Docente: Lic. Carlos K. Villegas Rosales
Ejemplo:
Polinomios N
I
P(x,y) = x8 + x5 - 2x4 + 5x + 2 Polinomio Completo: Un polinomio será completo con respecto a una variable, si dicha variable posee todos los exponentes desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 – 2x – 2x + 6x0 Propiedades: a) En todo polinomio completo de una variable, el número número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en la unidad es decir: # Términos = Grado + 1 b) En todo polinomio polinomio completo y ordenado de de una variable, variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad.
Definición: Se define así a toda expresión algebraica racional entera, que a su vez está definida sobre un campo numérico y en cualquier conjunto numérico para las variables. Ejemplos: 9 ;
2x 5y 7z
3x y z √ 3x
N
EI
R
O
S
U
Grado de Expresiones Algebraicas Monomios: Su grado relativo es el exponente de dicha variable y su grado absoluto es la suma de los e xponentes de la parte literal. Ejemplo: M=8x5y2z7 G.R(x)=5 ; G.R(y)=2 ; G.R(z)=7 ; G.A(M)=14
I
N
G
E
E
U
N
I
V
E
R
S
TI
A
R
AI
R
Polinomios: El grado relativo está dado por el mayor exponente y el grado absoluto está dado por el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman. Ejemplos: P=7x5y2-2x8y6+8x3y9 G.R(x)=8 ; G.R(y)=9 ; G.A(P)=14 P
|grado | = 1 gradotk grado gradotk+| =
AI
Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Es decir si: ax2 + bx + c mx2 + nx + p Se cumple que. a = m ; b = n ; c = p Polinomio Idénticamente nulo: es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables, es decir: ax2 + bx + c = 0 Se cumple: a=0 ; b=0 ; c=0 Polinomio Mónico: Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente principal es 1. Ejemplo: P(x) = x3 + 7x4 + x5 + 2x2 + 3x + 8 A
C
A
D
E
M
Teorema: Dado un polinomio P(x) se cumple que: La suma de coeficientes de P(x) P(x) es igual a P(1) El termino independiente de P(x) es igual a P(0)
≡
Grado en las operaciones algebraicas Dados dos polinomios P(x) de grado “m” y Q(x) de grado “n” (m>n) se cumple: 1. Operación: Regla: Se toma el mayor grado de los polinomios involucrados. Resultado: m 2. Operación: Regla: Se suman los grados de los polinomios. Resultado: m + n
±
S
U
N
I
.
NI
G
E
N
EI
R
O
3. Operación:
→ ∴
Regla: Se restan los grados de l os polinomios. Resultado: m - n 4. Operación: Regla: Se multiplica el grado del polinomio por el exponente k. Resultado: m . n 5. Operación: Regla: Se divide el grado del polinomio por el índice k. Resultado: I
[]
N
I
E
R
O
S
U
N
AI
I
N
G
E
→
R A
Polinomios Especiales TI S
Polinomio Homogéneo: Es aquel en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4 P(x,y) es homogéneo de grado 7. Polinomio Ordenado: Un polinomio será ordenado con respecto a una variable. Si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo a partir del primer término.
Valor Numérico de un Polinomio Es el valor obtenido para la expresión luego de igualar la variable a un número para a nalizar sus resultados. Ejemplo: Si: P(x-1) = x2 - 2x + 3, halle P(-2) Resolución: i) Igualando: x – 1 – 1 = -2 x = -1 ii) Reemplazando: P(-2) = (-1)2 - 2(-1) + 3 P(-2) = 6 Caso 1: Cuando la variable es “x” En este caso el cambio es directo, se reemplaza a x por la nueva variable. Ejemplo: Si R(x) = 4x2 – x – x + 1, halle R(x+1) – R – R(x-1) Resolución: i) Cambiamos: x por (x+1) R(x+1)=4(x+1)2 – (x+1) – (x+1) + 1 R(x+1) = 4x2 + 7x + 4 ii) Cambiamos: x por (x – (x – 1) 1) R(x-1)=4(x-1)2 – (x-1) – (x-1) + 1 R(x-1) = 4x2 - 9x + 6 Nos piden la diferencia: R(x+1) - R(x-1) = (4x2 + 7x + 4) – 4) – (4x (4x2 - 9x + 6) R(x+1) - R(x-1) = 16x – 16x – 2 2 Caso 2: Cuando la variable no es “x” pero depende de “x” (variable compuesta) Procedimiento práctico: I) Variable = letra auxiliar II) Despejar “x” R
→
E
U
N
I
V
E
∴
A
C
A
D
E
M
AI
P
R
III) Reemplazar los pasos I y II en la expresión original Ejemplo: A partir de (√ −) . Halle (√ +) a) b)
R = 4x 1 R √ x 1 = S ← letra auxiliar √ x = S 1 ∴ x = (S + 1)
12. Si el polinomio: N
I O
S R
a) 22 d) 34 EI N E
2
G N
2
c) R(S) = 4(S + 1) - 1 Reemplazando a “S” por “x”: R(x)=4(x + 1)2 – 1 Obteniendo:
es ordenado y completo. Hallar el grado del polinomio p(x) a) 4 b) 5 c) 3 d) 7 e) 6 R A TI S R E VI N
14. Si: U
px = 2nx 2n 1x− 2n 2x− ⋯ x 1
E R
3
2
4
3
P
Es completo y ordenado y tiene 4 + n términos, halle la suma de los coeficientes de p(x). a) 43 b) 42 c) 22 d) 21 e) 20
c) 0
AI E
M D A C
2
2. Si p(x)=ax +6ax +(bx+1) y q(x)=4x +6ax +25x -10x+1 son polinomios idénticos, hallar “a + b”. a) 1 b) -1 c) 9 d) -9 e) 4 A
15. Si la suma de los coeficientes del polinomio:
2x n2x 4x n 1 px = 4x− x 2x 53x 5x 2 es 48, halle el grado de p(x). a) 20 d) 14
3. Halle el producto de la suma de los coeficientes de (2x2-3y)5 con la suma de coeficientes de (x+y)4. a) 15 b) -16 c) 30 d) -18 e) 20 I O N
I
E
R
a) 38 d) 17 G
E NI
AI A
c) 4 S
TI R E V
6. Sean p(x) = ax + 2 y q(x) = 3x + mx + n dos polinomios. Si y q(x) son idénticos. Hallar m2 + n2 a) 50 b) 61 c) 64 d) 160 e) 100 I
[px]
U
N
18. De la expresión R
E AI
P
A
C
A
D
E
M
b+1
px = ⋯ x x
I
b) 10 e) 4
px = n 2x−9 n 3x−8 n 4x− ⋯ completo y ordenado. Si m es el número de términos de p(x), halle el valor de G.R[p x] m.
I
N
T
A
R
AI
a) 17 d) 13 I
c) 8
R
S V I
c) 15
22. Si el polinomio:
= 4x−+ y−z− 5x −y −+z−− px,y,z −− 6x y−−z−+ es tal que G.R[px,y,z] = 5, G.R [px,y,z] = 4 y G.R [px,y,z] = 3. Halle m + n + a
U
11. Halle el grado del polinomio completo y ordenado
R
E
Px = x− x− x − x − ⋯ x− x 1 b) 12 e) 15
b) 16 e) 19
E N
y súmelo con P(-1) a) 11 d) 14
x
21. Sea el polinomio:
N
I
10. Si la suma de todos los grados absolutos de todos los términos del polinomio + a) 12 d) 6
x
E
R
c) 276 G
px,y = 2x 3y 4xy 5y a>0, a ≠ 1, es a 2 . Hallar el valor de “b”
c) 36
E
O
S
U
y 2a bx y 7b 4x y b) 63 e) 280
b) 200 e) 302
20. Si p(x,y) es un polinomio homogéneo de grado 3 tal que p(3,-6) = 2, halle el valor numérico de p(-6,12). a) -4 b) -16 c) -8 d) 12 e) 2 N
9. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo − − a) 56 d) 284
(p3)− .
c c+ − − es un polinomio 19. Si completo y ordenado; donde {a,b,c} +, halle el valor de b - ac. a) -3 b) -5 c) 0 d) 2 e) 4
8. Si p(x) = (2a -1)x – (b-3)x + a(b-1) es un polinomio completo y ordenado. Hallar la suma de sus coeficientes. a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) 38
px,y = 3ax
c) 15
009 008 p+ − = x 2x 4
Calcule el valor de a) 156 d) 256
7. El polinomio p(x,y)=(m+5)xy4 + (n+1)x4y – 3xy4 – 5x4y es idénticamente nulo. Hallar el valor de mn + n-m a) 25 b) 17 c) 28 d) 32 e) 30 a-2
b) -15 e) -38
17. Sean p(x) y q(x) polinomios tales que el grado del polinomio p5(x).q2(x) es 23 y el de p2(x).q(x) es 10. Halle el grado del polinomio q(x). a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 R
2
2
c) 16
px, y = 2x− y 5x+ y+ es tal el G.R [px, y] = 13, calcule el valor de m - G. R [px,y]
S
U
hx = 2x nx n x ax es un polinomio
− − Si mónico. Hallar n + a a) 2 b) 1 d) 5 e) 7
b) 18 e) 10
16. Dado el polinomio: N
4. Si p(3x - 7) = 21x - 69 y p(q(x-7)) = 7x -13. Hallar q(x) a) x + 4 b) x + 5 c) x + 6 d) x + 7 e) x + 8 5.
c) 30
px = nx+ n 1x+ n 2x+ ⋯
AI
Ejercicios de la Clase
4
b) 26 e) 36
13. El polinomio: I
(√ x 1) R (√ +) = 4(√ x 1 1) 1 ∴ R(√ +) = 4(√ x 2) 1
1. Si p(x) = x + 1 y p(p(p(x))) = ax - b. hallar p(a+b) a) -1 b) -2 d) 1 e) 2
√
px,y,z,w = mx ny sz√ mx w s ≠ 1 es homogéneo, hallar el valor de s + 2n – m U
P
2
AI
a) 18 d) 13
c) 13 A
C
A
D
E
M
b) 16 e) 12
2
c) 14
2
