DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Si lo sucesos A1 , A2 ,….., Ak ocurren con probabilidades p1 , p2 ,….., pk respectivamente, respectivamente, entonces la probabilidad de que un suceso (A i) ocurra “n” veces (n i) está dada por P ( A 1 n 1, A 2 n 2, A 3 n3, … .. , A k nk , )=
n! n n n ∗ p 1 ∗ p2 ∗… …. ∗ pk n1 ! n2 ! … .. nk ! 1
2
k
n1 + n2 + … + nk = n p1 , p2 ,… ., pk = probabilid probabilidades ades parciales parciales p1+ p 2+ … + pk =1
EJERCICIOS PROUESTOS 1. !as probabilidades de que una bater"a de cierto tipo de pro#ector de diapositivas dure menos de $% &oras de uso continuo, entre $% # '% &oras de uso continuo continuo o más de '% &oras de uso continuo continuo o más de '% '% &oras de uso inter nterru rum mpido pido son son %.% .%, %.% .%, %.2% .2%, respec specti tiv vame amente nte, *al *alc+l c+lese la probabilidad de que entre oc&o de tales bater"as dos duren menos de $% &oras, cinco duren entre $% # '% # una dure más de '% &oras. Rpta= 0.0945
2 n una compa-"a se desea conocer la opinin que se tiene sobre tres nuevas marcas, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e $% de los consumidores, el /, por el % # el c, por el %. *uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas, cinco pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4 Rpta= 0.0627
. 5allar la probabilidad de que en el lan6amiento de una pirámide trian7ular 2% veces de obten7a la base 12 veces. 89:A;<.1='>$ $. ?na empresa desea conocer la opinin que se tiene sobre tres productos, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e 1% de los consumidores, el /, por el % # el c, por el $%. *uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas, dos pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4 Se reali6an 1% e@perimentos consistentes en pre7untar a 1% personas sus pre0erencias por unos productos determinados. !as opciones son cuatro 9re0erir A
con probabilidad %,1
9re0erir /
con probabilidad %,
9re0erir *
con probabilidad %,$
o pre0erir nin7uno
con probabilidad %,2
Sea B1;n+mero de personas que pre3eren A B2;n+mero de personas que pre3eren / B;n+mero de personas que pre3eren * B$;n+mero de personas que no pre3eren nin7uno 8pta; %.%%'< . ?n 7rupo de 12 personas decide reunirse en cierta ciudad. !a probabilidad de que una persona lle7ue a la ciudad en un avin, coc&e, tren o autob+s es, respectivamente ., .$, .1 # .2 *uál es la probabilidad de que de las 12 personas, lle7uen en avin, en coc&e, 2 en tren # 2 en autob+s4 89:A;%.%12'%
=. Se sabe que las bombas de 7asolina para autos e@istentes en el mercado se pueden clasi3car en $% de rendimiento e@celente. (@) 2% de rendimiento bueno. (/) % de
rendimiento re7ular (8). 1% de rendimiento malo (C). Se selecciona una muestra de n;D bombas mediante proceso aleatorio. *uál será la probabilidad de que quede con0ormada por @,/,18 # 2C 4 89:A; %.%%<<$ <. n una 7asolinera se sabe que la probabilidad de compren super, e@tra o diEsel es de %.$, %.= # %.$ respectivamente si lle7an 1% autos en el transcurso de una &ora calcular la probabilidad de que compren super, 2 e@tra # diEsel. 89:A; %.D '. Supn7ase que el 2 de las personas que asisten a cierto partido de FbaseballF viven a menos de 1% millas del estadio, el D de ellas viven a entre 1% # % millas del estadio, # el 1' vive a mas de % millas. Se seleccionan al a6ar 2% personas entre los asistentes al partido (que son miles). *alcular la probabilidad de que siete de los seleccionados vivan a menos de 1% millas, oc&o vivan entre 1% # % millas, # cinco vivan a mas de % millas del estadio. 89:A; %.%%D$ D. *alcular la probabilidad de obtener dos veces el n+mero $, dos veces el n+mero # una ve6 el n+mero 2, en el lan6amiento de un dado veces. 89:A; %.%%'
1%. Si se lan6a seis veces un par de dados. *uál es la probabilidad de obtener una suma siete u 11 dos veces, un par i7ual una ve6 # cualquier otra combinacin tres veces4 !istamos los si7uientes eventos posibles 1 ocurre una suma < u 11 2 ocurre un par i7ual no ocurre ni un par i7ual ni una suma < u 11. !as probabilidades correspondientes para una prueba dada son p1;2GD, p2;1G= # p;11G1'. stos valores permanecen constantes para todas las seis pruebas. Al usar la distribucin multinomial @1;2, @2;1 # @;, entonces 89:A; %.112<
11. n una reunin 0amiliar, el 2% de los asistentes son &ombres adultos, el % muHeres adultas, el $% ni-os # el 1% ni-as. n un peque-o 7rupo se &an reunido $ personas cual es la probabilidad de que 2 sean &ombres adultos # 2 ni-os4 89:A; %.%'$ 12. A unas elecciones se presentaron $ partidos pol"ticos el 9I9I obtuvo un $% de los votos, el JJ el %, el C?C? el 2% # el !A!A el 1% restante. *uál es la probabilidad de que al ele7ir ciudadanos al a6ar, &a#an votado al 9I9I, 1 al C?C? # 1 al !A!A4 89:A; %.%2= 1. *alcular la probabilidad 9(B1;=, B2;, B;1) de una Kistribucin Cultinomial de 1% pruebas # con probabilidades (%., %.2, %.2). *alcular la probabilidad 9(B1;=, B2;, B;1) de una Kistribucin Cultinomial de 1% pruebas # con probabilidades (%.,%.2,%.2). 89:A;%.%12 1$. &allar la probabilidad de que en el lan6amiento de una moneda 2% veces de obten7a cara 12 veces. 89:A;1.'<<> 1. !os 0allos de impresin de un libro se pueden clasi3car en erratas tipo7rá3cas, mala impresin # &oHa en blanco, un editor en los 0allos de sus publicaciones un '% de erratas, un 1 de &oHas mal impresas # un de
&oHas en blanco. *alcular la probabilidad de que 1% 0allos encontrados en un libro = sean erratas # carencias de impresin. 89:A ;%.%<1= 1=. Se lan6a al aire un dado normal, < veces, determine la probabilidad de que apare6ca dos n+meros uno, cuatro n+meros tres # un n+mero cinco. 89:A ;.<%'>$ 1<. ?na empresa desea conocer la opinin que se tiene sobre tres productos, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e 1% de los consumidores, el /, por el % # el c, por el $%. *uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas, dos pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4 89:A; %.%%'<
1'. !as probabilidades son de %.$, %.2, %. # %.1, respectivamente, de que un dele7ado lle7ue por aire a una cierta convencin, lle7ue en autob+s, en automvil o en tren. *uál es la probabilidad de que entre D dele7ados seleccionados aleatoriamente en esta convencin &a#an lle7ado por aire, en autob+s, 1 en automvil # 2 en tren. Katos p1 ; %.$ @1 ; n ; D p2 ; %.2 @2 ; p ; %. @ ; 1 p$ ; %.1 @$ ; 2 Kistribucin multinomial 89:A; %.%%<<
1D. Ke acuerdo con la teor"a de la 7enEtica, un cierto cruce de coneHillos de indias resultara en una descendencia roHa, ne7ra # blanca en la relacin '$$. ncuentre la probabilidad de que de ' descendientes, sean roHos, 2 ne7ros # 1 blanco. Katos p(roHos) ; 'G1= ; 1G2 @r ; n ; ' p(ne7ros) ; $G1= ; 1G$ @n ; 2 p(blancos) ; $G1= ; 1G$ @b ; 1
Kistribucin multinomial 89:A;%.%'2%
2%. Si lan6amos un dado % veces. *uál es la probabilidad de obtener 2 unos, 1% veces el dos # 1 veces el cinco4 89:A ;.1121>1D 21.Se lan6a un dado 12 veces cual es la probabilidad de obtener el 1, 2, , $, , =, dos veces cada uno4 9 (@); %.$; $
22.n una 3esta, el 2% de los asistentes son espa-oles, el % 0ranceses, el $% italiano # el 1% portu7ueses. n un peque-o 7rupo se &an reunido $ invitados cuál es la probabilidad de que 2 sean espa-oles # 2 italianos4 9 ; %,%'$
2.A esas elecciones se presentaron $ partidos pol"ticos el JAJA obtuvo un $% de los votos, el JJ el %, el JLJL el 2% # el JIJI el 1% restante. *uál es la probabilidad de que al ele7ir ciudadanos al a6ar, &a#an votado al JAJA, 1 al JLJL # 1 al JIJI4 9 ; %,%2=
SOLUCIONES 1.>!as probabilidades de que una bater"a de cierto tipo de pro#ector de diapositivas dure menos de $% &oras de uso continuo, entre $% # '% &oras de uso continuo o más de '% &oras de uso continuo o más de '% &oras de uso interrumpido son %.%, %.%, %.2%, respectivamente, *alc+lese la probabilidad de que entre oc&o de tales bater"as dos duren menos de $% &oras, cinco duren entre $% # '% # una dure más de '% &oras.
P ( x1= 2, x 2=5, x3 =1 )=
8! 2 !∗5 !∗1 !
0.3
2 ∗
5
0.5
1
0.2
∗
=
0.0945
2.>n una compa-"a se desea conocer la opinin que se tiene sobre tres nuevas marcas, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e $% de los consumidores, el /, por el % # el c, por el %. *uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas, cinco pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4 P ( x1= 5, x 2=3, x3 =2 )=
10 ! 5 !∗3 !∗2 !
0.4
5
3
2
0.3 ∗0.3
∗
=
0.0627
.>5allar la probabilidad de que en el lan6amiento de una pirámide trian7ular 2% veces de obten7a la base 12 veces.
9(B1;12,B2;');
20 !
1
12 ! x 8 ! 4
12
x
3
8
4
;<.1='>$
$.>?na empresa desea conocer la opinin que se tiene sobre tres productos, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e 1% de los consumidores, el /, por el % # el c, por el $%. *uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas, dos pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4 Se reali6an 1% e@perimentos consistentes en pre7untar a 1% personas sus pre0erencias por unos productos determinados. !as opciones son cuatro
9re0erir A
con probabilidad %,1
9re0erir /
con probabilidad %,
9re0erir *
con probabilidad %,$
o pre0erir nin7uno
con probabilidad %,2
Sea B1;n+mero de personas que pre3eren A
B2;n+mero de personas que pre3eren / B;n+mero de personas que pre3eren *
B$;n+mero de personas que no pre3eren nin7uno
*alculamos
pMB1;2, B2 ;, B ;2, B$ ;N; 1%O 2OO2OO !a distribucin beta>binomial tiene
;%.12 %. %.$2 %.2 ; %.%%'< .>?n 7rupo de 12 personas decide reunirse en cierta ciudad. !a probabilidad de que una persona lle7ue a la ciudad en un avin, coc&e, tren o autob+s es, respectivamente ., .$, .1 # .2 *uál es la probabilidad de que de las 12 personas, lle7uen en avin, en coc&e, 2 en tren # 2 en autob+s4 Solucin Sean B1;n+mero de personas que lle7an en avin B2;n+mero de personas que lle7an en coc&e B;n+mero de personas que lle7an en tren B$;n+mero de personas que lle7an en autob+s
!as variables (B1, B2 B B$) tiene distribucin multinomial de parámetros n;12, p1;. p2;.$ p;.1 p$;.2. ntonces 9(B1; B2; B;2 B$;2);12OGOO2O2O;%.%12'% =.>Se sabe que las bombas de 7asolina para autos e@istentes en el mercado se pueden clasi3car en $% de rendimiento e@celente. (@) 2% de rendimiento bueno .(/) % de rendimiento re7ular (8) . 1% de rendimiento malo (C). Se selecciona una muestra de n;D bombas mediante proceso aleatorio. *uál será la probabilidad de que quede con0ormada por @,/,18 # 2C 4 P (n
= 9, X 1 = 3, X 2 = 3, X 3 = 1, X 4 = 2) =
9!
3
3!*3!*1!*2!
3
1
( 0.4) ( 0.2) ( 0.3) (0.1)
= 5040(0.064)(0.008)(0.3)(0.01) = 0.00774
<.>n una 7asolinera se sabe que la probabilidad de compren super, e@tra o diEsel es de %.$, %.= # %.$ respectivamente si lle7an 1% autos en el transcurso de una &ora calcular la probabilidad de que compren super, 2 e@tra # diesel. P ( x1= 5, x 2=2, x3 =3, )=
10 ! 5 !∗2 !∗3 !
0.4
5
2
3
0.6 ∗0.4
∗
=
0.59
'.>Supn7ase que el 2 de las personas que asisten a cierto partido de FbaseballF viven a menos de 1% millas del estadio, el D de ellas viven a entre 1% # % millas del estadio, # el 1' vive a mas de % millas. Se
seleccionan al a6ar 2% personas entre los asistentes al partido (que son miles). *alcular la probabilidad de que siete de los seleccionados vivan a menos de 1% millas, oc&o vivan entre 1% # % millas, # cinco vivan a mas de % millas del estadio.
Solucin *omen6amos por identi3car todos los elementos del problema n ; 2% (n+mero de personas seleccionadas), k ; (cantidad de 7rupos de clasi3cacin de las personas)P #1 ;Q9ersonas que viven a menos de 1% millas del estadioR, #2 ;Q9ersonas que viven a entre 1% # % millas del estadioR, # ;Q9ersonas que viven a más de % millas del estadioRP p1 ; %,2, p2 ; %,D, p ; %,1' Ke3niendo (1,2,) el vector correspondiente a las 0recuencias, se pide calcular P (N1
= 7, N 2 = 8, N 3 = 5) =
20! 7!*8!*5!
7
8
( 0..23) ( 0.59) ( 0.18)
5
= 0.0094
D.>*alcular la probabilidad de obtener dos veces el n+mero $, dos veces el n+mero # una ve6 el n+mero 2, en el lan6amiento de un dado veces. P(n
= 5, X 1 = 2, X 2
2
2
1 1 1 = 2, X 3 = 1) = ÷ ÷ ÷ 2!* 2!*1! 6 6 6 5!
1
= 0.00385 1%.>Si se lan6a seis veces un par de dados. *uál es la probabilidad de obtener una suma siete u 11 dos veces, un par i7ual una ve6 # cualquier otra combinacin tres veces4 !istamos los si7uientes eventos posibles 1 ocurre una suma < u 11 2 ocurre un par i7ual no ocurre ni un par i7ual ni una suma < u 11. !as probabilidades correspondientes para una prueba dada son
p1;2GD, p2;1G= # p;11G1'. stos valores permanecen constantes para todas las seis pruebas. Al usar la distribucin multinomial @1;2, @2;1 # @;, entonces 2
1
2 1 11 P (n = 6, X 1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 3) = ÷ ÷ ÷ 2!*1!* 3! 9 6 18 = 0.1127 6!
3
11.>n una reunin 0amiliar, el 2% de los asistentes son &ombres adultos, el % muHeres adultas, el $% ni-os # el 1% ni-as. n un peque-o 7rupo se &an reunido $ personas cual es la probabilidad de que 2 sean &ombres adultos # 2 ni-os4 P( X1
= 2, X 2 = 0, X 3 = 2, X 4 = 0) =
4! 0.2 2 ∗ 0.3 0 ∗ 0.4 2 ∗ 0.10 2!∗0!∗2!∗0!
= 0.0384
!ue7o, la probabilidad de que el 7rupo estE 0ormado por personas de estos pa"ses es tan slo del ,'$
12.>A unas elecciones se presentaron $ partidos pol"ticos el 9I9I obtuvo un $% de los votos, el JJ el %, el C?C? el 2% # el !A!A el 1% restante. *uál es la probabilidad de que al ele7ir ciudadanos al a6ar, &a#an votado al 9I9I, 1 al C?C? # 1 al !A!A4
P ( X 1
= 3, X 2 = 0, X 3 = 1, X 4 = 1) =
5! 3!*0!*1!*1!
3
0
1
( 0.4 ) ( 0.3) ( 0.2) ( 0.1)
1
= 0.0256
1.>*alcular la probabilidad 9(B1;=,B2;,B;1) de una Kistribucin Cultinomial de 1% pruebas # con probabilidades (%.,%.2,%.2). *alcular la probabilidad 9(B1;=,B2;,B;1) de una distribucin Cultinomial de 1% pruebas # con probabilidades (%.,%.2,%.2).
10 !
9(B1;=,B2;,B;1);
6! x 3! x1!
6
3
0.5 x 0.25 x 0.25
1
;%.%12
1$.>5allar la probabilidad de que en el lan6amiento de una moneda 2% veces de obten7a cara 12 veces. 20 !
9(B1;12,B2;');
12
12 ! x 8 !
18
0.5 x 0.5
;1.'<<>
1.>!os 0allos de impresin de un libro se pueden clasi3car en erratas tipo7rá3cas, mala impresin # &oHa en blanco, un editor en los 0allos de sus publicaciones un '% de erratas, un 1 de &oHas mal impresas # un de &oHas en blanco. *alcular la probabilidad de que 1% 0allos encontrados en un libro = sean erratas # carencias de impresin.
10 !
9(B1;=,B2;,B;1);
6!x 3!x 1!
6
3
0.8 x 0.15 x 0.05
1
;%.%<1=
1=.>Se lan6a al aire un dado normal, < veces, determine la probabilidad de que apare6ca dos n+meros uno, cuatro n+meros tres # un n+mero cinco.
9(B1;2,B2;$,B;1);
7!
1
2! x 4! x1! 6
2
x
1 6
4
x
1 6
1
;.<%'>$
1<.>?na empresa desea conocer la opinin que se tiene sobre tres productos, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e 1% de los consumidores, el /, por el % # el c, por el $%. *uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas, dos pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4
Se reali6an 1% e@perimentos consistentes en pre7untar a 1% personas sus pre0erencias por unos productos determinados. !as opciones son cuatro 9re0erir A
con probabilidad %,1
9re0erir /
con probabilidad %,
9re0erir *
con probabilidad %,$
o pre0erir nin7uno
con probabildad %,2
Sea B1;n+mero de personas que pre3eren A
B2;n+mero de personas que pre3eren /
B;n+mero de personas que pre3eren *
B$;n+mero de personas que no pre3eren nin7uno *alculamos pMB1;2, B2 ;, B ;2, B$ ;N; 1%O
;%.12 %. %.$2 %.2 ; %.%%'<
2OO2OO
1'.>!as probabilidades son de %.$, %.2, %. # %.1, respectivamente, de que un dele7ado lle7ue por aire a una cierta convencin, lle7ue en autob+s, en automvil o en tren. *uál es la probabilidad de que entre D dele7ados seleccionados aleatoriamente en esta convencin &a#an lle7ado por aire, en autob+s, 1 en automvil # 2 en tren. Katos n ; D p1 ; %.$ @1 ; p2 ; %.2 @2 ;
p ; %. @ ; 1 p$ ; %.1 @$ ; 2 Kistribucin multinomial P ( X
= 3, X = 3, X = 1, X = 2) =
9!
3
3!3!1!2!
3
( 0.4 ) ( 0.2 ) ( 0.3) ( 0.1)
2
= 0.0077 1D.>Ke acuerdo con la teor"a de la 7enEtica, un cierto cruce de coneHillos de indias resultara en una descendencia roHa, ne7ra # blanca en la relacin '$$. ncuentre la probabilidad de que de ' descendientes, sean roHos, 2 ne7ros # 1 blanco. Katos p(roHos) ; 'G1= ; 1G2 @r ; n ; ' p(ne7ros) ; $G1= ; 1G$ @n ; 2 p(blancos) ; $G1= ; 1G$ @b ; 1 Kistribucin multinomial P ( X
= 5, X
5
2
1 1 1 = 2, X = 1) = ÷ ÷ ÷ 5!2!1! 2 4 4 8!
= 0.0820 2%.>Si lan6amos un dado % veces. *uál es la probabilidad de obtener 2 unos, 1% veces el dos # 1 veces el cinco4
9(B1;2,B2;1%,B;1);
50 !
1
25 ! x 10 ! x 15 ! 6
25
x
1 6
10
x
1 6
15
;.1121>1D
21.Se lan6a un dado 12 veces cual es la probabilidad de obtener el 1, 2, , $, , =, dos veces cada uno4 ; 12 B(1) ;B(2) ;B();B($);B();B(=); 2
9(1) ;9(2);9();9($);9();9(=); 1G= 12 !
9(@);
2 ! .2 ! .2 ! .2 ! .2 ! .2 !
1
(
6
)=; %,%%$; %,$
*ada uno de los n+meros del dado que puede salir 2 veces cada uno es del $
22.n una 3esta, el 2% de los asistentes son espa-oles, el % 0ranceses, el $% italiano # el 1% portu7ueses. n un peque-o 7rupo se &an reunido $ invitados cuál es la probabilidad de que 2 sean espa-oles # 2 italianos4 B1 ; %.2 P B2 ; %. P B ; %.$ P B$ ; %.1 n1 ; 2 P n2 ; % P n ; 2 P n$ ; %
9 ; %,%'$
2.A esas elecciones se presentaron $ partidos pol"ticos el JAJA obtuvo un $% de los votos, el JJ el %, el JLJL el 2% # el JIJI el 1% restante. *uál es la probabilidad de que al ele7ir ciudadanos al a6ar, &a#an votado al JAJA, 1 al JLJL # 1 al JIJI4 B1 ; %.$ P B2 ; %. P B ; %.2 P B$ ; %.1 n1 ; P n2 ; % P n ; 1 P n$ ; 1
9 ; %,%2=
