ÁLGEBRA
I.E.P.JESÚS SÚS MAESTRO – 2º SECUNDARIA SECUNDARIA ] ] [ I.E.P.JE
0A-o de #a Vi)enia de nuestra Fe4 Traa&o Traa&o y K2itos Eduati)os SECUNDARIA/ GRADO: 2° /PROFESORES: EDITH SACA - DEYSI ASIGNATURA: ÁLGEBRA / NIVEL: SECUNDARIA/ JARA- LUIS LUIS MEDINA Animaos unos a otros y edifaos unos a otros! "ra! Tesa#oenses $:""
A!"# M$DUL O
SESIHN N J$
POLINOMIOS ESPECIALES
OBJETIVOS ESPECI%ICOS
"! Reonoer y esta#eer di9erenias entre #os distintos 'o#inomios es'eia#es! ! Desarro##a 'ro#emas on 'o#inomios4 identifando #a defnii,n de ada uno de e##os!
II. ACTIVIDADES
A. PRELIMINARES %ite tem mos un e&e &em' m'##o sen eni## ##o o (u (ue e no noss 'e 'errmi mitte om'render #a uti#idad de #os 'o#inomios en nuestra )ida oti tidi dia ana y om omo o so son n ut utii#i* i*ad ado os en 'royetos muy +randes: 'ara #a ons o nstr tru ui i,n ,n de un una a a asa sa 'e 'e(u (uee-a a de a'enas una .aitai,n de 0y1 metros de #ar+ #a r+o o 0* 0*11 me metr tros os de an an. .o o y o on n un una a a#tu a# tura ra de 02 0211 me metr tros os33 de dema mand ndar ara a #o #oss si+uientes +astos: 0a1 so#es en #a om'ra de# terreno4 01 so#es en estudio de #a a#idad de# sue#o4 01 so#es en #a onstrui,n y 0d1 so#es en e# aaado! Las #etras 24y4*4a444d son ##amados )aria#es on #a ua# se te tend ndr5 r5 un 'r 'res esu' u'ue uest sto o to tota ta## de #a o ora ra (u (ue e #o ##amare ##am aremos mos 06 0617.a 17.aita itai,n8 i,n8 (ue de'en de'ender5 der5 de di. di.as as )ari )a ria a#e #ess y #o de deno nota tare remo moss de #a si si+u +uie ient nte e 9o 9orm rma: a: 6724y4*4a448
B. CONCEPTUALES Son a( Son a(ue ue## ##os os 'o 'o#i #ino nomi mios os (u (ue e o oed ede een en a i ier erta tass araterstias y de auerdo a e##os son: A. POLI POLINOMI NOMIO O ORDENADO: ORDENADO: Es Es uando #os e2'onentes de #a )ari )aria a#e #e44 +uar +uarda dan n un ier ierto to orde orden4 n4 ya sea sea asendente o desendente! E&em'#o:
Camino, !"#a# $ i#a
P728 ; 2< = <2> ? 2@ 9orma asendente8
P728 ; 2 ? $2 $2 = > 9orma desendente8
7Po#inomio 7Po#inomio ordenado en 7Po#inomio ordenado en
Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una vaiable
P724y8 ; $2>y ? @2
P724y8 ; C@2
y = <2y$ 7Po#inomio ordenado en 9orma desendente on res'eto a 0y18
B. POLIN POLINOMI OMIO O COM COMPL PLETO ETO:: Es e# (ue ontiene todos #os e2'onentes de #a )aria#e (ue se toma re9erenia4 desde e# mayor e2'onente ero o trmino inde'endiente! E&em'#o: P728 P728 ; <2 <2 = >
Es 'o#ino 'o#inomio mio om'# om'#eto eto!!
P728 ; <2@ ? $2< = @2$ ? <2 = ? 2 > Es 'o#inomio om'#eto!
P728 ; 2$ ? <2> = @2 @2 ? $ Es 'o#inomio 'o#inomio om'#eto!
P728 ; ?<2 = >2< = 2> ? es om'#eto4 de >er +rado y tiene uatro trminos4 uno m5s (ue e# +rado!
* PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO: a) Dado un 'o#inomio om'#eto en una )aria#e4 e# nmero de trminos es i+ua# a su +rado aumentado en "! P728 ; 2@ = <2$ = $2> = 7"/>8 2< ? 2 = "
%%
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b) Si un 'o#inomio es om'#eto y ordenado res'eto a una )aria#e4 se tiene (ue #os +rados re#ati)os a esa )aria#e de dos trminos onseuti)os diferen en #a unidad P728 ; 2> =B "J2< = "" 2 = MJ
&) E# trmino inde'endiente ontiene a #a )aria#e on e2'onente ero! C. POLINOMIO HOMOGENEO Es a(ue# (ue se arateri*a 'or(ue todos sus trminos tienen i+ua# +rado aso#uto! E&em'#o: P724y8 ; $2>y$ C >2 = <2yM C 2@y< GA; GA; GA; P724y8 ; <2>y@ = @2ay< = >2y
GA;
P 724 y8< > N723y8
%. POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO Es a(ue# (ue tiene sus oefientes todos nu#os! Su )a#or es ero 'ara ua#(uier )a#or de #a )aria#e! E&em'#o: Si '728 ; a2> = 2 = 4 es idntiamente nu#o4 se um'#ir5: a ; J y ; J Q se 'odr5 re'resentar as! P728 ; J G. CASOS ESPECIALES . S!"a + C,+&+#+0 Para .a##ar #a ∑ oefientes de una e2'resi,n se .aen todas #as )aria#es ; " , .a##amos P7"8
∑ oe9 =
>=@ ; a = < ; =
E1+",: P728 = 72 − "8M + >72 + $8 + < ⇒ ∑oe9! ; !!!!!!!!!!!!!! N72 + "8 = 7<2 + "8B − G72 + "J8 − " ⇒ ∑oe9! ; !!!!!!!!!!!!!!
a ; M ; " D. POLINOMIO ID'NTICO: Son a(ue##os uyos trminos seme&antes 'oseen e# mismo oefiente! E&em'#o: Si: P728 ; a2> = 2< = y 728 ; m2> = n2< = '
2. T34"#, I#++#+#+ Para .a##ar e# t!i! de una e2'resi,n se .aen todas #as )aria#es ; J , .a##amos P7J8 t!i! = P7J8 E1+",: P728 72 <8@ @2B ⇒ ti; !!!!!!!!!!!!!!!!!
Son idntios 7P728 ≡ 7284 se um'#ir5 (ue: a ; m3 ; n y;' •
=
TKRINOS SEEANTES: Dos o m5s trminos no nu#os son seme&antes si so#o diferen en #os oefientes!
+
−
>
N72 − <8 = 7>2 − @8
⇒ ti
E&em'#o: P724y8 ; $<2 $y 724y8 ; C$@ 2 $y R724y8 ; 7 2 C "8 2$y
@
2
+
+
+
"J
B
72 − >8
+
"
; !!!!!!!!!!!!!!!!!
EJERCICIOS
. Si e# 'o#inomio: P728 ; @2a ? " = "@2a ? = "@ = 2 ?
E. POLINOMIO E(UIVALENTES Son a(ue##os 'o#inomios (ue teniendo 9ormas di9erentes ae'tan i+ua# )a#ores numrios 'ara un mismo sistema de )a#ores asi+nados a sus )aria#es! As 'or e&em'#o dado #os 'o#inomios: P ( x ; y ) = ( x + y )2 − (x − y ) 2 ; Q (x ) = 4xy Si amos admiten e# mismo )a#or numrio 'ara ua#(uier )a#or de 021 ∧ 0y14 entones ser5n e(ui)a#entes 3 )eamos! 6a+amos: 2 ; < ∧ y ; " 1) 2
P (2;1)
=
(2
Q ( 2; 1)
=
4( 2)(1)
+
−
=
(2
−
1) 2
=
= "M
es om'#eto y ordenado en 9orma desendente4 entones e# )a#or de 7a = = 8 es: RESOLUCI$N Si e# 'o#inomio es om'#eto y ordenado desendentemente 'odemos esta#eer (ue: I! a ? " ; < a ;
8
8
Oser)ar (ue: P ( 2;1) = Q( 2;1) En onseuenia P724y8 ∧ 723y84 son 'o#inomios e(ui)a#entes y se #es 'odr5 ua#(uier re'resentar as:
%2
P7"8
III!
a ? = "@ ; "
; >$
? = "M ; J ? >$ = "M ; J →
; "
Por #o tanto: a = = ; $ = " ; <
Camino, !"#a# $ i#a
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2. Determinar e# )a#or de 0a1 saiendo (ue e# 'o#inomio: P( x; y)
=
3x
n
3
−
4
y
9
+
7x
3a +7
y
2
−
5x
n
3
11
−
y
B( x )
=
( 2n
−
2
1) x
5x
+ +
3x
2
I+ua#amos oefientes de #os trminos seme&antes m + 2 = 3⇒ m =1
Para (ue e# 'o#inomio sea .omo+neo e# +rado aso#uto de todos #os trminos dee ser e# mismo! =@ ; >a =B ; n
(m + 2) x
RESOLUCI$N
RESOLUCI$N
>
=
4n
Es .omo+neo!
n
A( x )
>
2n − 1 = 5 ⇒ n = 3
=$n C ""
m+n = 4
7II8 7I8
De #a i+ua#dad 7I84 'odemos determinar e# )a#or de 0n1! n< = @ ; n < = $n ? "" $n ; "M n;$ → → Reem'#a*ando e# )a#or de 0n1 en #a i+ua#dad 7II8! n> = @ ; >a = B 7$8> = @ ; >a = B >a = B ; MB >a ; MJ a ;
C. TRANSFERENCIA
6. Si e# si+uiente 'o#inomio (m 2 − 3) x 3 + x 2 − x + 12 es m,nio! 6a##ar 0m1
)
RESOLUCI$N Para (ue e# 'o#inomio sea m,nio e# oefiente io 7'rini'a#8 dee ser uno (m 2 − 3) x 3 + x 2 − x + 12 ⇒
a8 " y > 2)
uno
⇒
m
2
−
⇒
3 =1 Lue+o
m = 2 abc
= −
8
7. 6a##ar 7< − a8 si e# si+uiente 'o#inomio es =
(a − 3)x
2
+
a −3 = 0 ⇒ a
8.
En e# 'o#inomio om'#eto: P728;a2a=>=>2a="=@2>C
6a##ar 7m = n8 saiendo (ue A 7 2 8 728 9)
Camino, !"#a# $ i#a
d8 Todas
8)
3
2 − b = 0 ⇒ b = 2 2 b − a = 1
8 < y >
%u5#es son 'o#inomios om'#etos y ordenadosW "8 @2$ = >2> = 2< ? 2 = <8 " = y$ = $y@ ? @y >8 B C * C *< = *> ? *$ a8 " y > 8 " y < 8 < y > d8 Todas
0 =
8 s,#o >
7)
0
d8 Todas
%u5#es son 'o#inomios om'#etosW "8 $2$ = >2> = <2< ? 2 = <8 My< C C y ? y> >8 B*$ C *> = *< ? *@ = "" = * a8 " y < 8 s,#o " 8 < y > d8 Todas
RESOLUCI$N
8 < y >
6)
(2 − b)x
Anu#amos #os oefientes4 i+ua#ando a ero P( x ) = (a − 3) x 2 + (2 − b) x
8 s,#o "
%u5#es son 'o#inomios ordenadosW "8 $2@ = >2$ = <2< ? 2 <8 My< C 8 B*$ C *> = *< ? * a8 " y <
idntiamente nu#o P( x )
%u5#es son 'o#inomios .omo+neosW "8 $2@y = >2$y< = <2y> <8 M2@y*< C <2$y*< = 28 B2My@*< C 2$y@*$ = 2
d8 ""
Si P728 y 728 son idntios donde: P728;a2@=>2< ? $
%&
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728;782@ = 7=<82< = %a#u#ar: a = = a8 J 8 " 8 C" :)
<)
=)
8 @
8 C>
+
c
(a + b + c )
2
2
P728 ; a2a = 2 = a2 = a %a#u#ar: a = =
Si #os 'o#inomios: P728 ; >2<= 7aC"82 = 4 728 ; 7="8 2< = 2 ? $! Son idntios! 6a##ar: 7a= ?8
a8"
Dado e# 'o#inomio .omo+neo m−n
8 <
8 >
d8 $
e8@
2. De# 'ro#ema anterior a#u#a e# trmino <
M m
m−n
inde'endiente!
a8<
6a##ar m4 ' y 'ara (ue e# 'o#inomio: P728 ; @ 2mC" = " 2mC'="@ = 2C'="M 3 sea om'#eto y ordenado en 9orma desendente!
8 $
8 M
d8
e8NA
6. 6a##ar 0a==1
Si e# 'o#inomio es om'#eto y ordenado: >2a=<C = <2a= ? 2<C> = " a8 <
6a##ar m/n si e# 'o#inomio: P724y8 ; >2myn7 <2 Son seme&antes. 6a##ar 0a=1
< m
)
2
Si: P728 ; 7>aC82< = 7=<82 = 2 = = " es 'o#inomio idntiamente nu#o! 6a##a 0/a1 a8 <
;)
S; d8 <
a
b
+
P( x, y )
=
axa + 5
+
3 xa yb
+
bxb + 3 4
si
es
.omo+neo!
c
a! "$
a
6a##ar e# numero de trminos en e# si+uiente 'o#inomio: P728 ; 7mC"8 2mCM = 7mC<82mC@ = 7mC>82mC$ = !!!!!!!!!!! Si es om'#eto!
Si e# 'o#inXmio: P728 ; 7a ?a ? n <82< = 7Ca C
! ">
! "<
d! ""
e! "J
8. Si e# 'o#inomio si+uiente es idntiamente nu#o! 6a##ar 0m ! n1 P( x, y )
=
(m
+
n )xy 2
+
2x 2 y
−
18 xy 2
+
(n − m ) x 2 y
8)
a! >J
! $J
! MJ
d! J
e! MJ
a
2 b 9)
=
9. En e# 'o#inomio .omo+neo: P724y4*8 ; 72y8 >a
1
y = <* 3 %a#u#ar: a==
c
P728 ; n7n< ? "82a
2
a
=
a −b
Saiendo (ue e# 'o#inomio: 2
b −a
2
C a ="
C <2n7n="8 a
2
C a =<
C=a C "
= 7nC<8
3 es .omo+Yneo! 6a##ar #a suma de sus oefientes!
. Dado e# 'o#inomio om'#eto y ordenado: P728;2>aC<=>2>C<2<=2=$ %a#u#ar: 0a1
a8"
DESA%IO TU HABILIDAD Sean #os 'o#inomios idntios A728 ; 7a=82< =7=82 =a= x 2 x 1 + + 728 ; < abc
c
a
> a#u#ar: b
8 <
8 >
d8 $
e8@
;. Dado e# 'o#inomio om'#eto y ordenado: 7P28;2$ ? >2a=< = <2 ? 2 = @ %a#u#ar: a = =
a8"
8 <
8 $
d8 @
e8NA
<. 6a##ar: m/n si e# 'o#inomio: %'
Camino, !"#a# $ i#a
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P723y8 ; >2m yn 7<2
8 < e8 M
8 $
d8 @
=.Determinar #a suma de oefientes de# 'o#inomio: P( x ; y )
=
a x a− 4
+
b a +b − 5
+
cx c −b + 3
Si se sae (ue es om'#eto y ordenado dereientemente! a8 $
8 < e8 N!A!
8 >
d8 @
?JES@S MAESTRO SEGURIDAD DE UN TRABAJO BIEN HECHO
Camino, !"#a# $ i#a
%(
