FUNCIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE Desarrollando la fórmula de Rodriguez se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre
Esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los Polinomios Asociados de Legendre, que aperecen en la práctica en la resolución de problemas como el átomo de hidrógeno por ejemplo. La propiedad de Ortogonalidad Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:
(Donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x2,...} con respecto a un producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-Lioville
Donde los valores propios λ corresponden a n(n+1).
APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE EN FÍSICA Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física como el Cálculo Numérico ya que permiten el cálculo de integrales inte grales definidas sin necesidad de resolver el integrando, tan sólo haciendo que los intervalos de integración vayan desde -1 a +1 (con el correspondiente cambio de variable). v ariable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida. Los polinomios de Legendre son útiles en la expansión de funciones como
Donde r y r' son las longitudes de los vectores X y X' respectivamente y γ es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene r > r'. Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto x mientras la carga esta localizada en el punto x' . La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida. Polinomios de Legendre están en la solución de una Ecuación de Laplace de un potencial = ( ecuación de la der. ) en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones limite tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde Z es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje Z, la solución del potencial podría ser;
Al y Bl están determinados de acuerdo con las condiciones limite de cada problema. donde se define η = a / r < 1 y x = cosθ. Esta expansión es usada para mejorar la expansión multipolo normal.
APLICACIONES A LOS POTENCIALES TERMODINÁMICOS La estrategia tras el uso de las transformadas de Legendre es desplazar la dependencia de una función de una variable independiente a otra (la derivada de la función original con respecto a su variable independiente) tomando la diferencia entre la función original y su producto. Se usan para realizar transformaciones entre los diversos potenciales termodinámicos. Por ejemplo, mientras las energía interna es una función explícita de las variables extensivas, entropía, volumen (y composición química)
la entalpía es otra función de estado que puede construirse como la transformada de Legendre de la energía interna U con respecto a −PV
se convierte en función de la entropía y la cantidad intensiva, presión, como variables naturales, y es útil cuando la P (externa) es constante. La transformación estará definida
siempre que sea posible "invertir" el volumen en función de la presión y la entropía, cosa que requiere que:
Donde βs es la compresibilidad adiabática. Las energías libres (Helmholtz y Gibbs se obtienen mediante sucesivas transformadas de Legendre, eliminando TS (de U y H, respectivamente), cambiando la dependencia de la entropía S a su variable conjugada intensiva temperatura T, y es útil cuando ésta es constante.
APLICACIONES A LA ELECTROTECNIA Otro ejemplo de la física: considere un condensador de placas plano-paralelas cuyas placas puedan aproximarse o alejarse una de otra, intercambiando trabajo con fuerzas mecánicas externas que mantienen la separación de las placas (análogo a un gas en un cilindro con un pistón. Queremos que la fuerza atractiva f entre las placas sea función de la separación variable x (Los dos vectores espaciales apuntan en sentidos opuestos). Si las cargas de las placas se mantienen constantes mientras se mueven, la fuerza es el gradiente negativo de la energía electrostática.
Sin embargo, si se mantiene constante el voltaje entre las placas V conectando una batería, que es una reserva de carga a diferencia de potencial constante, la fuerza se convierte en el gradiente negativo de la transformada de Legendre
Las dos funciones resultan ser negativas sólo por la linealidad de la capacitancia. Por supuesto, para una carga, voltaje y distancia dadas, la fuerza estática debe ser la misma mediante cualquier cálculo ya que las placas no pueden "saber" qué se mantendrá constante mientras se mueven.
