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POLINOMIOS ( I )
Grado Absoluto: es la suma exponentes de sus variables.
de
los
Grado Relativo: es el exponente de la variable en referencia.
VALOR NUMÉRICO (V.N.) Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión algebraica por valores determinados. Ejemplo : 1. P(X,Y,Z) = X2 + 3YZ para : x = 5; y = -2; z = 3 Reemplazando: P(5; -2; 3) = 52 3 ( 2)(3) 7
Para este caso, se resuelve la ecuación : x + 7 = 5; de donde : x = -2. Al reemplazar : 3 ( 2 7) 2(2) 5( 2)1 16 10 1 P (5 ) 27 P
PROPIEDADES : para un polinomio P(x). 1. Suma de coeficientes = P(1). 2. Término independiente = P(0).
POLINOMIO Es toda expresión algebraica racional y entera. Ejemplo : 2 P( ;x y) 3 x 7 y5 polinomio (trinomio). P(x;y;z) =
2 x
2y
z no
GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS Ó MÁS TÉRMINOS: Grado Absoluto: es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios.
Grado Relativo: es el mayor exponente de la variable en referencia.
2. Determinar P(5), si :
Ejemplo: P(X,Y) = 2a3x4y5 G. A. = 5 + 4 G.R. (x) = 4 G.R. (y) = 5
es polinomio.
GRADOS DE UN MONOMIO :
Ejemplo:
P(x;y)
mayor mayor
3
4 5
2x y 7x y
Grados
4
9
6 2
6x y 8
G.A. = 9 G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 5
POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio Homogéneo: cuando términos son de igual grado absoluto.
sus
Ejemplo : P(x ; y) 2x 4 y 3 x 5 y 2 5x 6 y
7
7
7
Homogéneo de grado 7. 2. Polinomio Completo : cuando tiene todos los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido. Ejemplo:
"x" tiene exponente "1"
P(x; y) 2x y
3
2
7x y
"x" tiene exponente cero
4
5y
IV. El coeficiente del término cuadrático es 3. V. Suma de coeficientes es 12. ¿Cuántos enunciados son verdaderos?
Completo con respecto a "x" .
a) 5 d) 2
Propiedad: para un polinomio completo
b) 4 e) 1
c) 3
P(x).
3.
# términos = Grado + 1
3. Polinomio Ordenado: es aquel cuyos exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente).
a) 22 d) -13 4.
Ejemplo: aumenta
P(x; y)
4
4x y
3
7
6x y
9
5xy
20
tiene valor numérico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.
a) 2 d) 7 2.
7.
2nn
k nk
x
si es de grado tres.
b) k e) 54
c) 216
Sea: P(x) = 3x – 5
b) 18 e) 21
8.
c) 29
Sea Q(x) = 2x – 1. Hallar Q(3x – 2) a) 1 d) 4
c) 4
Sea el polinomio: P(x) = 12x7 – 3x4 + 3x2 – x + 1 I. El polinomio es de grado 12. II. El término independiente es 1 III. El coeficiente del término lineal es 1
a) 17 d) 20
5a2 x15 4 y16 b) 3 e) 9
c) 18
Calcular: E P(6) P(P(3))
Propiedad: todo polinomio idénticamente nulo
S(y)
b) 16 e) 4
a) 2 d) 27 6.
Hallar el grado de:
Hallar el coeficiente de: M(x) = 2nn-1 xn-2, si es de primer grado.
S(x)
será idénticamente nulo, si :
1.
c) 13
5. Hallar el coeficiente de:
Es aquel polinomio cuyos términos presentan coeficientes iguales a cero, como por ejemplo : 3 2 P ( x ) ax bx c
a = 0; b = 0; c = 0.
b) -22 e) 1
a) 36 d) 24
Ordenado ascendentemente respecto a "y".
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Q(x) = ax17 + bx7(2a-1)x2 – (3a+1)x – 4a cuyo coeficiente del término cuadrático es 7. Hallar el coeficiente de su término lineal.
Sea: P(x)
b) 2 e) 5
c) 3
5x 2
P(x 4) P(x) Evaluar: 4
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
9.
Sea: H(z) = 3z+2 Resolver para x: H(x-5) . H(x+3) = 27x-4 a) 14 d) 7
P(x) = 3x2a-5 + (a-1)x2a-3 + a2x2a-4 si es de quinto grado.
b) 8 e) 3
a) 15 d) 21
c) 16
10. Sea: A(x-2) = 3x – 4. Hallar A(3)
b) 18 e) 24
c) 22
17. Si: (GA(P) = a GA(Q) = b, sabiendo: GA(P2 Q) = 11 GA (Q P) = b – 3 .
a) 5 d) 10
b) 15 e) 14
c) 11
Calcular: “2b – a”
a) 1 d) 7
11. Si: P(x) = x-2; Calcular:
b) 3 e) 9
c) 5
P(3 + P (3 + P (3+….. 15 veces P)
a) 18 d) 15
b) 17 e) 14
c) 16
12. Sea H(2x-3)= x+1. Hallar H(6x + 1) a) 3x + 2 d) 3x
b) 3x - 1 e) 0
18. Si: GA(P2 . Q2) = 86 GA (P Q) = 1 Siendo P(x) Q(x) dos polinomios desconocidos. Calcular GA(P + Q) a) 22 d) 13
c) 3x + 3
13. La siguiente adición de monomios resulta 3x10m. ab a
b
x
c
b
x
a c
1.
c
x
A(x, y, z) 3a
b a c A(x) a c b x x x
b) 26 e) 29
a) 13 d) 15
c) 27 2.
14. Si todos los términos se reducen a un solo término, entonces indicar el coeficiente final de la adición: ax
a) 23 d) 31
ca
bx
cx
c
c
Hallar el grado absoluto de: 2
9
ab
c) 12
POLINOMIOS ( II )
Entonces, señalar el grado de:
a) 25 d) 28
b) 11 e) 14
16 3 3 4 2 0,53
x x y
b) 6 e) 8
z
c) 10
Dado el monomio: M(x;y)
42(2)b x2b 3ay3a b
Se tiene: GA(M) = 8; GR(x) = 7 Señalar su coeficiente.
a
x(ab)
b) 27 e) 33
a) 4 d) 1
c) 29 3.
b) 3 e) -2
c) 2
Dado el monomio: (a b)x 2a 2 y 3b
15. Si P(x-1) = x + 1, P(Q(x)) = 4x + 5. Hallar: Q(3) a) 15 b) 12 c) 9 d) 6 e) 3
Donde: coef. (M) = GR(x) GA (M) = 27
16. Hallar la suma de coeficientes del polinomio:
a) 5 d) 35
M(x;y)
Determinar: “ab”
b) 7 e) 42
c) 12
Indicar el coeficiente del monomio: M(x;y) = 2a(2b)2a x7b-ay4b+3a Donde: GA(M) = 15; GR(x) = 5 a) 4 d) 128 4.
b) 16 e) 45
Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a “y”.
c) 64
a) 8 d) 6
Sea el polinomio: 4
R(x, y) 3a2x5y4z3 2 3b x6y2z5 3a4x7yz6
Hallar el producto de su grado absoluto con el grado relativo a “x”.
a) 126 d) 36 5.
b) 98 e) 63
c) 45
xa1yb
xa2yb2
6.
b) 4 e) 7
de
grado
xa3ybz4
absoluto
relativo a “x” es seis. b”.
a) 2 d) 5 7.
c) 5
Dado el polinomio: P(x, y) 5xa2yb5z6
b) 3 e) 7
7xa1yb6z3
17
y
grado
Indique “a –
c) 4
En el polinomio: P(x, y) xm1yn5
mxm3yn8
2nxm2yn3
halle la suma de sus coeficientes si: Grx = 7 y G.A. = 13 a) 17 d) 25 8.
9.
b) 24 e) 30
10. Encontrar el valor de “n” (n 2) si el producto de los grados relativos de “x” e “y” es 28. P(x, y)
a) 2 d) 5
xn 1yn
n
(xy)3 yn
b) 3 e) 6
xa3yb1
De donde: GR(x) = 10; GA(P) = 13; GR(y) = ? a) 3 d) 6
c) 5
n
xn
c) 4
11. Determine el grado absoluto del siguiente polinomio:
En el siguiente polinomio:
P(x; y) xayb1
b) 4 e) 7
c) 18
Dado el polinomio: P(x,y) = xa+2yb-1+xa+6yb+xa+4yb+4 De donde: GA(P) = 16 GR(x) = 10 Calcular GR(y) a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 Si el grado absoluto de: P(x,y) = x2ayb+5-3xayb+2+xayb
P(x, y)
a 1 a 4 3 x y
a 1 a5 6 x y
Siendo: 9 < GR(x) < 15 a) 26 b) 27 d) 29 e) 30
xa 2ya 3
c) 28
12. El siguiente polinomio: P(x,y) = xa-byb-6+xa-2byb-4+xa-3byb-2 posee un término independiente de “x” y otro independiente de “y”.
Calcular entonces la suma de los grados relativos de ambas variables. a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 16 13. En el polinomio homogéneo: P(x,y) = 2ax2a-b – b3xbya+2b – xa-by8 Hallar la suma de sus coeficientes a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9 14. Si el polinomio: P(x) = (a + b – 2)x3 + (a+c – 3)x + (b+c – 5) se anula para cualquier valor de “x” determinar: a – b + c a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 15. Se tiene p(x,y) 0; (a – 4)xy2 – (20 – b)x2y + ax2y 0 Determinar: ab a) 4 b) 8 d) 64 e) 72
c) 16
