DISTRIBUCIONES MUESTRAL
INTEGRANTES: NILSON JAVIER MANGONES
ASIGNATURA: INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD PROBABILIDAD
TUTOR: MARCOS CASTRO
INGENIERIA DE SISTEMA UNIVERSIDAD DE CARTAGENA CREAD LORICA LORICA - CORDOBA EJERCICIOS
PROPUESTOS
DE
DISTRIBUCIONES
MUESTRALES 1)
Defna en qué consisten:
a) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LA MEDIA: Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias. Si tenemos una población normal N y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias siue también una distribución normal. Si la población no siue una distribución normal pero n!"#, aplicando el llamado $eorema central del limite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior. Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. %ara cada muestra podemos calcular un estad&stico 'media y la desviación t&pica, proporción() que variar* de una a otra. +s& obtenemos una distribución del estad&stico que se llama distribución muestral. as dos medidas -undamentales de esta distribución son la media y la desviación t&pica, también denominada error t&pico. ay que /acer notar que si el tamaño de la muestra es lo sufcientemente rande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basar*n todos los resultados que alcancemos.
a media muestral tiene también distribución normal,
Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n 0 "# de una población con distribución di-erente a la normal
Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n * "# . a distribución t es adecuada para traba1ar con muestras pequeñas, y se obtiene del cociente entre una distribución normal est*ndar y la ra&2 cuadrada de una c/i3cuadrado dividida por sus rados de libertad, por lo tanto:
Si se utiliza la varianza corregida:
b) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LA PROPORCIÓN: a distribución muestral de proporciones est* estrec/amente relacionada con la distribución binomial4 una distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio 'media) de los éxitos. Como consecuencia de esta relación, las afrmaciones probabil&sticas re-erentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que: np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5
5xisten ocasiones en las cuales no estamos interesados en media de una muestra, sino que queremos investiar proporción de personas con cierta pre-erencia, etc en muestra. a distribución muestral de proporciones es adecuada para dar respuesta a estas situaciones.
la la la la
5sta distribución se enera de iual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estad&stico proporción ' p=x/n en donde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra ) en luar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.
Debido a que se desconoce la proporción poblacional, se utili2a la proporción muestral para estimar la varian2a, por lo tanto:
!) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LAS DI"ERENCIAS DE MEDIAS: Supona que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media mu67 y desviación est*ndar delta68 y la seunda mu68 y desviación est*ndardelta68. 9*s an, se elie una muestra aleatoria de tamaño n67 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n68 de la seunda población4 se calcula la media muestral para cada muestra y la di-erencia entre dic/as medias. a colección de todas esas di-erencias se llama distribución muestral de las di-erencias entre medias o la distribución muestral del estad&stico. a distribución es aproximadamente normal para n#$1%& y n%& para poblaciones cualesquiera. 5s decir es el error t&pico, o error est*ndar de la media.
') LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LAS DI"ERENCIAS DE PROPORCIONES: De dos poblaciones se toman dos muestras aleatorias independientes de tamaños n7 ≥ "# y n8 ≥ "#, y en cada una de ellas se observa una caracter&stica o cualidad. a proporción muestral de elementos con una caracter&stica se defne como:
) EL ERROR ESTNDAR PARA LITERALES ANTERIORES:
CADA UNO
DE
LOS
*) Cu*ntas muestras de tamaño "8 pueden extraerse de una población de tamaño ;<#=
%) Si a cada una de las muestras del problema anterior le calculamos su correspondiente proporción, cómo llamar&a usted a la serie de proporciones obtenidas y qué propiedades tiene dic/a distribución.
+) Supona que una m*quina produce tornillos, cuyos di*metros se distribuyen normalmente, con media iual a #.< puladas y desviación est*ndar de #.#7 puladas. >Cu*l es la probabilidad de que el di*metro medio esté comprendido entre #.?@ y #.<7 puladas, para una muestra de ? tornillos= μ=0,5 σ =0,01 x 1=0,49
x 2=0,51 P ( 0,49 < x < 0,51 )= P ( x < 0,51 )− P ( x < 0,49 )
z 1=
z 2=
0,51−0,5 0,01
0,49 −0,5 0,01
=
=
0,01 0,01
−0,01 0,01
=1
=−1
P ( 0,49 < x < 0,51 )= P ( Z 1< 1 )− P ( Z 2 <−1 ) P ( 0,49 < x < 0,51 )=0,8413 −0,1587= 0,6826=68,26
5 Se desea estudiar una muestra de ?@ personas para saber la proporción de ellas que tienen m*s de ?# años4 sabiendo que la proporción en la población es de #.?. >Cu*l es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor que #.<, si se trata de una población muy rande= N = 49
´ − P P z = = PQ N
√
Z =
0,5−0,4
√
( 0,4 )( 0,6 )
0,10
√ 0,00489
P=0,4
= 0,10 =¿
49
=
0,10 0,07
=1,43
Z =1,43 → A ( 0,4236 ) P=0,5 + 0,4236=0,9236
P ( P < 0,5 )=92,36
√
0,24 49
´ < 0,5 ) P ( P
, Se sabe por experiencia que el A
N =100
P ( P < 68 ) P − P 0,68 −0,65 Z = = PQ (0,65 )( 0,35 ) N 100
√
Z =
√
0,03
√
0,2275
=
0,03
√ 0,002275
=0,63
100
Z =0,63 → A ( 0,2357 ) P=0,5 + 0,2357
P=0,7357 P ( P < 68 )=73,57
%ara eleir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el ?#B de los votos. Determinar la probabilidad de que entre 8## de los electores eleidos aleatoriamente entre un total ## afliados, se /ubiera obtenido la mayor&a de los votos para dic/o candidato. +sumamos que la mayor&a es un porcenta1e superior al <7B. P=0,40 1 2n
=
p=0,51 1 2 ( 200 )
=
1 400
n = 200
=0,0025
ormula correida
Z =
Z =
( 0,50 −0,0025 )− 0,40 ( 0,40 ) ( 0,60 )
√
200
0,4975 −0,40
√ Z =
0,24 200
0,0975
√ 0,0012
=
0,0975
√
0,24 200
=2,81
Z =2,81 → A ( 0,4975 ) P=0,5 – 0,4975=0,0025
P=0,25
. Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño 8< en una distribución normal con media 8# y desviación est*ndar ?4 dentro de que l&mites se encuentra el @#B central de las medias muéstrales.
/ Con el fn de estimar la di-erencia de proporciones entre dos poblaciones + y E, se tomaron muestras de ambas poblaciones de tamaños ;# y @# respectivamente. Se pide calcular el error est*ndar de la di-erencia de las proporciones muéstrales, si se sabe que éstas ltimas -ueron "
√
P1 Q 1 P2 Q 2
σ =
√
( 0,35 ) ( 0,65 ) ( 0,41 ) ( 0,59 ) +
σ =
√
0,2275
+
A 1
A2
70
70
90
+
0,2419 90
σ =√ 0,00325 + 0,00269
σ =√ 0,00594 σ =0,077
E=
E=
0,077
A1 + A2 0,077 160
=
0,,77 70 + 90
= 0,0077
1&
5n una población normal con media iual a ;8.# y desviación est*ndar iual a ".#, /allar la probabilidad que en una muestra de @#, la media sea menor ;7.;#. μ=72 σ =3.0
n =90 p ( x´ < 71,7 )
x´ − μ 71,7 −72 −0,3 √ 90 Z = = = =−0,92 3,1 3,1 σ √ n √ 90 Z =−0,92 → A ( 0,3212 ) ; P= 0,5−0,3212 P=0,1788 =17,88
11
5n cierta reión los salarios diarios de los mineros del carbón est*n normalmente distribuidos, con una media de F 7.A<#.## GS y una desviación est*ndar de F 7<#.## GS. a población de mineros es superior a 7<##. Cu*l es la probabilidad de que en una muestra representativa de 8< de esos mineros, el salario medio sea in-erior a F7.<;<.## GS. μ=1650 σ =150
n =25 p ( x´ < 1575 )
Z =
1575 −1650 150
=
−75 √ 25 150
=−2,5
√ 25 Z =−2,5 → A ( 0,4938 ) P =0,5 −0,4938 =0,0062
´ < 1575)= 0,62 P ( x
1*
a media de una muestra aleatoria de tamaño "A se utili2a para estimar la media de una población infnita con desviación est*ndar de <.?. Hué podemos afrmar sobre la probabilidad de que el error muestral sea menor o iual que 8." en valor absoluto=
x´ − μ E Z = = σ σ √ A √ A
z =
|2,3| |2,3| 5,4
=
√ 36
|2,3|
Z =
0,9
5,4 6
=|2,55|
1%
Gna muestra aleatoria de tamaño 8# extra&da de una población normal, tiene una media de
Z =
62 −56,4 3,2
√ 20
μ=56,4
σ =3,2
Z =
5,6 √ 20 3,2
=7,5
NIS D+ GN J+IK D5 L 9GM +$I, NI 5OS$5 + %KIE+EOOD+D HG5 5SI S5 D5.
1+
5xplique en qué se di-erencian la distribución t y la distribución normal. a di-erencia es que la distribución normal tiene un comportamiento de parabólica invertido. 5l *rea deba1o de la curva es uno, y si se divide en las dos *reas que /ay miden #.<. Se utili2a para muestras que son muy randes y cuando la población es representativa. a t student tiene un comportamiento similar solamente que nos permite utili2arla para muestras menores de "# personas. y tiene una semi amplitud mayor a la normal porque la muestra al ser m*s pequeña no es tan representativa como en la normal, la -orma m*s -*cil de explicar la di-erencia de la normal y la $ de student es por -ormula. a -órmula de una distribución normal est*ndar es:
Z =( E ( x )− X )/ Std ( X )
y la de la $ de student es, T =( E ( x )− x )/( Std ( x )/ √ ( n ))
Donde E(0) es el valor esperado de x. 'o el promedio) S'(0) es la desviación est*ndar de x. S23(n) es la ra&2 cuadrada del nmero de observaciones
15
Gn distribuidor de pinturas afrma que la di-erencia de los promedios de los rendimientos entre dos marcas + y E de pinturas es de < metros cuadrados por alón ' A B P <) . %or otra parte una ofcina constructora de vivienda, pone en duda dic/a afrmación y para comprobarlo, toma A alones de pintura de cada marca y encuentra que con la marca + el promedio del rendimiento es de "8 metros cuadrados por alón y desviación est*ndar de 8.< metros cuadrados por alón, mientras que con la marca E el rendimiento promedio -ue de 8@ metros cuadrados
por alón con desviación est*ndar de 7. metros cuadrados por alón. $iende la prueba /ec/a por la ofcina constructora a desvirtuar la in-ormación del distribuidor=
1,
5l tiempo promedio para reali2ar una tarea por parte de los empleados del turno 7 de una compañ&a es de 8# minutos con una desviación est*ndar de A minutos. Dic/os valores para los empleados del turno 8 son 8< minutos y <.< minutos respectivamente. >Cu*l es la probabilidad de que en un concurso que se /a proramado, el promedio para 7# empleados del turno 7, sea mayor que el rendimiento medio de @ empleados del turno 8= Se supone que el tiempo empleado por los empleados en ambos turnos, se distribuyen normalmente.
z =
z =
x ´ =32
y ´ =29
n1=6
σ =2,5
σ =1,8
n2= 6
( x´ − y´ )−( μ x − μ y )
√
σx n1
2
σy + n2
2
( 32−29 )− (5 )
√
( 2,5 )2 ( 1,8 )2 + 6
6
=
3 −5
√
6,25 6
+
3,24
=
6
√
2 2 2 −2 = − = − = − =−1,6 6,25 + 3,24 9,49 √ 1,58 1,25 6
√
6
z =1,6 → 0,4452 P=0,5 −0,4452= 0,0548=5,48
No la puede desviar, porque existe la probabilidad.
1
os salarios diarios de cierta industria est*n distribuidos normalmente con una media de F7."8#.##. Si el @B de las medias de los salarios diarios en muestras de 8< obreros, es in-erior a F7.8<#.##, cual es la desviación est*ndar de la industria. μ=1320
P ( x´ < 1250)= 0,09
N =25
σ =? A = 0.5 – 0,009=( 0,41 ) → Z =−1,34
z =
1250−1320
σ
√ 25
−1,34 =
σ =
−70 √ 25 σ
−70 √ 25 =261,19 −1,34
σ =261,19
1.
Se /a encontrado que el ?B de las pie2as producidas por cierta m*quina son de-ectuosas. Cu*l es la probabilidad al seleccionar ?## pie2as, de que el
N = 400
P ( p ≥ 0,05 )
ormula correida
( =
P −
z
z =
1 2 N
√
)−
PQ n
0.00875 0,0097
P
=
( 0,05 −0,00125 )− 0,04 0,00875 = √ 0,000098 ( 0,04 ) ( 0,96 )
√
400
=0,9 z =0,9 → A ( 0,3159 ) ;
P=( P > 0,05 )=18,41
P=0,5 −0,3159 =0,1841