I.E.P.”REYNA DE LA PAZ”
PROF.: RUBEN DARIO DEL RIO ARIAS
(1777 - 1855) El llamado “Príncipe de las Matemáticas”, dominó el siglo XIX en matemáticas, en física física y en astron astronomí omía. a. Desde Desde niño niño demost demostró ró na prodigi prodigiosa osa !a"ili !a"ilidad dad con los n#meros. $ los tres años de edad corrigió n error %e s padre !a"ía !ec!o en el cálclo de los salarios de nos al"añiles %e tra"a&a"an para 'l. $ los die( años, s maestro de escela, %e %ería pa( en la clase, ordenó a los niños %e smaran todos los n#meros )natrales* del + al +. El pe%eño -ass, casi inmediatamente, escri"ió el resltado en s pi(arra / /. Es my pro"a"le %e !aya 0isto %e los dos smas sigientes son igales ig ales + 1 2 1 3 1 4 1 5555555 1 67 1 68 1 66 1 + + 1 66 1 68 1 67 1 5555555 1 4 1 3 1 2 1 + 9 %e cada no de los cincenta pares sma ++ )++ : / ; / /* $ los diecisiete diecisiete años, con mc!a osadía, pso en dda algna algna de las conclsion conclsiones es de la geometría geometría eclidean eclideana, a, %e 0arias generaciones de matemáticos !a"ían considerado intoca"les, señalando %e mc!os de los resltados no eran 0álidos en sperficies cr0as. $ los diecine0e años empe(ó n diario personal, “no de los docmentos más preciosos de la !istoria de las matemáticas”< el diario contiene +4= anotaciones %e mestran resltados %e otros matemáticos desc"rieron y p"licaron mc!o desp's sin sa"er %e -ass se les !a"ía adelantado. El + de >lio de +76= escri"ió lo sigiente ?E@AEB$C #mero ; 1 1 e indica, desp's del ?EreFaC de $r%ímedes %e cal%ier n#mero positi0o se pede escri"ir como sma de 3 n#meros trianglares. Gos n#meros trianglares son
+
Hon de la forma
3
=
+
+/
2+
28
3=
5555.
n )n +* < para n ; , +, 2, 3, 555555. 2
Mientras tanto, en rancia, acontecía n !ec!o %e marcó n !ito en la Jistoria @ni0ersal, dando lgar a la “Declaraci “Declaración ón de los Derec!os del Jom"re” Jom"re” proclamado proclamado por la $sam"lea $sam"lea acional Gegislati0a Gegislati0a )antes )antes Estados Estados -enerales de rancia*. He 0i0ieron mc!as etapas drante la Ae0olción rancesa, na de las principales fe “El Aeinado del Kerror”, la gillo gillotin tinaa tra"a& tra"a&a"a a"a todo todo el día. día. El e:trem e:tremism ismoo se ace acent nta"a a"a<< la clase clase media media infer inferior ior )giron )girondin dinos* os* feron feron ani%ilados. Marat, Danton y Ao"espierre A o"espierre,, á0idos de sangre, %edaron deños del poder. Ao"espierre !i(o el famoso lema “Gi"ertad, Igaldad, raternidad”. Ga Ae0olción rancesa aca"ó con la monar%ía a"solta en rancia y proclamó la Ho"eranía acional. En +76= la !istoria de la re0olción se con0ierte en la !istoria de apoleón Lonaparte. Aetomando los aportes de -ass al mndo de la ciencia, podemos contar %e dos de las anotaciones del diario no !an sido descifrados toda0ía la anotación del ++ de ct"re de +76= Nicims -egan, y la del 8 de $"ril de +766 Ae0. -alen.
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En s tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del Keorema fndamental del álge"ra )todo polinomio de grado “n” tiene a lo más “n” raíces distintas*.
NIVEL: SECUNDARIA
!UINTO A"O
MONOMIOS MONOMIOSYYPOLINOMIOS POLINOMIOS El El so so de de las las letras letras en en lgar lgar de de n#meros n#meros es es necesario necesario para para generali(ar generali(ar e:presiones e:presiones oo propiedades. propiedades.
MONOMIO K'rmino alge"raico cyas 0aria"les tienen e:ponentes natrales e inclido el cero. O/+:y/(4
2:O3 y
POLINOMIOS Hma limitada de monomios no seme&antes. 3: 4 y
7 :3 y 4
2:(
(/
ormalmente ormalmente aa los los polinomios se les polinomios se les representa representa de de la la forma forma PP):*<< A ):*< A):*<< 55 ):* ):*< ):*
CARACTERÍSTICAS DE LAS MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. VALOR NUMÉRICO (VN) $l cam"iar las 0aria"les por n#meros en n monomio o polinomio 'stos se con0ertirán en N.
Ejm.: Nalor nm'rico de M ; 4:2 y3 Para : ; 2< y ; 3 N)M* ; 4)2* 2)3*3 ; 432
Jallar el N de las sigientes e:presiones para : ; +< y ; 2< ( ; 3 M ; 2:3 y
;
; /:2 y2(
;
P ; 3:3 1 2y ;
2. NOTACIN El El 0alor 0alor nm'rico nm'rico de de n n polinomio polinomio PP):* para para :: ;; aa ):*
se se representa representa por por PP)a* )a*
Gas 0aria"les en n monomio o polinomio peden ser e:presadas en forma e:plícita mediante na cierta notación. M):, y* Monomio de 0aria"les “:” e “y” P):, y, (*
Polinomio de 0aria"les “:, y, (”
P): O 4*
Polinomio de 0aria"le ): Q 4*
P)/*
Nalor nm'rico
Ejm 1: Ralclar el N de P):* ; :2 1 +: Q + para : ; O2
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He está pidiendo P)O2* P)O2* ; )O2*2 1 +)O2* Q + P)O2* ; O+7 )N*
Ejm. 2: Hi P):O4* ; :2 Q : 1 + Jallar P)3* : Q 4 ; 3 : ; 7 P)7O4* ; 72 Q 7 1 +
2 2 2 )a )a 11 "* "*2 ; ; aa2 1 1 2a" 2a" 11 ""2
P)3* ; /2
2 2 2 )a )a OO "* "*2 ; ; aa2 O O 2a" 2a" 11 ""2
Ejm. #: Hi P):* ; 3: 1 + Jallar P):17* Rolocamos ): 1 7* en 0e( de “:” P):17* ; 3): 1 7* 1 + P):17* ; 3: 1 22 )cam"io de 0aria"le*
Ejm. $: Hi P):* ; 4: 1 + Jallar PT P) :* S PTP
4P):*
+
PT P
4) 4 :
+*
PTP
+=:
):* S ) :* S
) :* S
+
/
Ahora Tú:
Hi P):* ; /:2 Q 2: 1 3 Jallar P)O3*
Hi P):1/* ; 2:2 1 7 Jallar P)2*
Hi P):* ; 2: Q 3 Jallar P)/: 1 4*
Hi P):* ; 2: 1 3 Jallar PT P) :* S
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#. %RADO El grado es na característica e:clsi0a de los monomios y polinomios referida a los e:ponentes de ss 0aria"les. En consecencia los grados no podrán ser enteros negati0os. El grado pede ser
A&'*+: Rando se refiere a todas ss 0aria"les. R,-+/: Rando se refiere a na 0aria"le en particlar. El El grado grado de de toda toda constante es siempre constante es siempre cero. cero.
PARA EL MONOMIO:
El -$ estará definido por la sma de los e:ponentes de las 0 aria"les.
El -A de n monomio se refiere al e:ponente de na 0aria"le en particlar.
Ejm.: -$ 2 / 2 -A y /
-$
7
M) :, y*
43 :2 y/ -A:
M) :, y*
-$ 3 7 + -A: 3 6:3 y 7(/ -A y 7 -A(
M):, y*
-$ -A: 7 :8 y 4(+ -A y -A(
M) :, y *
2/ :3 y 7 -A: -A y
PARA EL POLINOMIO:
El -$ está definido por el monomio de mayor grado.
El -A de n polinomio está definido por el mayor e:ponente %e afecta a dic!a 0aria"le.
Para el Polinomio
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+ :3 y 6
P) :, y*
7 : 4 y =
+2U
2:/ y 8
P) :, y*
4: / y8
y 7
+3U
7U
+U
+2:+ y 4
:6 y 7
-$ +3 -A: / -A y 6 -$ -A: -A y
y4
Hi el polinomio fese de na sola 0aria"le s grado estará determinado por el má:imo e:ponente de dic!a 0aria"le. $sí P):* ; 4:2 Q :/ 1 7: 1 2:= Q :4
P):* ; /:7 1 2:3 Q 4:+ 1 :2 Q 6:
-;=
OPERACIONES CON %RADOS: 1. En la sma o resta colocamos el grado del mayor. ):7
):/
: +*
7U
2 ):
: +*
/U
+*
2U
-rado ; 7
2. En la mltiplicación los grados se sman. )7:2 +* ):2 2U
: 3* ):+ :
2U
+*
+U
-rado ; 2 1 2 1 + ; +4
#. En la di0isión los grados se restas. :+/
7:4
:6
:2
:2 +
+/U 6U
: 6
-rado ; +/ Q 6 ; =
$. En la potencia los grados se mltiplican. ): /
+ : 7 * 4
-rado ; / : 4 ; 2
/U
0. En la radicación los grados se di0iden. +2
: 3=
:2
-rado ;
: 7
3=U
3= +2
3
Ejm.: Ralclar el 0alor de “n” si la e:presión se redce a na de primer grado. n 2 7 :3n 3 : 7 n + y
M):, y*
Por teoría -rado ;
n 2 3
3n 2+
n + 2+
7n +4 3n n + 2+
+
+
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6n Q +/ ; 2+ 6n ; 3= n;4
¡Ahora tú! Jallar el 0alor de F en cada caso
):3 1 : O 3*F
-rado ; 2+
):/ 1 :*)2:F O +*):4 1 3*
-rado ; 2
):4
3*):=
+*
):F
2*):3
4*
4
:2
:F
-rado ; / -rado ; =
3
EERCICIOS EERCICIOS DE DE APLICACIN APLICACIN +.
Jallar “a 1 "” si los t'rminos 6:2a1+ y7< O2:6 y/"O3< son seme&antes. a* 3 d* 6
2.
"* +/+ e* +/4
"* O+ e* 2
7.
c* +/2
c*
"* 7 e* 42
c* +2
En el sigiente polinomio P):, y* ; 7:a13 y"O2(=Oa1/:a12 y"O3(a1" Donde -A):* Q -A)y* ; 3< -$)P* ; +3 Ralclar “a 1 "” a* / d* ++
"* = e* +2
c* 7
6.
c* 8
"* +2 e* +/
c* +3
Hi P):* ; 2: 1 / Determinar $
Donde Roef )M* ; -A):*< -$)M* ; 27 Determinar “a"”
/.
8.
"* O+ e* +
Determinar el mayor grado relati0o de na de ss 0aria"les. P):, y* ; :3FO+ yF Q 2:2FO3 y2F 1 :FO3 y3F Donde -$)P* ; +/ a* ++ d* +4
Dado el monomio M):, y* ; )a 1 "*:2aO2 y3"
a* / d* 3/
Hi P)3:O2* ; +2: Q /. Jallar M ; P):1+* Q P):O+* a* 7 d* +
Hi P):* ; 2: 1 m, P)4* ; ++. Jallar P)O2* a* O2 d* +
4.
c* 7
Hi P):* ; /: 1 3 y ):* ; 2: 1 2 Jallar PT P)3* E)/* S a* +/ d* +/3
3.
"* = e* +4
=.
PTP
)m* S
PTP
a* / "* + d* 2 e* 2/ Dado el polinomio
)* S
P)2m*
c* +/
P):, y* ; 2:m ynO+ 1 3:m1+ yn 1 7:mO2 yn12 1 =:m13 yn1+ Hi -A: ; +2< -$ ; +8 VRál es el -AyW a* 7 d* /
"* 6 e* 8
+. Hi P):* ; 3:47 Q 8+:44 1 /: Q 3 Jallar M ; P)3* 1 P)+* Q P)O+*
c* +2
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a* / d* 3 ++.
Hi P) : *
"* 2 e* 32
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c* 28 a* O3 d* O6
: 3 2: +
3.
"* 2: e* 8:
4.
"* O27 e* +
"* O+/ e* .$.
c* O2
Dado el monomio M):, y* ; 4a":2a13" y/"Oa Donde -$)M* ; +< -A):* ; 7 Heñale s coeficiente
Jallar $ ; P)a12* Q P)a1/* 1 =a
a* 2 d* +=
c* +/
+3. Hi P)3: 1 4* ; 2)3: 1 4*4 Q 6:2 Q 24: Q +=
/.
Ralclar P)2* a* 2 d* 32
Hi P):* ; /: Q a< P)=* ; 2=
a* O+ d* O24
c* :
+2. Hi P):* ; :2 1 2: Q 3
a* 27 d* O+/
c* 6
Jallar P)O4*
Jallar PT P) :* S a* + d* 3:
"* 3 e* 46
"* 4 e* =4
c* 8
Dado el polinomio P):, y* ; :a12 y"O+ 1 :a1= y" 1 :a14 y"14 Donde -$)P* ; +=< -A):* ; +
"* 23 e* 34
Ralclar -A)y*
c* 28
a* 8 d* 2
+4. VRál es el polinomio de +er grado “P” tal %e P)* ; /< P)+3* ; 4P)2*W
=.
"* = e* +
c* 4
Hi P):* ; 4: Q 3 Jallar M ; P):12* Q P):O2*
a* 2: 1 + + d* =: 1 /
"* 3: 1 /
c* 2: 1 a* +4 d* +7
e* 6: 1 /
+/. En el polinomio P)2: 1 +* ; P)2: O +* 1 : 1 +
7.
$demás P)3* ; + Ralclar P)7* a* + d* 4
"* 23 e* /
TAREA DOMICILIARIA N # Jallar “m 1 n” si los t'rminos 7:m13 ynO/< / :2 y < son seme&antes. a* 3 d*
"* 7 e* 2
c* /
"* +2 e* 2
Hi
P):*
E
P)2*
3:2
;
1
c* +7
2:
Q
/.
Ralclar
PT P
a* = d* += 6.
c* +=
Determinar el menor grado relati0o de na de ss 0aria"les P):, y* ; :/a14 y2a Q 2:4aO2 y3a1/ Q :=a1+ yaO+ Donde el -$)P* ; +8 a* ++ d* +6
c* 3
8.
+.
"* +/ e* +8
)+* S
"* ++ e* 2+
c* +/
En el sigiente polinomio P):, y* ; :a y"O+ 1 :a1+ y" Q :aO2 y"12 1 :a13 y"1+ Donde -A):* ; +< -$)P* ; +3 Ralclar -A)y*
2.
Hi f):* ; 2+: Q 7 g):* ; 3:2 O 2 Jallar f)O2* 1 g)4*
a* 3 d* =
"* 4 e* 7
c* /
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+. Hi P):* ; 2:66 Q =4:64 1 : Q / Ralclar E ; P)2* 1 P)O+* 1 P)+* a* O+4+ d* O7/ ++.
"* O+43 e* O==
Hi I) : *
: c < : : +
c* O72
+< c
+
El 0alor de ITI) :* S será a*
c :
+
c* c d* +
"*
: :
+
e* :
+2. Hi P):* ; :2 1 : 1 + Jallar M ; P)m1+* Q P)mO2* Q =m a* d* 3
"* + e* 4
c* 2
+3. Hi P):12* ; 2):12*3 1 :2 1 4: 1 4 Ralclar P)3* a* /4 d* =3
"* /8 e* =4
c* =2
+4. VRál es el polinomio de primer grado “P” tal %e P)2* ; 3< P)3* ; 2P)4*W a* P):* ; O2:1+ / d* P):* ; O: 1 /
"* P):* ; O: 1 4
c* P):* ; : 1
e* P):* ; : 1 4
+/. Dado el polinomio P):* ; P): O +* 1 P): O 2* $demás P)+* ; 3< P)2* ; 4 P Ralclar )P)P)* * *
a* + d* 7
"* 3 e* 6
c* /
