Intervalo de Confianza

INTERVALO DE CONFIANZA Intervalo de confianza es el conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional se encuentre dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. Esa probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza. La estimación por intervalo se calcula al sumar o restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error. La formula general de una estimación por intervalo es: Estimación puntual ± Margen de error

Existen dos tipos de estimación de intervalo:  La estimación de intervalos de confianza para la media poblacional (µ). Y su formula general es: ± Margen de error  La estimación de intervalos de confianza para la proporción poblacional (P). Y su formula general es: p ± Margen de error.

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES CONOCIDA (σ).

FORMULA.

±𝑧

𝜎 √𝑛

Donde: = Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo. z = Valor de z, que depende del nivel de confianza. 𝝈 = Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las 𝒏 √

carro medias muestrales.

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES DESCONOCIDA (σ). En la mayoría de los casos de muestreo no se conoce la desviación estándar de la población (σ), y por lo tanto no se puede utilizar la distribución z para calcular el intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Sin embargo se puede utilizar la desviación estándar de la muestra y sustituir la distribución z con la distribución t. La distribución t se calcula con la siguiente fórmula: 𝒕 = Donde:

−𝜇 𝑠 √𝑛

= Media muestral. µ = Media poblacional. s = Desviación estándar de la muestra, es un estimador puntual de la desviación estándar poblacional. n = numero de observaciones de la muestra. Características de la distribución t.  Es una distribución continua.  Tiene forma de campana y es simétrica.  Existe una familia de distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una media de 0, y sus desviaciones estándar difieren de acuerdo con el tamaño de la muestra.  Es plana o más amplia que la distribución normal estándar.

Para crear un intervalo de confianza para la media poblacional con la distribución t se utiliza la siguiente fórmula: FORMULA. ±𝑡

𝑠 √𝑛

Donde: = Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo. t = Valor de t, que depende del nivel de confianza. 𝒔 = Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las 𝒏 √

carro medias muestrales.

La distribución t cuenta con una tabla para localizar el valor de t en intervalos de confianza, dependiendo el nivel de confianza que se requiera. Existe una columna que se identifica como “GL” ó grados de libertad. El número de grados de libertad es igual al número de observaciones en la muestra menos el número de muestras. ESTIMACIÓN DE INTERVALO PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. Una proporción es una fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra de la población que posee un rasgo de interés particular. 𝑥 Una proporción muestral se determina de la siguiente manera: 𝒑 = 𝑛 Donde: x = Es el numero de éxitos.

n = Es el número de elementos de la muestra. La proporción de la muestra (p) es un estimador puntual de la proporción de la población (P). Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es necesario cumplir con los siguientes supuestos: 1. Que la condiciones binomiales queden satisfechas:  Los datos de la muestra son resultado de conteos.  Solo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a uno de los resultados como éxito y al otro como fracaso).  La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente.  Las pruebas son independientes. Esto significa que el resultado de la prueba no influye en el resultado de otra. 2. Los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5. Esta condición permite recurrir al teorema del límite central y emplear la distribución normal estándar, es decir, z, para completar un intervalo de confianza. Para crear un intervalo de confianza para una proporción de población se aplica la siguiente fórmula: FORMULA.

p ± 𝑧ඨ

𝑝 (1 − 𝑝) 𝑛

Donde: p = Es la estimación puntual (proporción muestral) y punto central del intervalo de mar confianza. z = Valor de z, que depende del nivel de confianza. n = Es el número de elementos de la muestra. El desarrollo de un estimador puntual para la proporción poblacional y un intervalo de confianza para una proporción poblacional es similar a hacerlo para una media.