dic6a media se realiza un C.!.S. de tama?o "- das ;resultando /,0,*,',*,0,',=".+,".+," errores. 9btener un intervalo de confanza para la media de errores cometidos diariamente con un nivel de si$nifcación del "2
".Para la estimación de la proporción de &amilias con in$resos superiores a +---- Euros al a?o, se 6an realizado dos muestreos distintos, en ambos el tama?o muestral es el mismo, as como la &orma de muestrear; en ambos, tambi@n, el nivel de confanza es id@ntico (','2) . En la fc6a t@cnica del muestreo ! se nos indica ue p-,'. En el muestreo se nos indica ue se utiliza como p la proporción de &amilias con in$resos superiores a +---- euros ue se obtuvo en un sondeo anterior. 1os pre$untamos por A4uál de los dos muestreos nos dará un intervalo para dic6a proporción de &amilias con menor amplitudB APor u@B A4uál de los dos muestreos es más ri$uroso B.
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Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación)
/-.Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso ue pueden resistir los 0-- &orjados (suelos) de una construcción, realizamos "/ pruebas resultando la resistencia media 6asta la rotura de 0'-:$Fcm/ con desviación tpica de /-. Si trabajamos con nivel de confanza de -,. A!nte u@ tipo de muestreo nos encontramosB APor u@B AEntre ue valores oscila la resistencia media de los 0-- &orjados, si por e3periencias anteriores sabemos ue dic6a resistencia se distribuye normalmenteB • •
/".5ntentamos conocer el porcentaje con el ue se da una determinada caracterstica en una muy amplia población, para ello decidimos realizar un muestreo aleatorio simple. 4ada encuesta (muestra) ue realizamos tiene un coste de "--- u.m y disponemos de "------ de u.m. Si se pretende trabajar con un error del + 2 A4uál será el nivel de confanza con el ue trabajaremos, si conocemos ue dic6a caracterstica a estudiar es imposible ue se de en más del 0'2 de la poblaciónB
//.De u@ depende y en u@ sentido la amplitud de un intervalo de confanza.
/0.Se 6a tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en " comercios, ele$idos al azar en un barrio de una ciudad, y se 6an encontrado los si$uientes precios ', "-+, %, ""/, , "-, "-', "--, , +, "-*, ""-, "-%, """, "-0, ""-. Suponiendo ue los precios de este producto se distribuyen se$>n una normal de varianza /' y media desconocida A4uál es la distribución de la media muestralB Determine el intervalo de confanza, al '2, para la media poblacional. • •
Solución a) #a distribución de la media muestral se distribuye se$>n una normal 1("-*, ",/'). b) El intervalo es ("-",'', "-,*') '
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación)
/*.Se 6a tomado una muestra aleatoria de "-- individuos a los ue se 6a medido el nivel de $lucosa en san$re, obteni@ndose una media muestral de ""- m$Fcc. Se sabe ue la desviación tpica de la población es de /m$Fcc. a) 9bt@n un intervalo de confanza, al -2, para el nivel de $lucosa en san$re en la población. b) AGu@ error má3imo se comete con la estimación anteriorB Solución a) ("-,%", ""0,/) b) E 0,/. /'.#a altura de los jóvenes andaluces se distribuye se$>n ley normal de media desconocida y varianza /' cm/. Se 6a una muestra aleatoria, y con una confanza del '2, se 6a construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es /,*' cm. a) A4uál 6a sido el tama?o de la muestra seleccionadaB b) Determina el lmite superior y el in&erior del intervalo de confanza si la muestra tomada dio una altura media de "%- cm. Solución a) n* b) #mite superior "%",//', lmite in&erior "+,%%'.
/.8n estudio realizado sobre "-- usuarios revela ue un automóvil recorre anualmente un promedio de "'/-- :m con una desviación tpica de //'- :m. Determine un intervalo de confanza, al 2, para la cantidad promedio de :ilómetros recorridos. A4uál debe ser el tama?o mnimo de la muestra para ue el error cometido no sea superior a '-- :m, con i$ual confanzaB •
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Solución a) ("*/", "'%%) b) n H "0*.
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación)
/%.Se sabe ue la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria ue si$ue una distribución normal con desviación tpica cm. Se toma una muestra aleatoria de //' individuos y da una media de "% cm. 9bten$a un intervalo de confanza, con un 2 de confanza, para la media de la estatura de la población. 4alcule el mnimo tama?o de muestra ue se 6a de tomar para estimar la estatura media de los individuos de la población con un error in&erior a " cm y un nivel de confanza del '2. •
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Solución a) ("%*,%, "%%, -0) b) n H "0+,0. #ue$o tama?o mnimo de la muestra debe ser n "0. /+.#a lon$itud de la ballena azul se distribuye se$>n una ley 1ormal con desviación tpica %,' m. En un estudio estadstico realizado a /' ejemplares se 6a obtenido el intervalo de confanza (/",-, /,*) para la lon$itud media. 4alcule la lon$itud media de los /' ejemplares de la muestra. 4alcule el nivel de confanza con el ue se 6a construido dic6o intervalo. • •
Solución a) 3 /*m b) / IJ ", el nivel de confanza es del '2.
/.8n &abricante de pilas alcalinas sabe ue el tiempo de duración, en 6oras, de las pilas ue &abrica si$ue una distribución 1ormal de media desconocida y varianza 0--. 4on una muestra de su producción, ele$ida al azar, y un nivel de confanza del ' 2 6a obtenido para la media el intervalo de confanza (0%/,, 0/,/). 4alcule el valor ue obtuvo para la media de la muestra y el tama?o muestral utilizado. A4uál sera el error de su estimación, si 6ubiese utilizado una muestra de tama?o //' y un nivel de confanza del +, 2B •
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Solución a) 3 0+/,*m , n"**. %
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) b) E,-*.
0-.Se sabe ue la desviación tpica del peso de las sandas de una plantación es de %'- $r. 4alcular el n>mero mnimo de sandas ue se 6an de ele$ir para, con un nivel de confanza del '2, estimar el peso medio de cada una con un error menor ue 0-- $r. E3plicar los pasos realizados para obtener el resultado. Solución n H /*,-'. El n>mero de sandas mnimo debe ser /'.
0".8n &abricante de electrodom@sticos sabe ue la vida media de @stos si$ue una distribución normal con media K "-- meses y desviación tpica L "/ meses. Determnese el mnimo tama?o muestral ue $arantiza, con una probabilidad del -,+, ue la vida media de los electrodom@sticos en dic6a muestra se encuentra entre - y ""- meses. Solución n %,+". #a muestra debe contener un mnimo de + elementos. 0/.Se desea estudiar el $asto semanal en &otocopias, en pesetas, de los estudiantes de bac6illerato de Cadrid. Para ello, se 6a ele$ido una muestra aleatoria de de estos estudiantes, resultando los valores si$uientes para estos $astos "-- "'- - %- %' "-' /-- "/- +-. Se supone ue la variable aleatoria objeto de estudio si$ue una distribución normal de media desconocida y desviación tpica i$ual a "/. Determnese un intervalo de confanza al '2 para la media del $asto semanal en &otocopias por estudiante. Solución ("-/,", ""%,+*), ue redondeando ueda ("-/, ""+).
00.8na variable aleatoria tiene una distribución normal de media K y desviación tpica L . Si se e3traen muestras aleatorias simples de tama?o n (a) AGu@ distribución tiene la variable aleatoria media muestral M B (b) Si se toman muestras de tama?o n * de una variable aleatoria M con distribución 1("', "/), calc>lese P(M H "%0,%).
+
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación)
0*.8na variable aleatoria M tiene distribución normal siendo su desviación tpica i$ual a 0. (a) Si se consideran muestras de tama?o ", Au@ distribución si$ue la variable aleatoria media muestralB (b) Si se desea ue la media de la muestra no difera en más de " unidad de la media de la población, con probabilidad de -,, Acuántos elementos, como mnimo, se deberan tomar en la muestraB Solución a) #a media muestral si$ue una distribución 1( K , 0F*). b) n -.
0'.Se supone ue el peso de las sandas de cierta variedad si$ue una distribución normal con desviación tpica de " :$. Se toma una muestra aleatoria de "-- sandas y se observa ue el peso medio es de :$.. (a) 4alc>lese un intervalo de confanza al '2 para el peso medio de esa variedad de sanda. (b) APuede aceptarse la 6ipótesis de ue el verdadero peso medio de las sandas es de ' :$, &rente a ue sea di&erente, con un nivel de confanza de -,-'B Solución a) (',+-*, ,") b) 4omo 'N (',+-*, ,") se rec6aza la 6ipótesis de ue el peso medio de las sandas sea de ' :$.
0.El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria ue se distribuye normalmente con desviación tpica -, :$. 8na muestra aleatoria de 0- animales 6a dado un peso medio de %,* :$. (a) 4alc>lese un intervalo de confanza al 2 para el peso medio de los perros adultos de esta raza.
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) (b) AGu@ tama?o mnimo debe tener la muestra para tener una confanza del ' 2 de ue la media muestral no se di&erencie en más de -,0 :$ de la media de la poblaciónB Solución a) (%,""+, %,+/) b) n O ". El tama?o mnimo debe ser ".
0%.Se estima ue el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto tiene una distribución normal con desviación tpica -,-' se$undos. Si se uiere conse$uir ue el error de estimación de la media no supere los -,-" se$undos con un nivel de confanza del 2, Au@ tama?o mnimo 6a de tener la muestra de tiempos de reacciónB Solución El tama?o muestral mnimo debe ser ".
0+.El tiempo de cone3ión a 5nternet de los alumnos de cierta universidad, si$ue una distribución normal con desviación tpica "' minutos. Para estimar la media del tiempo de cone3ión, se uiere calcular un intervalo de confanza ue ten$a una amplitud menor o i$ual ue minutos, con un nivel de confanza del ' 2. Determinar cuál es el tama?o mnimo de la muestra ue es necesario observar. Solución El tama?o muestral mnimo debe ser %.
0.En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera 6asta recibir atención es una variable normal de media "- minutos y desviación tpica / minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes ue lle$an un da concreto. Se pide (a) A4uál es la probabilidad de ue el tiempo medio de espera de una muestra de /' clientes no supere los minutosB (b) A4uál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de * clientesB Especifcar sus parámetros. "-
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) Solución a) -,--/ b) #a distribución de medias muestrales de tama?o * se distribuye se$>n la normal 1("-, -,/') de media "- y desviación tpica -,/'.
*-.8na muestra aleatoria de tarrinas de 6elado proporciona los si$uientes pesos en $ramos ++ - - + +% ++ " / +. allar un intervalo de confanza al ' 2 para la media de la población, sabiendo ue el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación tpica de ",+ $ramos. Solución (+%,+/*, -,"%)
*".En una población escolar se 6a comprobado ue la estatura si$ue un modelo normal de probabilidad. ! partir de una muestra de +" escolares de dic6a población se 6a calculado una estatura media de "' cm y una cuasivarianza de " cm/. Qeniendo en cuenta esta in&ormación a) Determinar el error má3imo ue cometeramos, con una confanza de 2, si estimamos en "' cm la estatura media de la población escolar. b) APodramos rec6azar, con un nivel de si$nifcación del ' 2, la 6ipótesis de ue la estatura media en esa población es de "- cmB Rustifcar las respuestas. Solución a) 0,%. b) 1o.
*/.Gueremos obtener la media de una variable aleatoria ue se distribuye normalmente con una desviación tpica de 0,/. Para ello, se toma una muestra de * individuos obteni@ndose una media de 0/,'. A4on u@ ""
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) nivel de confanza se puede afrmar ue la media de la población está entre 0",' y 00,'B
*0.Si la desviación tpica de la población &uera 0. A4uál es el tama?o mnimo ue debera tener la muestra con la cual estimamos la media poblacional si ueremos ue el nivel de confanza sea del 2 y el error admisible no supere el valor de -,%'B Solución a) #a confanza es del +,%2. b) n "-%.
**.8n nadador obtiene los si$uientes tiempos, en minutos, en "- pruebas cronometradas por su entrenador *",*+ */,0* *",' *",+ *",- */,-* *",+" */,"+ *",%/ */,/. 9btener un intervalo de confanza para la marca promedio de esta prueba con un '2 de confanza, suponiendo ue se conoce por otras pruebas ue la desviación tpica para este nadador es de -,0 minutos. Si el entrenador uiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador in&erior a tres se$undos, Acuántas pruebas debera cronometrarB
*'.#a puntuación promedio de una muestra de /- jueces de $imnasia rtmica, ele$idos al azar, para una misma prueba presentó una media de ,+'/' y una cuasi desviación tpica muestral de -,-'. 4alcular un intervalo de confanza con un '2 para la nota media. (Se sobreentiende ue la puntuación de la prueba si$ue una distribución normal)
*.8n entrenador de &>tbol está interesado en estimar, con un 2 de confanza, la &uerza má3ima de los m>sculos cuadriceps de los &utbolistas. !dmitiendo ue dic6a &uerza si$ue una distribución normal, selecciona al azar una muestra de /' &utbolistas, para la ue obtuvo una media de +' 1 y una cuasivarianza de "**. Determinar un intervalo de confanza para la media y otro para la varianza de la &uerza má3ima de estos m>sculos.
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Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) *%.En una encuesta 6ec6a por los alumnos y alumnas de un 5nstituto a un total de "-- votantes ele$idos al azar en su !yuntamiento, se indica ue el ''2 volvera a votar por el alcalde actual. 4alcular un intervalo de confanza al 2 e otro al ,%02 para la proporción de votantes &avorables al alcalde actual.
*+.A4uáles deben ser los tama?os muestrales en el sondeo del problema anterior para tener, con los mismos niveles de confanza, la certeza de ue el alcalde actual sal$a reele$ido por mayora absoluta, en el caso de arrojar la encuesta los mismos resultadosB
*.En una encuesta a 0- alumnos de un centro, ele$idos al azar, resultaron "- a &avor de la poltica del actual euipo directivo. A4uál es el intervalo de confanza, con nivel del '2, para la proporción de alumnos ue apoyan a esta direcciónB
'-.Se lanza una moneda "-- veces y se obtienen / cruces. A4uál es el intervalo de confanza para la proporción de cruces con un 2 de nivel de confanzaB
'".Para estimar el n>mero de ranas ue 6ay en un estanue procedemos a pescar cierta cantidad, 0-, y las marcamos con un anillo, devolvi@ndolas al estanue. Qranscurridos unos das volvemos a pescar otro montón y observamos u@ proporción están marcadas con la anilla. Es esta >ltima pesca obtenemos "-- ranas de las ue % están marcadas. 4alcular un intervalo al 2 de confanza para la proporción de ranas marcadas.
'/.4alcula un intervalo de confanza, con un -2, para el n>mero total, 1, de ranas del estanue del problema anterior, teniendo en cuenta ue la proporción de ranas marcadas es p 0-F1
'0.De una muestra ele$ida al azar de "- alumnos de la clase, se obtuvieron los si$uientes datos para el peso (en T$) y la estatura (en cm.) Peso %* % +' * +0 %+ %* '* 0 +
"0
Ejercicios de intervalo de confanza ( recopilación) Estatura "% "%+ "+- "' "+/ "%% "% "' "%/ "%4alcular, suponiendo ue las variables peso y estatura se adec>an a una distribución normal, un intervalo de confanza para cada variable, con un nivel de confanza del '2, tanto para las medias como para las varianzas
"*
