Estadística Aplicada Sesión N° 03 Ciclo 2015-3
APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Como se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la encontramos en la mayoría de los fenómenos que observamos en la naturaleza, por ello gran parte de lo que resta del curso lo vamos va mos a dedicar a su estudio y a las distribuciones asociadas a ella. Sin embargo, a pesar de su utilidad, hay que apuntar un hecho negativo para esta ley de probabilidad:
e
− x
La función no posee primitiva Las consecuencias desde el punto de vista pr!ctico son importantes, ya que eso impide el que podamos escribir de modo sencillo la función de distribución de la normal, y nos tenemos que limitar a decir que: x
F ( x )
= P [ X ≤ x] =
∫
f ( t ) dt
"
= σ
−∞
π
x
" t − µ − ÷ e σ
∫
dt
−∞
Sin poder hacer uso de ninguna e#presión que la simplifique. $fortunadamente esto no impide que para un valor de x fi%o, F & x x' pueda ser calculado. (e hecho puede ser calculado con c on tanta precisión &decimales' & decimales' como se quiera, pero per o para esto se necesita usar t)cnicas de c!lculo num)rico y ordenadores. *ara la utilización en problemas pr!cticos de la función de distribución F , e#isten ciertas tablas donde se ofrecen &con varios decimales de precisión' los valores F & x x' para una serie limitada de valores xi dados. +ormalmente F se se encuentra tabulada para una distribución distribució n Z , normal de media y varianza " que se denomina distribución normal tipificada : Z : N ( ,")
⇒
f Z ( z )
=
" π
z
e
−
∀z ∈ ¡
X : N ( µ , σ ) -n el caso de que tengamos una distribución diferente , se obtiene haciendo el siguiente cambio: Z haciendo
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Estadís Esta dístic tica a Aplicada Apli cada Z
:
N ( µ , σ )
⇒Z=
X − µ
:
σ
N ( ,")
*ropiedades de la distribución +ormal X : N ( µ , σ ) Sea , entonces X − µ z = : N ( ,") a'
σ
ax + b :
distribución +ormal -st!ndar. N ( a µ + b, a σ )
b'
Ejemplo 1: Las alturas de las mu%eres %óvenes argentinas est!n apro#imadamente distribuidas normalmente con / "0 cm 1 / 2 cm. 3Cu!l es la probabilidad de que una mu%er %oven elegida al azar tenga una altura entre "0 cm y "04 cm5 6ecordemos que 7 / altura de una mu%er argentina %oven, elegida al azar entonces X : N ( µ , σ ) con / "0 cm y 1 / 2 cm "0 − "0 < X − µ < "04 − "0 P [ "0 < X < "04] = P σ 2 2
= P [ < z < ] = Φ ( ) −Φ − Φ ( ) = .899 − .: = .299 Ejemplo 2:
Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado X : N ( 2:,4") media ediant ntee una una vari variab able le alea aleato tori riaa , y quer ueremo emos calc alcula ular la probabilidad de que qu e X tome un valor entre ;8 y 24, es decir,
Comenzamos haciendo el cambio de variable
de modo que
4. ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
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1. Supóngase que la temperatura < durante %unio est! distribuida normalmente con media 04= y desviación est!ndar 0=. >allar la probabilidad p de que la temperatura este entre 9= y 4=. 2. Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 0 ?ilogramos y una desviación est!ndar de " ?g. 3@u) probabilidad hay de que la demanda no supere los ?g5
!. Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media A0 y desviación est!ndar A". Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que A2. 4. Supóngase que las estaturas > de 4 estudiantes est!n normalmente distribuidas con media 00 pulgadas y desviación est!ndar pulgadas. >allar el nBmero + de estudiantes con estatura, -ntre 0 y 9 pulgadas ". Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media A0 y desviación est!ndar A". a ' Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que A2. b ' Si el de las familias con mayores ingresos deben pagar un impuesto, 3a partir de que ingreso familiar se debe pagar el impuesto5 #. Supóngase que las estaturas > de 4 estudiantes est!n normalmente distribuidas con media 00 pulgadas y desviación est!ndar pulgadas. >allar el nBmero + de estudiantes con estatura, a ' -ntre 0 y 9 pulgadas b ' Dayor o igual a 0 pies&9 pulgadas' $. Suponga que la duración 7 de los focos que produce una compaEía se distribuye normalmente. si el "4.2" de estos focos duran menos de 4. meses y el 0.04 duran al menos "; meses. 3calcular la media y la varianza de la duración de los focos5. " -l porcenta%e del ingreso ahorrado por las familias tiene distribución normal
#
P [ X > t ] con una media del " .(etermine la desviación est!ndar , si el .4 de los ahorros son mayores que ".2 La probabilidad de que cierto tipo de ob%eto pase con )#ito una determinada prueba es F0. Se prueban " de tales ob%etos. Si 7 es la variable aleatoria que se define como el nBmero de ob%etos que no pasan la prueba.
Calcular la media de esta distribución. $ Supóngase que la temperatura < durante %unio est! distribuida normalmente con media 04= y desviación est!ndar 0=. >allar la probabilidad * de que la temperatura este entre 9= y 4=. % Los pesos de soldados presentan una distribución normal de media 0 ?g y desviación típica 4 ?g. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese m!s de 0" ?g.
& La duración de un l!ser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media 9 horas y desviación típica de 0 horas. 3Cu!l es la probabilidad de que el l!ser falle antes de . horas5 ;
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1' Suponga que la duración 7 de los focos que produce una compaEía se distribuye normalmente. si el "4.2" de estos focos duran menos de 4. meses y el 0.04 duran al menos "; meses. 3calcular la media y la varianza de la duración de los focos5.
MUESTREO ALEATORIO MUESTREO Se llama muestreo al procedimiento mediante el cual obtenemos una ó m!s muestras. -ntonces la t)cnica de elegir la muestra se llama muestreo, el ob%etivo principal de un diseEo de muestreo es proporcionar *rocedimientos para la selección de la muestra que sea representativa de la población en estudio. La utilización de las t)cnicas de muestreo es muy amplia se usa en agricultura, ganadería, industria. Comercio, servicios y en las diferentes !reas del conocimiento humano como biología, medicina. Gngeniería, psicología. Sociología, mercadotecnia, antropología etc.
Ve()*j*+:
Hn costo m!s ba%o, es la razón principal en la utilización del muestreo en lugar de una enumeración completa. Los datos pueden ser recolectados con mayor rapidez cuando se traba%a con una muestra que con toda la población. Hna muestra e#igiría menos personal por lo tanto se podría seleccionar y adiestrar me%ores empleados y el traba%o podría ser supervisado m!s estrechamente. La recolección de datos de una muestra conducen a datos m!s precisos que los que podrían ser obtenidos reuniendo datos de todas las unidades. Cuando la población es infinita o tan grande de tal manera que el censo e#ceda las posibilidades del investigador. Cuando la población es suficientemente uniforme. Cuando el proceso de medida o investigación de las características de cada elemento sea destructivo.
De,-(--/( 0e l* pol*-/( e( e+)0-o. -l primer problema es definir la población ba%o estudio. La población es el con%unto de unidades que el investigador desea estudiar de las cuales planea generalizar y debe ser preciso al definir la población. Ejemplo 1: La población puede consistir en todas las universidades en Lima 2
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metropolitana. Ejemplo 2: La población puede ser todos los establecimientos de comestibles ubicados en el distrito de la Iictoria.
De,-(--/( 0e l*+ 3*-*le+ 5e +e e+)0-*(. -l segundo problema a considerar es la definición de las variables que se van a estudiar. -%emplo: Supongamos que una embotelladora desea determinar si los establecimientos de víveres de Lima metropolitana vende una marca específica de refresco, en este caso sólo se est! estudiando una variable y puede dar una definición estrictaJ una tienda tiene en e#istencia el refresco o no la tiene.
D-+e6o 0e me+)*+ -l diseEo de la muestra es la tercera dificultad suscitada en cualquier operación de muestreo y puede ser dividida en: La determinación de las unidades de muestreo. tamaEo de la La selección de los elementos de la muestra y determinación del muestra. -stimación de las características de la población con los datos de la muestra.
Sele-/( 0e l*+ (-0*0e+ 0e Me+)eo Se llama unidad de muestreo a las colecciones dis%untas de la población, en algunos casos una unidad muestral est! constituida por un solo elemento. -%emplo: Consid)rese el problema de hallar la proporción de establecimientos de comestibles en la Iictoria que venden pepsi cola. $quí el establecimiento de comestibles sería la unidad observada y por lo tanto sería razonable considerar un procedimiento de muestreo directo. (ada una lista de todos los establecimientos de comestibles de dicha !rea sería relativamente f!cil escoger una muestra.
Sele-/( 0e l* Me+)*
Ktra parte del problema del diseEo muestra es el m)todo de escoger los componentes de muestra. Hna muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las características de la población. Los m)todos para seleccionar una muestra representativa son numerosos, dependiendo del tiempo y del dinero y habilidad para tomar una muestra y la naturaleza de los elementos individuales de la población. Los m)todos m!s comunes podemos dividirlos de la siguiente manera: *or el nBmero de muestras tomadas de una población. por la manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la Duestra.
* M7)o0o+ e( ,(-/( 0el (8meo 0e me+)*+: - Me+)eo +-mple -l muestreo es simple sí sólo se toma una muestra de la población en este caso, la muestra debe ser lo suficiente grande para e#traer una conclusión. Hna muestra grande generalmente cuesta mucho dinero.
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-- Me+)eo Dole Cuando el resultado del estudio de la primera muestra no es decisivo, una segunda es e#traída de la misma población y las dos muestras son combinadas para analizar los resultados.
Me+)eo e( ,(-/( * l* m*(e* 0e +ele-/( 0e lo+ eleme()o+ Los elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras diferentes: i)
Me+)eo 0e J--o &no probabilística' Llamado así porque sus elementos son seleccionados mediante el uicio personal. La persona que selecciona los elementos de la muestra visualmente es un e#perto en la materia dada. Hna muestra de %uicio es llamada muestra no probabilística. *uesto que )ste m)todo est! basado en los puntos de vista sub%etivos de una persona
-- Me+)eo Ale*)o-o Hna muestra se dice que es aleatoria cuando la manera de seleccionar es tal que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado a esta muestra tambi)n se le conoce como probabilística puesto que cada elemento tiene una probabilidad conocida. La aplicación de este m)todo naturalmente presupone la disponibilidad de una lista de todas las unidades de muestreo en la población, llam!ndose marco y proporciona la base para la selección de la muestra. -s deseable que este marco contenga todas las unidades mu)strales que son de inter)s y que no incluya unidades falsas ni tampoco elementos repetidos.
Los tipos m!s comunes de muestreo aleatorio son: Duestreo aleatorio simple Duestreo estratificado Duestreo sistem!tico Duestreo por conglomerado.
Eo 0e Me+)eo Cualquiera que sea el m)todo de selección una estimación por muestra diferir! de la que se obtenga utilizando todos los elementos de la población, a esta diferencia entre el valor de la muestra y el valor de la población se llama error de muestreo.
Me+)eo Ale*)o-o S-mple
Hna muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamaEo tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población. Hn m)todo simple para obtener los elementos de la muestra aleatoria simple es utilizando las tablas de nBmeros al azar y puede ser resumido de la siguiente manera: +um)rese cada componente de la población desde el " hasta + &nBmero total de la población. Comenzando en algBn lugar previamente seleccionado en una tabla de nBmeros 0
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al azar, prec)dase sistem!ticamente a trav)s de la tabla utilizando tantas cifras como sean necesarias. *or e%emplo: Si la población tiene 8 elementos tómese dígitos cada vez y así sucesivamente. D-+)--/( Nom*l: -sta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones -stadísticas. Su propio nombre indica su e#tendida utilización, %ustificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a *arecerse en su comportamiento a esta distribución. Duchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gr!fica tiene forma de campana. -n otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo M&n,p', para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se apro#iman a una curva en Nforma de campanaN. -n resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal Caracteres morfológicos de individuos &personas, animales, plantas,...' de una especie, p. e%. tallas, pesos, envergaduras, di!metros, peri metros,.. . Caracteres fisiológicos, por e%emplo: efecto de una misma dosis de un f!rmaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por e%emplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de e#amen. Caracteres psicológicos, por e%emplo: coeficiente intelectual, Ogrado de adaptación a un medio,P
De,-(--/(.O Se denomina estadística a cualquier función de las variables aleatorias que constituyen la muestra. Y
= H & X " , X ,..., X n '
Hna estadística es una variable aleatoria , cuyo valor es el = H & x" , x ,..., xn ' nBmero real . -l t)rmino estadística se usa para referirse tanto a la función de la muestra, como al valor de esta función. -n general para cada par!metro poblacional hay una estadística correspondiente a calcularse a partir de la muestra. $lgunas características importantes y sus valores calculados a partir de una muestra aleatoria son: " n " n X = X i x = xi n i =" n i =" a ' La media muestral , con valor
∑
!
b ' La varianza muestral
=
" n
∑
n
∑( X i ="
− X )
s , con valor
!
c ' La desviación est!ndar muestral
i
=
!
9
=
" n
n
∑ ( x − x) i ="
i
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Estadística Aplicada P o P =
" n
n
∑ X i =n
i
d ' La proporción muestral &porcenta%e de )#itos en la muestra' , X i : " &", p ' donde &el par!metro p es el porcenta%e de )#itos de la población'. X P = X : "& n, p ' n
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Y PROPORCIÓN
De,-(--/(.O Se denomina distribución muestral de una estadística a su distribución de probabilidad
!.1.1
D-+)--/( me+)*l 0e l* me0-*
Teoem*.O Sea
X
X " , X ,..., X n
, una muestra aleatoria de tamaEo n escogida de una µ σ X población f&#' con media y con varianza . Si es la media muestral, entonces, # ( X )
= µ
a' $ar ( X )
=
σ
n b ' c ' para n suficientemente grande , la variable aleatoria , X − µ Z = σ F n
N &,"'
NOTAS.
4
.
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Estadística Aplicada N & µ , σ F n'
X
a ' La apro#imación de a la normal si la población es discreta o continua.
es buena si
n ≥ ;
, sin importar
N & µ , σ '
b ' Si la muestra aleatoria es escogida de una población normal , entonces, la N & µ , σ F n' X distribución de es e#actamente normal , para cualquier tamaEo de n ≥ muestra, $ar ( X )
=
σ
n
c ' La varianza de la media: es v!lida, si el muestreo es con o sin reemplazo en una población infinita, o es con reemplazo en una población finita de tamaEo +. Si el muestreo es sin reemplazo en una población finita de tamaEo +, entonces, la X varianza de la distribución de es: σ N − n σ
X
=
n
N − "÷
−n N − "
N
-l coeficiente
se denomina factor de corrección para población finita. N → +∞ Kbservar que cuando el factor de corrección tiende a uno. La desviación est!ndar de una estadística es conocida como error est!ndar.
Ejemplo '1 La altura media de 2 alumnos de un plantel de secundaria es de ". metros y su desviación típica es de . metros. (eterminar la probabilidad de que en una muestra de ;0 alumnos, la media sea superior a ".0 metros.
Sol-/(. P ( X > ".0 )
= 5
z =
".0 − ".: .: F ;0
= .2
z = .2 → % ( .28"4 ) P = .: − .28"4 = .4 = .4C
Ejemplo '2 Se tiene para la venta un lote de " pollos, con un peso promedio de ;. ?g y una desviación est!ndar de ."4 ?g. 3Cu!l es la probabilidad de que en una muestra aleatoria, " pollos de esta población, pesen entre ;.; y ;.0 ?g5 Solución.
8
UPN µ
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= ;.:
z =
, σ = ."4 , n = " , P ( ;.:; < X < ;.:0)
X − µ σ F
n
=
;.:0 − ;.: ."4 F "
=5
= ;.;;
z = ;.;; → % ( .2880) z =
;.:; − ;.: ."4 F "
= ".00
z = ".00 → % ( .2:":)
P ( ;.:; < X < ;.:0 )
= .2880 − .2:": = .24" = 2.4"C
-ntonces
Ejemplo '!: Hna empresa el)ctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye apro#imadamente en forma normal, con media de 4 horas y desviación est!ndar de 2 horas. -ncuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de "0 focos tenga una vida promedio de menos de 99 horas. !olución&
#ste valor se busca en la tabla de z
La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de "0 focos sea menor a 99 horas es de .0.
Ejemplo '4: Las estaturas de " estudiantes est!n distribuidas apro#imadamente en forma normal con una media de "92. centímetros y una desviación est!ndar de 0.8
"
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centímetros. Si se e#traen muestras aleatorias de tamaEo sin reemplazo de esta población, determine: a. -l nBmero de las medias muestrales que caen entre "9. y "9.4 centímetros. b. -l nBmero de medias muestrales que caen por deba%o de "9 centímetros. !olución&
Como se puede observar en este e%ercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendr! que agregar el factor de corrección. Se proceder! a calcular el denominador de Q para sólo sustituirlo en cada inciso.
a.
&.909'&'/" medias muestrales
b.
""
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&.;;0'&'/ 9 medias muestrales
Eje--o+ pope+)o+. "'. Las estaturas de los estudiantes de la Hniversidad *rivada del +orte se distribuyen normalmente con media de "9 centímetros y desviación típica de " centímetros. Si se toma una muestra de 4" estudiantes, 3Cu!l es la probabilidad de que tengan una estatura superior a "9 centímetros5 '. -n una población normal, con media 9," y desviación est!ndar ;,", encuentre la probabilidad de que en una muestra de 8 observaciones, la media sea menor que 9",9. ;'. -n un banco de ahorros, la cuenta media es de A "8; con una desviación est!ndar de A "4. 3cu!l es la probabilidad de que un grupo de 2 cuentas, elegidas al azar, tenga un depósito medio de A "0 o m!s5 2'. -n una cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón est!n distribuidos normalmente con una media de A "0 y una desviación est!ndar de A ". 3Cu!l es la probabilidad de que una muestra representativa de mineros tenga un promedio diario inferior a A "9.
!.1.2
D-+)--/( me+)*l 0e l* popo-/(
X " , X ,..., X n
Sea
una muestra aleatoria de tamaEo n e#traída de la población de " &", p '
Mernoulli X + X P = "
, donde p es el porcenta%e de )#itos en la población y sea + ... + X n X n
=
n X
= X " + X + ... + X n
la proporción de )#itos en la muestra , siendo , "& n, p' binomial , entonces , " X " µ = # & P ' = # ÷ = # & X ' = &np ' = p p n n n a' " p&" − p' X " σ = $ & P ' = $ ÷ = $ & X ' = [ np&" − p' ] = p n n n n b ' c ' Si n es suficientemente grande , entonces la variable aleatoria P − p Z = p &" − p ' F n N &,"'
una variable
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No)*+: p&" − p'
=
σ
p
n P "'. -l error de es : '. Si la población es finita de tamaEo + y el muestreo es sin reposición el error est!ndar &desviación est!ndar de la hipergeometrica' es : σ
p
=
p&" − p'
−n N − "
N
n
−n N − "
N
Kbservar que si + es grande con respecto a n el factor de corrección apro#ima a la unidad. n ≥ ; ;'. Si n es suficientemente grande ,
p& P ≤ c ' ≅ p Z ≤
se
c − p
p
σ
sin embargo apro#imaciones satisfactorias se obtienen si se introduce el factor " n de corrección por continuidad . Luego, c + " − p n÷ p& P ≤ c' ≅ p Z ≤
σ
p
2'. Kbservar que las dos e#presiones de Q X − np P− p Z = = np&" − p ' p &" − p ' donde 7 es binomial y N &,"' distribución .
P
es el porcenta%e de )#itos en la muestra, tiene
Ejemplo+: 1. Se tiene que el 2 de las piezas producidas por cierta maquina son defectuosas, 3Cu!l es la probabilidad de que un grupo de piezas, el ; o m!s sean defectuosas5 Solución. µ p
= p = .2 ,
= P
σ
P' n
=
PR = p = .;
( .2 ) ( .80 )
= ."2 P ( p ≥ .;)
Se desea determinar la probabilidad
";
UPN
Estadística Aplicada z =
p − µ p P'
=
n
.; − .2
( .2 ) ( .80 )
= −.9"
z = −.9" → % ( .0") p = .0" + .: = .90"
-ntonces
P ( p ≥ .;)
= .90" = 90."C
2. Se desea estudiar una muestra de 28 personas para saber la proporción de las mayores de 2 aEosJ sabiendo que la proporción en la población es .2.3Cual es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor de .5 Solución. n = 28 , P = .2 , P ( p < .: ) z =
p − µ p P' n
=
.: − .2
( .2 ) ( .0 )
=5
= ".2;
28
z = ".2; → % ( .2;0)
P = .: + .2;0 = .8;0
-ntonces
P ( p < .: )
= .8;0 = 8.;0C
PP !. 20 de los sindicatos del país est!n en contra de comerciar con china continentalJ 3Cu!l es la probabilidad de que una encuesta a " sindicatos muestre que m!s del tengan la misma posición5 4. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad es .2. 3Cu!l es la probabilidad de que en una muestra de " pacientes seleccionados de una población de " que sufren la enfermedad, m!s del ; sobrevivan5 ". Se ha determinado que el 0 de los estudiantes universitarios de Lima prefieren los cuadernos marca profesional. 35cu!l es la probabilidad de que en una muestra de " universitarios de dicha ciudad, encontremos que: a ' Como m!#imo el 04 sean usuarios de ese tipo de cuaderno5 "2
UPN
Estadística Aplicada
b ' -#actamente 00 sean usuarios &utilizar medio punto de porcenta%e para los Limites'5
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DI9ERENCIA DE DOS MEDIAS D-+)--/( 0e 0-,ee(-*+ e()e 0o+ me0-*+ me+)*le+ Se tienen dos poblaciones independientes identificadas la primera por 7 y la µ x µ N" N segunda por , de tamaEo , cuyas medias se simbolizan por ,y σ x σ . sus desviaciones típicas son Se obtiene un nBmero &D' de pares de muestras. Las medias muestrales de la primera población se identifican por X " J X J....J X (
Y " J Y J....J Y (
. las muestras de la segunda variable por . La media de las diferencias de todos los pares o medias muestrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblacionales: µ
x −
= µ x − µ
La desviación típica de las diferencias entre los pares de medias muestrales se simboliza por:
σ
x −
=
σ x
n"
+
σ
n
Suponiendo que la distribución de diferencias entre las medias muestrales tenga un comportamiento similar a la distribución normal, la variante estadística estar! dada por:
Z =
( x − ) − µ −
x
σ
x −
Z =
( x − ) − ( µ − µ ) x
σ x
n"
+
σ
n
-ntonces Se puede aplicar esta distribución cuando no se conoce n las varianzas σ x σ poblacionales , las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muestrales s x s n" n siempre y cuando que sean mayores que ;. $lgunos autores n" + n > ; consideran si . Siendo su fórmula:
"
UPN
Estadística Aplicada
Z =
( x − ) − ( µ − µ ) x
s x n"
s
+
n
Ejemplo '1: Se tienen dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la segunda población es .0 menor que la de la primeraJ si se obtienen muestras de tamaEo "" y " y si las respectivas desviaciones típicas poblacionales son " y 4, se pide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre ambas medias muestrales sea superior a " en valor absoluto. Solución. µ x − µ = .0: , n" = " , n = " , σ x = ", σ = 4 P ( x −
> ")
Se pide -ntonces
σ x −
z =
z =
=
σ x
n"
+
σ
n
"22
=
"
+
02 "
= ".2
( x − ) − ( µ − µ ) x
σ x −
" − .0: ".2
= .:
, z =
z = .: → % ( .849)
−" − .0: ".2
= −"."4
, z = − "."4 → % ( .;4")
P = " − [ .849 + .;4"]
= .:;
-ntonces
Ejemplo 2: -n un estudio para comparar los pesos promedio de niEos y niEas de se#to grado en una escuela primaria se usar! una muestra aleatoria de niEos y otra de niEas. Se sabe que tanto para niEos como para niEas los pesos siguen una distribución normal. -l promedio de los pesos de todos los niEos de se#to grado de esa escuela es de " libras y su desviación est!ndar es de "2."2, mientras que el promedio de los pesos de todas las niEas del se#to grado de esa escuela es de 4 libras y su desviación est!ndar es de ".29 libras. Si
representa el
promedio de los pesos de niEos y es el promedio de los pesos de una muestra de niEas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los niEos sea al menos libras m!s grande que el de las niEas. !olución&
"0
UPN
Estadística Aplicada (atos: "
/ " libras
/ 4 libras
"
/ "2."2 libras
/ ".29 libras
n" / niEos n / niEas /5
*or lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niEos sea al menos libras m!s grande que el de la muestra de las niEas es ."0.
-ntonces: p x % − x "
> = P [ z > ".:] = " − P [ z ≤ ".:] = " − Φ ( ".: ) = " − .4822 = .":0
Ejemplo '!: Hno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compaEías. Los tubos de la compaEía $ tienen una vida media de 9. aEos con una desviación est!ndar de .4 aEos, mientras que los de la M tienen una vida media de 0.9 aEos con una desviación est!ndar de .9. (etermine la "9
UPN
Estadística Aplicada probabilidad de que una muestra aleatoria de ;2 tubos de la compaEía $ tenga una vida promedio de al menos un aEo m!s que la de una muestra aleatoria de 2 tubos de la compaEía M. !olución&
(atos: $
M
/ 9. aEos
/ 0.9 aEos
$
/ .4 aEos
M
/ .9 aEos
n$ / ;2 tubos nM / 2 tubos /5
-ntonces
x % − x " − ( µ − µ ) ( ) " 9. 0.9 − − % " ( ) p x % − x " > " = p > σ % σ " .4 ) .9 ) ( ( + + n % n" ;2 2
= P [ z > .42] = " − P [ z ≤ .42] = "− Φ ( .42) = "− .8899 = .; Ejemplo '4:
"4
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Estadística Aplicada
Se prueba el rendimiento en ?mFL de tipos de gasolina, encontr!ndose una desviación est!ndar de ".;?mFL para la primera gasolina y una desviación est!ndar de ".;9?mFL para la segunda gasolinaJ se prueba la primera gasolina en ; autos y la segunda en 2 autos. a. 3Cu!l es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de .2?mFL que la segunda gasolina5 b. 3Cu!l es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre .0 y .4;?mFL a favor de la gasolina "5. !olución&
-n este e%ercicio no se cuenta con los par!metros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondr!n que son iguales. (atos: "
/ ".; TmFLto
/ ".;9 TmFLto
n" / ; autos n / 2 autos a.
b.
/5
5
"8
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Estadística Aplicada
La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre .0 y .4; TmFLto a favor de la gasolina " es de .""9.
Eje--o+ pope+)o+ 1. Se obtiene una muestra aleatoria de " elementos de una población normal, que tiene media y desviación est!ndar 4. Luego se saca otra muestra aleatoria de 2 elementos de una población normal que tiene media 2 y desviación est!ndar ". -ncontrar la probabilidad de que : * la media de la primera muestra e#ceda a la de la segunda en 4 o m!s. $mbas medias difieran, en valor absoluto, en " o m!s. 2. -n un restaurante, el consumo medio por desayuno es de A "84, con una desviación est!ndar de A ". -n un segundo restaurante las correspondientes cifras son A "8 y A". Si se eligen al azar 4 boletas de pago del primer restaurante y una muestra aleatoria de 0 del segundo, 3Cu!l es la probabilidad de que la diferencia entre los consumos medios de ambas muestras sea mayor que A" en valor absoluto5 !. (os marcas, $ y M de tabletas anti!cidas efervescentes registran el mismo promedio de disolución en agua, con desviación est!ndar de " segundos para la marca $ y 2 segundos para M. Suponiendo que el tiempo de disolución este normalmente distribuido, 3Cu!l es la probabilidad de que, con una muestra de ;0 tabletas de cada marca, las tabletas M registren un promedio de tiempo de disolución, cuando menos segundos m!s r!pido de $5 4. (e cada una de dos poblaciones normales e independientes con iguales medias y desviaciones est!ndar de 0.2 y 9., se e#traen muestras de 02 elementos. -ncontrar la probabilidad de que la diferencia entre las medias de las muestras e#ceda de .0 en valor absoluto.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DI9ERENCIA DE DOS PROPORCIONES I.
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Estadística Aplicada N" N
-n el caso de dos poblaciones independientes de tamaEo , distribuidas P" P binomialmente, con par!metros, medias proporcionales &tambi)n se pueden µ P µ P σ P σ P " " representar las medias por ' y desviaciones proporcionales , σ P
"
=
P' " "
σ P
=
P '
siendo: , el error est!ndar de las diferencias entre las dos medias proporcionales estar! dada por : σ P − P "
P' " "
=
+
n"
P ' n Cuando son valores poblacionales.
n" n
Cuando
s P" − P
=
corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a ;.
p")" n"
+
p ) n
La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simbolizaJ µ P − µP = µ P − P = P" − P " " indistintamente por: La variante estadística Q, estar! dada en la misma forma que fue representada para diferencias entre dos medias muestrales: ( p" − p ) − ( µ P" − µ P ) Z = P' P' " " n"
+
n
Ejemplo+: 1. Consideremos dos m!quinas que producen un determinado articuloJ la primera produce por t)rmino medio un "2 de artículos defectuosos, en tanto que otra, produce el de artículos defectuososJ si se obtienen muestras de unidades en la primera y " unidades en la segunda, 3Cu!l es la probabilidad de que difiera $ de M en 4 o m!s5 Solución. P ( p" − p ≥ .4 ) = 5 , n" = , n = " , p" = "2C , p = C (atos: µ p − µ p = ."2 − . = −.0 " z =
( p" − p ) − ( µ p − µ p "
P' " " n"
+
P'
)
=
.4 − ( −.0 )
( ."2 ) ( .40 )
n
z = .84 → % ( .2840)
-ntonces
"
+
( . ) ( .4 ) "
= .84
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P ( p" − p
≥ .4) = .: − .2840 = ."2 = ."2C
2. (os f!bricas $ y M, producen artículos similares. La producción de $ contiene 9 de defectuosos, y la de M contiene, . Si se e#trae una muestra aleatoria de de cada una de las producciones de las f!bricas, 3Cu!l es la probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia en el nBmero de los defectuosos del " o m!s5 Solución (atos: P ( p" − p z =
≥ ." ) = 5
( p" − p ) − ( µ p − µ p "
P' " " n"
z =
,
+
−." − . .9:
P'
n"
)
= ,
=
n
n
= ,
p" = .9 , p
." − ( . )
( .9 ) ( .8;)
+
( .:) ( .8:)
= .:
= −".;;
= −2
Luego z = −".;; → % ( .24) z = −2 → % ( .: )
-ntonces P = .: + .24 = .84 P ( p" − p
≥ ." ) = 8.4C
!. Se sabe que cierta marca de crema para las manos satisface el 0 del mercado. 3Cu!l es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de usuarios cada una, muestre una diferencia mayor del " en las proporciones del uso de la crema5 4. Suponga que una maquina $ produce, por termino medio, un " de piezas defectuosas, en tanto que la maquina M, el "4 de piezas con defectos. Se desea hallar la probabilidad de que el promedio de defectuosas de una muestra de 0 unidades, tomada de la maquina $, no difiera en m!s de un 4 de otra muestra de 2 unidades, de la maquina M. ". Ciertas encuestas de televidentes, revelan que el de los hombres y ;; de las mu%eres de clase media, ven la telenovela de las "":; de la maEana. 3Cu!l es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias de " hombres y " mu%eres respectivamente, pertenecientes a dicho estrato social, se encuentre que la proporción de hombres que ha visto el programa sea igual o mayor que la proporción de mu%eres5
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4. ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
1 Las estaturas de los estudiantes de la Hniversidad *rivada del +orte se distribuyen normalmente con media de "9 centímetros y desviación típica de " centímetros. Si se toma una muestra de 4" estudiantes, 3Cu!l es la probabilidad de que tengan una estatura superior a "9 centímetros5
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20 de los sindicatos del país est!n en contra de comerciar con china continentalJ 3Cu!l es la probabilidad de que una encuesta a " sindicatos muestre que m!s del tengan la misma posición5
! Hn especialista en gen)tica ha detectado que el 0 de los hombres y el 2 de las mu%eres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneoJ si se toman muestras de " hombres y " mu%eres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de Denos de .; a favor de los hombres. a. Denos de .; a favor de los hombres. b. -ntre ." y .2 a favor de los hombres. Los hombres y mu%eres adultos radicados en una ciudad grande 4 del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el " de los hombres adultos est!n a favor de la pena de muerte, mientras que sólo " de las mu%eres adultas lo est!n. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de " hombres y " mu%eres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcenta%e de hombres a favor sea al menos ; mayor que el de las mu%eres.
" -n una población normal, con media 9," y desviación est!ndar ;,", encuentre la probabilidad de que en una muestra de 8 observaciones, la media sea menor que 9",9.
#
Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de libras y una varianza de , lbs. Si se selecciona una muestra aleatoria de " cuerdasJ determine la probabilidad de que en esa muestra La resistencia media encontrada sea de por lo menos "84 libras.
$ Hno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compaEías. Los tubos de la compaEía $ tienen una vida media de 9. aEos con una desviación est!ndar de .4 aEos, mientras que los de la M tienen una vida media de 0.9 aEos con una desviación est!ndar de .9. (etermine la probabilidad de que una muestra aleatoria de ;2 tubos de la compaEía $ tenga una vida promedio de al menos un aEo m!s que la de una muestra aleatoria de 2 tubos de la compaEía M. ;
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% Se prueba el rendimiento en ?mFL de tipos de gasolina, encontr!ndose una desviación est!ndar de ".;?mFL para la primera gasolina y una desviación est!ndar de ".;9?mFL para la segunda gasolinaJ se prueba la primera gasolina en ; autos y la segunda en 2 autos. 3Cu!l es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de .2?mFL que la segunda gasolina5
& Consideremos dos m!quinas que producen un determinado articuloJ la primera produce por t)rmino medio un "2 de artículos defectuosos, en tanto que otra, produce el de artículos defectuososJ si se tiene muestras de unidades en la primera y " unidades en la segunda, 3Cu!l es la probabilidad de que difiera $ de M en 4 o m!s5
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