POLÍMEROS DE TAYLOR TAYLOR Y APLICACIONES INTRODUCCIÓN Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas que se estudian en Análisis. Son Análisis. Son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos por que sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra función otra función que pueda aproximarse por polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, las cuales no pueden evaluarse tan fácilmente. Veremos que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que éstas, en lugar de la función original, pueden emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor el valor real de la función y la aproximación polinómica es suficientemente pequeña. Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de
Taylor , llamada así en honor del matemático ingles Brook Taylor. Brook Taylor Nace en Edmonton, Inglaterra Edmonton, Inglaterra en 1685. Fue discípulo de Newton. Continuó Newton. Continuó su obra en el campo del análisis matemático. Su Methodus Incrementorum Directo et Inversa, Inversa, la publica en Londres en 1715, donde describe su fórmula, aunque sin demostrarlo, cosa que hizo Mac-Laurin. (aunque esta fórmula era ya conocida por Gregory y Leibniz, pero no la habían publicado). Allí examinó los cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales definió como incrementos), incrementos), y presentó el desarrollo el desarrollo en serie de una función de una variable. Tales estudios no se hicieron famoso enseguida, sino que permanecieron desconocidos hasta 1772, cuando el matemático francés Joseph Louis de Lagrange, subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo del cálculo diferencial. Publicó también varios trabajos sobre perspectiva, dando el primer tratamiento general de los puntos de fuga; sobre los fenómenos de capilaridad, sobre problemas de cuerdas vibrantes y sobre centros de oscilación, a los que ya en 1708 había dado una solución. 1
ÍNDICE
ÍNDICE................................................................................................................. 2 DESARROLLO DEL TEMA ................................................................................. 3 1.- APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS ............................... 3 2.- APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN ............................................... 4 3.- FÓRMULA DE TAYLOR ................................................................................. 6 4.- APLICACIONES ............................................................................................. 7 5. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE.............................................................................................. 10 CONCLUSIONES ............................................................................................. 16 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 17 ANEXOS ........................................................................................................... 18
2
DESARROLLO DEL TEMA 1.- APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS Sean, una función f(x) y una función polinómica a.
P(x) , donde:
f(a) = P(a)
b. son n derivables en x = a y se verifica: f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a); f’’’(a) = P’’’(a);........f n(a) = P n(a).
Entonces P(x) es una aproximación local de Tenemos que f(x)-P(x) Si comparamos
x = a.
cuando
con f(x)-P(x)
(x-a); con (x-a)2; con (x-a)3;.......; con (x-a)n ; se
dice que P(x) en una aproximación de ...., de orden n, para
en f(x)
de f(x)
primer orden, de segundo orden,
si se verifica, respectivamente que:
Resumiendo: Dada una función f(x) , se dice que otra función P(x) es una aproximación local de orden n de f(x) cerca de un punto x
si = a
se cumple:
Demostración Sea h  tal que h = Observemos: 1º.- ambas funciones admiten derivada de orden n. 2º.- este límite está indeterminado de la forma (0/0) A dicho límite le podemos aplicar la regla de L’Hopital (caso 0/0), sucesivamente, por lo menos hasta el orden (n-1).
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2.- APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN
Sea f(x) una función n veces derivable en x = a; P(x) un polinomio, con aproximación local de orden n de f(x) cerca de x = a. P(x) se llama POLINOMIO DE TA YLOR de grado n de f(x) siendo P(x):
Demostración Por Hip. Sabemos que: f(a) = P(a); f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a);........f n(a) = P n(a)
Expresemos P(x) en forma de potencias de (x – a) con coeficientes indeterminados: P(x) = p0 + p1(x – a) + p2(x – a)2 + p3(x – a)3 + p4(x – a)4 +……….+pn(x – a)n (1 ) 4
Hallaremos las derivadas sucesivas de P(x): P’(x) = p1 + 2.p2(x – a) + 3.p3(x – a)2 +4.p4(x – a)3 +…………...…….+ n.pn(x – a)n –1 P’’(x) = 2.p2 + 2.3.p3(x – a) + 3.4.p4(x – a)2 + ……………….+ (n – 1).n.pn(x –
a)n – 2 P’’’(x) = 2.3.p3 + 2.3.4.p4(x – a) + ……………………..+ (n – 2).(n –1).n.pn(x-
a)n – 3 ................................................................................................................... Pn(x) = 1.2.3.4.................(n –3)(n – 2)(n – 1).n
de donde resulta:
Sustituyendo en (1) tenemos: 5
L.q.q.d Recordemos que P(x) es próximo a f(x); es decir: f(x) – P(x) ® 0 Designemos por Rn(x) la diferencia entre los valores de la función dada, f(x), y del polinomio calculado. Rn(x) = f(x) – P(x) Þ f(x) = P(x) + Rn(x). Desarrollando, tenemos que:
El término Rn(x) se conoce con el nombre de TÉRMINO COMPLEMENTARIO O RESTO.
Fórmula de Taylor Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el 3.-
intervalo cerrado [a, b]. Además, considere que ƒ(x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a,b). Tal que:
(1)
6
La ecuación (1) también se cumple sí b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a). Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en: Donde z esta entre a y b. Ésta es la conclusión del teorema del valor medio. Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:
(2)Donde z esta entre a y x. La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1)-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:
(3) Donde (4) Y
(5) Donde z esta entre a y x El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es
Donde z esta entre 0 y x. Ésta fórmula recibe el nombre de fórmula de Mac Laurin, en honor al matemático escocés Colin Mac Laurin (1698-1746).
4.- APLICACIONES Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones. 7
Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc. Después de este periodo de inactividad en el blog se me ha ocurrido publicar una entrada a propósito de un par de aplicaciones del teorema de Taylor. Supongamos que
es una función para la cual existen
polinomio de Taylor de grado para en
El resto de Taylor de orden
para
en
El
viene dado por
es la diferencia entre la función y su
polinomio de Taylor, es decir,
La condición del resto asegura
que
Suponiendo que existen
en un intervalo
proporciona las siguientes expresiones para algún
(Cauchy),
(Lagrange).
8
, el teorema de Taylor
1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor. Supongamos por ejemplo que queremos calcular
Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta
Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas. Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos
donde los restos cuando y esta expresión tiende hacia
satisfacen las condiciones Tenemos cuando
, de donde se deduce que
Se puede comprobar este resultado con Wolfram Alpha. Al teclear el código lim (sin(x)/x)^(1/x^2) as x goes to 0 se obtiene esta respuesta.
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2. La base de los logaritmos naturales es un número irracional Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que
donde
son números enteros con
Considerando el polinomio de Taylor de grado para la función exponencial
y particularizando esta expresión cuando
se obtiene
El resto de Lagrange viene dado por lo tanto
para algún
Multiplicando por
y por
resulta
Los términos que aparecen en la expresión anterior son enteros pero y esto es una contradicción.
5. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE 1. Desarrollo de la función f :
en la proximidad de
x=
0
El programa Mathematica tiene un comando llamado Series que permite obtener el desarrollo de una función f en serie de potencias en la proximidad de x = a hasta orden n. Su sintaxis es: Series[f, {var, a, n}] En primer lugar se considera una función sencilla f 1 x cos x y se obtiene el desarrollo de Mac Laurin, hasta orden 5.
10
[1]
en la que 0[ x]
6
R6
x
f VI c 6 x 6!
donde
representa el resto o cota de error
0 c x
de Lagrange que se obtiene al aproximar la función y cos x mediante un polinomio de 5º grado. Se realiza el gráfico de la función cuya fórmula es f cos x (Figura 1) con el 1
Mathematica, considerando x 8;8 . Para trabajar más cómodamente se define la
función a utilizar mediante la forma genérica f [var_] = , así es fácil invocarla cuando se la precise
1
0.5
-7.5
-5
-2.5
2.5
-0.5
-1
Figura 1. y cos x
11
5
7.5
Nótese que la Figura 1 no está en la misma escala en ambos ejes, pero de este modo se aprecian mejor algunas de sus características. Si se considera una aproximación de 1º orden, se obtiene el polinomio P 1 ( x) cuya gráfica (Figura 2) es de grado 0, pues f 10 0
Figura 2. y 1
Luego se obtienen las aproximaciones de 2º y 3º orden que son iguales y de grado 2, pues f 10 0 . Se grafican estos polinomios, designándolos P 2 x (Figura 3).
Figura 3. y 1
12
x
2
2
Se calculan los polinomios de 4º y 5º grado,
P 4 x ,
que son iguales pues
gráfica se muestra en la Figura 4.
Figura 4. y 1
13
x
2
2
x
4
24
v
f
0 0 . Su
2. Visualización simultánea de funciones Para visualizar dos o más gráficos en el mismo sistema de ejes cartesianos, se utiliza el comando Show del Mathematica. La gráfica de la función original y su aproximación de grado 2, se presentan en la Figura 5.
Figura 5. Gráfico de la función y su aproximación de grado 2
En la Figura 6 están representadas todas las aproximaciones obtenidas, junto con la función original.
4
2
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
-2
Figura 6. Gráfico de la función y sus aproximaciones
14
7.5
Si se desea dibujar todas las aproximaciones en una matriz de gráficos para su mejor visualización, se utiliza la opción GraphicsArray, combinada con Show (Figura 7).
Figura 7. Diferentes aproximaciones de la función f 1 x cos x
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CONCLUSIONES El polinomio de Taylor es una serie que permite aproximar los valores de cualquier función a través de las derivadas de ésta en torno a un punto determinado (en este caso sería en torno a 31°, los cuales deben ser escritos en radianes). Transformando 31° a radianes, nos queda: ángulo en radianes=31*pi/180≈0,54 rad. En algunas funciones, en las cuales la derivada n-ésima es conocida y existe, (como por ejemplo las derivadas de funciones trigonométricas), es posible escribir el polinomio de Taylor como una sumatoria hasta infinito. Si tomamos el límite cuando la sumatoria tiende a infinito, obtenemos la función deseada. Es necesario señalar que esta sumatoria hasta infinito ES IGUAL a la función original (en tu caso, el seno). El polinomio de Taylor se basa en las aproximaciones. Al tomar la tangente de una función en torno a un punto x0, se dice que esa es una aproximación de primer orden. Una parábola tangente a un punto x0 sería una aproximación de segundo orden, y así sucesivamente El polinomio de Tylor tiene el siguiente aspecto: f(x)=f(x0)+(f'(x0)(x-x0)^1)/1!+(f''(x0…
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BIBLIOGRAFÍA
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ANEXOS
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