ALGEBRA y GEOMETRIA I - L.C.C PRACTICA 2: Polinomios A˜ no no 2009
OPERACIONES EN
C[x]
1. Determine Determine la veracidad veracidad o falsedad falsedad de las sigiuentes sigiuentes proposiciones, proposiciones, justificando justificando su respuesta. respuesta. a ) p(x) = 5 x5
− 2x + 7√ x − 8 + i ∈ R[x] y es de grado 5.
ejercicio io a) pertenece a C[x] y es de grado 5. b ) El polinomio del ejercic c ) x3
2
− 3x
d ) Dados
1) 2) 3) 4) 5)
+ x − 3 = ( x − 3)(x − u)(x + v ) ⇐⇒ u = i ∧ v = i
p(x) =
2
+ x + i q (x) = (3 + i)x3 − 2x2 r(x) = 4 x7 − (3 + i)x5 + ix4 s(x) = 5 x4 + 3ix3 t(x) = 4 x7 + 3x3 + 2ix2
−x
entonces se verifica que pq = = r + s − t .
e ) Dados
1) 2) 3) 4)
p(x) = (4 + i)x7
6
5
9
7
3
2
− (8 − i)x + 4x − 3ix + 5 q (x) = (6 − i)x − (4 − i)x − 3x + (2 + 3i)x − 6 r(x) = 5 x − 3ix + (1 − i)x s(x) = x − 6x + 2ix + (4 + i)x − 2x + 6 + i entonces el grado del polinomio pq + + 6 rs − 2irp + qs es 22. 5
13
2
9
7
3
2
2. Hallar Hallar en cada caso el cocien cociente te y el resto resto de la divisi´ divisi´on on de p(x) por q (x). En los casos que sea posible, aplique la regla de Ruffini. a ) p(x) = 4 x3 + x2
y q (x) = x 2 + 1 + i
b ) p(x) = 4 x3 + x2
y q (x) = x + 1 + i
c ) p(x) = 3 x4 d ) p(x) = 3 x6
2
−x −x
4
+ ix − 2 y q (x) = 5 x − 4 + ix3 − 2x2
y q (x) = 5 x3 − 4x2
1
3. Analizar porqu´e son iguales los resultados de los ejercicios 2 c) y 2 d).
VALORES NUMERICOS, RAICES, DESCOMPOSICION FACTORIAL 4. Siendo p (x) = x 4 + ix3 − ix + 1 + i hallar p(0), p(−1), p(−i), p(i), p(i + 1), p(5), p(6) y p(2 − i). Cuando resulte m´as c´omodo, utilice el teorema del resto. 5. Siendo p(x) = kx4 + kx 3 − 33x2 + 17x − 10 calcule p(4) sabiendo que p(5) = 0. 6. Determine si los n´umeros 1, −1, i, −i son ra´ıces del polinomio p(x) = −3x12 + x9 − x6 + 2x5 + 2x4 − 3x2 + 2 7. Dar en cada caso un polinomio p que cumpla con las condiciones pedidas, explicitando si es u ´ nico o no. a ) p tiene a 2 como ra´ız simple y a i como ra´ız triple. b ) p tiene a 2 como ra´ız simple y a i como ra´ız triple y es de grado 4. c ) p tiene a 2 como ra´ız simple y a i como ra´ız triple, es de grado 4 y p(1) = 3i. d ) grado( p) = 6, 1 , 4, 2i y 0 son ra´ıces de p. e ) grado( p) = 5, 1 , 4, 2i y 0 son ra´ıces de p, p
∈ R. unicos ceros de p son 1 de multiplicidad 3, −1 de multiplicidad 2, 1 + i ra´ız simple, y f ) los ´ el t´ermino de mayor grado tiene coeficiente 3 i.
g ) p tiene las mismas ra´ıces que q (x) = 3 x3 + 53 x2 + ix
8.
− 4 y p(0) = −24 a ) Demuestre que: −α ∈ C es ra´ız de p ⇔ α es ra´ız de q (x) = p (−x). b ) Usando el item anterior, hallar las ra´ıces de q (x) = x + (−3 + i)x + 2 − 6i sabiendo que p(x) = x + (3 − i)x + 2 − 6i = (x − 2i)(x + 3 + i) c ) Demostrar que si n ∈ N y α ∈ C, α es ra´ız de p(x) ⇔ α es ra´ız de q (x) = p (x ). d ) Usando el item anterior hallar las ra´ıces de q (x) = x − (1 + i)x + i. 2
2
n
n
6
3
9. Descomponer factorialmente los siguientes polinomios a ) p(x) = x 3 + ( 5 + i)x2 + (6
−
b ) p(x) = ( x2 + 1)(x7
− 6i)x + (−8 + 8i) 4
− (1 + i)x
+ ix)
RAICES DE POLINOMIOS A COEFICIENTES REALES 10. Aplicando el m´etodo de Laguerre- Thibault, acotar las ra´ıces reales de los siguientes polinomios: a ) p(x) = x 5 b) c ) d )
4
2
− 4x + 7x − 40x − 1 p(x) = x − 41x + 400 p(x) = 3 x − 18x + 24x − 18x + 73 √ √ p(x) = 3x + 6x − 2x + 1 4
2
4
3
5
4
2
2
2
11. En los siguientes polinomios es relativamente sencillo hallar to das sus ra´ıces. Obtener en cada caso su descomposici´on factorial y si hubiera ra´ıces complejas descomponer en factores lineales exclusivamente y en factores lineales y cuadr´aticos a coeficientes reales. a ) p(x) = 2 x4 + 5x3 b ) q (x) = x 5 c ) d ) e ) f ) g ) h )
4
2
− 11x − 20x + 12 3
2
− 3x + x + x + 4 r(x) = x − x + x − x − x + s(x) = (x − 2x + 5x)(x + 1) t(x) = 2x − 5x + 4x − 5x + 2x u(x) = x − 2x + x − 8x − 8x − 8x − 12 v (x) = 2 x − 3x + 14x − 20x − 36x + 61x − 18 w(x) = ( x + x − 9x − 9)(x + 1) 2 3
5
11 2
4
3
2
6
5
6
5
7
4
3
4
4
1 12
2
1 12
4
2
3
6
7
7 12
3
2
5
3
4
3
2
3
12. Hallar el polinomio m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los polinomios p, q y r del ejercicio 11. 13. Las siguientes ecuaciones tienen ´unicamente ra´ıces reales. Obtener dichas ra´ıces. En los casos en que no sea posible determinar alguna de ellas con exactitud, dar un intervalo de amplitud δ que la contenga. a ) x5 + 3x4 6
14.
2
− 5x − 2x + 1 = 0 y δ = 0,5 b ) 231x − 315x + 105x − 5 = 0 y δ = 0,1 Sabiendo qu el polinomio 3x − 5x + 8x − 4 = 0 tiene una ´unica ra´ız real en el intervalo (0, 1), 4
2
3
2
calcular un valor aproximado de la misma, realizando dos iteraciones del m´etodo dicot´omico. Acotar el error cometido. 15.
a ) Hallar todas las posibles formas que puede admitir la descomposici´on factorial de un
polinomio a coeficientes reales de grado 4. b ) Hallar todas las posibles formas que puede admitir la descomposici´on factorial de un
polinomio a coeficientes reales de grado 5.
3
