EJERCICIOS EJERCICIOS DE CLASE RESUELTOS – INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Ejercicio 21 : El índice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de un determinado tipo de cuerda sigue una distribución Normal con con desviación típica 15.6 kg. Con una muestra de 5 de estas cuerdas, seleccionadas al azar, se obtuvieron los siguientes índices: 280, 240, 270, 285, 270. a) Obtenga un intervalo de confianza para la media del índice de resistencia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizando un nivel de confianza del 95%. b) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error máximo en la estimación de la media de 5 kg, ¿será suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas? (Propuesto para para selectividad selectividadAndalucía Andalucía2005) 2005) RESOLUCIÓN X = Índice Índice de resistencia a la la rotura rotura ; X → N(µ N(µ ; 15,6) ; es decir decir σ = 15,6 ; n = tamaño muestral = 5 280 280 + 240 240 + 270 270 + 285 285 + 270 270
La media muestral es x =
= 269
5
a) Nivel Nivel de confianza = 1 – α = 0,95 ; α = 0,05; Intervalo de confianza confianza I = ( x - E , x +E) , siendo E = zα/2 . α
Sabemos que φ(zα/2) = p(Z < zα/2 ) = 1Luego E = 1,96 .
15,6 5
= 13,674
;
2
= 1-
0,05 2
σ
n
= 0,975 ; usando la tabla de la distribución distribución Z → N(0,1) , obtenemos obtenemos zzα/2 = 1,96
I = (269 – 13,674 ; 269 + 13,674) ; II = (255,326 2,674 ,674)) (255,326 ; 28 282 82,674
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Queremos que se cumpla que E ≤ 5
1,96 .
15,6 n
≤5
;
1,96 .
15,6 5
≤
; zzα/2 .
σ
n
; 6,1152 ≤
n
≤ 5 ;
n
sustituimos:
elevamos al cuadrado ; 37,4 ≤ n ; Tamaño mínimo: 38 38
Por tanto no es suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas;; habrá que elegir como mínimo 38 cuerdas 30 cuerdas Ejercicio 23 : Un fabricante de pilas alcalinas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida desconocida y varianza 3 600. Con una muestra de su producción, producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para la media el intervalo intervalo de confianza (372,6 (372,6 ; 392,2). a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9 %? (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía 2004) RESOLUCIÓN X = tiempo tiempo de duración de las pilas ; X → N(µ ; 3600 ) = N(µ ; 60) ; es decir σ = 60 Intervalo de confianza = I = (372,6 ; 392,2) 392,2) ; Nivel de confianza = 1 – α = 0,95 0,95 ; α
Sabemos que φ(zα/2) = p(Z < zα/2 ) = 1-
2
=1-
0,05 2
α = 0,05
= 0,975 ; usando la tabla tabla de la distribución distribución Z → N(0,1) , zzα/2 = 1,96
a) Sabemos que la media de la muestra, x , es el punto medio del intervalo de confianza, luego x =
372,6 372,6 + 392 392,2 2
; x = 382,4
Para calcular el tamaño muestral, n , podemos podemos usar que la amplitud amplitud del intervalo intervalo de confianza confianza es A = 2E A = 2E = 2. zα/2 .
σ
n
= 2. 1,96 .
60
= 392,2 – 372,6 = 19,6
n
;
2. 1,96 .
60 19,6
=
n
;
12 =
n
;
n = 144
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) n = 225 225 , Nivel de confianza = 1 – α = 0,869 0,869 ; α = 0,131 Sabemos que φ(zα/2) = 1 -
α
2
=1-
0,131 2
distribución Z → N(0,1) , obtenemos zzα/2 = 1,51 = 0,9345 ; usando la tabla de la distribución
El error es E = zzα/2 .
σ
n
= 1,51 .
60 225
; E = 6,04
Ejercicio 28 : En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37,1 ºC y se sabe que la desviación típica de toda la población es 1,04 ºC. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional. b) ¿Con qué nivel de confianza podemos afirmar que la media de la población está comprendida entre 36,8ºC y 37,4 ºC? (Propuesto para selectividad Andalucía 2003) RESOLUCIÓN X = temperatura ; n = 64 ; x = 37,1 ; X → N(µ ; 1,04) , es decir σ = 1,04 a) Nivel de confianza = 1 – α = 0,9 ; α = 0,1; Intervalo de confianza I = ( x - E , x +E) , siendo E = zα/2 .
Sabemos que φ(zα/2) = 1 E = 1,645 .
1,04 64
α
2
0,1
=1-
= 0,21385
2
;
σ
n
= 0,95 ; usando la tabla de la distribución Z → N(0,1) , obtenemos zzα/2 = 1,645 I = (37,1 – 0,21385 ; 37,1 + 0,21385) ; II = (36,89 ; 37,31) 37,31)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Nos dicen que el intervalo de confianza es I = (36,8 ; 37,4) ; tenemos que calcular el nivel de confianza = 1 - α Usamos, por ejemplo, la amplitud del intervalo: A = 2E = 2. zzα/2 .
σ
n
= 2. zα/2 .
Despejando obtenemos zα/2 = 2,31 . Sustituimos en la fórmula φ(z φ(zα/2) = 1φ(2,31) ) =1φ(
α
2
1,04 64
= 37,4 – 36,8 = 0,6
α
2
; buscamos en la tabla de la distribución N(0,1) y obtenemos que φ(2,31) φ( ) = 0,9896 φ(
Luego 0,9896 = 1 -
α
2
; despejando: α = 0,0208 ; Por tanto el nivel de confianza es 1 – α = 1 – 0,0208 = 0,9792 = 97,92 97,92 %
Ejercicio 29 : Se sabe que los estudiantes de una provincia duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley Normal de media µ horas y desviación típica σ =2 horas. a) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza (7.26, 8.14) para la media de la población. Determine el nivel de confianza con que se ha construido dicho intervalo. b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la m edia de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0.75 horas, con un nivel de confianza del 98 %. (Propuesto (Propuesto para para selectividad selectividad Andalucía Andalucía 2002) 2002) RESOLUCIÓN X = nº de horas ; X → N(µ ; 2) , es decir σ = 2 a) n = 64 ; Intervalo de confianza
I = (7,26 ; 8,14) ; Tenemos que calcular el nivel de confianza = 1 - α
Usamos, por ejemplo, la amplitud del intervalo: A = 2E = 2. zzα/2 .
σ
n
= 2. zα/2 .
Despejando obtenemos zα/2 = 1,76 . Sustituimos en la fórmula φ(z φ(zα/2) = 1 -φ(1,76) ) =1φ(
α
2
2 64
= 8,14 – 7,26 = 0,88
α
2
; buscamos en la tabla de la distribución N(0,1) y obtenemos que φ(1,76) φ( ) = 0,9608 φ(
Luego 0,9608 = 1-
α
2
; despejando: α = 0,0784 ; Por tanto, el nivel de confianza es 1 – α = 1 – 0,0784 = 0,9216 = 992,16 %
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Queremos que se cumpla que E ≤ 0,75 a un nivel de confianza = 1 – α = 0,98 ; α = 0,02 Sabemos que φ(zα/2) = 1 -
α
2
=1-
0,02 2
= 0,99 ; usando la tabla de la distribución Z → N(0,1) , obtenemos zzα/2 = 2,33 E = zα/2 .
2,33 .
2 n
≤ 0,75
;
2,33 .
2 0,75
≤
n
;
6,21 ≤
n
σ
n
≤ 0,75 ; sustituimos:
elevamos al cuadrado ; 38,6 ≤ n ;
Tamaño mínimo: 39 39
