3. Factorización y Polinomios

Algebra - 4º SECUNDARIA SECUNDARIA

Lic. Elvis Hermes Malaber Factor común: (x + 1) [x2 + 1]

En la multiplicación algebraica, el propósito es lograr una expresión llamada producto a partir de otros denominados factores. Al proceso contrario, o sea, el transformar una expresión desarrollada o semi desarrollada en el producto indicado de factores (pero no de factores cualesquiera, sino primos) se le denomina factorización. Todo lo antes mencionado podemos resumirlo en el siguiente esquema:

Factorizar: a(b2 + c2) + b(c2 + a2) Solución: Efectuando: ab2 + ac2 + bc2 + ba2 Agrupando convenientemente: (ab2 + bc2) + (ac2 + ba2) b(ab + c2) + a(ab + c2) Extraemos factor común: 2 ∴ (ab + c )(b + a)

Multiplicación (x + 1)(x + 3) = x 2 + 4x + 3

1). DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Factorización

La factorizac factorización ión o descompos descomposición ición en factores factores de una expresión se realiza solo para polinomios.

a2n – b2m = (an + bm)(an – bm) a2 – b2 = (a + b)(a – b) a6 – b4 = (a3 + b2)(a3 – b2) a10 – 4b2 = (a5 + 2b)(a5 – 2b) 2). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: a2m ± 2ambn + b2n = (am ± bn)2

a 2 m )( b 2 n ) =

Ejemplos:

OBSERVE QUE: 2(

Factorizar: ax2 + ax3 + axb 2 ⇒ ax(x + x +b)

3). SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS:

Factorizar: 2x3y + 2x2y2 – 4x2y 2 ⇒ 2x y(x + y – 2) Factorizar: E = a2(a + b) + b2(a + b) + c2(a + b) 2 2 2 ⇒ (a + b) [a + b + c ] Factorizar: (a –3)(a –2)(a –1) +(a –1)(a –2) – (a –1) Extraemos factor común: (a – 1) (a – 1) [(a – 3)(a – 2) + (a – 2) – 1] (a – 1) [(a – 3)(a – 2) + (a – 3)] Extraemos factor común: (a – 3) (a - 1)(a – 3) [(a – 2) + 1] (a – 1)(a – 3)(a – 1) 2 ∴ (a – 1) (a – 3)

Ejemplos: Factorizar: x3 + x2 + x + 1 Solución: Agrupando (x3 + x2) + (x + 1) x2(x + 1) + (x + 1)

m n 2 a b   Ter min o Central

a3m + b3n = (am + bn)(a2m – ambn + b2n) a3m - b3n = (am - bn)(a2m + ambn + b2n) Ejemplos: Factorizar: x8 – 16 SOLUCION: x8 – 24 ⇒ (x4 + 22)(x4 – 22) ⇒

( x + 2 )( x − 2 ) Factorizar: 6x6 – 6 SOLUCION: 6(x6 – 1) , por diferencia de cuadrados: 6(x3 + 1)(x3 - 1) 2 2 ∴ 6(x + 1)(x – x +1)(x –1)(x + x + 1) Factorizar: 64a7b7 – ab13 SOLUCION: Factor común ab7(64a6 – b6) ; (por dif. de cuadrados) ab7(8a3 + b3)(8a3 – b3) ; (± de cubos) 7 2 2 2 2 ∴ ab (2a + b)(4a – 2ab + b )(2a -b)(4a + 2ab + b ) Factorizar: P = x5 – 2x2 – 4x + 8

I.E.P. Nuestra Señora de Guadalupe – Miramar

1

Algebra - 4º SECUNDARIA

Lic. Elvis Hermes Malaber

SOLUCION: P = x2(x – 2) – 4(x – 2) P = (x – 2)[x2 – 4] ; por dif. de cuadrados 2 ∴ P = (x–2)(x +2)(x –2) =(x –2) (x+ 2) Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f .

Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

ax2n + bxn + c .

Ejemplos:

ó

ax2n + bxnyn + cy2n . El método consiste en descomponer los términos extremos y que el producto en aspa compruebe el término central. Los factores se toman en forma horizontal. Ejemplos: Factorizar: 3x2 + 7x + 2 SOLUCION:

3 x 2 + 7 x + 2



3 x → +1  x → +2   ∴

Consiste en descomponer en dos factores los términos en x2, y2 y el termino independiente, con la finalidad de reproducir los otros términos al multiplicarlos en aspa. Se forman los factores como en el aspa simple.

Cumple que : (3 x )( 2) + ( x )(1) = 7 x

Factorizar: x2 + 3xy + 2y2 – y – 2x – 3 SOLUCION:

+ 3 xy + 2 y 2 − y − 2 x − 3 2 y x − 3  x y 1 obser var que : ( −3 x ) + ( x) = − 2 x ∴( x + 2 y − 3)( x + y − 1) x 2

Factorizar: 2x2 - 5xy -3y2 –y -9x +4 Solución:

(3x + 1)(x + 2)

2 x

Factorizar: x2 – 7xy + 12y2 SOLUCION:

x 2

∴

− 7 xy +12 y 2   x → −4 y   x → −3 y 

(x – 4y)(x – 3y)

− y 9 x

y

− 3 y

x

obser var que : ( − x ) ∴ ( 2 x + y − 1)( x − 3 y Cumple que : ( x )(−3 y ) + ( x )( 2 2 Factorizar: 3x – 10y – xy + 22y – 12 Solución: Ordenando

3 x 2 − xy − 10 y 2 + 22 y + 0 x − 12

− 6 + 2 x obser var que : − 6 x + 6 x = 0 ∴ (3 x + 5 y − 6)( x − 2 y + 2) 3 x

36 x 2 n

∴

2 − 5 xy − 3 y

2 x

Factorizar: 36x2n + 9xn -10 SOLUCION:

+ 9 x n − 10  12 x n → −5   3 x n → +2 

2

Cumple que : ( 24 x n ) + ( −15 x n

(12xn - 5)(3xn + 2)

Factorizar: E = 7x3 – 57x2 + 57x – 7 SOLUCION: Agrupando: E = 7(x3 – 1) – 57x(x – 1) E = 7(x – 1)(x2 + x + 1) – 57x(x – 1) E = (x – 1) [7(x2 + x + 1) – 57x] E = (x – 1) [7x2 - 50x + 7] 7x  -1 x  -7 ∴ E = (x – 1)(7x – 1)(x – 7)

+ 5 y − 2 y

Factorizar: 6a2b2 – 20c2d2 - 10ab + 67cd + 7abcd - 56 Solución: Ordenando el polinomio:

6a 2b 2 + 7abcd − 20c 2 d 2 + 67cd − 10ab − 56 3ab 2ab

− 4cd + 5cd

+ 7  − 8

obser var que : − 24ab + 14ab = − 10ab

∴ (3ab − 4cd + 7)(2ab + 5cd − 8)


2

( 4



Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado (ax ± b). Los ceros del polinomio son aquellos valores que hacen que el polinomio se anule el reemplazar su valor. Los posibles ceros del polinomio se encuentran dividiendo todos los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.. Ejemplos: 1. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x – 10 Solución: P(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10 Divisores del término indep: ±1. ±2, ±5. ±10. Divisor del 1er. coef: ±1 Posibles ceros: ±1, ±2, ±5, ±10 Para x = 1 ⇒ P(1) = 0, P(x) tendrá un factor (x – 1) 1 x=1 1

6

3

-10

1

7

10

7

10

0

(x – 1)(x2 + 7x + 10) (x – 1)(x + 2)(x + 5) Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14 Solución: D(T.I.): ±1. ±2, ±7. ±14. Divisor del 1er. coef: ±1 Posibles ceros: ±1, ±2, ±7, ±14 Para x = -2 ⇒ P(-2) = 0, P(x) tendrá un factor (x + 1) 2.

1 x=-2 1

6

15

14

-2

-8

-14

4

7

Factorizar: x5 + x – 1 Solución: Sumando y restando x2: X5 + x – 1 + x2 – x2 (x5 + x2) – (x2 – x + 1) x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) x2(x + 1)(x2 – x + 1) - (x 2 –x+1) (x2 – x + 1)[x2(x + 1) – 1] (x2 – x + 1) (x3 + x2 - 1) Factorizar: 4x6 – 29x4 + 31x2 – 1 Solución:

 − 29 x = − 20 x − x9 Descomprimiendo  31 x = 25 x + x6 2

4

2

4

2

(4x6 – 20x4 + 25x2) – (9x4 – 6x2 + 1) (2x3 – 5x)2 – (3x – 1)2 Por dif. De cuadrados: (2x3 - 2x – 1)(2x3 - 8x + 1)

0

Factorizar: x5 + x3 + x2 + 2x + 1 Solución: Descomponiendo: 2x = x + x (x5 + x3 + x) + (x2 + x + 1)

Factorizar: x4 + 5x3 – 4x2 - 44x – 48 Solución:

x = -2

Factorizar: x4 + x2 + 1 Solución: Sumando y restando x2: (x4 + x2 + 1) – x2 (x2 + 1)2 – x2 (x2 + 1 + x) (x2 + 1 + x) Generalizando “Identidad de ARGAND” x4n + x2n +1 = (x2n - xn + 1) (x2n + xn +1)

2

(x + 2)(x2 + 4x + 7)

1

Se utiliza para descomponer una expresión en una diferencia de cuadrados o en una suma de diferencia de cubos. El método consiste en aumentar una cantidad para obtener un producto notable y luego restarle (“quita y pon”). Ejemplos:

5

-4

-44

-48

-2

-6

20

48

x ( x 4 + x 2 + 1) + ( x 2 + x + 1)   " ARGAND" 2

1 x = -2 1

3

-10

-24

-2

-2

24

1

-12

0

(x + 2)(x + 2)(x2 + x – 12) x  +4 x  -3 (x + 2)2 (x + 4)(x - 3)

0

x(x + x + 1)(x2 - x + 1)+ (x2 + x + 1) (x2 + x + 1)[x(x2 - x + 1) + 1] (x2 + x + 1) (x3 - x2 + x + 1)

PROBLEMAS PROPUESTOS Nivel I 1. Factorizar: A(m,n) = mn4 – 5m2n3 + 4m3n2 – 20 m4n. 2. Factorizar: L(a,b,c,x) = a(x – 1) - b(1 – x) + cx – c 3. Factorizar: F(x) = a3x3 + a2x2b + a2x2c + a2x2 d + abcx + abdx + acdx +bcd. 4. Factorizar:


3


Lic. Elvis Hermes Malaber x20y40 – x22y42 a) 1 + x b) 1 + xy d) x² + y² e) x – 1

F(a,b,c) = abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1 5. Factorizar: P(a,b,c,d) = (a +b)(a +c) –(b +d)(c + d)

4.-Halle un factor de x5 – 2x4 – x + 2, señalando el factor de menor término independiente. a) x – 3 b) x – 2 c) x – 1 d) x + 1 e) x + 2

6. Factorizar: S(x,y) = ab(x + y) 2 + xy(a – b)2 7. Factorizar: E(a;b;c) = a4b – a4c + a3b2 – a3bc – abc3 + ac4 – b2c3 + bc4. 8. Factorizar e indicar la suma de los factores primos de: F(a;b;c) = ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b2c + 2abc. 9. Factorizar: P(a;b;c) = a3(c – b2) + b3(a – c2) + c3(b – a2) + abc(abc – 1) 10. Cuantos factores de primer grado posee: P(x;y;z) = xyz 3 – 3y2z3 – xz2 + 3yz2 + x2yz – 3xy2z – x2 + 3xy. 11. Determine la suma de los factores primos de: P(a;b;c) = (ab + ac + bc)2 – abc[a2 + b2 + c2 + 2(a + b + c)–abc +1] 12. Factorizar: P(m,n,p) = m2 – 4p2 + 4mn + 4n2. 13.Factorizar: F(m,x) = (1+ mx)2 – (m + x)2. 14. Factorizar: P(a,b,c) = (a + b + c)(a – b + c) – (a + b)(a – b) 15. Factorizar: F(a,b,c) = a(a2 + bc) + c(a2 + b2) – b3.

17. Factorizar: M(x) = x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1. 18. Factorizar: F(a,x) = ax(ax –2)– (x2 – 1) + a(2x – a) 19. Factorizar: P(a,b)=(3a + 2b)3 – (a +b)3 + (2a + b)2 – (3a+2b)(3a + 3b)(2a + b). 20. Considerando completo el trinomio: F(x) = (mn + 5)xm-n-3 + (m – 2n)xm+n-8 + (mn 8)2 factorizarlo.

II

1.-Indique un factor de: (x – 1)² - 2(x – 1) – 24 a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3 2.-Indique un factor de: a² + ab + ac + bc a) a + 1 b) b + 1 d) a + b e) a + bc

5.-Factoriza P(a, b) = a² - 4 + 2ab + b² , e indicar un factor primo. a) a + b + z b) b + z c) a + b d) b + 2 e) a + 3 6.-Con respecto a la expresión: 4x4y - 4x³y² - 24x²y³ señale verdadero o falso: I un factor es (x – 3y) II un factor es (x + 2y) III tiene más de dos factores primos a) VVF b) VFV c) FVF d) FFV e) VVV 7.-Factorizar: P = x6 – x4 + 2x² - 1 Hallar la suma de sus factores. a) x³ + 3 b) x² + 1 c) 3x² d) 2x³ e) 1 8.-El equivalente de la expresión: 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3) es: a) (x² + 2x + 2)² b) (x² + 3x + 1) c) (x² + 3x + 1)² d) (x + 1)² (x + 1) e) (x – 1)² (x + 1) 9.-Factorizar m² - 2mn – 3n² sumando los términos de sus factores primos. a) 3 (m – n) b) 3(n – m) c) m + n d) -2(m – n) e) 2(m – n) 10.-Encontrar el equivalente de la expresión b² + c² a² - d² + 2ad + 2bc a) (b – c – a + d)(b + c – a – d) b) (b + c + a + d)(b – c + a – d) c) (b + c – a – d)(b – c + a + d) d) (b – c + a + d)(b – c – a – d) e) (b + c + a – d)(b + c – a + d)

16. Factorizar: A(x) = x3 + x2 + x – 3.

Nivel

c) 1 + y

d) x + 4 e) x + 5

c) c + 1

11.-Factoriza 4m4 + 3m²n² + 9n4 e indicar uno de sus factores a) 2m² + 3m²n + 3n² b) 2m² - mn + 3n² c) 2m² + 3mn² - 3n² d) 2m² - 3mn + 3n² e) N.A. 12.-Indicar el factor numérico de: (x – y)4 – x4 – y4 – 2xy³ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13.-Descomponer el Trinomio: x4+ x² + 1 en el producto de dos factores reales. a) (x – 1)(x³ - x² + x -1) b) (x² + 1)(x² - x + 1) c) (x² + x + 1)(x² - x + 1) d)(x² + 1)x e) N.A. 14.-Factorizar (a + b)² (a² + b²) + a²b², luego indique el mayor grado de uno de sus factores. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15.-Factorizar: mn(x² + a²) – xa(m² + n²) a) (nx – an)(nx – am) b) (ax – m)(ax + nm) c) (mx – an)(nx – am) d) mx – am)(mn – nx) e) N.A.

3.-Señala un factor de


POLINOMIOS

4



Polinomio es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos (monomios) en cantidad finita. P(x)≡a0xn+ a1xn-1+ a2xn-2+…+ an-1x+an Donde: n ∈ Z+ , n: grado del polinomio. a0 : coeficiente principal no nulo an : termino independiente; Valor numerico de un polinomio: Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus variables Ej: P(x) = x2 – 3x + 2 P(1) = 12 – 3(1) + 2 = 0 P(2) = 22 – 3(2) + 2 = 0 P(-2) = (-2)2 – 3(-2) +2 = 12 Propiedades: Σ coeficientes de P(x) = P(1) Termino independiente de P(x) = P(0) Representación general de polinomios de acuerdo al grado. Ojo: Considerando la variable “x” y las constantes a,b,c ∧ d, tal que a ≠ 0 tenemos: . Polinomio de grado cero : a . Polinomio de grado uno o de 1er grado : ax + b . Polinomio de grado dos o de 2do grado : ax2 + bx + c . Polinomio de grado tres o de 3er grado : ax3 + bx2 + cx + d Grados en operaciones con polinomios: Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q(x) de grado n, con m > n: . Suma : P(x) + Q(x) es de grado : m . Resta : P(x) - Q(x) es de grado : m . Producto: P(x) . Q(x) es de grado : m + n . Cociente :P(x) Q(x) es de grado : m – n . Potencia :[P(x)]k =Pk(x) es de grado: m.k . Raiz

:

k

P ( x ) , es de grado :

m k

Polinomios especiales: Polinomio homogeneo: Es aquel cuyos terminos estan constituidos por mas de una variable y presentan el mismo grado.

Polinomio entero en X: Es aquel que depende unicamente de la variable x, siendo sus coeficientes numeros enteros. Ej: P(x) = 3x3 +2x – 1 Es un polinomio entero en x de tercer grado Polinomio monico: Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por ser su coeficiente principal igual a la unidad. Ej: P(x) = x2 + 7x + 4 Es un polinomio monico de segundo grado (cuadratico). Polinomio completo: Es aquel que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta el exponente cero o termino independiente. Ej: P(x) = -2x + 3x2 + x3 – 7 Es completo de 3er grado y tiene cuatro terminos, uno mas que el grado. Polinomios identicos: Son aquellos cuyos terminos semejantes poseen el mismo coeficiente. Ej: Si P(x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + p Son identicos (P(x) ≡ Q(x)), se cumplira que: a = m; b = n y c= p Polinomios equivalentes: Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numerico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables. Ej: P(x;y) ≡ (x + y) 2 – (x - y) 2 Q(x;y) ≡ 4xy Si ambos admiten el mismo valor numerico para cualquier valor de “x” ∧ “y”, entonces seran equivalentes, veamos: Hagamos: x = 2 ∧ y = 1 ; en P(x) : P(2;1) = (2 + 1)2 . (2 - 1)2 = 8 Hagamos: x = 2 ∧ y = 1 ; en Q(x) : Q(2;1) = 4(2)(1) = 8 Observar que: P(2;1) = Q(2;1) En consecuencia P(x;y) ∧ Q(x;y), son polinomios equivalentes y se les podra representar asi: P(x;y) < > Q(x;y).

Ej: P(x,y) = 2xy4 – 3x3y2 + y5 Es homogeneo de 5to grado.

Polinomio idénticamente nulo: Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.

Polinomio ordenado: Cuando los exponentes de la variable que se toma como referencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente o descendente

Ej: Si P(x) = ax3 + bx + c, es idénticamente nulo, se cumplira: a = 0 ; b = 0 y c = 0 . Y podra representarse asi: P(x) ≡ 0.

Ej: P(x,y) = x5y – x3y2 + xy3 Es ordenado en forma decreciente respecto a x, y en forma creciente respecto a y.

Problemas Propuestos


5



1. Calcular la suma de coeficientes de Polinomio: P(x,y) = axa+5 + 3xayb + bxb+3 si es homogéneo. a) 14

b) 13

c)12

d)11

e) 10

2. Si se multiplica “a” polinomios de grado “a” cada uno y se sabe que el resultado es un polinomio completo; entonces el número de términos del polinomio producto es: a)a 2

d ) a

a

b) a 2

 a 2 +1    2  

c) a 2 

+1

2   a +1    2  

e) a

2

b

n

b

n +1

b

+ ... si se sabe que

n +2

e)0.5

4

− m 2 + p 2 n − m + p b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

7. Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio:

P(x,y) = x2ya + bcxbyc + dyd Sabiendo que es completo y ordenado respecto a sus dos variables. a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado en forma decreciente: 2 P ( x) = a 2 x n −1

a) 53

+ bx a −5 + nx n +b +1 + nx d −2

b)49

c)45

e) 1/64

c)12

d)13

e) 15

a)8

b)12

c) 5

d)16

e)14

14. Si el trinomio: x a +b

+ b x b +c + c x a +c

b)13

x b c x a b x c c)27

d)30

e)33

P

n2

a) 5

b)11

a

6. Si ...+mn.x y + npx y + mpx y + ... son los términos consecutivos de un polinomio homogéneo completo y ordenado en forma decreciente respecto a “x”, calcular el valor de: S =

d) 64

P(x)=45x 5 – 2xP+1 – xq-2 + 3x2 + x+1 Es completo y ordenado: Hallar el número de términos del siguiente polinomio también completo y ordenado. S(x) = xP+q-1 + 2xP+q-2 + ...+3x+2

a) 7 5

c)1/16

es homogéneo de grado 10 ¿de que grado será el polinomio?:

−

n-1

b) 16

a

5. Sabiendo que: 4x3 – 12x2 + 9x +2 ≡P(x+m) 3 + q(x+n) 6 mnpq Calcular S a)2 b)3 c)4 d)12 e) 24 n m

e) -7

13. Si:

4. La suma de los grados absolutos de todos los términos de un polinomio entero, homogéneo y completo de dos variables es 132. Según esto ¿Cuál es su grado absoluto? a)10 b)11 c)12 d) No se puede calcular e) El polinomio no existe

=

d) –6

12. En un polinomio P(x,y) homogéneo y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156 ¿Cuál es el grado de homogeneidad? a)10

posee 18 términos. a) 36 b) 18 c) 9 d) 27

c) –4

2

−1

a 3m

+

b) –3

11. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a+c-3abc)x 2 +(a+b-6abc)x + (b + c - 7 abc) Además abc ≠ 0

a)4

a 2m

+

a) –2

− abc   Calcular C =    a + b + c 

3. Cuál es el grado respecto de “a” en el Polinomio homogéneo: am

10. Sabiendo que el polinomio: 2 2 2 P ( x ) = a ( a 2 −1) x n −n +1 − 2 x a ( a +1) n −n +2 + ( a − 2) x n +n −1 Es homogéneo. Hallar la suma de sus coeficientes

d)35

15. Sea P(x) = (a3-7)x5 + ax2 + a2x +a2 +1, un polinomio mónico(a ∈R). hallar el término que no depende de la variable. a)2

b)5

c) 10

d) 17

e) 26

16. En el Polinomio: P(x) = (a+2x)n + (a+3x)n La suma de coeficientes excede en 23 al término independiente, según ellos establecer el valor de no verdad da las siguientes proposiciones: I. El Polinomio P(x) es de grado 2 II. la suma de sus coeficientes es 25 III. el término cuadrático de P(x) es 12x 2 a) VVV

b) VFV

c) FFV

d) FVV

e) VVF

17. Si el polinomio: P ( x, y )

e)30

2 2 = (a 2 +1) x a +2 y a + (a +1) x 2 a −1 y a −1 Es

homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes : 9. Si el polinomio es homogéneo: P ( x, y ) = x

a)5

n 2 −2 n

b)10

+ y

m+2

+ x c)14

n −m

+ y d)35

a) 16 3m+5

b)13

c)11

d) 4

e) 22

n 2 +m−8

+ y e)20

18. En base a los polinomios idénticos P(x) = (m-5)x 2n-1 + (n-3)x n-2


6



Q(x) = P xn-2 + (3-m)x 7 4 establecer el valor de verdad de las proposiciones: I la suma de sus coeficientes es cero II son de grado 7 m

III el valor de

n

a)VVV

2

27. Si el término independiente de Polinomio: P(2x-3)=(2x+3) 4m + 2 (4x2 + 3)2m es 1600; el valor de m es: a) 1

b) 2

es 0.125

+ p 2

b)VVF

c) 3

d)VFF

Mx3 + Px 2

e)FVV

( M + 3) x 19. Calcular el valor de P ( x ) = 7 + x a

Tal que n

≠

2 a −15

0

a

ab

b si el polinomio

2 + 3 x ( a −1) a + 5 x 2a −1 + ... + nx b −1

∧b>0,

es completo y ordenado de 4 to

grado. a)7

b)6

c)4

d)3

e)2

20. Si al polinomio: P(x,y) = nxmyP +mxm-1 yP-1 + xn-8 le restamos 10x 3y4 ¿Cuánto vale el menor de los grado relativos? a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e)4

21. Hallar el valor de a 33 + P ( x )

1

, si el polinomio

a 99

6 9 = ( a 3 + b − c −10) x a + (c − b + 9) x 9 es

idénticamente nulo a) 2

b) 1

c) 0

d) 4

e) 3

22. En el Polinomio homogéneo b a −b 3 ab −a P ( x , y , z )

= ( xy )

a) 3

b) 5

d) 9

(nn-1) x3y3 + (mn - 2)y b) 3

≡

d)20

c) 0,2

d) 2,1

+ bn + c n n ( a + b + c)

an

1− n

a) 2

b) 3

b) 3

c) 1

d) 2

b) 5

c) 3

d) 7

d) 5

e) 6

−2

Calcular: a) 60

 abc  S =    a + b + c 

b) 62

c) 64

d) 66

e) 1

Dado el polinomio completo y ordenado:

= cxb

b

+a a +a

+ ax a

b) 11

a

+2a

+ bx2 a + 26 − 3 xc

c) 12

Calcular

e)10

e) 3,4

5

a)

e) 1

x

7

⋅

y

7

a +b

−1

d)13

5

−1

+ ... + abc

e) 14

“

⋅ a −b x2

2

sabiendo

que :

+ xa ⋅ 3 y 2 z −3b + 2 xyz 2

z b)

a ” b

−3

2

c)

−5

d)

3

2 3

e) 2

33. Si el trinomio: a

x a +b

+ b x b+c + c x a +c

es homogéneo de

grado 10 ¿de que grado será el monomio:

e) 4

26. Determinar el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado de [P(x)] 2[Q(x)] 3 es igual a 21; además el grado de [P(x)] 4 [Q(x)] 2 es igual a 20. a) 2

c) 4

30. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (a+c-3abc)x 2y+(a+b-6abc)xy+(b+c-7abc) Siendo (abc) ≠ 0 ;

32.

25. Si el Polinomio completo es de (4+a) términos P(x) =2ax2a +(2a-1) x 2a-1 + (2a-2)x 2a-2 + ... Hallar el valor de “a” a) 0

e) 15

P(x,y,z)=3axa+2yb+2 + 2bya+1zc+3 + 5c.xb+4zc un polinomio homogeneo de grado “m+2”, calcular:

- 3 x3y3 + 62y

c)30

d) 13

e) 15

24. Calcular los valores de m y n para que el polinomio sea completo. P(x) = (2+m)x m+n + 5x2 + 1 + 2xn b)2,3

c) 12

29. Siendo:

Q=

a) 0,1

+ 4 x + c 1 = 2 + ( P + 5) x + cx + 2c L

b) 11

a) 10 c) 7

23. En la identidad las variables son x e y a)-3

a) 10

P ( x)

Hallar a + b + c

3

Hallar el valor de: M + P + C + L

31.

+ 2 z 0

+ y

e) 5

28. Si se cumple la identidad:

c)VFV b

d) 4

a

a) 7

x b

⋅ c xa ⋅ b xc b) 13

c) 27

d) 30

e) 33

34. Si: P(x) = 45x5 - 2xp+1 - xq-2 + 3x2 + x+1 es completo y ordenado ; hallar el numero de terminos


7



del siguiente polinomio tambien completo ordenado. S(x) = xp + q – 1 + 2xp + q – 2 + … + 3x + 2 a) 8

b) 12

c) 5

d) 6

y

si: G( x +1)

   2 

d) ½

d) -13

1987

e) 0

a) 1

P ( 2) P (1) − P (0) P ( 2) c) 3

b) 1

39. Si: Q( x) =

c) 2

4 x − 2

e) -5

d) -2

e) x

b) 2

c) 3

b) 15

5

c) -1

d) 1

e) 0

45. A partir de las relaciones:

b) -3

c) -6

d) -1

e) -12

− x = P  a +b  + P  a −b   

8

 

c) x2

b) x

 

6

d) x-1

  e) 1

47. Si: F(x+3) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + x

d) 4

c) 17

3

-3(3-3.x)-993-3.

b) 3

a) x+1

G(x – 2) = 13 + 23 + 33 + 43 + … + x3

e) 5

Hallar: E

40. Si: P(x) = 3x – 1 y S(x) = 2x – 2 Calcular: R = P(1 + P 0 S(2)) a) 13

a) -3

S ( x +12 )

M = Q(Q(5)) + Q(Q(-2)) + Q(Q(1)) a) 1

d)

46. Siendo P(x) = ax + b ; a ≠ 0 Tal que: P(a2 – 2b) = P(b + 12 – 2a 2) P(2ª + b – 2) = P(a + b + 1) Determinar S(x) si:

; determinar el valor de:

3 x − 4

2 3

Determinar el valor numerico de: S = P(P(P(P(P(-3)))))

a) -9

d) 4

38. Si: P(x) = 2x 2 +1 ; Calcular el valor de: E = P(P(x)) – 4x2 . P(x) – 2P(x) a) -1

c)

Hallar el valor de: G( H ( F ( −1 ) ) )

P ( −2) + P ( −1)

b) 2

3 2

F(2x + 3) = 6x + 11 F[G(x + 1)] + H(x – 1) = 18x – 10 F[G(x + 2) +H(x)] = -6x + 2

37. Si se sabe que: P(x) = 2x2 - 1 ; Hallar: S =

3

P(x)=x

; si este se anula para mas de dos valores diferentes, atribuidas a su variable. c) -12

b)

44. Sabiendo que:

e) 0

P(x)=(a+3)(x-1)(x+2)+(b-2)(x-1)(x+10)+(c-2)(x+2)(x+10)

b) -11

− F ( x −1) F ( x +1) − F F ( x )

e) 1

   2 

c) 1

5

a)

36. Calcular “abc” en el polinomio:

a) -10

=

( x )

= x

b) -2

;

Hallar G(1)

+1 x y Q( x ) = x −1 x −1 E = Q 1  − P  1  Hallar: a) 2

x + 5

e) 14

35. Sabiendo que:

P ( x )

x + 4

43. Si: F ( x) =

d) 20

e) 52

=

G( x − 3) 2 F ( x − 2) 2

Bien Hecho, eres lo máximo.

41. Si P(x) = 2x + 1 y S(x) = 3x - 2. Calcular: N ( 0 )

a)

1 4

=

b)

P (1 − P 0 S ( x ) ) S (1 + S 0 P ( x ) ) 1

c)

−

4

3 4

d)

3 −

4

e) 1

42. Sabiendo que: Calcular: a) -5

P 

1 

 1−   x 

= 4 x 2 − 2 x − 5

P  2     3 

b)

1 5

c)

3 2

d)

3 5

e) 1


8

3. Factorización y Polinomios

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