PROBLEMAS DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.- El tiempo tiempo que que se tardan tardan los encues encuestad tados os en dilige diligenci nciar ar un formul formulari arioo es de 20 minutos con una varianza de 16 minutos minutos cuadrados; se asume que el tiempo tiempo sigue una distribución Normal; se pide: a) a probabilidad de que una persona invierta entre 1! " 2# en responder el formulario$
a) •
%atos: &ariable X
%esviación δ
( •
'edia μ 20
'odelo 'atemtico: P (18 < x <25) z 1=
x − μ 25 −20 = =1,25 4 δ
x − μ 18 −20 = =−0,5 z 2 = 4 δ
A = A2 ! A1*+ 0,!-(( . 0,/0!# + 0,#!#-
a probabilidad probabilidad de que una persona persona invierta entre 1! " 2# minutos minutos en responder el formulario es de #!,#- •
rafica
1
2.- na mquina llenadora automtica se grad3a para dispensar 1000 c$c$ sin embargo al realizar un control de calidad calidad se encontró que el 10 de las botellas conten4an conten4an ms 1000 c$c$ " el # conten4an menos de -!# c$c$ se pregunta el contenido medio de llenado de las botellas$ •
•
%atos: x 10 1000
" 0,10
-!#
0,0#
'odelo 'atemtico: %espe5amos σ de cada ecuación x 1− μ σ = z 1 x 2− μ σ = z 2
gualamos las dos ecuaciones x 1− μ x 2 − μ = z 1 z 2
%espe5amos μ que representa el valor que se nos esta pidiendo 7allar μ=
z 2∗ x 1− z 1 + x 2 z 2 − z 1
8eemplazamos con los datos dados μ=
0,05∗1000−0,10 + 985 0,05 −0,10
%eterminamos el valor de la media μ= 4,8743
El contenido medio de llenado de las botellas es de •
rafica
2
4,8743
5.- 9i se desea construir un auto que sea superior al -# de los autos del problema anterior, cuantos m por galón deber4a recorrer este nuevo auto Problema anterior: Cierta
marca de autos recorre 25.5 km por galón de combustible, con una desviación de 4.5 km por galón; ¿Qué porcentaje de autos rinden ms de !" km por galón#
•
•
%atos: &ariable ?@)
%esviación ?δ)
'edia ?μ)
>
/0 Am
($# Am
0$-#
•
'odelo 'atemtico: %ebemos despe5ar μ x − μ σ = + z
de la ecuación:
μ=−( Z ∗σ ) +( x )
μ=−( 0.95∗4.5 ) +( 30 ) μ=25 . 72
os m por galón deber4a recorrer este nuevo auto son •
rafica
3
25 . 72 km
#.- El dispensador del <%N de la esquina sabe que la demanda diaria de su periódico es de 2(0 unidades, con una varianza de #2-; que cantidad debe solicitar para que la probabilidad de que se agote su e@istencia no sea ma"or al 2 en un d4a cualquiera %atos:
•
&ariable ?@)
%esviación ?δ)
'edia ?μ)
>
D #2- + 2/
2(0
0$02
C •
'odelo 'atemtico: %ebemos despe5ar X x − μ σ = + z
de la ecuación:
X =( Z ∗σ ) +( μ )
X =( 0.02∗23 ) +( 240 ) x =240 . 46
a Bantidad que debe solicitar para que la probabilidad que se le acaben no sea ma"or al 2 es 2(0$(6 •
rafica
4
$.- os ingresos de cierto sector económico se distribu"en normalmente " su clasificación de menor a ma"or es la siguiente:
rupo Forcenta5e
< !
16
B (2
% 20
E 1(
El grupo B est comprendido entre G 1/6#00 " G160000 mensuales$ a) 9i en ese sector se ocupan 2#000 personas, HBuntas personas se espera que tengan ingresos superiores a G1I0000 mensuales a) valor esperado •
%atos: 'edia ?μ) (2
•
% 2#000
μ
153418,10
'odelo 'atemtico: P (x &1#'''') A = 1 - A1* z =
x − μ 170000 −153418,10 = =1,78 9270,8 δ
A1*+ 0,-62# A = 1 ! '$25 = ''*#5
E?@) + 2#000J0,0/I# + -/I,# •
rafica
5
PROBLEMAS DE ESTIMACION 1) 9i la media ?promedio) de una población es de I2 " su desviación de /; determinar la probabilidad de que en una muestra de !1 observaciones, su promedio sea: a) nferior a I0$ b) 9uperior a I# c) ma"or a 6- e inferior a I#
a) nferior a I0 •
%atos: 'uestra N !1
•
%esviación δ /
'edia K I2
@ LI0
•
'odelo 'atemtico: P (x <#') A = A1* z =
x − μ σ / √ n
+
70 −72 3 / √ 81
A1*='
+M6
A = '+ •
rafica
6
b) •
%atos: 'uestra N !1
•
%esviación δ /
'edia K I2
@ I#
•
rafica
•
'odelo 'atemtico: P (x ) z =
x − μ σ / √ n
A = 1- A1*
+
70 −72 3 / √ 81
+-
A1*+1$ 7
A = 1- 1 = ' +
c) •
%atos: 'uestra N !1
•
%esviación δ /
'edia K I2
@ 6-L@LI#
•
'odelo 'atemtico: P ($ < x <#5) A= A2 -A1 z 1=
z 2 =
x − μ σ / √ n
+
x − μ + σ / √ n
69 −72
σ / √ 81 75 −72
σ / √ 81
+ M 0$/// + 0$///
<2O+0$/I0I + /I$0I <1O+0$62-/ + 62$-/
z+z1Pz2 + 100 •
rafica
*) En una distribución normal se seleccionan todas las posibles muestras tamaQo 2#, si el 2 de estas muestras tienen una media que difieren de la media poblacional en ms de ( en valor absoluto$ Rallar la desviación estndar de la población$ •
%atos: 8
•
x − μ
%esviación
'uestra % 2#
δ
S(S
2
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la desviación estndar: la realizo con la ecuación de promedio nominal z =
•
x − μ σ / √ n
σ =
( x − μ )∗√ n
σ =
(−4 )∗√ 25
z
−2 , 33
= 8 , 58
a desviación estndar de la población es !$#! rafica
5) n almacTn de cadena recibe I0000 pilas << de - voltios para decidir si acepta o no esa remesa resuelve medir la vida 3til de ellas, para lo cual toma una muestra de /6 pilas; si en promedio esas pilas duran 60 o ms 7oras las acepta, en caso contrario las rec7aza$ 9e pregunta la probabilidad de:
a)
•
%atos: 'uestra N I0000
•
'uestra % /6
'edia K 60
%esviación δ /
@ #-
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio nominal z =
59−60 3 / √ 36
=−2
El rea para >+2 es de 0$022!+ 2,2! a probabilidad de aceptar una remesa que tiene una vida promedio de #- 7oras " desviación de / es de 2$2! •
rafica
b) 8ec7azar un cargamento con vida 3til de 60$# 7oras " varianza de - 7oras 2$ •
%atos: 'uestra N I0000
'uestra
%esviación
% /6
δ /
'edia K 60
10
@ 60,#
•
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio nominal z =
60 , 5 −60 3 / √ 36
=1
El rea para >+1 es de 0$!(1/ de donde 1M0,!(1/ + 0,1#!I + 1#,!I a probabilidad de rec7azar un cargamento con vida 3til de 60$# 7oras " varianza de - 7oras 2 es de 1!$!I •
rafica
#) 9e toma una muestra de (00 art4culos producidos por una empresa " se pregunta cul debe ser la probabilidad de que en esa muestra el # o ms sea defectuosa, sabiTndose, por e@periencia que esa empresa produce en promedio ( de art4culos defectuosos$ •
%atos: 'uestra % (00
•
Fromedio F 0,0(
Fromedio p
0,0#
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional z =
z =
p − P
√
P∗Q n
0 , 05−0 , 04
√
0 , 04∗0 . 96
=1 , 02
400
El rea para >+1,02 es de 0$!(61 de donde 1M0,!(61 + 0,1#/- + 1#,/- a probabilidad de que en esa muestra el # o ms sea defectuosa es de 1#$/- •
rafica
$) n nuevo tratamiento quir3rgico, es eficaz el -0 de las veces que se aplica; si se selecciona una muestra de (0 enfermos, determine la probabilidad de que se presente una diferencia ma"or del ! en cuanto a su eficacia$ •
%atos: 'uestra % (0
•
Fromedio F 0,-0
FM p 0,0!
12
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional z =
z =
p − P
√
P∗Q n
0 , 82−0 , 90
√
0 , 90∗0 . 10
=1 , 68
40
El rea para >+1,6! es de 0$!(61 de donde 1M0,-#/# + 0,0(6# + (,6# a probabilidad de que se presente una diferencia ma"or del ! en cuanto a su eficacia es del ($6# •
rafica
11) 9e tiene la población de los n3meros d4gitos ?1 al -); determine la probabilidad de que al seleccionar ( de ellos, en promedio, la suma de los cuatro sea superior a 20$
P(x&2') = '.'+ •
%atos:
N -
•
% (
•
'odelo 'atemtico: 13
P ( x < 2') z =
z =
•
p − P
√
P∗Q n 0−0,44
√
0 , 44∗0 . 56
=¿
4
rafica
1*) 7allar la probabilidad de que ! o ms estudiantes, de una muestra /6 tomada de un plantel, usen anteo5os si se sabe que el 2# de los estudiantes del plantel usan anteo5os$ •
%atos: 'uestra N /6
•
'uestra % !
Fromedio F 0,2#
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional
14
z =
z =
p − P
√
P∗Q n
0 , 22 −0 , 25
√
0 , 25∗0 . 75
=−0 , 18
8
El rea para > +M0,1! es de 0$(2!6 de donde 1M0,(2!6 + 0,#I1( + #I,1( a probabilidad de que ! o ms estudiantes, de una muestra /6 tomada de un plantel, usen anteo5os es de #I$1( •
rafica
15) En un estudio Fsicológico sobre la susceptibilidad a las ilusiones perceptivas, #0 7ombres 5uzgan la longitud de una figura ilusoria$ a evaluación de cada uno de ellos se compara con la longitud verdadera " se registra la desviación o error$ El e@perimento produ5o los siguientes resultados para las desviaciones: , = 81 . S = 12 .
%etermine un IC /0 $5+ para la magnitud media de los errores$ •
%atos: 'uestra % #-
•
, 81 .
S 12 .
•
'odelo 'atemtico:
15
%eterminamos el valor de z en el intervalo de confianza con la tabla " determinamos el error$ z ∗s 1,96 ∗12 ε= = = 3,326 50 √ n
%etermine un IC para la magnitud media de los errores$ ,- ε L KL ,
ε
!1M /,/26 L K L!1 P/,/26 II,6I( L K L!(,/26 •
rafica
1#) na mquina llenadora tiene una varianza de 1 onza; si se toman 2# vasos llenados en una 7ora, 7alle la probabilidad de que el promedio muestral quede dentro de 0$/ onzas de diferencia con respecto al promedio verdadero de llenado$ •
%atos: Muestra n
25
•
%esviación
Error (Diferencia)
δ D 1 + 1
U 0.3
Es una estimación ya que me dan δ, μ y U la realizo con la ecuación de población
despe5amos >$ •
'odelo 'atemtico:
16
2
2
z ∗σ n= 2 ε 2
Z =
n −ε
2
2
εσ
2
2
Z =
25 −0.3 2
1
❑
Z =± 1.5
a probabilidad de que el promedio muestra quede dentro de 0$/ onzas de diferencia con respecto al promedio verdadero de llenado es 0$!66( •
rafica
1$) El tiempo muerto diario de un local de llamadas a distancia es en promedio ( 7oras, con desviación de 0$!; calcular la probabilidad de que: a) El tiempo muerto promedio, en /0 d4as, estT entre 1 " / 7oras$ b) El tiempo muerto total sea inferior a 11# 7oras$
a) •
%atos: &ariable X
•
%esviación δ 0,!
'edia μ (
•
'odelo 'atemtico: P (1< x <*)
17
x − μ 3 −4 = =−1,25 z 2 = 0,8 δ z 1=
x − μ 1− 4 = =−3,75 0,8 δ
A = A2 ! A1*+ 0,10#6 M0
+ 0,10#6 10,#6
•
El tiempo muerto promedio es de 10,#6 rafica
•
b) %atos: &ariable X
•
%esviación δ 0,!
'edia μ (
•
'odelo 'atemtico: P (x &115)
z 1=
x − μ 115−4 = =0 0,8 δ
A = A1*+ 0 0 •
El tiempo muerto promedio es de 0 rafica
18
21$ M 9ilvana desea estimar la vida 3til promedio de sus lmparas; HVuT tamaQo de muestra necesita para garantizar que 7abr un riesgo de sólo 0$001 de e@ceder un error de # d4as en la estimación
%atos: Error U #
%esviación " 0$001
•
δ 2#
•
'odelo 'atemtico: %eterminar la probabilidad: la realizo con la ecuación de promedio proporcional 2
2
z ∗σ
n=
ε
2
2
n=
0 . 001 ∗25 5
2
2
=¿
'.''''25
El tamaQo de muestra necesita para garantizar que 7abr un riesgo de sólo 0$001 de e@ceder un error de # d4as en la estimación es de '.''''25 2*$ M E@plique brevemente:
<) Estimador " Farmetro
19
En una población en donde la distribución es conocida pero se desconoce alg3n parmetro, se puede estimar dic7o parmetro a partir de una muestra representativa$ n estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales " en este se proporciona información sobre el parmetro$ ) Foblación " 'uestra$ En el rea de la estad4stica se denomina población al mundo ideal, teórico cu"as caracter4sticas se quieren conocer " estudiar$ as poblaciones suelen ser mu" e@tensas " es imposible observar a cada componente, por ello se traba5a con muestras o subcon5untos de esa población$ For eso podemos definir como muestra a una parte o subcon5unto de una población$ B) a diferencia al realizar un muestreo Frobabil4stico " no Frobabil4stico 'uestreo probabil4stico os mTtodos de muestreo probabil4sticos son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad$ Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra ", consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaQo n tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas$ 'uestreo no probabil4stico < veces, para estudios e@ploratorios, el muestreo probabil4stico resulta e@cesivamente costoso " se acude a mTtodos no probabil4sticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones pues no se tiene certeza de que la muestra e@tra4da sea representativa, "a que no todos los su5etos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos por lo que puede traer como consecuencia proporcionar información errónea$ 1$) El tiempo muerto diario de un local de llamadas a distancia es en promedio ( 7oras, con desviación de 0$!; calcular la probabilidad de que: a) El tiempo muerto promedio, en /0 d4as, estT entre 1 " / 7oras$ b) El tiempo muerto total sea inferior a 11# 7oras$
a) •
%atos: &ariable X
•
%esviación δ 0,!
'edia μ (
•
'odelo 'atemtico: P (1< x <*) x − μ 3 −4 = =−1,25 z 2 = 0,8 δ 20
z 1=
x − μ 1− 4 = =−3,75 0,8 δ
A = A2 ! A1*+ 0,10#6 M0
+ 0,10#6 10,#6
•
El tiempo muerto promedio es de 10,#6 rafica
•
b) %atos: &ariable X
•
%esviación δ 0,!
'edia μ (
•
'odelo 'atemtico: P (x &115)
z 1=
x − μ 115−4 = =0 0,8 δ
A = A1*+ 0 0 •
El tiempo muerto promedio es de 0 rafica
21
2#) Rallar el n3mero de clientes n tal que la probabilidad de dar servicio a todos en dos 7oras o menos, sea apro@imadamente de 0$10$ % = 88 '.1* L 3 < '.22 2$) na niversidad desea estimar la proporción de profesores, en B$$ que estn a favor de que se corri5a el programa de aseguramiento de la calidad en sus diferentes asignaturas$ a estimación debe quedar a menos de 0$0# de la proporción verdadera de los que favorecen el programa; con un coeficiente de confianza del -0,HBuntos profesores se deben muestrear % = 2#1 467/.
CONCLUSIONES •
•
•
•
a distribución normal se puede utilizar en diferentes tipos de problemas en la vida cotidiana$ Entendimos " aplicamos la grafica de campana de auss para cada uno de los e5ercicios$ tilizamos la distribución normal para obtener probabilidades de valores puntuales, intervalos " cantidades espec4ficas$ a estimación la aplicamos cuando se desconocen parmetros de una población, se toma una muestra aleatoria de dic7a población de la cual se calcula una apro@imación a dic7os parmetros que desconocemos$
22
BIBLIO9RA:IA •
•
Frobabilidad " Estad4stica para ngenieros 8onald E$ Xalpole, 8a"mond R$ '"ers, 97aron $ '"ers$ Estad4stica bsica aplicada Biro 'art4nez encardino
23
24
