Aplicaciones de la Serie de Taylor Empezamos a estudiar la serie de Taylor, ya que dijo que las funciones polinómicas son fáciles y que si pudiéramos encontrar una manera de representar funciones complicadas, como la serie ("polinomios infinitos"), entonces tal vez algunas propiedades de las funciones iba a ser fácil de estudiar también. En esta sección, le mostraremos algunas formas en las series de Taylor se puede hacer la vida más fácil. La evaluación de las integrales definidas Recuerde que hemos dicho que algunas funciones no tienen primitiva que se puede expresar en términos de funciones conocidas. Esto hace que la evaluación de las integrales definidas de estas funciones difíciles, porque el teorema fundamental del cálculo no puede ser utilizado. Sin embargo, si tenemos una representación en serie de una función, que muchas veces se puede utilizar para evaluar que una integral definida. He aquí un ejemplo. Supongamos que queremos evaluar eva luar la integral definida El integrando no tiene antiderivada expresarse en términos de funciones conocidas. Sin embargo, sabemos cómo encontrar su serie de Taylor: sabemos que
Ahora bien, si sustituimos
, hemos
A pesar del hecho de que no podemos antidifferentiate la función, podemos antidifferentiate la serie de Taylor:
Tenga en cuenta que esta es una serie alternante así que sabemos que converge. Si sumamos los cuatro primeros términos, el patrón queda claro: la serie converge a 0,31026.
Entender el comportamiento asintótico A veces, una serie de Taylor puede decirnos información útil sobre cómo se comporta una función en una parte importante de su dominio. He aquí un ejemplo que demuestre. Un hecho famosa de la electricidad y el magnetismo, dice que una carga q se genera un campo eléctrico cuya fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la carga. Es decir, a una distancia r de distancia de la carga, el campo eléctrico es
donde k es una constante de proporcionalidad. A menudo una carga eléctrica se acompaña de una carga igual y opuesto cerca. Dicho objeto se llama un dipolo eléctrico. Para describir esto, vamos a poner una carga q en el momento y una carga -q en . A lo largo de la x del eje, la fuerza de los campos eléctricos es la suma de los campos eléctricos de cada uno de los dos cargos. En particular,
Si estamos interesados en el campo eléctrico lejos del dipolo, podemos considerar lo que ocurre para valores de x mucho mayor que d. Vamos a utilizar una serie de Taylor para estudiar el comportamiento de esta región.
Recuerde que la serie geométrica tiene la forma
Si diferenciamos esta serie, se obtiene
En esta expresión, podemos sustituir
De la misma manera, si nos referimos
Ahora arma el rompecabezas da
para obtener
, tenemos que
En otras palabras, lejos del dipolo donde x es muy grande, vemos que la intensidad del campo eléctrico es proporcional a la inversa del cubo de la distancia. Los dos cargos en parte se cancelan mutuamente para producir un campo eléctrico débil a una distancia. Entender el crecimiento de las funciones Este ejemplo es similar es el espíritu de la anterior. Varias veces en este curso, hemos utilizado el hecho de que exponenciales crecen mucho más rápidamente que los polinomios. Grabamos esto diciendo que
para cualquier exponente n . Pensemos en esto por un minuto, ya que es una propiedad importante de exponenciales. La relación es la medición de cuán grande es el exponencial en comparación con el polinomio. Si esta relación era muy pequeño, podemos concluir que el polinomio es mayor que el exponencial. Pero si la relación es muy grande, llegaríamos a la conclusión de que la exponencial es mucho mayor que el polinomio. El hecho de que esta relación se hace arbitrariamente grande significa que la exponencial llega a ser más grande que el polinomio por un factor que es tan grande como nos gustaría. Esto es lo que queremos decir cuando decimos "un aumento exponencial de crecimiento más rápido que un polinomio". Para ver por qué esta relación se mantiene, podemos escribir la serie de Taylor para .
Tenga en cuenta que este último término se hace arbitrariamente grande como . Esto implica que la relación que nos interesa es así:
Básicamente, la exponencial crece más rápido que cualquier polinomio porque se comporta como un polinomio infinito cuyos coeficientes son todos positivos. Solución de ecuaciones diferenciales Algunas ecuaciones diferenciales no se pueden resolver en términos de las funciones familiares (al igual que algunas funciones no tiene primitivas que se pueden expresar en términos de funciones familiares). Sin embargo, la serie de Taylor puede venir al rescate de nuevo. Aquí se presentan dos ejemplos para darle la idea. Ejemplo 1: Vamos a resolver el problema de valor inicial
Por supuesto, sabemos que la solución es , pero vamos a ver cómo descubrir esto de una manera diferente. Primero, vamos a escribir la solución en términos de sus series de Taylor: Ya
que
esta
función
satisface
la
condición
,
tenemos
que
tener . También tenemos
Puesto que la ecuación diferencial dice que series de Taylor:
, podemos igualar estas dos
Si ahora igualar los coeficientes, se obtiene:
Esto significa que
, como se espera.
Por supuesto, esto es un problema de valor inicial, se sabe cómo resolver. El valor real de este método es en el estudio de problemas de valor inicial que no sabemos cómo resolver. Ejemplo 2: A continuación vamos a estudiar la ecuación de Airy con las condiciones iniciales:
Esta ecuación es importante la óptica. De hecho, esto explica por qué el arco iris aparece la forma en que lo hace! Al igual que antes, vamos a escribir la solución como una serie: Ya que tenemos las condiciones iniciales, Ahora podemos escribir las derivadas:
y
.
La ecuación entonces se da
De nuevo, podemos igualar los coeficientes de x para obtener
Esto nos da los primeros términos de la solución:
Si continuamos de esta manera, podemos escribir muchos términos de la serie (tal vez ver el patrón ya?) Y luego dibujar un gráfico de la solución. Esto se parece a esto: Tenga en cuenta que la solución oscila a la izquierda del origen y crece como una exponencial a la derecha del origen. ¿Puede explicar esto mirando la ecuación diferencial?
