GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________
En matemática, generalmente usamos símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto
P(x;y) = 4x2y7
y Q(x;y) = –2x2y7
P(x;y) = 5x2y3
y
M(x;y) = –
la notación x ∈ ℜ, signif significa ica que x es un número número real, aunque no especifique un número real en particular. Un símb símbol olo o lite litera rall que que se usa usa para para repr repres esen enta tar r cual cualqu quie ierr elem elemen ento to de un conj conjun unto to dado dado,, se llam llama a variable. Las últimas letras del alfabeto tales como x, y, z, w, ....., se emplean a menudo como variables. En cambio, el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de un conjunto numérico se llama constante. En una una expr expres esió ión n mate matemá máti tica ca las las vari variab able les s y constantes se diferencian al usar la notación matemática, lo cual consiste en indicar los símbolos que representan a las variables dentro de un paréntesis.
y2
E (x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3
→
Ejemplos:
P(x;y) = 5x3y7 R(x;z) = 2x2z + 5z5 F(x) = 3 – 5x +
3 x
2
→
(monomio)
→
(binomio)
→
(trinomio)
Ejemplo:
Es un conj conjun unto to de letr letras as y núm números eros dond donde e las las variab variables les están están relaci relaciona onadas das con cualqu cualquier iera a de las 6
GR(x) = GR(y) = GR(z) =
operaciones aritméticas (+ ; – ; ÷ ; × ; ()n;
n
); en un
número limitado de veces.
5 3 5 xyz
B. Grad Grado o Abso Absolu luto to:: Es la suma de los grados relativos. Ejemplo: Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3 GA =
Ejemplos:
E(x,y) =
y2
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.
Sea P(x;y;z) =
x3 – 2x +
2x3
POLINOMIO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
=
N(x) =
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.
las las variables son: las las co constantes so son:
E(x)
y
→
GRADO DE UN MONOMIO A. Grad Grado o Rela Relati tivo vo::
Ejemplo:
* *
4x 3
S(x;y) = 2xy7
→
3 x
GRADO DE UN POLINOMIO A. Grad Grado o Rela Relati tivo vo::
2xy + 3 x y −1
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término. Ejemplo : Sea P(x,y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7 GR(x) = GR(y) =
Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción.
B.
Q(x) P(x) R(x) G(x)
= = = =
4
x – sen y x2 + x2 + sen x 1 + x + x2 + x3 ……….. x2 + 2x
Ejemplo:
Es el mayor de los grados absolutos de cada término. Ejemplo: Si F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4
Exponentes
M(x,y) = –4 x 5 y3
Nota:
Variables Coeficiente
1.
P(x) = 0 ; Polinomio idénticamente nulo , no está definido su grado.
2.
Polinomio constante constante. Por P(x) = K ; (K ( K ≠ 0). Polinomio Por
3.
definición su grado es cero. Si todos los términos son del mismo grado, al polinomio se le llama Polinomio homogéneo .
TÉRMINOS SEMEJANTES Dos Dos o más más térm términ inos os será serán n seme semejan jante tes s si a los los exponentes de las respectivas variables son iguales. Ejemplos: - 1 –
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Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 4.
Si la expresión:
Ejemplo: 1 m−
P(x;y) = 5x2y5 + 6x7 + 7xy6 →
xm
2 −2 x
POLINOMIO EN UNA VARIABLE Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general:
1 m x ( −2 )
2m 2 1 2m −
−2 16
.
20
1 x−
es de octavo grado con respecto a “x”, calcular el valor de “m”.
P(x) = b0 xn + b1 xn–1 + ……….. + bn–1x + bn 5. x: variable de P b0, b1, ......, bn: coeficientes b0: coeficiente principal (C. P.) bn: término independiente (T. I.)
respecto a “x” y grado absoluto 10; calcular el coeficiente del monomio. 6.
Nota: •
Si el grado de la expresión: nn
Término independiente: (T. I.) T. I. (P) = bn = P(0)
•
Si el monomio: a−5 E(x,y) = x 2 . yb−3 . z2(a−b) es de cuarto grado
2n
es 256. Calcular el valor de “n”.
7.
Sabiendo que los términos: (a+2) x2a–3 y3b–1 ; (b–5) xa+5 y2a+b+7 son semejantes. Calcular la suma de sus coeficientes.
8.
Si los términos:
Suma de coeficientes (∑ coef.) ∑ coef. (P) = b0 + b1 + ….. bn = P(1)
xn
3 5
xm+n ym–n ;
−
1 3
x13–n y1–m, son
semejantes, calcular los valores de “m” y “n”.
VALOR NUMÉRICO (V. N.) Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados.
9.
Si el polinomio: P(x,y) = 5xm+3 y2n+1 – 4xm–1 y3n+1, es homogéneo y la relación de los exponentes de x en sus dos términos, es como 3 a 1. Calcular el valor de “m + n”.
Ejemplo:
2x 2
+2 x +1
Sea P(x) =
10. Si el polinomio P(x) = 4xa–2 yb–5 + 5x3y4 + 6xm–1 yp–4 tiene un solo término, halle “m + p + a + b”
Hallar el V. N: de P(2)
11. Dado el polinomio homogéneo: 2 P(x;y) = (a2 + 1) xa 2 +2 + (a–1) x2a y a −8
1.
Después de simplificar: 9 3
17
x
x2y
. y 3
Hallar la suma de sus coeficientes.
22
x2y
; se observa que el grado absoluto
S(x;y) = 7xm+n yn + 2xm+6 yn+4
de la expresión es: 2.
E=
3.
Sabiendo que es homogéneo y además: GR(x) es menor que GR(y) en dos unidades.
Hallar el valor de “n” para que el monomio: 3 x
n −1
12. Halle el grado absoluto del polinomio;
x 2n +2
. 3
13. Si el polinomio:
sea de primer grado
x3
P(x) = (a + b – 5) x7 + (b + c – 12)4 + (c + a + 9) x3 es idénticamente nulo. Calcular a + b + c 14. Si el polinomio: P(x) = (a – 1) x3 + (b – 2) x2 + 3x + 8, es cuadrático y
Si la expresión:
mónico.
x n y m z 5n
Hallar: (a + b)
x −m y n −3 z m+2
15. Calcular el grado absoluto del polinomio:
tiene por grado relativo a “x”, 12 y por grado relativo a “y”, 10. El grado relativo a “z” es:
P(x;y) = xn–3 + x4 yn+3 – y5–n
Polinomios - 2 –
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GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ B) 4m+7
D) 2m+1
2
16. Si P(x–1) = x – 4 3.
Halle:
P(0) +P(1)
Hallar el grado de: P(x,y,z) = 3x5y7z6 A) 18 B) 15 C) 7 D) 6
E) 5
Hallar el valor de “b” para que el grado de: P(x,y) = (3abx3b+3y2) sea 20 A) 5 B) 8 C) 10 D) 3
E) 12
Dado el monomio: M(x,y) = 4mnx2m+3ny5n-m Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente A) 2 B) 4 C) 8
E) 16
P( −1) 4. 17. Calcular:
P 3
3
3
Siendo: P(x) = x40 – 3x39 + 1
5.
2
18. Si P(x) = x – 2 Calcular: P ( P (P ( −2)) ) 2000 veces
6.
Hallar el coeficiente de:
19. Sea: P(x) = 2x + 1
20.
D) 64
1 a b 3a +2b 5a −b y .2 x 5
Hallar: P(P(x))
M(x,y) =
2 Sea: P x = 3x + 1
Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. A) 4/625 C) 2/25 E) 16/25 B) 16/125 D) 8/625
halle: P(4x) 7.
21. Sean los polinomios:
Calcular el grado absoluto de: M(x,y) = 9x7y12 – 3x9y12 + 2x11y13 A) 24 B) 18 C) 19
D) 21
E) 23
Si: P (x) = x3 – 2x2 + x + 5 hallar P(1) A) 5 B) 7 C) 6
D) 9
E) 3
D) 22
E) 23
10. Siendo: G(x) = x Además: P(x) + Q(x) = 2x2 + 8 P(x) – Q(x) = 8x Calcular: G(Q(P(0))) A) 1 B) 4 C) 8 D) 3
E) 5
11. Dado el polinomio: P(x) = x3 – 5x2 + 4x + 1 Hallar: P(2) + P(–1) A) 5 B) 9 C) –25
D) –16
E) –12
12. Dado P(x) = ax2 + 2x – 1 Si: P(–2) = 7; entonces “a” vale A) 1 B) 3 C) 7
D) 2
E) 1
P(x) = 3x2 – aq(x) + 3 q(x) = x – 2 determinar “a” de manera que: P(q(3)) = 0
8.
22. Si: P(x+1) – P(x) = 3x halle: P(2) – P(0) 9. 23. Hallar el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio: 2n
24. Si la suma de los coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3 + 3) (5x7 – 3)n–2 (x8 + 3) (x4 + 1)n–20 (x5 – 5) + (3x2 – 1)n+1
es 1280 Calcular el valor de “n”.
1.
Hallar el grado de la expresión M(x) = 3a4x7y2z A) 14
2.
B) 7
C) 10
D) 11
E) N.A.
Hallar el grado de: P(x,y) = 5abxm+3 y2m+1 zm+3 A) 3m+4
C) m+3
P(Q(x)) ≡ 5x + 9 indicar Q(3) A) 19 B) 20
4
P(x–1) = (2x–3) + 4x
+ (13x3 + 3)5
Si: P(x–2) = x + 1
C) 21
13. Hallar el valor de n si el término algebraico 7xn+3 y5 zn–2 es de grado 12. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
E) N.A.
Polinomios - 3 –
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GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 14. Si el siguiente monomio 9x3 y4n zm-n tiene G.R.(y) = 16 y G.A. = 20, hallar “m . n” A) 5 B) 20 C) 12 D) 10 E) 24
x
−
x
23. Si Q(x) =
1
+
1 , calcular “E” donde:
E = Q {Q [Q(25)]} A) 0
15. Si P(x) = x2 – x + 2,
B) 5
A) 10
B) 23
C) 37
D) 58
16. Hallar “m” en: M = (1/2)n 9m x3m+2n y5m-n cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14. A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5
.y
26
+x 3
. y
mm −1 ,
se
reduce
a
A) 15
B) 75
m
=
M( x; y;z )
A) 3
n
x12
B) 5
D) 10
E) N.A.
25. En la siguiente expresión: a2 +a +1
x
.
3
2
y 2m
1−a 2 x a −a
6
−1
B) 7
C) 8
zm
.
C) 6
x
3 1+a 2a2 −2 x a −1 . x
A) 5
D) 4
E) 1
18. Hallar el valor que debe darse a “m” para que la expresión: m −1 4
C) 225
tiene el grado igual a 13, halla a.
halle el grado absoluto de la expresión:
3
E) 0
hallar: a . b . c
un
monomio.
=
D) 30
P(0) = 5, P(1) = 9, P(2) = 25
17. Si la expresión:
R
E) 1
P(x) = x3 + ax2 – bx + c
24. Si
E) 77
y
nn −1
D) 4
A = P {P [2 – P(–1)]}
calcular:
x
C) 12
26. Si P(x) = x (2 – x) + 5, calcular:
R
P ( x ) −P ( −x )
=
P( x ) + ( x A) 1
+
B) 2
5 )( x
−
5)
C) 3
D) 4x
E) x
C) 10
D) 6
E) 8
C) 2
D) 3
E) –4
D) 2
E) 17
D) 22
E) 0
m
x 5m −4
27. Calcular: A = P(x+1) + P(x-1) – 2 P(x),
sea de 6to. grado A) 20 B) 18
C) 44
D) 52
E) 60
si: P(x) = 3x2 + 2x – 4 A) 2
B) 4
19. Calcular el valor de “m – n” en el monomio: 3
P
28. P(x) = x – 1
a m +n b n +6
=
a
2/3
Q(x)= 2x – 4
1−n
.b
Halle:
si es de 2do. grado respecto a “a” y de 7mo. grado absoluto. A) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
P(x;y) = 7x
y
b–1
A) 0
B) 1
29. Se definen:
20. Si el polinomio: a+5
P(Q(P(x + 1))) – Q(P(Q(x/2 + 2)))
+
a+2
3 x
y
b+1
a+3
–x
P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
b+2
y
tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a – b A) 6 B) 2 C) 4 D) 5
Q(x) = 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6 E) 3
halle:
21. Si: P(x, y) = 3xm–2 yn–1 (x7 + y2n-3) es homogéneo y cuyo grado de homogeneidad es 16, hallar m . n A) 12 B) 25 C) 15 D) 35 E) 50 22. Hallar “a . b” si el G.A. del monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el G.R. (x), siendo el monomio: P(x,y) = (a + b) x2(a-1) y3b A) 3 B) 5 C) 15 D) 10 E) 25
P E
=
(−
Q
A) 0
17 )
( 17 )
B) –1
C) 1
30. Sea la expresión: P(x) = 1 +
1 x
Encuentre: P(1) . P(2) . P(3) …………. P(20) A) 1
B) 20
C) 21
Polinomios - 4 –
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GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________
31. A partir de la expresión: 1
F(x) =
x +2
1
+ x −1
x −2
x −1
;1
Halle el equivalente de:
F
1 x
F ( 4x ) A) 2x
B) x/2
C) 4x
D) –2x
E) 2
32. Determinar la suma de coeficientes reales de aquel polinomio cúbico P(x) de coeficientes no nulos para que la división P(x2) ÷ P(–x) sea exacta y tenga por cociente a P(x). A) 0
B) –3
C) 3
D) 5
E) –7
33. Si el polinomio: P(x) = x3 + a1x2 + a2x +a3; es un cubo perfecto; halle el valor de: 2
a1
a2
3
+
a1
a3
A) 31
B) 27
C) 30
D) 35
E) 82/3
34. Dado el polinomio P tal que:
x x x x + 1 + P + 2 + P + 3 + P + 4 + 2 6 12 20 40n + P 2x + n = x + 20n(n + 1) − 5n n + n n + 1
P
Calcular: P(P(ax + 1) – P(ax – 1 )) A) 80
C) 40x – 5
B) 195
D) 3195
E) 40x + 5
Polinomios - 5 –
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