Distribuci ó ón de Probabilidad Probabi lidad de Poisson Poi sson Ejercicios de Probabilidad de Poisson Ejercicio 1
Suponga que el número de grietas por espécimen de concreto con cierto tipo de mezcla de cemento tiene una distribución de probabilidad de Poisson aproximada. Además, suponga que el número medio de grietas por espécimen es de 2,. a! "alcule "alcule la media # la des$iació des$iación n estándar estándar de x, el número número de grietas por espécimen de concreto. b! "alcule "alcule la probabilidad probabilidad de que un espécimen espécimen de concreto escogido al azar tenga exactamente cinco grietas. c! "alcule "alcule la probabilida probabilidad d de que un espécime espécimen n de concreto concreto escogido al azar tenga dos o más grietas. Solución% a. Tanto la media media como la varianza varianza de una variable variable aleatoria aleatoria de Poisson son iguales a λ. Por tanto en este ejemplo, V(x)= λ=2, !ntonces la desviaci"n est#ndar es$ 2,5 =&,' %(x)= √ 2,5 b. ueremos ueremos conocer conocer la probabili probabilidad dad de ue ue un esp*cimen de concreto tenga exactamente cinco grietas. +a distribuci"n de probabilidad de x es P ( x x )=
x
− λ
λ e x !
!ntonces dado ue λ=2, x=
−2,5
e
=0,82085 ,
(2,5 )5 e−2,5 ( 2,5 )5 (0,82085 ) P (5 )= = =0.067 5!
5 x 4 x 3 x 2 x 1
c. Para Para determinar determinar la probabilidad probabilidad de ue un esp*cimen esp*cimen de concreto tenga dos o mas grietas necesitamos calcular ∞
P ( x x ≥ 2 )= P (2 )+ P ( 3 ) + P ( 4 ) + …=
∑ P ( x x )
x = 2
-i ueremos calcular la probabilidad de este evento, es preciso considerar el evento complementario,
0
P (¿)+ P ( 1 ) P ( x ≥ 2 )=1− P ( x ≤ 1 )=1−¿
( 2,5 )0 e−2,5 ( 2,5 )1 e−2,5 ¿ 1− − 0!
1!
¿ 1−0,287 =0.713 Ejercicio 2
Sea x una $ariable aleatoria binomial con n&2 # P&'.(. )btenga la aproximación de Poisson. λ=np=2x.&=2. 1
P ( x ≤ 1 ) =
∑ P ( x )=0.2873
x = 0
Ejercicio 3
*a contaminación es un problema en la +abricación de discos de almacenamiento óptico. l número de particulas contamienantes que aparecen en un disco óptico tiene una distribución Poisson # el numero promedio de particulas por centimetro cuadrado de super-cie del medio de almacenamiento es '.(. l area de un disco bao estudio es de ('' cm cuadrados. ncuentre la probabilidad de encontrar (2 particulas en el area del disco. Sea / el número de particulas en el area del disco. Dado que el promedio del número de part0culas es '.( por cm cuadrado. 2
E ( x )=100 cm x 0.1
particulas cm
2
¿ 10 particulas Por consiguiente$ −10
e P ( x = 12 )=
12
10
12 !
¿ 0.095 Ejercicio 4
1n banco recibe un promedio de c3eques +alsos al dia, suponiendo que el numero de c3eques +alsos sigue una distribucion de Poisson, 3allar% a! Probabilidad de que se reciban 4 c3eques +alsos en un dia.
¿ x ❑ Po ¿ /) → -abemos ue es Poisson porue solo tenemos la → media. x =cheques falsos / dia −4 6 6 e ( ) P x = 4 = =¿ .&201 4!
Ejercicio 5
l número de +allos de un instrumento de prueba debidos a las part0culas de un producto es una $ariable de Poisson con media ',2 +allos por 3ora. a! 5"uál es la probabilidad de que el instrumento no +alle en una ornada de 6 3oras7 x= allos3'4oras P ( x = 0 )=0.2019 Ejercicio 6
n la inspección de 3oalata producida por un proceso electrol0tico continuo, se identi-can '.2 imper+ecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identi-car a! una imper+ección en 8 minutos, b! al menos dos imper+ecciones en minutos, c! cuando más una imper+ección en ( minutos. Solución% a)
x = variable ue nos de5ne el n6mero de imperecciones en la 4ojalata por cada 7 minutos = , &, 2, 7, ...., etc., etc. l = .2 x 7 =./ imperecciones en promedio por cada 7 minutos en la 4ojalata
b)
x = variable ue nos de5ne el n6mero de imperecciones en la 4ojalata por cada minutos = , &, 2, 7, ...., etc., etc. l = .2 x =& imperecci"n en promedio por cada minutos en la 4ojalata
&&8(.7/10&'9.7/10&') = .2/:&/ c)
x = variable ue nos de5ne el n6mero de imperecciones en la 4ojalata por cada & minutos = , &, 2, 7, ....., etc., etc. l = .2 x & = 7 imperecciones en promedio por cada & minutos en la 4ojalata
= .&002&/ Ejercicio 7
Si una central tele+ónica recibe en promedio 4 llamadas por 3ora, calcular las siguientes probabilidades% a! 9ue en una 3ora se reciba una llamada b! 9ue en una 3ora se reciban tres llamadas −4
1
e 4 a) P ( x = 1 )= 1 ! =0.073 −4
e
4
3
b) P ( x = 3 )= 3 ! = 0.1953
Ejercicio 8
1n laboratorio +armacéutico encarga una encuesta para estimar el consumo de cierto medicamento que elabora, con $istas a controlar su producción. Se sabe que cada a:o cada persona tiene una probabilidad de necesitar el medicamento # que el laboratorio podrá $ender una media de cuatro mil unidades del producto al a:o, se pide 3allar% a! ;úmero de en+ermos esperado por a:o. λ= : ;umero esperado de enermos (!speranza) Ejercicio 9
*a probabilidad de tener un accidente de trá-co es de ','2 cada $ez que se $iaa, si se realizan 8'' $iaes, 5cuál es la probabilidad de tener 8 accidentes7 p es menor ue &, entonces aplicamos el modelo de distribuci"n de Poisson.
P (x = 7) = ,'02 Por lo tanto, la probabilidad de tener 7 accidentes de tr#5co en 7 viajes es del ',0? Ejercicio 10
*a probabilidad de que un ni:o nazca pelirroo es de ','(2. 5"uál es la probabilidad de que entre 6'' recién nacidos 3a#a pelirroos7
P (x = ) = :,/2 Por lo tanto, la probabilidad de ue 4aa pelirrojos entre ' reci*n nacidos es del :,/?. Ejercicio 11
Si #a se conoce que solo el 8< de todos los alumnos de computación obtu$ieron ('. "alcular la probabilidad de que si tomamos ('' alumnos al azar de ellos 3a#an obtenido ('. −3
5
e 3 P ( x = 5 )= 5!
¿ 0.10081 Ejercicio 12
Se tiene una central tele+ónica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa l & (' =llamadas>3ora!. Se de-ne = ! ( 2 N t , t como el número de llamadas que se 3an recibido entre ( t # 2 t . l ser$icio 3a comenzado a operar a las 6%'' de la ma:ana # se sabe que N=6,('! & ?. a! Si no se 3a recibido ninguna llamada desde la ?%4 3rs. 5"uál es la probabilidad de que la siguiente llamada ocurra antes de las ('%2'3rs. 7 b! 5 "uál es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada por más de 4' minutos, comenzando a las ?%4 3rs.7 − λ∗35
P (T 1 ≤ 35 )=1 −e
− 400
P (T 1 ≥ 40 )= e
=0
Ejercicio 13
l número de $e30culos que llegan a una intersección de caminos durante una 3ora sigue una distribución de Poisson de media ('. a! "alcular la probabilidad de que solo llegue un $e30culo. b! "uál es el número medio de $e30culos que se espera que lleguen al cruce en una 3ora7
Ejercicio 14
n una @orister0a se 3a obser$ado que cada d0a, en la última 3ora antes del cierre, se atiende a una media de 6 clientes. a! "alcular la probabilidad de que el número de clientes que acuden sea superior a la media. b! "alcular la probabilidad de que se atienda entre 2 # clientes. c! "alcular la probabilidad de que el número de clientes que acuden sea superior a la media. P (superior a ') = &
(P () 9 P (&) 9 P (2) 9 P (7) 9 P (:) 9 P () 9 P (/) 9 P (1) 9 P ('))
Ejercicio 15
Se 3a obser$ado que el número medio de erratas por página en cierto libro de texto es '.2. Suponiendo que el número de erratas por página sigue una distribución de Poisson.
a! 5"alcular la probabilidad de que una página elegida al azar no contenga errores7 b!5B de que tenga más de 27
Ejercicio 16
n una cl0nica el promedio de atención es ( pacientes por 4 3oras, encuentre la probabilidad que en 8' minutos se atiendan menos de 8 personas # que en (6' minutos se atiendan (2 pacientes. λ =
16 pacientes 4 horas
λ=
4 pacientes 1 hora
λ=
P ( x < 3 ) = P ( x < 0 )+ P ( x < 1 ) + P ( x <2 )
¿
e
−2
0!
−2
0
(2 )
+
e
1!
−2
1
( 2)
+
e
2
(2 )
2!
2 pacientes
mediahora
P ( x < 3 ) =0.6767 P ( x = 12 )=
e
−12
( 12 )
12
=0.1144
12 !
Ejercicio 17
n una tienda los clientes llegan al mostrador con+orme una distribución de Poisson con un promedio de (' por 3ora. n una 3ora dada, 5cuál es la probabilidad de que lleguen al menos clientes7 @=
10 clientes
hora
t=& 4ora @=λt=
10 clientes
hora
∗1 hora = & clientes
P ( x ≥ 5 )=1− P ( x ≥ 4 ) P ( x ≥ 5 )=1−[ P ( x =0 )+ P ( x = 1 ) + P ( x =2 ) + P ( x =3 ) + P ( x = 4 ) ] P ( x ≥ 5 )=1−
[
−10
e
0!
−10
0
( 10 )
+
e
1!
− 10
1
( 10 )
+
e
2!
−10
2
( 10)
+
e
−10
3
( 10 )
3!
+
e
4
( 10 )
4!
]
=.011
Ejercicio 18
"on obeto de re$isar la calidad en el pulido de un lente, una compa:0a acostumbra determinar el número de manc3as en la super-cie considerando el lente de+ectuoso si 8 o más de tales manc3as asperezas # otro tipo de de+ectos aparecen en él. Si la tasa media es de 2 de+ectos por
cm
2
,
5"alcule la probabilidad de que un lente de 4
cm
2
, que 3a
sido re$isado no sea catalogado como de+ectuoso7 =1n lente no es catalogado como de+ectuoso si tiene menos de 8 de+ectos! λ =
2 defectos 2
cm
t =cm
2
E ( x )= λt =8 defectos P ( x < 3 ) = P ( x < 0 )+ P ( x < 1 ) + P ( x <2 ) −8
0
−8
1
−8
2
e (8 ) e ( 8 ) e (8 ) P ( x < 3 ) = + + 0! 1! 2!
=.&7'
Ejercicio 19
*os reportes de cr0menes recientes indican que 8.2 de los robos de $e30culos motorizados ocurren cada minuto en stados 1nidos. Suponga que la distribución de los robos por minutos puede calcularse con la distribución de probabilidad de Poisson. "alcule la probabilidad de que ocurran 4 robos exactamente en un minuto. λ =
3.2 robos
minutos −3.2
P ( x = 4 )=
e
( 3.2 )4
4!
=0.1781
Ejercicio 20
Suponga que la Agencia de Protección Ambiental =APA! es quien establece los estándares para garantizar la calidad de las emisiones de aire por parte de las empresas. l l0mite máximo permitido de cobre de las emisiones es de (' part0culas por millón # usted trabaa en una empresa donde el $alor medio en sus emisiones es de 4 part0culas por millón. Si se de-ne x como el número de part0culas por millón en una muestra 5cuál es la des$iación estándar de x en su empresa7 λ =4
%(x)= √ λ =2
