30/5/2016
2
2. DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL. Características: a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes. c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes. d) El número de repeticiones del experimento, n es constante. Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución. Ejemplo: Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco. Solución: Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre es trazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación; 1 2 1 1 3 2 4..... 3 5 4 2º lanzamiento 6 5 5ºlanzamiento 6 2
3 a http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Distr%20Multinomial.htm
1/5
30/5/2016
2
4 1 2 1er lanzamiento 5 3 2º lanzamiento 4 6 6 5 Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían las probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de la siguiente expresión: p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y un cinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas) Para esto definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos del dado x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2 x2 = número de veces que aparece el número 2 = 0 x3 = número de veces que aparece el número 3 = 2 x4 = número de veces que aparece el número 4 = 0 x5 = número de veces que aparece el número 5 = 1 p1 = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6 p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6 p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6 p4 = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6 p5 = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6 p6 = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6 Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y un número 5? Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente; (1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc. http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Distr%20Multinomial.htm
2/5
30/5/2016
2
¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que? SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES. Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera: El número de ramas = Y en forma general, Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería; p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p1*p1*p3*p3*p5= =p12*p32*p5 Por tanto la fórmula general será: donde: p(x1, x2,....,xk, n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x1 objetos del primer tipo, x2 objetos del segundo tipo.......y xk objetos del último tipo. n = x1+x2+....xk Resolviendo el ejemplo; n = 5 x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2 x2 = número de veces que aparece el número 3 = 2 x3 = número de veces que aparece el número 5 = 1 p1= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6 p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6 p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6 Ejemplos: 1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Distr%20Multinomial.htm
3/5
30/5/2016
2
aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto? Solución: a) n = 9 x1= # de delegados que llegan por aire = 3 x2= # de delegados que llegan en autobús = 3 x3= # de delegados que llegan en auto = 1 x4= # de delegados que llegan en tren = 2 p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40 p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20 p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30 p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10 b) n=9 x1 = 4 por aire; p1 = 0.40 x2 = 1 en autobús; p2 = 0.20 x3 = 2 en auto; p3 = 0.30 x4 = 2 en tren; p4 = 0.10 c) n=9 x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30 x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70 2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros. Solución: a) n = 8 x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50 x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25 http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Distr%20Multinomial.htm
4/5
30/5/2016
2
x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25 b) n=8 x1 = 3 rojos; p1 = 0.50 x2 = 2 negros; p2 = 0.25 x3 = 3 blancos; p3 = 0.25 3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul. Solución: a) n = 6 x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde = 0.52 x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08 b)n = 6 x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde=0.52 x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08
http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Distr%20Multinomial.htm
5/5
