Ejercicios Resueltos de Distribucion Normal

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EJERCICIOS RESUELTOS 7

TEMA: Distribución Normal

Nota: el símbolo Φ(Z) se interpreta como buscar en tablas el área a la izquierda del valor de Z que se esta manejando. 1. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está a) a la la izquierda de z = 1.43

P(Z < 1.43) = Φ( 1.43 ) = 0.9236 b) a la la derecha de z = -0.89

P(Z > -0.89) = 1 - Φ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133 c) entre z = -2.16 y z = -0.65

P( -2.16
P(Z <-1.39) = Φ( -1.39 ) = 0.0823 e) a la la derecha de z = 1.96

P(Z > 1.96) = 1 f)

Φ(

1.96) = 1 – 0.9750 = 0.0250

entre z = -0.48 y z = 1.74

P( -0.48
k ) = 0.0427 k = -1.72

Φ(

k ) = 1- 0.2946 = 0.7054 k =0.54

σ

= 6, encuentre

b) P(Z>k)= 0.2946 c) P(-0.93
k ) = 0.7235 +

Φ(-0.93

) = 0.8997 k = 1.28

3. Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre a) P(X<15)=

P(X < 15) = Φ[(15 - 18)/2.5 ] = Φ[-1.20 ] = 0.1151 b) El valor valor de k tal que P(X < k)= 0.2236 Φ(

Z ) = 0.2236 Z = -0.76 k = Zσ + µ = (-0.76)(2.5) + 18 = 16.10 c) El valor valor de k tal que P(X > k)= 0.1814

1 - Φ( Z ) = 0.1814 Φ( Z )= 0.8186 Z = 0.91 k = Zσ + µ = (0.91)(2.5) + 18 = 20.28 d) P(17
P(17 < X < 21) = Φ[(21 – 18)/2.5 ] - Φ[(17 – 18)/2.5 ] = Φ[1.20 ] - Φ[-0.40 ] = 0.8849 – 0.3446 =0.5404 4. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva

µ = 40 y σ = 6.3

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Página 2 de 3 a) más de 32 meses

P(X > 32) = 1 -

Φ[(32

– 40)/6.3 ] = 1 -

Φ[-1.27

] = 1 – 0.1021 = 0.8979

b) menos de 28 meses

P(X <28) = Φ[28 – 40)/6.3] =

Φ[-1.90]

= 0.0284

c) entre 37 y 49 meses

P(37 < X < 49) = Φ[49 – 40)/6.3 ] - Φ[(37 – 40)/6.3 ] = Φ[1.43 ] - Φ[-0.48 ] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065 5. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros,

µ = 200 y σ = 15 a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?

P(X > 224) = 1 - Φ[(224 – 200)/15 ] = 1 -

Φ[1.60

] = 1 – 0.9452 = 0.0548

b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?

P(191 < X < 209) = Φ[209 – 200)/15 ] - Φ[(191 – 200)/15 ] = Φ[0.60 ] - Φ[-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514 c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas?

P(X > 230) = 1 - Φ[(230 – 200)/15 ] = 1 - Φ[2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228 Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23 d) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?

P25

K = 25 Área = 0.25

Φ(

Z ) = 0.25 Z = -0.67

x = Zσ + µ = (-0.67)(15) + 200 = 189.88

6. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.

µ = 24 y σ = 3.8 a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?

P(X > 30) = 1 -

Φ[(30

– 24)/3.8 ] = 1 -

Φ[1.58

] = 1 – 0.9428 = 0.0572

b) Si la oficina abre a las 9:00 am y él sale diario de su casa a las 8:45 am, ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo?

P(X > 15) = 1 -

Φ[(15

– 24)/3.8 ] = 1 -

Φ[-2.37

] = 1 – 0.0089 = 0.9911

c) Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am, ¿cuál es la probabilidad de que pierda el café?

P(X > 25) = 1 -

Φ[(25

– 24)/3.8 ] = 1 -

Φ[0.26

] = 1 – 0.6038 = 0.3962

d) Encuentre la longitud de tiempo por arriba de la cual encontramos el 15% de los viajes más lentos.

1 - Φ( Z ) = 0.15 Φ( Z )= 0.85 Z = 1.04 x = Zσ + µ = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94

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e) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen al menos ½ hora

Del inciso a) p = 0.0578 P(Y = 2) = 3C2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925

7. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.

µ = 10 y σ = 2 P3

Área = 0.03

Φ(

Z ) = 0.03 Z = -1.88

x = Zσ + µ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24 8. una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo más próximo

µ = 15.90 y σ = 1.5 a) ¿qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por  hora?

P(13.75 < X < 16.22) = Φ[16.22 – 15.90)/1.5 ] - Φ[(13.75 – 15.90)/1.5 ] = Φ[0.21 ] - Φ[- 1.43] = 0.5845 – 0.0759 = 0.5086 b) ¿ el 5% más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?

P95

Área = 0.95

Φ(

Z ) = 0.95 Z = 1.645

x = Zσ + µ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37 9. La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos. a) ¿Qué proporción de estos componentes excede 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tracción ?

µ = 15.90 y σ = 1.5 unidades = 50 e= + 25 P(X > 10150) = P(X > 10175) = 1 – Φ[ (10175 – 10000)/100] = 1 - Φ[1.75] = 1 – 0.9599 = 0.0401 b) Si las especificaciones requieren de todos los componentes tengan resistencia a la tracción entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas esperaría que se descartará?

Proporción de descarte = 1 – P(9800 < X < 10200) P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225) = Φ[ (10225 – 10000)/100] - Φ[ (9775 – 10000)/100] = Φ[2.25] - Φ[-2.25] = 0.9878 – 0.0122 = 0.9756 Proporción de descarte = 1 – 0.9756 = 0.0244 10. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?

P(X < 95) = Φ[(95 – 115)/12]= Φ[-1.67] = 0.0478 Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29

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