UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN. FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA.
Probabilidad y Estadística Tema:
Distribución Multinomial y Exponencial Alumno:
Nahim Jacob Borbón Onofre Salón:
4110 Grupo:
M4 Veranos
Catedrático(a):
Ing. Humberto Moreno Obregón
San Nicolás de los Garza, N.L.
16 de Julio del 2013
Distribución Multinomial La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar no la ocurrencia de un único suceso o la de su contrario, sino la de varios sucesos (tres o más). La distribución multinomial, M(n,p1,...,pn) proporciona probabilidades de obtener, en m repeticiones independientes de un experimento, x1 veces el suceso A1, x2 veces el suceso A2,..., xn veces el suceso An, donde dichos sucesos forman una que
partición
del
espacio
para
y
muestral, dónde
es ,
decir, por
tal tanto,
se
cumple
. Así, considerando considerando que Xi es el número de veces que se presenta el suceso Ai en las m repeticiones tenemos que la variable n-dimensional (X1, X2, ..., Xn) sigue una distribución multinomial de parámetros n, p1, ..., pn y su función de probabilidad es
para
con
.
Hay que tener en cuenta que si (X1, X2, ... , Xn) es una variable multidimensional entonces existe una relación lineal entre sus componentes ya que X1+ X2+ ...+ Xn = m, por lo que, una de las variables, por ejemplo Xn, se puede poner como combinación lineal del resto, Xn=m-X1- X2- ...- Xn-1. Por tanto, el fenómeno que describe la variable (X1, X2, ..., Xn) queda igualmente descrito por una variable de una dimensión menor, (X1, X2, ..., Xn-1), sin que esta pérdida de dimensión suponga una pérdida de información. Por ejemplo, una variable multinomial de dimensión dos (X1, X2), M(n,p1,p2), se puede describir considerando una cualquiera de sus componentes que tiene una distribución binomial, por lo que en realidad esta variable es unidimensional y no bidimensional. Además, cada una de las n variables, variables, Xi, que forman una multinomial M(n,p1,...,pn) siguen distribuciones binomiales B(m,pi), es decir, las distribuciones marginales de una multinomial son binomiales, por tanto, la esperanza y la varianza de cada una de estas variables es, E[Xi]=m·pi y Var(Xi)=mpi(1-pi). Var(Xi)=mpi(1 -pi). Además la covarianza covarianza entre dos cualesquiera cualesquiera de sus componentes componentes es,
.
Estos momentos de las variables componentes de una multinomial se pueden agrupar en e n forma de matriz ma triz dando dand o lugar a las denominadas matriz de esperanzas y matriz de varianzas-covarianzas, varianzas-covarianz as, que recogen las características teóricas principales de la distribución multinomial (medias, varianzas y covarianzas)
Ejemplo #1
El entrenador de un equipo de baloncesto opina que los jugadores A, B y C tienen similares aptitudes para ser titulares del equipo en la posición de base. Así, determina que jueguen el mismo número de minutos cada partido. Se sabe que el 40% de las canastas son de C, mientras que A y B consiguen un 30% de encestes. Calcular la probabilidad de que en un partido con 9 encestes de dos puntos, A consiguiera dos, B tres y C cuatro. Sea la variable tridimensional que recoge el número de encestes de A, de B y de C, respectivamente. respectivamente. Dicha variable es una multinomial multinomial con n=9, p1=0.3, p2=0.3 y p3=0.4. Así:
Ejemplo #2 En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30% franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2 italianos?
P = 0,0384
Distribución Exponencial La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que: Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada. A pesar de la sencillez sencillez analítica de sus funciones de definición, definición, la distribución distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho Obviamente, entonces, la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una relación entre el parámetro a de la distribución exponencial, que más m ás tarde aparecerá, y el parámetro de intensidad del proceso l, esta relación es a = l Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos: · Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson · Distribución del d el tiempo que qu e transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.
Su función de densidad es de la forma:
Como vemos este modelo depende de un único parámetro α que debe ser positivo: α > 0. A continuación se muestra un programa que nos permite ver cómo cambia la forma de la función de densidad según el parámetro α.
La función de distribución se obtiene integrando la de densidad y es de la forma:
Podemos utilizar el programa siguiente para calcular dicha función de distribución:
Propiedades del modelo Exponencial
Su esperanza es α. Su varianza es α2. Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria, que podemos definir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue una distribución Exponencial, significará que la probabilidad de que siga con vida dentro de 20 años es la misma para un individuo que a fecha de hoy tiene 25 años que para otro que tenga 60 años.
Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ.
Ejemplo #1
Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de atención al público para ser atendido por un asesor es una variable aleatoria exponencial con μ = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar:
a) A lo sumo 5 minutos. P(X < 5) = F(5) = 1- e-1 = 1 -0.3679 = 0.6321 b) Al menos 10 minutos. P(X > 10) = 1- F(10) = 1 – [1-e-2] = e-2 = 0.1353 c) Entre 3 y 10 minutos. P(3 < X < 10) = F(10) – F(3) = [1-e-2] - [1-e-0.6] = e-0.6 - e-2 = 0.4135
Ejemplo #2
Se sabe que el kilometraje, en miles de kilómetros, que un autobús recorre antes de que se someta a una reparación del motor sigue una distribución exponencial con μ = 80.
a) Si se tiene una flota de 300 autobuses, ¿cuántos se esperaría que se sometieran a reparación antes de los 60, 000 Km? P(X < 60) = F(60) = 1 – e-0.75 = 0.5276. Número esperado = 300(0.5276) = 158 b) ¿Cuál es la probabilidad de que que un autobús recorra más de 100,000 Km. antes de someter el motor a reparación? P(X >100) = 1 – F(100) = 1 – [1-e-1.25] = e-1.25 = 0.2865
