9.7 Polinomios de Taylor Taylor y aproximación •
•
•
Encontrar aproximaciones polinomiales de las funciones elementales y compararlas con las funciones elementales. Encont Encontrar rar aproxi aproximac macion iones es median mediante te polino polinomio mios s de Taylor ylor y Maclau Maclaurin rin a funcio funciones nes elementales. Emplear el residuo de un polinomio de Taylor.
Aproximaciones polinomiales a funciones elementales El objetivo de esta sección es mostrar cómo pueden usarse las funciones polinomiales como aproximaci aproximaciones ones a otras funciones funciones elementale elementales. s. Para encontrar encontrar una función polinomial polinomial P que aproxime aproxime otra función función que P y
t
f , se comienza por elegir un número
c en el dominio de
f en el
tengan el mismo valor. Es decir
P ( c )=f ( ( c ) . Las gráfi gráficas cas def y P pasan pasan por por ( c , f ( ( c ))
!e dice que la aproximación polinomial se expande alrededor de
c
o est" centrada en
( c ) significa que la gr"fica de P #eom$tricamente el requisito de que P ( c )= f ( por el punto
c.
debe pasar
( c , f ( ( c )) . Por supuesto %ay muc%os polinomios cuyas gr"ficas pasan por el punto
(c , f ( ( c )) . &a tarea es encontrar un polinomio cuya gr"fica se parezca a la gr"fica de f en la cercan'a de este punto. (na manera de %acer esto es imponer el requisito adicional de que la pendiente de la función polinomial sea la misma que la pendiente de la gr"fica de f en el punto
(c , f ( ( c )) . P' P ' ( c )= f ' ( c ) . Las Las gráf gráfic icas as de f y P tien tienenla enla mism misma a pend pendie ient ntee en ( c , f ( ( c ))
)on estos dos requis requisito itos s se puede puede obtener obtener una aproxima aproximació ción n linea lineall simple simple a
f , como se
muestra en la figura *.+,.
)erca de
(c , f ( ( c )) la gr"fica de P puede usarse para aproximar la gr"fica de Figura 9.10
EJEMPLO 1 Aproximación a
f ( ( x )=e
x
mediante un polinomio de primer grado
f ( ( x )=e
-ada la función
x
encontrar una función polinomial de primer grado
P1 ( x ) = a0 + a1 ( x )
cuyo valor y pendiente en x =0 coincidan con el valor y la pendiente de f ( ( x ) =e
Solución )omo
x
y
f ' ( x )= e
x
f.
el valor y la pendiente de f en x =0
est"n dados por
f ( ( 0 )=e =1 0
f ' ( 0 )=e =1. 0
)omo
P 1 ( x )= a0 + a1 ( x ) ,
( 0 ) P1 ( 0 )= f (
se puede usar la condición
( ) m"s como P1 x = a1 , se puede usar la condición '
para concluir que
P' P ' 1 ( 0 )= f ' ( 0 )
a0 =1.
para concluir concluir que
Es
a1 = 1
Por consiguiente P1 ( x ) =1 + x
P1
es la aproximación polinomial de primer grado de
f ( ( x ) =e
x
Figura 9.11 &a figura *.++ muestra las gr"ficas de
P1 ( x ) =1 + x
y
f ( ( x )=e . x
NTA En el ejemplo + no es la primera vez que se usa una función lineal para aproximar otra función. El mismo procedimiento se usó como base para el m$todo de /e0ton.
f ( ( x )=e
-ada la función
x
encontrar una función polinomial de primer grado
P1 ( x ) = a0 + a1 ( x )
cuyo valor y pendiente en x =0 coincidan con el valor y la pendiente de f ( ( x ) =e
Solución )omo
x
y
f ' ( x )= e
x
f.
el valor y la pendiente de f en x =0
est"n dados por
f ( ( 0 )=e =1 0
f ' ( 0 )=e =1. 0
)omo
P 1 ( x )= a0 + a1 ( x ) ,
( 0 ) P1 ( 0 )= f (
se puede usar la condición
( ) m"s como P1 x = a1 , se puede usar la condición '
para concluir que
P' P ' 1 ( 0 )= f ' ( 0 )
a0 =1.
para concluir concluir que
Es
a1 = 1
Por consiguiente P1 ( x ) =1 + x
P1
es la aproximación polinomial de primer grado de
f ( ( x ) =e
x
Figura 9.11 &a figura *.++ muestra las gr"ficas de
P1 ( x ) =1 + x
y
f ( ( x )=e . x
NTA En el ejemplo + no es la primera vez que se usa una función lineal para aproximar otra función. El mismo procedimiento se usó como base para el m$todo de /e0ton.
N P2
es la aproximación polinomial de segundo grado para
f ( ( x )=e
x
Figura 9.1! T En la figura *.+1 se puede ver que en los puntos cercanos a
( 0, 1) , la gr"fica de
P1 ( x )=1 + x Aproximación Aproximación de primer grado .
est" razonablemente cerca a la gr"fica de !in embargo al alejarse de
(0, 1) , las gr"ficas se
apartan y la precisión de la aproximación disminuye. Para mejorar la aproximación se puede imponer imponer otro requisito requisito todav'a2 todav'a2 que los valores de las segundas segundas derivadas derivadas de P y f sean igu iguales ales en
x =0 . El poli polino nomi mio o de meno menorr grad grado o
P2 ,
que satis satisfac face e los tres tres requis requisito itos s
P2 ( 0 ) = f ( ( 0 ) , P ' 2= f ( 0 ) y P2 ´ = f ( 0 ) , puede mostrarse que es A '
' '
' '
1 2
2
P 2 ( x )=1 + x + x Aproximación Aproximación de segundo grado. grado .
Es m"s en la figura *.+1 se puede ver que
P2
es una mejor aproximación que
cont contin inúa úa con con este este patró patrón n requ requir irie iend ndo o que que los los valo valore res s de coincidan con las de 1 2
2
Pn ( x x ) =1 + x + x +
f ( ( x ) =e
x
Pn ( x )
1 3 1 n x x + … + x ≈ e Aproximación Aproximación de n−ésimo grado 3! n!
EJEMPLO 2 Aproximación a mediante un polinomio de tercer grado )onstruir una tabla que compare los valores del polinomio 1 2
2
!i se
y de sus sus prim prime eras ras
en x =0 se obtiene lo siguiente.
P3 ( x ) =1 + x + x +
P1 .
1 3 x Aproximación Aproximación de tercer tercer grado . 3!
n
)on
f ( ( x ) =e
x
para varios valores de x cercanos a
0.
Solución (sando una %erramienta de graficación o una computadora se pueden obtener los resultados mostrados en la tabla. /ote que para x =0 las dos funciones tienen el mismo valor 0,
pero al alejars alejarse e
x
0,
del del valor valor
la precisión precisión de la aproximación aproximación polinomial polinomial
P3 ( x )
disminuye.
T"#N$%&A Puede Puede usarse usarse una %erram %erramien ienta ta de grafic graficaci ación ón para para compar comparar ar la gr"fic gr"fica a del del polinomio polinomio de aproximación aproximación con la gr"fica de la función función
f.
Por ejemplo en la figura *.+3 la
gr"fica de 1 2
2
P3 ( x ) =1 + x + x +
1 3 x Aproximación Aproximación de tercer tercer grado . 3!
se compara con la gr"fica de
f ( ( x )=e . !i se tiene acceso a una %erramienta de graficación se x
puede tratar de comparar las gr"ficas de 1 2
2
1 6
3
P4 ( x ) =1 + x + x + x +
1 2
2
P3 ( x )=1 + x + x +
1 2
2
P3 ( x ) =1 + x + x +
P3
1 4 x Aproximaci Aproximación ónde de tcuartogrado tcuarto grado 24
1 3 1 4 1 5 x + x + x Aproximaci Aproximación ón de uinto grado 3! 24 120
1 3 1 4 1 5 1 6 x x + x + x Aproximación Aproximación de sexto grado 3 ! 24 120 720
es la aproximación polinomial de tercer grado para
Figura 9.1' con la gr"fica de f . 45u$ se nota6
f ( ( x )=e
x
7unque Taylor no fue el primero en buscar aproximaciones polinomiales para funciones trascendentes su trabajo publicado en +8+9 fue una de las primeras obras acerca de la materia .
Polinomios de Taylor y de (aclaurin &a aproximación polinomial de
f ( x )= e
x
dada en el ejemplo 1 estaba centrada en
aproximaciones centradas en un valor arbitrario de
c,
n
x − c ¿ . 3 x −c ¿ + … + a n ¿ 2
x − c ¿ + a3 ¿ Pn ( x ) = a0 + a1 ( x −c ) + a2 ¿
En esta forma las derivadas sucesivas dan como resultado n −1
2
x −c ¿ + 4 a 4 ¿ Pn ' ( x )= a1 + 2 a2 ( x − c )+ 3 a3 ¿ n−2
x −c ¿ 3 x − c ¿ + … + n ( n−1 ) an ¿ Pn ' ' ( x ) =2 a2+ 2 ( 3 a3 ) ( x −c ) + 4 ( 3 a 4 )¿ n−3
x −c ¿ '' ' Pn ( x )= 2 ( 3 a 2 ) + … + n ( n −1 ) ( n −2) an ¿ ⋮
Para
es conveniente escribir el polinomio en
la forma
x − c ¿ 3 x − c ¿ + … + n an ¿
c =0.
(n )
Pn ( x )=n ( n − 1 ) ( n−2 ) … ( 2 ) ( 1 ) an .
!ea x =c , obteniendo entonces Pn ( c ) =a0 , Pn ( c ) =a1 , P n ( c )=2 a2 , … , Pn '
' '
n
( c )=n !an
f y sus primeras derivadas debe coincidir con el valor de
y como el valor de primeras
( n)
derivadas en x =c ,
P n
y sus
se sigue que
(n )
f ( c ) f ( c ) =a 2 , … , = an f ( c )= a0 , f ( c )=a1 , 2! n! ' '
'
)on estos coeficientes se puede obtener la definición siguiente de polinomios de Taylor en %onor al matem"tico ingl$s :roo; Taylor y polinomios de (aclaurin en %onor al matem"tico ingl$s )olin Maclaurin <+=*>?+8@=A.
)"F*N*#*N"S )"$ P$*N(* )" TA+$, + )" (A#$A-,*N )" %,A) n !i
f
tiene
n
derivadas en
c,
entonces el polinomio
n
x −c ¿ f (n ) ( c ) 3 ¿ x − c ¿ + … + n! '' 2 f ' ( c ) ¿ x −c ¿ + 3! ' '
f ( c ) ¿ Pn ( x ) = f ( c )+ f ' ( c ) ( x −c ) + 2!
se llama polinomio de Taylor de grado
n
para f en el punto c . !i c =0 entonces
n
x ¿ f (n ) ( 0 ) 3 ¿ x ¿ + … + n! '' 2 f ' ( c ) ¿ x ¿ + 3! ''
f ( 0 ) ¿ Pn ( x ) = f ( 0 )+ f ' ( 0 ) ( x ) + 2!
tambi$n se llama polinomio de (aclaurin de grado
n
para f .
NTA &os polinomios de Maclaurin son tipos especiales de polinomios de Taylor en los que c =0. EJEMPLO 3 -n polinomio de (aclaurin para
f ( x )= e
x
Encuentre el polinomio de Maclaurin de grado
n
para
f ( x )=e . x
Solución -e la discusión en la p"gina =9+ el polinomio de Maclaurin de grado x f ( x ) =e est" dado por Pn ( x )=1 + x +
Encontrar los polinomios de Taylor
P 0 , P1 , P 2 , P3
Solución -esarrollando respecto a c =1
y
ln x
P 4
para
1
'
f ( x )= f (1)= =1 x 1
f ' ' ( x )=
−1 x
f ' ' ' ( x )=
(4 )
f ( x )=
' '
f (1 ) =
2
2!
x
3
' '
−3 ! x
−1 =−1 2 1
f ' ( 1 )=
4
(4 )
f
2!
( 1) =
=2
3
1
−3 ! 4
1
=−6
Por consiguiente los polinomios de Taylor son como sigue. P0 ( x ) = f ( 1 )=0 P1 ( x ) = f ( 1 )+ f (1 ) ( x −1 )=( x −1 ) '
2
x −1 ¿
' '
f ( 1 ) ¿ P2 ( x )= f ( 1 ) + f ( 1 ) ( x −1 ) + 2! '
2
x −1 ¿
¿ ( x −1 )− 1 ¿ 2
f ( x )= ln x centrado en
se obtiene lo siguiente.
1 =¿ 0 f ( x )= ln x f ( 1 ) = ln ¿
1
para
1 2 1 3 1 n x + x + … + x . 2! 3! n!
EJEMPLO 4 "ncontrar polinomios de Taylor para
'
n
c =1.
3
x −1 ¿ '' ' 2 f ( 1 ) ¿ x −1 ¿ + 3! ' '
f ( 1 ) ¿ P3 ( x ) = f ( 1 )+ f ( 1 ) ( x −1 ) + 2! '
1 3
2
3
x −1 ¿ + ( x −1 ) 1 2
¿ ( x −1 )− ¿
4
x −1 ¿ ( 4) f ( 1 ) 3 ¿ x −1 ¿ + 4! ' '' f ( 1 ) 2 ¿ x −1 ¿ + 3! ''
f ( 1 ) ¿ P4 ( x ) =f ( 1 ) + f ( 1 ) ( x −1 )+ 2! '
2
x −1 ¿
1 3
1 4
+ ( x −1 )3− ( x −1 )4 1 2
¿ ( x −1 )− ¿
&a figura *.+@ compara las gr"ficas de
P1 , P2 , P3
P 4
y
con la gr"fica de
f ( x )= ln x . /otar
P4 ( 0.9 )=−0.105358 que cerca de x =1 las gr"ficas son casi indistinguibles. Por ejemplo ln ( 0.9 ) ≈− 0.105361 .
)uando
n
aumenta la gr"fica de de
Pn
se convierte en una mejor aproximación de la gr"fica
f ( x )= ln x cerca de x =1
Figura 9.1 EJEMPLO 5 "ncontrar los polinomios de (aclaurin para Encontrar los polinomios de Maclaurin para aproximar el valor de
P 0 , P2 , P 4
y
P 6
cos x
para
cos ( 0.1) .
Solución -esarrollando respecto de c =0 se obtiene lo siguiente
f ( x )=cos x . (sar
P6 ( x )
y
0=¿ 1 f ( x )=cos x f ( 0 )=cos ¿
f ( x )=−sen x f ( 0 )=−sen 0= 0 '
'
f ( x )=−cos x f ( 0 )=−cos0 =−1 ' '
' '
f ( x )= senx f ' ( 0 ) =sen 0 =0 ' ' '
' '
7 trav$s de repetida derivación puede verse que el patrón
1,0,− 1, 0
se repite y se obtienen los
polinomios de Maclaurin siguientes. P0 ( x ) =1, P2 ( x ) =1−
P4 ( x ) =1−
1 2 1 4 1 2 1 4 1 6 x + x , P6 ( x )=1− x + x − x 2! 4! 2! 4! 6!
P6 ( x )
(sando
1 2 x 2!
se obtiene la aproximación
cos ( 0.1) ≈ 0.995004165
que coincide con el valor de
la %erramienta de graficación a nueve decimales. En la figura *.+9 se comparan las gr"ficas de f ( x ) =cos x y P 6 .
En la cercan'a de
( 0, 1) la gr"fica de P6 puede usarse para aproximar la gr"fica de f ( x )=cos x
Figura 9.1/ /otar que en el ejemplo 9 los polinomios de Maclaurin para el de
x . !imilarmente los polinomios de Maclaurin para
de
x
sen x
cos x
senx
sólo tienen potencias pares
sólo tienen potencias impares
cos x
desarrollados respecto de
c0
como se puede ver en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 6 "ncontrar un polinomio de Taylor para
sen x
f ( x )= sen x desarrollado respecto de
Encontrar el tercer polinomio de Taylor para
c = " / 6.
Solución -esarrollando respecto de c = " / 6 se obtiene lo siguiente. " 6
=¿
1 6
( )= "
f ( x )= senxf
" 6
6
sen ¿
=¿ √
3 2
'
'
f ( x )=cos x f
( )= " 6
" 6
=¿−
' '
''
f ( x )=−senxf
cos ¿
1 2
( )=− " 6
sen ¿
=¿− √ 3
" 6
2
( )=−
' ' '
f ( x )=−cosx f ' ' '
"
cos ¿
6
7s' el tercer polinomio de Taylor para
P3 ( x ) = f
( )+ ( )( − )+ " 6
f '
"
x
6
"
()
f ' '
" 6
2!
6
f ( x )= sen x desarrollado respecto a
( − )+ x
"
2
1
2 2!
x
" 6
2
√ 3
2 3!
x
&a figura *.+= compara las gr"ficas de
" 6
" 6
3!
6
( )− ( ) ( − ) + ( ) ( − )
1 √ 3 " ¿ + x − 2 2 6
()
f '' '
(−) x
"
3
6
3
.
f ( x )= sen x
y
P3 .
c = " / 6,
es
" 1 P3 ( , ) En la cercan'a de puede usarse para aproximar la gr"fica de 6 2 la gr"fica de f ( x ) = sen x
Figura 9.1 &os polinomios de Taylor y de Maclaurin pueden usarse para aproximar el valor de una función en un punto espec'fico. Por ejemplo para aproximar el valor de ln ( 1.1 ) , se pueden usar los f ( x )= ln x desarrollados respecto de
polinomios de Taylor para
c =1,
como se muestra en el
ejemplo @ o se pueden usar los polinomios de Maclaurin como se muestra en el ejemplo 8. EJEMPLO 7 Aproximación por polinomios de (aclaurin (sar un polinomio de Maclaurin para aproximar el valor de
ln ( 1.1 ) .
Solución )omo +.+ est" m"s cerca de + que de , se deben considerar polinomios de Maclaurin para la función g ( x ) =ln ( 1 + x ) ( 1 + 0)=¿ 0 g ( x ) = cos x g ( 0 ) =ln ¿ −1
−1
g ( x ) =( 1 + x ) g ( 0 )=( 1 + 0 ) = 0 '
'
−2
' '
−3
''
−2
g ( x )=−( 1 + x ) g ( 0 ) =−(1+ 0 ) =−1 ' '
−3
g ( x )= 2 ( 1+ x ) g ' ( 0 )=2 ( 1 + 0 ) = 2 ' ' '
(4 )
g
( x ) =−6 ( 1 + x )−4 g( 4) ( 0 )=−6 ( 1 +0 )−4 =−6
/otar que se obtienen los mismos coeficientes que en el ejemplo @. Por consiguiente el polinomio de Maclaurin de cuarto grado para g ( x ) =ln ( 1 + x ) es
' '
'' '
( 4)
g ( 0) 2 g ( 0 ) 3 g ( 0 ) 4 P4 ( x ) = g ( 0 ) + g ( 0 )( x )+ ( x ) + ( x ) + ( x ) 2! 3! 4! '
1 2
1 3
1 4
¿ x − x2 + x 3− x 4 .
Por consiguiente ln ( 1.1 )= ln ( 1+ 0.1) ≈ P 4 ( 0.1) ≈ 0.0953083 .
Berificar que el polinomio de Taylor de cuarto grado
x =1.1, da el
mismo resultado. &a tabla a la izquierda ilustra la precisión de la aproximación del polinomio de Taylor al valor que da la %erramienta de graficación para ln ( 1.1 ) . !e puede ver que conforme n crece Pn ( 0.1 )
tiende al valor de la %erramienta de graficación que es ,.,*93+,1.
Por otro lado la siguiente tabla ilustra que conforme se aleja uno del punto de desarrollo
Aproximación de
ln ( 1 + x )
mediante un polinomio de Taylor de cuarto grado
Estas dos tablas ilustran dos puntos muy importantes sobre la precisión de los polinomios de Taylor
1. &a aproximación es normalmente mejor en los valores de x cercanos a c que en valores alejados de
c.
!. &a aproximación es generalmente mejor para los polinomios de Taylor
,esiduo de un polinomio de Taylor
(na t$cnica de aproximación es de poco valor sin alguna idea de su precisión. Para medir la precisión de una aproximación al valor de una función f ( x ) mediante un polinomio de Taylor Pn ( x )
se puede usar el concepto de residuo
#n ( x )
definido como sigue.
f ( x )= Pn ( x ) + # n ( x )
7s'
#n ( x ) =f ( x ) − Pn ( x )
El valor absoluto de se llama error de la aproximación.
Es decir $rror =| #n ( x )|=|f ( x ) − P n ( x )| El siguiente teorema da un procedimiento general para estimar el residuo de un polinomio de Taylor. Este importante teorema es conocido como el teorema de Taylor y el residuo dado en el teorema se llama fórmula del residuo de $agrange . <&a demostración del teorema es larga y se da en el ap$ndice 7.A
T","(A 9.19 T","(A )" TA+$, !i una función
f
es derivable %asta el orden
entonces para toda x
en % , existe &
n +1
en un intervalo %
entre x
que contiene a
c,
es derivable en un intervalo
%
c
y
tal que
(n )
f ( c ) f ( c ) f ( c ) ( x − c )2+ ( x − c )3 + … + ( x − c )n+ # n ( x ) f ( x )= f ( c )+ f ( c ) ( x −c ) + 2! 3! n! ' '
' ' '
'
donde ( n + 1)
( & ) f #n ( x ) = ( x − c )n+1 . ( n +1 )! NTA (na consecuencia útil del teorema de Taylor es que
| x −c|n+1 | #n ( x )|< ( n +1 ) ! max|f ( n+1 )( & )| donde Para
max|f
( n + 1)
n =0,
( & )| es el valor m"ximo de f ( n+1 )( & ) entre x y c .
el teorema de Taylor establece que si c , entonces para cada x
conteniendo
f ( x )= f ( c )+ f ( & ) ( x −c ) o f ( & ) = '
'
f
en % , existe &
entre x
y
c
tal que
f ( x ) −f ( c ) x − c
4Ceconoce este caso especial del teorema de Taylor6
7l aplicar el teorema de Taylor no se debe esperar poder encontrar el valor exacto de & .
El polinomio de Maclaurin de tercer grado para P3 ( x ) = x −
x
est" dado por
3
3!
.
sen ( 0.1 ) mediante
(sar el teorema de Taylor para aproximar
P3 ( 0.1 )
y determinar la
precisión de la aproximación.
Solución 7plicando el teorema de Taylor se tiene (4 )
f ( & ) 4 sen x = x − + #3 ( x ) = x − + x 3! 3! 4! x
-onde
3
0 < & < 0.1 .
sen ( 0.1 ) ≈ 0.1 −
)omo
x
Por consiguiente
( 0.1 )3 3!
3
≈ 0.1 − 0.000167 =0.099833 .
( 4 )
f ( & )= sen&, se sigue que el error
0 < #3 ( 0.1 )=
| # ( 0.1 )|
puede acotarse como sigue.
3
sen & 0.0001 ≈ 0.00004 ( 0.1 )4 < 4! 4!
Esto implica que 0.099833 < sen ( 0.1 )=0.099833 + # 3 ( x ) < 0.099833 + 0.00004 0.099833 < sen ( 0.1 ) < 0.099837
NTA Dntentar verificar los resultados obtenidos en los ejemplos > y * usando una %erramienta de graficación. En el ejemplo > se obtiene sen ( 0.1 ) =0.0998334 . En el ejemplo * se obtiene P3 ( x ) ≈ 0.1827 y ln ( 1.2 ) ≈ 0.1823 . EJEMPLO 9 Aproximar un alor con una precisión determinada -eterminar el grado del polinomio de Taylor usarse para aproximar
ln ( 1.2 )
Pn ( x )
desarrollado respecto de
de manera que el error sea menor que ,.,,+.
c =1 que debe
Solución !iguiendo el modelo del ejemplo @ se puede ver que la derivada de orden (n + 1 ) de f ( x )= ln x est" dada por f ( n+1 ) ( x ) =(−1 )
n!
n
x
n +1
(sando el teorema de Taylor se sabe que el error
| #n ( 1.2 )|
est" dado por
n+ 1
1.2−1 ¿
f ( n +1) ( & )
( n+ 1) !
¿=
n! &
n+ 1
[( + ) ] 1
n 1 !
( 0.2 )n+1
| #n (1.2 )|=¿ (0.2 )n+1 ¿ n +1 & ( n + 1) ( 0.2 )n+1 < < -onde 1 & 1.2 . En este intervalo & n +1( n + 1 ) un valor de
n
( 0.2 )n+1 < 0.001 ( n + 1)
( 0.2 )n+1 es menor que ( n + 1) . 7s' pues se busca
tal que
⟹
n +1
1000 <( n + 1) 5
Por ensayo y error puede determinarse que el menor valor de desigualdad es
n =3.
n
que satisface esta
Por tanto se necesita el polinomio de Taylor de tercer grado para lograr
la precisión deseada al aproximar
ln ( 1.2 ) .
9.7 "2ercicios "n los e2ercicios 1 a 3 asociar la aproximación polinomial de Taylor para la función con la gr4fica correcta. 5$as gr4ficas se eti6uetan a3 b3 c y d .8
1. g ( x ) =
!olución2
−1 2
2
x +1
1 4 1 2 2. g ( x ) = x − x + 1 8 2
!olución2
−1 /2
3. g ( x ) = e
[( x +1 ) + 1 ]
!olución2
−1 / 2
4. g ( x ) =e
[
1 ( x + 1 )3−( x −1)+ 1 3
]
!olución2
"n los e2ercicios / a 3 encontrar una función polinomial de primer grado cuyo alor y pendiente coincidan con el alor y pendiente de f en x =c . -sar una :erramienta de graficación para representar gr4ficamente f y 5. f ( x ) =
!olución2
8
√ x
, c= 4
P1
;#ómo se le llama a P1 <
6 6. f ( x )= 3 , c = 8
√ x
!olución2
7. f ( x ) =sec x ,c =
!olución2
" 4
8. f ( x )= tan x , c =
" 4
!olución2
Análisis gráfico y n!"rico "n los e2ercicios 9 y 103 usar una :erramienta de graficación para representar gr4ficamente f y su aproximación polinomial de segundo grado P2
en x =c . #ompletar la ta=la 6ue compara los alores de f y P2 . 9. f ( x )=
4
√ x
3 2
2
,c =1 P2 ( x ) =4 −2 ( x −1 ) + ( x −1 )
!olución2
"
( )
2
"
3 " 10. f ( x ) =sec x ,c = P2 ( x )=√ 2+ √ 2 x − + √ 2 ( x − ) 4 4 2 4
!olución2
11. #on$%&ra )onsiderar la función f ( x )=cos x y sus polinomios de Maclaurin
P2 , P4 y P6
f
polinomiales indicadas. bA Evaluar y comparar los valores de
( n)
(n )
f ( 0 ) y P ( 0 ) para
n =2, 4 y 6.
y las aproximaciones
c A (sar los resultados del apartado bA para %acer una conjetura sobre
( n)
f ( 0 ) y P
(n )
( 0) .
!olución2
1!. #on$%&ra )onsiderar la función
f ( x )= x e 2
aA Encontrar los polinomios de Maclaurin
x
P2 , P3 y P 4
para
bA (sar una %erramienta de graficación para representar c A Evaluar y comparar los valores de
( n)
(n )
f.
f,
f ( 0 ) y P ( 0 ) para
P2 , P3 y P3 n =2,3 y 4.
d A (sar los resultados del apartado c A para %acer una conjetura sobre
( n)
f ( 0 ) y P
(n )
(0) .
!olución2
"n los e2ercicios 1' a !3 encontrar el polinomio de (aclaurin de grado n para la función. 13. f ( x ) =e
!olución2
3 x
,n =4
− x
14. f ( x ) =e
,n = 5
!olución2
15. f ( x ) =e
− x / 2
,n =4
!olución2 x /3
16. f ( x ) =e
, n= 4
!olución2 17. f ( x ) =s e n x , n=5
!olución2
18. f ( x ) =sen"x,n =3
!olución2
19. f ( x ) = x e , n= 4 x
20. f ( x )= x e 2
− x
, n= 4
!olución2
21. f ( x )=
1
x + 1
!olución2
,n =5
22. f ( x )=
x
x + 1
,n =4
!olución2
23. f ( x )=sec x ,n =2
!olución2
24. f ( x )=tan x , n=3
!olución2
"n los e2ercicios !/ a '03 encontrar el polinomio de Taylor de grado n centrado en c . 2 25. f ( x )= , n =4, c = 1
x
!olución2
26. f ( x )=
1
x
!olución2
2
, n =4, c = 2
27. f ( x )=√ x , n= 3, c =4
!olución2
28. f ( x )=√ x , n= 3, c =8 3
!olución2
29. f ( x )=ln x , n =4, c =2
!olución2
30. f ( x ) = x cos x , n= 2, c = " 2
!olución2
"n los e2ercicios '1 y '!3 usar un sistema alge=raico por computadora para encontrar los polinomios de Taylor indicados para la función f . ,epresentar gr4ficamente la función y los polinomios de Taylor. 31. f ( x ) =tan "x , ( a ) n =3, c =0 ( ) n =3, c =" / 4
!olución2
32. f ( x ) =1 /( x
!olución2
2
+ 1) , ( a ) n= 4, c =0 ( ) n =4, c =1
''. A'ro(i!acion%s n!"ricas y gráficas P1 ( x ) , P3 ( x ) y P 5 ( x ) y para f ( x ) = sen x para completar la aA (sar los polinomios de Maclaurin tabla.
bA (sar una %erramienta de graficación para representar
f ( x )= sen x y los polinomios de
Maclaurin en el apartado aA. c A -escribir el cambio en la precisión de una aproximación polinomial conforme aumenta la distancia al punto en el que se centra el polinomio. !olución2
Para discusión '. A'ro(i!acion%s n!"ricas y gráficas P1 ( x ) , P2 ( x ) y P4 ( x ) aA (sar los polinomios de Taylor
f ( x )=e
x
correspondientes a
centrada en
c =1 para completar la tabla.
bA (sar una %erramienta de graficación para graficar
f ( x ) =e
x
y los polinomios de Taylor en el
inciso aA. c A -escribir el cambio en la precisión de aproximaciones polinomiales a medida que aumenta el grado. !olución2
A'ro(i!acion%s n!"ricas y gráficas "n los e2ercicios '/ y '3 a encontrar el polinomio de (aclaurin P3 ( x ) para f ( x ) b completar la ta=la para f ( x ) y P3 ( x ) y c di=u2ar
las gr4ficas de f ( x ) y P3 ( x ) en el mismo e2e de coordenadas.
35. f ( x ) =arcsen x
!olución2
36. f ( x ) =arctan x
!olución2
"n los e2ercicios '7 a 03 la gr4fica de y = sen x se muestra con cuatro de sus polinomios de (aclaurin. *dentificar los polinomios de (aclaurin y usar una :erramienta de graficación para confirmar sus resultados.
!olución2
!olución2
!olución2
!olución2
"n los e2ercicios 1 a 3 aproximar la función al alor dado de x , usando el polinomio encontrado en el e2ercicio indicado. 41. f ( x )=e
()
3 x
, f
2
− x
1 , e(ercicio 13 2
!olución2
42. f ( x )= x e
, f
()
1 , e(ercicio 20 5
!olución2
43. f ( x )= ln x , f ( 2.1 ) , e(ercicio 29
!olución2
2
44. f ( x )= x cos x , f
( )
7 " , e(ercicio 30 8
!olución2
"n los e2ercicios / a 3 usar el teorema de Taylor para o=tener una cota superior para el error de la aproximación. )espu>s calcular el alor exacto del error.
( 0.3 )2 ( 0.3 ) 4 + 45.cos ( 0.3 ) ≈ 1− 2!
4!
!olución2
( 1 )2 ( 1 )3 ( 1 )4 ( 1 )5 + + + 46. e ≈ 1 + 1 2!
3!
4!
!olución2
47. arcsen ( 0.4 ) ≈ 0.4 +
( 0.4 )3 2)3
!olución2
48. arctan ( 0.4 ) ≈ 0.4−
!olución2
( 0.4 )3 3
5!
"n los e2ercicios 9 a /!3 determinar el grado del polinomio de (aclaurin re6uerido para 6ue el error en la aproximación de la función en el alor indicado de x sea menor 6ue 0.001. 49. sen ( 0.3 )
!olución2
50.cos ( 0.1 )
!olución2
0.6
51. e
!olución2
52.ln ( 1.25 )
!olución2
"n los e2ercicios /' a /3 determinar el grado del polinomio de (aclaurin re6uerido para 6ue el error en la aproximación de la función en el alor indicado de x sea menor 6ue 0.0001. -sar un sistema alge=raico por computadora para o=tener y ealuar las deriadas re6ueridas. /'. f ( x )= ln ( x + 1 ) aproximación f ( 0.5 ) . !olución2
/.
f ( x ) =cos ( " x
2
)
aproximación
f ( 0.6 ) .
!olución2
− "x //. f ( x )=e aproximación f ( 1.3 ) .
!olución2
− x /. f ( x )=e aproximación f ( 1 ) .
!olución2
"n los e2ercicios /7 a 03 determinar los alores de x para los cuales la función pueda reempla?arse por el polinomio de Taylor si el error no puede ser mayor 6ue 0.001. 57. f ( x ) =e ≈ 1 + x + x
x
2
2!
+
!olución2
x 58. f ( x ) =sen x ≈ x−
3
3!
!olución2
x
3
3!
, x < 0
2
4
2!
4!
x x 59. f ( x ) =cos x ≈ 1 − +
!olución2
−2 x
60. f ( x )=e
2
4 3
≈ 1 −2 x + 2 x − x
3
!olución2
)esarrollo de conceptos 1. (na función elemental se aproxima por un polinomio. En sus propias palabras describir qu$ significa decir que el polinomio se desarrolla respecto a c o centrado en c. !olución2
!. )uando una función elemental f es aproximada por un polinomio de segundo grado P2 centrada en
c
4qu$ se sabe sobre
f
y
P 2
en
c
6 Explicar el razonamiento.
!olución2
'. Enumerar la definición de un polinomio de Taylor grado n para f centrado en c . !olución2
. -escribir la precisión del polinomio de Taylor grado n para f centrado en c conforme aumenta la distancia entre
c
y x .
!olución2
/. En general 4cómo cambia la precisión de un polinomio de Taylor cuando el grado del polinomio aumenta6 Explicar el razonamiento. !olución2
. &as gr"ficas muestran aproximaciones polinomiales de primero segundo y tercer grados de P1 , P2 y P 3
!olución2
para una función
f . Etiquetar las gr"ficas de P 1 , P2 y P3 .
7. #o!'araci)n d% los 'olino!ios d% Maclarin aA )omparar los polinomios de Maclaurin de grado @ y grado 9 respectivamente para las x x ( ) ( ) = g x x e . 4)u"l es la relación entre ellos6 = f x e funciones y bA (sar el resultado en el apartado aA y el polinomio de Maclaurin de grado 9 para
para encontrar un polinomio de Maclaurin de grado = para la función
g ( x ) = x sen x .
c A (sar el resultado en el apartado aA y el polinomio de Maclaurin de grado 9 para
para encontrar un polinomio de Maclaurin de grado @ para la función
f ( x )= senx
f ( x )= senx
g ( x ) =( sen x )/ x .
!olución2
. *%ri+aci)n d% los 'olino!ios d% Maclarin aA -erivar el polinomio de Maclaurin de grado 9 para
polinomio de Maclaurin de grado @ para
g ( x ) = cos x
f ( x )= senx
y comparar el resultado con el
bA -erivar el polinomio de Maclaurin de grado = para
polinomio de Maclaurin de grado 9 para
f ( x )=cos x y comparar el resultado con el
g ( x ) =senx.
c A -erivar el polinomio de Maclaurin de grado @ para
f ( x ) =e . -escribir la relación entre las x
dos series. !olución2
9. ,a-ona!i%n&o gráfico &a figura muestra la gr"fica de la función
f ( x )= sen ( "x / 4 )
y el
2
polinomio de Taylor de segundo
x −2 ¿ x =2. 2 P2 ( x )=1 −( " / 32)¿ grado centrado en
aA (sar la simetr'a de la gr"fica de * 2 ( x )
f
para escribir el polinomio de Taylor de segundo grado
para f centrado en x =−2.
bA (sar una traslación %orizontal del resultado en el apartado aA para encontrar el polinomio de #2 ( x ) Taylor de segundo grado para f centrado en x =6. c A 4Es posible usar una traslación %orizontal del resultado en el apartado aA para escribir el polinomio de Taylor de segundo grado para f centrado en x =4 6 Explicar su razonamiento.
!olución2
