ESTADISTICA Y PROBABILIDAD II
Profesor: Ing. Celso Gonzales Ch. Mg.Sc
OBJETIVOS:
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz:
Describir los métodos para seleccionar una muestra.
Comprender los requisitos necesarios para que una muestra sea probabilística. Conocer los principales métodos de muestreo, sus ventajas y desventajas para ser aplicados en diversas condiciones. Definir y elaborar una distribución de muestreo para la media de la muestra. Explicar el teorema del limite central.
VENTAJAS DEL MUESTREO EN COMPARACIÓN CON LA ENUMERACIÓN COMPLETA.
Costo reducido
Más posibilidades
Mayor rapidez
Mayor Exactitud
Una empresa de agencia de viajes entrega una encuesta de evaluación a todos sus clientes que contratan el paquete de excursión a Europa, la que espera sea entregada al finalizar el viaje. El objetivo de dicha encuesta es conocer el perfil de sus clientes y la opinión sobre la calidad del servicio que ofrece.
a) Ind Indiq ique ue la la pobla població ción n objeti objetivo vo del del estu estudio dio.. b) ¿Có ¿Cómo mo se se harí haría a para para tom tomar ar una mue muestr stra? a? c) ¿Cuenta con un marco muestral completo?
d) ¿Hay alguna diferencia entre ambos? (población y marco muestral).
Objetivo fundamental de la Estadística
El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una población con base a la información contenida en una muestra
OBJETIVOS DE LA ESTADISTICAS: Pasos
OBJETIVOS DE LA ESTADISTICAS: Pasos
Suponga que se desea medir la porcentaje de humedad en las bolsa de azúcar de un proceso de producción. ¿A quién deseo generalizar los resultados? : ¿A quien puedo acceder en el estudio? : ¿Cómo puedo acceder a ellos? ¿Quién forma parte del estudio? :
MUESTREO
Hay dos tipos básicos de muestreo:
•MUESTREO •
PROBABILÍSTICO.
MUESTREO NO PROBABILÍSTICO.
¿Qué es el muestreo? •
El Muestreo es la disciplina que trata con el conjunto de técnicas para tomar u obtener una muestra.
POBLACION Y MUESTRA
Objetivo de Estudio
Población
muestra ¿Por qué?
Taller- Uso de números aleatorios En las familias de cierta ciudad, se determinó el porcentaje de calorías consumidas diariamente por niño (menor de 12 años), también se registró el número de niños (menores de 12 años) por familia, y el nivel socioeconómico de la familia (NSE). Los datos se dan a continuación:
Calorìas(%) NSE
Calorìas(%) NSE
Calorìas(%) NSE
26
C
53.7
C
60
B
35
D
53.8
C
60.5
B
36.2
B
55.4
C
61.5
D
43.4
A
56.1
C
61.7
C
43.8
A
56.1
C
62
D
44
A
57.1
C
62
B
49.3
B
57.9
B
62.2
B
51.6
D
59.4
C
62.3
B
51.8
A
59.9
D
63.2
B
52.3
A
60
B
63.5
A
Usando MS Excel: Datos/ Análisis de datos
IMPORTANCIA DEL MARCO DE MUESTREO ¿Selección de la muestra?
Con uso de Marco Muestral Sin uso de Marco Muestral
•
Diseño muestral probabilístico
•
Diseño muestral NO probabilístico Diseño muestral SEMI- Probabilístico
•
PARAMETROS Y ESTIMADORES •
•
Parámetros a ser estimados •
Media poblacional
•
Total poblacional
•
Proporción poblacional
Estimadores utilizados •
Estimadores lineales (medias, totales y proporciones)
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es un método de selección de n unidades en un conjunto de N de tal modo que cada uno de las muestras distintas tenga la misma probabilidad de ser seleccionadas . VENTAJAS: •
Sencillo y fácil comprensió comprensión n
•
Cálculo de medidas estadísticas.
DESVENTAJAS •
Requiere de un marco de muestreo.
•
Requiere de muestra grande.
Procedimiento de selección 1° Preparar el marco muestral de lista numerando las unidades desde 1 hasta N 2° Elegir un número aleatorio entre 1 y N, la unidad que le corresponde correspond e a dicho número forma parte de la muestra 3° Continuar la selección hasta completar el tamaño de muestra n, excluyendo las unidades repetidas (si es sin reemplazo)
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL Distribución de probabilidad de todas las medias posibles de un tamaño muestra dado.
Muestreo
Media
Varianza x
Con reemplazo
x
Sin reemplazo
Z
x x x
2
x
2 x
2
n
N n n N 1
Error estándar
x
2
x
n
N n n N 1
EJEMPLO Distribución muestral de la media. Considérese una población en la que se estudia una característica X que sigue una distribución normal de media 12 y varianza 16. Se pide: a) Probabilidad de que un elemento de esa población, elegido al azar, tenga la característica superior a 14. b) Considérese una muestra aleatoria de tamaño n = 9. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tenga un valor superior a 14?
¿Por qué es importante la distribución normal?
EJEMPLO
Suponga N=6 estudiantes universitarios y n =2. Para calcular las distribuciones de muestreo, suponiendo que son conocidos todos los valores de la población ( Ingreso semanal en nuevos soles) y1
y2
y3
y4
y5
y6
100
102
154
133
190
175
Nos interesa la media de la población. Se proponen dos planes de muestreo
Plan1: Se puede elegir 8 muestras posibles Plan2: Se puede elegir entre tres muestras posibles N° de muestra Muestra Probabilidad N° de (1,4,6) 1 Muestra Probabilidad muestra (2,3,6) 2 (1,3,5) 3 (1,3,5) 1 (1,3,6) 2 a. Cual es el valor de la media (1,4,5) 3 poblacional? Y halle los promedios de (2,4,6) 4 la muestra para cada plan de (2,3,5) 5 muestreo (2,3,6) 6 b. Hallar el valor esperado y la varianza para cada plan de muestreo e indique (2,4,5) 7 cual es el mejor plan de muestreo y (2,4,6) 8
por qué?
EJEMPLO
Al estudiar los manuales de manejo y mantenimiento de máquinas de una empresa industrial, el ingeniero responsable determinó que el tiempo en minutos que: a. Una maquina demora realizar una operación de corte sigue una distribución normal con media 1.2 y desviación estándar de 0.1. Se toma una muestra aleatoria de 36 observaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral sea mayor que 2,05? b. Suponga que otra máquina en el proceso de sellado en un día de trabajo tiene distribución: X
0
1
2
3
P(X=x)
0.8
0.1
0.05
0.05
b1.Si se selecciona una muestra al azar de 100 días y se registra el número de fallas de la maquina 2 de cada día. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la muestra sea por lo menos 0.3? b2. Si se selecciona 64 días al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no falle en menos de 15 días?
EJEMPLO En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación estándar 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos?
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes?
EJEMPLO 3
Un ejecutivo de una empresa que realiza ventas de teléfono conoce que al c a l l c e n t e r entraron el día anterior 5 llamadas, con tiempos de espera 18, 16, 20, 14 y 12 segundos. Si el ejecutivo tuviera que elegir una muestra aleatoria de 2 llamadas (con reemplazo) a. ¿Cuántas muestras posibles puede escoger? En base a las muestras obtenidas, hallar la media y la varianza de la distribución de la media muestral. b.¿Cuál es la probabilidad de que se elija una muestra con tiempo promedio de espera de 19 segundos a más?
EJEMPLO EJERCICIOS
Los pesos de las personas que suben a un ascensor se distribuyen normalmente con media igual a 56.6 kg y desviación estándar de 13.6 Kg. Un grupo de 9 personas sube al ascensor: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio del grupo sea menor de 45300 gramos? b) El ascensor tiene una capacidad máxima de 634.2 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que se exceda esta capacidad con un grupo de 9 personas?
EJEMPLO Luego de estudiar los manuales de manejo y mantenimiento de las máquinas de una empresa, el ingeniero responsable determinó que: El tiempo en minutos que la máquina A demora en realizar una operación de corte tiene distribución con media 1.2 y desviación estándar es 0.1 El tiempo en minutos que la máquina B demora en realizar una operación de soldadura tiene distribución normal con media de 2 y desviación estándar de 0.2. a.¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de corte de una operación elegida al azar sea mayor de 1.4 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de una muestra de 36 observaciones al tiempo de soldadura sea mayor que 1.25 min?
EJEMPLO 6 Suponga que las latas de KOKA KOLA se llenan de tal manera que las cantidades reales tienen una media de 12 onzas y una desviación estándar . Si se conoce que el percentil 25 de los contenidos de las latas es inferior a 11.9804 onzas. a) Calcule la desviación estándar de los contenidos de las latas de KOKA KOLA. b) Se toma una muestra aleatoria de 64 latas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea por los menos 12.19 onzas.?
EJEMPLO Suponga N=6 estudiantes universitar universitarios ios y n =3 . Para calcular las distribuciones de muestreo, suponiendo que son conocidos todos los valores de la población ( Ingreso semanal semanal en nuevos soles) y1 100
y2 102
y3 154
y4 133
y5 190
y6 175
Nos interesa la media de la población. Se proponen dos planes de muestreo. Plan1: Se puede elegir 8 muestras posibles N° de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8
Muestra (1,3,5) (1,3,6) (1,4,5) (2,4,6) (2,3,5) (2,3,6) (2,4,5) (2,4,6)
Probabilida d 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125
Plan2: Se puede elegir entre tres muestras posibles N° de muestra 1 2 3
Muestra
Probabilidad
(1,4,6) (2,3,6) (1,3,5)
0.25 0.5 0.25
a) Cual es el valor de la media poblacional? Y halle los promedios de la muestra para cada plan de muestreo b) Hallar el valor esperado y la varianza para cada plan de muestreo e indique cual es el mejor plan de muestreo y por qué? c) En el el Pla Plan n 1. ¿C ¿Cuá uáll es la pro proba babi bili lida dad d de qu quee el el ingreso promedio muestral supere los 125 nuevos soles
EJEMPLO Una empresa produce 1 millón de botellas a la semana cuyos pesos siguen una distribución normal de media 1200 g. y desviación estándar 10 g.. Calcular para una semana: a. El número de botellas que pesan entre 1200g. y 1215 g. b. Si se toma una muestra aleatoria de 25 semanas,¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio en la muestra supere los 1210 g?
EJEMPLO Una siderúrgica está produciendo actualmente cables para suspensión de puentes. La característica más importante de este producto es su resistencia, el peso que puede soportar antes de que se reviente se distribuye normalmente. Por experiencia pasada se sabe que el promedio de la resistencia es de 6 toneladas con desviación estándar de 0.75 toneladas. Para efectos de control de calidad, se selecciona una muestra de 9 cables y se adopta la siguiente regla de decisión: Si la resistencia promedio de la muestra está por encima de 6.5 toneladas o por debajo de 5.5 se suspende el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de tener el proceso?
EJEMPLO La duración en horas de un electrodoméstic electrodoméstico o comprado a la empresa A, es una variable aleatoria N 1200, A2 . El 95% de los electrodomésticos duran entre 1180 y 1220 horas. Si se extraen 200 m.a.s de 7 electrodomést electrodomésticos icos cada una: a.¿Calcular la desviación electrodomésticos?
estándar
de
la
duración
de
b.¿cuál es la media, error estándar y coeficiente de variación de la distribución de la media muestral? c. ¿Qué probabilidad existe de que la media muestral supere las 1201 horas? d. ¿Cuántas muestras superan las 1210 horas?
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL POBLACIÓN M1 M1
x1
M1
x2
M1
...
xi
xl
Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio 22.5 g con una desviación estándar de 9 g. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 40 paquetes de este producto tenga un peso promedio menor o igual que 20 g.
EJEMPLO Suponga que X tiene una distribución uniforme discreta f (x)
= 1/3 =0
x = 1,2,3 en cualquier otro caso
De esta población se toma una muestra aleatoria de tamaño 36. Encuentre la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 2.1 pero menor que 2.5.
EJEMPLO Sea X una variable aleatoria que representa el contenido real en onzas de una lata de café de 1 lb. La distribución de probabilidad de x es: f ( x )
1 1, 5
0
15, 5 x 17 para otros valores
Si se toman muestras aleatorias de 36 latas de café y se mide el contenido real promedio. a. Hallar la media y error estándar de la distribuc distribución ión de la media muestral. b. Si se toma una muestra aleatoria de 36 latas, ¿ calcular la probabilidad de que el contenido promedio de café en la muestra contenga menos de 16 onzas?
EJEMPLO El ingreso medio (expresado en nuevos soles) de los trabajadores de un sector es de 780 n.s y la desviación estándar es 60 n.s. Si se consideran muestras de 81 trabajadores: a) ¿En que porcentaje de muestras saldrá un ingreso medio menor que 775 n.s ? b) ¿En que porcentaje de muestras saldrá un ingreso medio entre 695 n.s y un ingreso menor a 790 n.s? c) Repite los apartados anteriores para resultados.
n
= 625 y compara los
DISTRIBUCION DE UNA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
x z
1
x 2 1 2 2 1
n1
2 2
n2
Los colchones producidos por la empresa “DOLMOR” tienen una duración media de 80 meses y una desviación estándar de 5 meses, mientras que los colchones fabricados por la empresa “AMAZON” tienen una duración media de 75 meses y una desviación estándar de 3 meses, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 49 colchones de la empresa “DOLMOR” tenga una duración media de por lo menos tres meses más que la duración media de 64 colchones de la empresa “AMAZON”?. Considere que las distribuciones en ambos casos se distribuye normalmente y son independientes.
Ejercicio Los focos fabricadas por LUMILUX tienen un promedio de vida útil de 6000 horas con una desviación estándar de 1600 horas y los focos fabricados por FOTOLUX tienen un promedio de vida útil de 8000 horas con una desviación estándar de 3600 horas. Si se selección 200 focos fabricados por LUMILUX y 160 focos fabricadas por FOTOLUX. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral de vida útil de los focos fabricados por FOTOLUX difiera en menos de 800 horas del promedio muestral de vida útil de los focos fabricadas por LUMITUX?
EJEMPLO Una comercializadora de granos granos afirma que el peso promedio (en gramos) de dos marcas de café instantáneo es el mismo. Para verificar la afirmación se tomaron dos muestras aleatorias independientes de tamaño 49 sobres de cada marca y si aplicará el siguiente criterio de decisión: Si la media muestral de A es mayor que la media muestral de B en más de 0.5 gramos, se rechazará que la media de ambas marcas son iguales. En caso contrario se aceptará que las medias de ambas marcas son iguales. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que las medias de las marcas A y B son iguales?. Suponga que las varianzas del peso de las marcas A y B son 9 y 4 respectivamente.
EJEMPLO •
Dos tipos distintos de botellas de vidrio son adecuados para su utilización en una embotelladora de bebidas gaseosas. La resistencia a la presión interna de un envase es una característica de calidad importante. Se sabe que las desviaciones estándar de cada tipo de botella es igual a 3 psi y sus resistencias medias del tipo 1 y 2 son: 175 y 181 psi respectivamente. Si se eligen al azar 36 botellas de vidrio de cada tipo, determinar la probabilidad de que las resistencias promedio a la presión del diseño de la botella 2 exceda a la del diseño 1 en por lo menos 5 psi.?
EJEMPLO Un proceso envasa conservas con dos maquinas (A y B). Los pesos de las conservas envasados tanto por la maquina A y B siguen una distribución normal. La Maquina A envasa conservas con peso medio de 970 g y una varianza de 144 g 2, mientras que la maquina B los envasa con un peso medio de 980 g y una varianza de 256 g 2 Si se eligen 36 artículos por la máquina A y 64 artículos producidos por la máquina B. Hallar la probabilidad de que el peso promedio muestral de B sea mayor que el promedio muestral de la maquina A en por lo menos 6 g?
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION
Objetivos: Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz: • Mostrar la importancia de la distribución una proporción muestral. • Definir y diseñar una distribución de muestreo para la proporción de la muestra.
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL.
Distribución de probabilidad de todas las proporciones posibles de un tamaño muestra dado.
Muestreo
Media p
Varianza
2
p
Con reemplazo p
Sin reemplazo
p 2
1
Error estándar
n
1 N n
p
n
N 1
p
1 n
1 N n n
N 1
A: Muestreo con reemplazo •
P: proporción de éxitos en la muestra
n np n np f ( p) 1 np
B: Muestreo sin reemplazo •
P: proporción proporción de éxitos éxitos en la muestra muestra
A B np n np g ( p) N n
Aproximación a la Distribución normal
Z
p (1 )
n
EJEMPLO En un proceso industrial se producen 11% de artículos defectuosos. Si se toma una muestra aleatoria de 100 de ellos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos exceda al 14 % en la muestra? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos sea menor que 9 % en la muestra?
EJEMPLO Ejercicio Una fábrica de cierto cierto producto producto tiene en prueba un nuevo tipo de equipo envasador. El equipo que actualmente utiliza tiene un 4% de fallas, pero su costo de mantenimiento es más alto que el nuevo equipo; por lo tanto después de realizar los estudios convenientes respecto a las utilidades, se establece que el nuevo equipo no se compre si el produce más del 10 % de fallas en “n” pruebas. Suponiendo que el nuevo equipo tiene como verdadera proporción de fallas el valor 0,08. a. Determinar la probabilidad de no comprar el nuevo equipo cuando se realizan 4 pruebas. b. Si se realizan 40 pruebas con el nuevo equipo. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de fallas sea mayor que actualmente se utiliza en no más de 0,15?.
EJEMPLO En una fábrica se sabe por experiencia que el tiempo de trabajo promedio en en un artículo con el torno torno existente existente (X) se distribuye normalmente con una media de 38.6 min y una desviación estándar de 13.8 min. Asimismo se sabe que el tiempo de trabajo promedio por artículo con el nuevo torno (Y) se distribuye normalmente con una media de 33.5 min y una desviación estándar de 14.1 min Se seleccionan una muestra de 100 artículos del torno Y de un lote de 1000 artículos. Halle la probabilidad que la proporción de artículos de la muestra con un tiempo trabajado de más de 40 min sea mayor a 0.5.
EJEMPLO Se sabe que un 6% de las piezas producidas en una fábrica son defectuosas. Si en un lote se toma una muestra de 100 piezas. a. Determinar la probabilidad de que la proporción de piezas defectuosas en la muestra supere el 20 % de piezas defectuosas. b. Si del lote se extraen 10 piezas. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de piezas defectuosas en la muestra supere el 20 % de piezas defectuosas.
EJEMPLO Cada media hora se saca una muestra aleatoria de 100 unidades de un proceso de producción. La proporción de productos no conforme fabricado es 0,02.
a. b.
¿Cuál es la probabilidad de que p( proporción muestral de productos no conformes) conformes) es a lo mas 4 % ? Si la muestra que se saca cada media hora es de tamaño 9 ¿ cuál sería la distribución exacta de la proporción muestral de productos no conformes?. Así mismo: a media, error estándar y coeficiente de variación de la proporción muestral de productos no conformes.
EJEMPLO 28 Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción habitual tiene un 3% de piezas defectuosas. A.Se empaqu empaquetan etan en cajas de 10¿Cuál es la probabilidad de encontrar mas de 4 piezas defectuosas en una caja? B.Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja?
EJEMPLO Con base en datos pasado, se sabe que el 30% de las compras con tarjeta de crédito, en una tienda muy conocida, son por cantidades superiores a 100 dólares. Si se seleccionan muestras aleatorias de 100 compras: a. ¿Qué proporción de las muestras es posible que tengan entre 20% y 30% de compras mayores que 100 dólares? b. Dentro de qué límites centrados en el porcentaje de la la población caerá el 95% de los porcentajes de la muestra?
EJEMPLO En cierto proceso de producción se utiliza el siguiente sistema de control de calidad: se elige una muestra al azar de 36 piezas si el porcentaje de piezas defectuosas de la muestra excede de p, se detiene el proceso para localizar las fallas. Si se sabe que el proceso ocasiona un 10% de piezas defectuosas en promedio, calcule el valor de p, para que exista un 22,5% de probabilidad de detener el proceso, cuando la proporción de piezas defectuosas exceda de p.
DISTRIBUCIÓN DE UNA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES Sea X1, ..., Xn1 una m.a.s de una población X, e Y 1, ..., Yn2 una m.a.s. de una población Y. Suponemos que las poblaciones X e Y son independientes. Denotamos por 1 y las proporciones 2 poblacionales y por p1 y p2 las correspondientes proporciones muestrales.
Muestreo con reemplazo en las dos poblaciones Muestreo sin reemplazo en las dos poblaciones
2 p
1 (1 - 1 ) n1
2 (1 2 ) n2
(1 1 ) N1 n1 2 (1 2 ) N 2 n 2 2 p 1 N 1 n2 n1 N1 1 2
MSR en población 1 MCR en población 2
(1 1 ) N1 n1 2 (1 2 ) 2 p 1 n N 1 n 1 1 2
MCR en población 1 MSR en población 2
(1 1 ) 2 (1 2 ) N 2 n 2 2 p 1 N 1 n2 n1 2
Entonces:
( p1 p2 ) N ( p , V (p)) Por lo tanto:
Z
( p1 p2 ) ( 1 2 ) 1 (1 1 )
n1
2 (1 2 )
n2
Candidato
Porcentaje
A
30%
B
40%
C
30%
¿Cuál es la probabilidad de que el candidato A supere al candidato B?. Considere muestras aleatorias de tamaño 100
EJEMPLO Según el INEI, el 45 % de amas de casa del distrito La Molina afirman que el sistema de seguridad de su distrito es bueno, y en el distrito de San Borja el 30 % de amas de casa afirman lo mismo. Se seleccionó una muestra aleatoria de 180 amas de casa del distrito de La Molina y 120 amas de casa del distrito de San Borja. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de amas de casa del distrito de La Molina que afirmen que el sistema de seguridad de su distrito es buena supere la proporción muestral del distrito de San Borja en a lo más de 0.30?
EJEMPLO Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que el porcentaje de artículos defectuosos producidos por A es de 6 y por B es de 4. Además diariamente la máquina A produce un total de 1200 artículos y la máquina B de 800 artículos. Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 artículos para cada una de las máquinas. Halle la probabilidad que la proporción de defectuosos de la muestra A sea superior a la proporció proporción n de defectuo defectuosos sos de la muestra de la máquina B a lo más de 0.02.
EJEMPLO Para cierta región se conoce que el 15% de los créditos otorgados por la financiera A tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos (en decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha financiera tienen una distribución normal con una media de 5.56 y una variancia de 9. Del mismo modo, para otra región se conoce que el 24% de los créditos aprobados por la financiera B tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos (en decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha financiera también tienen una distribución normal con una media de 6 y una variancia de 4. Los directivos de ambas financieras sostienen que los créditos por montos menores a 50000 dólares tienen una menor probabilidad de atrasos en los compromisos de pago. Si para cada financiera se seleccionan al azar y sin reemplazo 400 créditos, halle la probabilidad que la proporción de créditos por montos superiores 60000 dólares de la muestra de la financiera A supere a la correspondiente proporción de la muestra de la financiera B en no más de 0.05.
EJEMPLO
Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que el porcentaje de artículos defectuosos producidos por A es de 6 y por B es de 4. Además diariamente la máquina A produce un total de 1200 artículos y la máquina B de 800 artículos. Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 artículos para cada una de las máquinas, halle la probabilidad que la proporción de defectuosos de la muestra A sea superior a la proporción de defectuosos de la muestra de la máquina B a lo más de 0.02.
EJEMPLO
En condiciones condiciones normales, una una máquina produce produce piezas con una tasa de defectuosas del 1%. Para controlar que la máquina sigue bien ajustada, se escogen al azar cada día 100 piezas en la producción y se le somete a un test.¿Cuál es la probabilidad de que, si la máquina está bien ajustada, haya, en una de esas muestras, más del 2% de piezas defectuosas? Si un día, 3 piezas resultan defectuosas, ¿que conclusiones sacaría sobre el funcionamiento de la máquina?
EJEMPLO Ciertas encuestas sobre un programa de TV. TV. Revelan que el 28 % de los hombres y el 38% de las mujeres de clase media ven dicho programa.¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias de 150 hombres y 100 mujeres respectivamente, perteneciente a dicho estrato, se encuentre que la proporción de hombres que ha visto el programa sea igual o mayor que la proporción de mujeres?
EJEMPLO Se escoge una muestra de 600 electores que acaban de votar, entre las 8 a.m y las 4 p.m para estimar la proporción de votantes a favor de los candidatos A y B. En una encuesta hecha en la víspera se estimó en 30 % y 35 % los porcentajes a favor de A y B respectivamente.¿ Cuál es la probabilidad de la proporción muestral de B exceda a la proporción muestral de A en al menos 10%?
