EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES MUESTRALES
INTEGRANTES:
TUTOR: MARCOS CASTRO BOLAÑOS
ASIGNATURA: ESTADISTICAII
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA IV SEMESTRE DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS
CREAD- LORICA. FECHA: 09 DE ABRIL DE 2014
TALLER #
EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIONES MUESTRALES !.1 Defina en qué consisten: a) la distribución en el muestreo de la media, b) la distribución en el muestreo de la proporción c) la distribución en el muestreo de las diferencias de medias d) la distribución en el muestreo de las diferencias de proporciones e) el error estándar para cada uno de los literales anteriores.
SOLUCI"N 1 DEFINA EN U$ CONSISTEN: %& L% '()*+(,(/ 3)*+ ' % 3'(% Si a cada una de las M muestras de igual tamaño “n, que podemos seleccionar de una población “!, le calculamos su respecti"os estimadores #medias aritméticas), la "ariable aleatoria as$ obtenida, la denominamos “distribución en el muestreo de la media.
,& L% '()*+(,(/ 3)*+ ' % 5+5+(/ %recuentemente en estad$stica es importante conocer la proporción de una cosa con respecto al todo, como la proporción de pie&as defectuosas en un lote de producción dado, proporción de electores a fa"or de un cierto candidato, etc. 'a distribución en el muestreo de la proporción, consiste en la distribución de las proporciones de todas las posibles muestras que pueden ser seleccionadas de una población.
& L% '()*+(,(/ 3)*+ ' %) '(6+(%) ' 3'(%) Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media
(
des"iación estándar (, la segunda con media * des"iación estándar *. Más a+n, se elige una muestra aleatoria de tamaño n( de la primera población una muestra independiente aleatoria de tamaño n * de la segunda población se calcula la media muestral para cada muestra la diferencia entre dic-as medias. 'a colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estad$stico
'& L% '()*+(,(/ 3)*+ ' %) '(6+(%) ' 5+5+() on muc-a frecuencia estamos interesados en conocer las diferencia entre dos proporciones de dos poblaciones independientes as$ por e/emplo, supongamos que se sabe por e0periencia que la proporción de la población empleada respecto a la población económicamente acti"a de una región es el 123, mientras que para otra región "ecina es el 113. 4odr$amos estar interesados
en conocer la probabilidad de que para un año dado, las diferencias entre las proporciones no sobrepasen el 53, con muestras de tamaño (52. Similarmente a las consideraciones que -icimos para la distribución en el muestreo de la diferencia de medias #"éase página (16), podemos obtener una tabla que nos indique en una primera columna todos los pares de muestra posibles que pueden e0traerse de dos poblaciones independientes que además en una segunda columna, nos indique las diferencias de proporciones para cada par de muestras.
& E +++ )*7'%+ 5%+% %'% ' ) (*+%) %*+(+). 'a media muestral es el estimador usual de una media poblacional. Sin embargo, diferentes muestras escogidas de la misma población tienden en general a dar distintos "alores de medias muéstrales. 7l +++ )*7'%+ ' % 3'(% #es decir, el error debido a la estimación de la media poblacional a partir de las medias muéstrales) es la des"iación estándar de todas las posibles muestras #de un tamaño dado) escogidos de esa población. 8demás, el error estándar de la media puede referirse a una estimación de la des"iación estándar, calculada desde una muestra de datos que está siendo anali&ada al mismo tiempo.
7n aplicaciones prácticas, el "erdadero "alor de la des"iación estándar #o del error) es generalmente desconocido. omo resultado, el término 8+++ )*7'%+8 se usa a "eces para referirse a una estimación de esta cantidad desconocida. 7n tales casos es importante tener claro de donde pro"iene, a que el error estándar es sólo una estimación. Desafortunadamente, esto no es siempre posible puede ser me/or usar una apro0imación que e"ite usar el error estándar, por e/emplo usando la estimación de má0ima "erosimilitud o una apro0imación más formal deri"ada de los inter"alos de confian&a. 9no caso bien conocido donde se pueda usar de forma apropiada puede ser en la distribución t de Student para proporcionar un inter"alo de confian&a para una media estimada o diferencia de medias. 7n otros casos, +++ )*7'%+ puede ser usado para pro"eer una indicación del tamaño de la incertidumbre, pero su uso formal o semiformal para proporcionar inter"alos de confian&a o test debe ser e"itado a menos que el tamaño de la muestra sea al menos moderadamente grande. 8qu$ el concepto ;grande; dependerá de las cantidades particulares que "aan a ser anali&adas. 7n análisis de regresión, el término error estándar error típico es también usado como la media de las diferencias entre la estimación por m$nimos cuadrados los "alores dados de la muestra.
!. Si
a cada una de las muestras del problema anterior le calculamos su correspondiente proporción, cómo llamar$a usted a la serie de proporciones obtenidas qué propiedades tiene dic-a distribución.
SOLUCI"N 8 la serie de proporciones que se obtienen de la muestra recibe el nombre de medias muéstrales para estas se cumple que el promedio de estas medias es
´
igual a la media poblacional, es decir.
!. =uinientos co/inetes de bolas, tienen un peso medio de 5.2* on&as una des"iación estándar de 2.>2 on&as. ?allar la probabilidad de que una muestra aleatoria de (52 co/inetes, tenga un peso medio de más de 5.(2 on&as. @espuesta: 2.2225.
SOLUCI"N
´ X < 5,02 , σ
n <(52, A < ¿ 5,(.
<2,> ,
5,02 − 5,1 x´ − μ σ 0,3 B< < < n 1 50 √ √
−0,08 0,3 12,2474
−0,08
< 0,02449 <>,*15C ≈ 3,27 .
'uego. 4 #0 ¿ 5,1 ¿= p ( z >−3,27 ) =1− p ( z < 3,27 )=1− 0,9995 =0,0005.
!. Se desea estudiar una muestra de C personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 2 años sabiendo que la proporción en la población es de 2.. Euál es la probabilidad de que la (FC 4roporción en la muestra sea menor que 2.5, si se trata de una población mu grandeG @espuesta: 2.F6*.
SOLUCI"N: n<C σ =
√
,
p < 2, ,
p ( 1− p ) < n
√
μ < 0,5.
( 0,1)( 1 −0,4 ) 49
<
√
( 0,4 ) (0,6 ) 49
<
√
0,24 49
σ < √ 0,004897 <2,21CCF, rempla&ando en la fórmula de & tenemos.
8s$.
−0,1 0,4− 0,5 x´´ − μ B< < < 0,06998 0,06998 < (,*F σ
≈ (,>.
!.9 De una población de (.522 familias que conforman una comunidad se sabe que el 623 tienen "i"ienda propia. 7n una muestra aleatoria de 52 familias e0tra$das de dic-a población se encontró que el 153 ten$an "i"ienda propia. a) Hdentifique: i) !, ii) n, iii) el estimador, i") el parámetro. b) ómo e0plica usted la diferencia entre el estimador el parámetro.
SOLUCI"N: ! <(522 familias que conforman la comunidad. n <52, que son las familias que se toman de !. 7l estimador es 623. 7l parámetro es el 153 de familias con "i"ienda propia. 7l "alor de un )*(3%'+ proporciona lo que se denomina en estad$stica una )*(3%(/ 5*% del "alor del 5%+73*+ en estudio. 7n general, se suele preferir reali&ar una )*(3%(/ 3'(%* (*+;%, esto es, obtener un inter"alo [a, b] dentro del cual se espera esté el "alor real del 5%+73*+ con un cierto (; ' 6(%<%. 9tili&ar un inter"alo resulta más informati"o, al proporcionar información sobre el posible +++ ' )*(3%(/= asociado con la amplitud de dic-o inter"alo. 7l (; ' 6(%<% es la probabilidad de que a priori el ;+'%'+ ;%+ ' 5%+73*+ quede contenido en el inter"alo. 7n la práctica, los inter"alos de estimadores con distribuciones simétricas suelen indicarse dando el "alor del estimador puntual utili&ado como centro del inter"alo un "alor que debe sumarse restarse para obtener el l$mite superior e inferior.
!.11
Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño *5 en una distribución normal con media *2 des"iación estándar dentro de que l$mites se encuentra el C23 central de las medias muéstrales. @espuesta: 7ntre (F.1C *(.>(.
SOLUCI"N: n <*5,
´ < *2, x
σ <,
x 1 ≤μ ≤ x 2 .
Seg+n la información tenemos que p # Z > x 1 ) I 4 #B ¿ X 2 ) < es decir (p #& ¿ x1 ) I p #& ¿ x 2 ) <2,C, por simetr$a Z 2 < Z 1
8SH quedar$a ( I p # z 2 ) I p # z 2 ) < 2,C.
( I *p #&) < 2,C. 0,1
4 #&) <
2
*p #&)< (2,C. , *p #&) <2,(.
<2,25. , lo que indica que Z 2 <2,1.
4ero seg+n la fórmula de B tenemos.
Z 2
´´ − μ 20 − μ2 20 − μ X 4 4 σ < < < <2,1. 5 √ 25 √ n
Despe/ando μ
4
tenemos *2 I μ < 5 < #2,1)
4
μ < *2 5 < #2,1) < *2 I 2,5( <
19=4>.
7n forma similar para el "alor B tenemos. 4
μ <*2 J 5 #2,1) < *2 J 2,5( <20=
1.
!.1 on el fin de estimar la diferencia de proporciones entre dos poblaciones 8 K, se tomaron muestras de ambas poblaciones de tamaños 62 C2 respecti"amente. Se pide calcular el error estándar de la diferencia de las proporciones muéstrales, si se sabe que éstas +ltimas fueron >53 (3 respecti"amente. @espuesta: 2.266.
SOLUCI"N: n1 <62,
n2
p1 <2,>5
p2 <2,(
σ <# p1 p2 ) <
√
p 1 (1− p ) p2 (1− p ) 1
n1
+
2
n2
<
√
( 0,35 ) (1 −0,35 ) ( 0,41 ) ( 1− 041) + 70
90
<
√
(0,35 )( 0,65 ) ( 0,41 ) (0,59 ) + < 70 90
< √ 5,93777∗10
−3
√
0,2275 70
+
0,2419 90
<
<2,266.
!.1 7n
cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón están normalmente distribuidos, con una media de L (.152.22 9S una des"iación estándar de L (52.22 9S. 'a población de mineros es superior a (522. uál es la probabilidad de que en una muestra representati"a de *5 de esos mineros, el salario medio sea inferior a L(.565.22 9S. @espuesta: 2.221*.
SOLUCI"N: ´ <(152, X
σ
<(52,
n <*5,
x´ − μ 1650 −1575 σ 150 B< < < √ n √ 25
75 150 5
μ ≤ (565.
75
< 30 <*,5.
4#0 ≤ 1575 ¿=1− p ( z < 2,5 )=1 −0,9938=0,0062.
!.1 9na muestra aleatoria de tamaño *2 e0tra$da de una población normal, tiene una media de 51. una des"iación estándar de >.*. Mediante la anterior información qué puede usted concluir respecto de la afirmación de que la media poblacional es 1*.2G @espuesta: t < 6.F>. omo de acuerdo a la tabla tStudent el CC3 de las medias muéstrales se encuentran en el inter"alo correspondiente a t<*.F1(, entonces, podemos concluir que la afirmación relacionada con la media poblacional no es correcta.
SOLUCI"N: n <*2,
´ x
<51,,
S <>,*
M <1*.
x´ − M S 'a información -ace referencia a la distribución t, t < √ n
−5.6 3,2 4,472
56,4 −62
<
3,2
√ 20
<
−5.6
< 0,7155
t <6,F*16 ≈ 6,F>.
omo de acuerdo a la tabla tStudent el CC3 de las
medias muéstrales se encuentran en el inter"alo correspondiente a t<*.F1(, entonces, podemos concluir que la afirmación relacionada con la media poblacional no es correcta.
!.19 9n distribuidor de pinturas afirma que la diferencia de los promedios de los rendimientos entre dos marcas 8 K de pinturas es de 5 metros cuadrados por galón #)
μ
A − μ B <5. 4or otra parte una oficina constructora de
"i"ienda, pone en duda dic-a afirmación para comprobarlo, toma 1 galones de pintura de cada marca encuentra que con la marca 8 el promedio del rendimiento es de >* metros cuadrados por galón des"iación estándar de *.5 metros cuadrados por galón, mientras que con la marca K el (C2 4roporción en la muestra sea menor que 2.5, si se trata de una población mu grandeG @espuesta: 2.F6*.
SOLUCI"N: #
´2 1−¿ x ´¿ x
Marca 8
) <5 Marca K
n <1
n<1
M < >*
M < *C
S A <*5
S B <(,F
omo tenemos * "arian&as para calcular el "alor de t, encontramos primero la "arian&a muestral ponderada.
2
1,8 ¿
2
S P =
<
( n −1 ) S + ( n −1 ) S 2 1
1
2
n1 + n 2−2
5 ( 6,25 ) + 5 ( 3,24 )
<
12−2
2 2
¿ < 2,5 ¿ + ( 6−1 ) ¿ ( 6 −1 ) ¿ ¿ 2
31,25 + 16,2
47,45
<
10
<,65.
10
8-ora para la diferencia de medias.
´ – X ´ ) – ( M − ) ( X 1
2
√
<
S P s p n1
2
5 −( 32−29 )
1 M 2
+
<
n2
√
4,745 6
+
4,745
5 −3
<
6
√
9,49 6
2
< √ 1,5816 < 1,257 <(,5C2* 1 +¿ n2− 2
4ara # n¿ =( 12−2 ) =10 grados de libertad el C53 de los "alores se encuentra entre *,**F( *,**F( se puede obser"ar que el "alor de t calculado #t <(,5C2*) se encuentra dentro de este inter"alo por lo cual podemos concluir que la afirmación -ec-a por el distribuidor es correcta.
!.21 'os salarios diarios de cierta industria están distribuidos normalmente con una media de L(.>*2.22. Si el C3 de las medias de los salarios diarios en muestras de *5 obreros, es inferior a L(.*52.22, cual es la des"iación estándar de la industria. @espuesta: *1(.(C.
SOLUCI"N: ´ X
< (>*2
n<*5
A ¿ 1250
σ
omo 4 #A ¿ (*52)
´ − μ X σ 4robabilidad es B <(,>. De la e0presión B< √ n
despe/ando a
tenemos. σ
B. √ n < x´ – μ ,
B. σ < √ n # x´ – μ
),
de donde
σ
σ <
σ <
!.2
√ n ( x´ – μ ) Z
, @empla&ando "alores tenemos.
( 1320−1250 ) √ 25
( 70 ) ( 5)
<
1,34
1,34
350
< 1,34 <*1(,(C
alcular los "alores de Nicuadrada siguientes: a) 2
2
X 0.95 para (1 2
grados de libertad b) X 0.05 para (1 grados de libertad c) X 0.005 para (* 2 grados de libertad d) X 0.995 para (* grados de libertad. @espuestas: a)
6.C1*, b) *1.*C1, c) *F.>22, d) >.26.
SOLUCI"N: a) 7n la tabla para (2 grados de libertad /i cuadrada para (1 grados de libertad x
2
2,C5 <6,C1*.
b) 7n la misma tabla para los grados de libertad
x
2
2,25 <*1,*C1.
Similar para los incisos c d. c) a (* grados de libertad
x
2
2,225 <*F,*CC ≈ *F,>22
2 d) para (* grados de libertad x 2,CC5 <>,26.
!.2 alcular los siguientes "alores de %: a) %2.2*5, *,*1 b) %2.C65, *1,* ) %2.2(, *2,(1, d) %2.CC, (1,*2 . @espuestas: a) *.**, b) 2.5, c) >.*1, d) 2.>216.
SOLUCI"N: Se trata de buscar en la tabla de f cada "alor perdido. a % 2,2*5 para 12 grados de libertad del numero b %2, 2( < >,*5F6 ≈ >,*1 con *2 grados de libertad para el numerador. c %2, C65 <2,5 con *1 grados de libertad para el numerador. d % 2,CC I 2,>216, para (1 grados de libertad para el numerador.
