https://www.youtube.com/watch?v=LuGG3XNy6aQ https://www.youtube.com/watch?v=fHUYK!H"o#
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Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones
Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos: •
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Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemticas matemticas que las de los que aprueban ingl!s" Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del #rmaco $ que tambi!n presentan una reacción de ese tipo" Administración. Administración.- ¿%ay di#erencia di#erencia entre los porcentajes porcentajes de hombres hombres y mujeres en posiciones gerenciales. &ngenier'a.&ngenier'a.- ¿E(iste di#erencia entre la proporción de art'culos de#ectuosos que genera la mquina A a los que genera la mquina $"
)uando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos proporciones muestrales* la distribución muestral m uestral de di#erencia de proporciones es apro(imadamente normal para tama+os de muestra grande ,np * nq *n/p/ y n/q/ 0. Entonces p y p/ tienen distribuciones muestrales apro(imadamente apro(imadamente normales* as' que su di#erencia p -p/tambi!n tiene una distribución muestral apro(imadamente normal.
)uando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que que
y que y que
* por lo que no es di#'cil deducir .
1a #órmula que se utilizar para el calculo de probabilidad del estad'stico de di#erencia de proporciones es:
Ejemplo: 1os hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte di#ieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. 2e cree que el /3 de los hombres adultos estn a #avor de la pena de muerte* mientras que sólo 43 de las mujeres adultas lo estn. 2i se pregunta a dos muestras aleatorias de 44 hombres y 44 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte* determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a #avor sea al menos 53 mayor que el de las mujeres. Solución: 6atos: 7% 8 4./ 7M 8 4.4
n% 8 44 nM 8 44 p,p%-pM 4.450 8 "
2e recuerda que se est incluyendo el #actor de corrección de 4. por ser una distribución binomial y se est utilizando la distribución normal.
2e concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a #avor de la pena de muerte* al menos 53 mayor que el de mujeres es de 4.9/. Ejemplo: ;na encuesta del $oston )ollege constó de 5/4 trabajadores de Michigan que #ueron despedidos entre <=< y <>9* encontró que /43 hab'an estado sin trabajo durante por lo menos dos a+os. 2upóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 5/4 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre <=< y <>9. ¿)ul ser'a la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos a+os* di#iera del porcentaje obtenido en la encuesta de $oston )ollege* en 3 o ms" Solución:
En este ejercicio se cuenta ?nicamente con una población* de la cual se estn e(trayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la di#erencia de los porcentajes en esas dos muestras* por lo que se debe de utilizar la distribución muestral de proporciones con 7 8 7/* ya que es una misma población. @tra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de trabajadores despedidos entre <=< y <>9 que estuvieron desempleados por un per'odo de por lo menos dos a+os* sólo se conoce la p8 4./4 ya que al tomar una muestra de 5/4 trabajadores se observó esa proporción. En la #órmula de la distribución muestral de proporciones para el clculo de probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones* las cuales en este ejercicio las desconocemos* por lo que se utilizar el valor de 4./4 como una estimación puntual de 7. En el siguiente tema se abordar el tema de estimación estad'stica y se comprender el porque estamos utilizando de esa manera el dato. ambi!n debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema* ¿cul ser'a la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos a+os* difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de $oston )ollege* en 3 o ms"* la palabra difiera quiere decir que puede e(istir una di#erencia a #avor de la muestra uno* o a #avor de la muestra dos* por lo que se tendrn que calcular dos reas en la distribución y al #inal sumarlas. 6atos: p 8 4./4 n 8 5/4 trabajadores n/ 8 5/4 trabajadores 7 8 7/
1a probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos a+os* difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de $oston )ollege* en 4.4 o ms es de 4./4.
Ejemplo: 2e sabe que 5 de cada productos #abricados por la mquina son de#ectuosos y que / de cada objetos #abricados por la mquina / son de#ectuososB se toman muestras de /4 objetos de cada mquina: a. ¿cul es la probabilidad de que la proporción de art'culos de#ectuosos de la mquina / rebase a la mquina en por lo menos 4.4" b. ¿cul es la probabilidad de que la proporción de art'culos de#ectuosos de la mquina rebase a la mquina / en por lo menos 4." Solución: 6atos: 7 8 5C 8 4. 7/ 8 /C 8 4.9
n 8 /4 objetos n/ 8 /4 objetos a. p,p/-p 4.40 8 "
@tra manera de hacer este ejercicio es poner 7 -7/:
1a probabilidad de que e(ista una di#erencia de proporciones de art'culos de#ectuosos de por lo menos 43 a #avor de la mquina / es de 4.44. b. p,p-p/ 4.08"
1a probabilidad de que e(ista una di#erencia de proporciones de art'culos de#ectuosos de por lo menos 3 a #avor de la mquina es de 4./5=.
distribucion muestral de proporciones por riveraresendiz1 | buenastareas.com
6istribución muestral de proporciones Algunas secciones han sido tomadas de: Apuntes de Estad'stica &n#erencial &nstituto ecnológico de )hiuhuahua
6istribución muestral de 7roporciones E(isten ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de una muestra* sino que queremos investigar la proporción de personas con cierta pre#erencia* etc en la muestra. 1a distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias* a e(cepción de que al e(traer las muestras de la población se calcula el estad'stico proporción ,p8(Cn en donde D( es el n?mero de !(itos u observaciones de inter!s y Dn el tama+o de la muestra0 en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.
El siguiente diagrama sirve para e(plicar el concepto de distribución muestral de proporciones.
1a distribución muestral de proporciones est estrechamente relacionada con la distribución binomialB una distribución binomial es una distribución del total de !(itos en las muestras* mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio ,media0 de los !(itos. )omo consecuencia de esta relación* las a#irmaciones probabil'sticas re#erentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la apro(imación normal a la binomial* siempre que: np F y n,-p0 F ;na distribución binomial es* por ejemplo* si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae. Est claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien* la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que !sta no est! cargada. )omo cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir* y siendo la suma de probabilidades siempre igual a * entonces la probabilidad de que caiga la moneda de alg?n lado es 4.. 2i realizamos el e(perimento n veces y queremos saber la probabilidad de que salga guila o sol ( veces* entonces usamos una distribución binomial.
Generación de la 6istribución Muestral de 7roporciones 2uponga que se cuenta con un grupo de / personas* el cual tiene 9 personas con #obias. 2e van a seleccionar personas al azar de ese grupo sin reemplazo. Hamos a generar la distribución muestral de proporciones para el n?mero de personas con #obias. )omo se puede observar en este ejercicio la proporción de personas con #obias de esta población es 7 8 9C/8C584.555 7or lo que podemos decir que el 553 de las personas de este grupo tienen #obias. El n?mero posible de muestras de tama+o a e(traer de una población de / elementos es /)8= / 5 5C8 4.>)/I9)5 8 /
5 / /C8 4.9 >)5I9)/ 8 55 9 C8 4./ >)9I9) 8 />4 4 4C8 4 @A1 >)I9)9 >)I9)4 8> 8 =
7ara calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendr'a que hacer la sumatoria de la #recuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el n?mero total de muestras. Esto es: Jp 8 ,4.> ⋅ >0 K ,4. ⋅/0 K ,4.9 ⋅ 550 K ,4./ ⋅ />40 K ,4 ⋅ 0 8 8 4.555 =
1a desviación estndar de la distribución muestral de proporciones del ejemplo se puede calcular directamente con los datos: Lp ,4.> 4.550 / ⋅ > K ,4. 4.550 / ⋅/ K ,4.9 4.550 / ⋅ 55 K ,4./ 4.550 / ⋅ />4 K ,4 4.550 / ⋅ 8 8 4.> =
)omo vimos antes* si contamos con una población #inita y un muestreo sin reemplazo* para calcular la desviación estndar usamos la corrección ,)omo regla apro(imada* si el muestreo se hace sin reemplazo y el tama+o de la población es /4 veces el tama+o de la muestra o menor*entonces se puede usar la #órmula0: Lp 8 7 , 7 0 N n n N 7ara el ejemplo anterior tendr'amos la siguiente distribución de probabilidades:
;sando la #órmula tendr'amos entonces: Lp 8 7 , 7 0 N n 8 n N 4.555,4.0 / 8 4.> / 1o cual es igual al valor de la desviación estndar obtenido antes
1a #órmula que se utilizar para el clculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones est basada en la apro(imación de la distribución binomial a la normal . Esta #órmula nos servir para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra. z8 p 7 7 , 7 0 n Esta #órmula se puede comparar a las anteriores si pensamos en que estamos calculando una di#erencia entre la proporción de la muestra y la de la población en unidades de desviación estndar* como era el caso de la distribución de medias: z8 (J L n A la #órmula anterior se le puede agregar el #actor de corrección ,en el denominador0: z8 p 7 7 , 7 0 N n n N si se cumplen con las condiciones mencionadas anteriormente de que sea una población #inita ,NCn O /40 y sin reemplazo.
Ejemplo: 2e ha determinado que >.3 de los estudiantes de una universidad #uman cigarrillos. 2e toma una muestra aleatoria de /44 estudiantes. )alcular la probabilidad de que no ms de >43 de alumnos de la muestra #ume.2olución: 1a media o valor esperado de la distribución muestral es de 784.> ,la proporción de la población0* por lo que: z8 p 7 7 , 7 0 n 8 4.>44 4.> 4.>, 4.>0 /44 8 /.4/
;sando las tablas de valor z* para z 8 -/.4/ encontramos que la probabilidad de que no ms de ,es decir* menos de0 >43 de los alumnos de la muestra #umen es de 4.4/9 o sea /.93 4.4/9
Actividad . 2uponer que de la gente que solicita ingresar a una compa+'a* 943 pueden aprobar un e(amen de artim!tica para obtener el trabajo. 2i se tomara una muestra de /4 solicitantes* ¿)ul ser'a la probabilidad de que 43 o ms de ellos aprobaran" 6atos: 7 8 4.94* n 8 /4* z8 p 8 4.4 p 7 7 , 7 0 n 8 4.4 4.94 4.94, 4.940 /4 8 4.</<
;sando tablas de valor o cali#icación z* o un programa para distribución normal estndar ,como Minitab* etc.0* encontramos que el rea bajo la curva hasta un valor de z 8 4.</< es de 4.><5* o sea que ,- 4.><50 8 4.>4* por lo que la probabilidad de que 43 o ms aprobaran es de >.43 . El rea desde es de 4.><5 P hasta z8 4.</<
)ómo calcular probabilidades normales usando M&N&A$ ,versión en ingl!s0: Q Q Q Q Q Q En el men? superior: )alc R 7robability 6istributions R Normal enemos 5 opciones: S 7robability density S Esta nos da el valor de la #unción de densidad* #,(0 para un valor espec'#ico de(. Esto no nos es muy ?til en esta clase. S )umulative 7robability S Esta nos da el rea bajo la curva hasta un valor z espec'#ico. ;samos esto para encontrar probabilidades. S &nverse )umulative 7robability S Esto nos da el valor z para una rea espec'#ica bajo la curva. Esto lo usamos para encontrar valores cr'ticos. %acer )licT en la opción que queremos. 2e introduce la media y la desviación estndar de la distribución normal que estamos usando. En el caso de la estndar normal ,U0 introducimos N,4*0. %acemos )licT en Dinput constant e introducimos el valor de ( ,(value0 para la opción * el valor z para la opción /* o la probabilidad para la opción 5.
Ejemplo: ¿)ul es la probabilidad de que tengamos un valor mayor a 4 si tenemos datos con una distribución normal con media y deviación estndar de 9" Esto es* encontrar 7,( R 40.
)omo puede verse en la #igura* el resultado que se obtiene es que 7,V O 40 8 4.><9. Notar que nos da los valores de la probabilidad de que V sea menor al valor dado* por lo que para nuestro problema: 7,V R 40 8 - 4.><9 8 4.45
2i lo que queremos es el rea para una cali#icación U ,normal estndar0 entonces* como se e(plicó* podemos introducir una media igual a 4 y una desviación estndar de .4* e introducir el valor de U para el cual queremos encontrar la probabilidad. 7oner media 8 4 7oner L 8 .4 7oner z 8 valor de inter!s
