Ecuaciones Polinómicas y Racionales
Es posible asociar a cada polinomio a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0
Función Polinómica
una única función
p: R →
R
definida por
p ( x x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0 ,
y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociarle un polinomio. Llamamos a la función p( x x), función polinómica.
6.1.1. Operaciones con Polinomios A continuación mostraremos cómo se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios.
6.1.1.1. Suma de polinomios Calculemos la suma de los polinomios: p ( x x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro. Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos escribiendo dicho término con coeficiente 0, o dejando el espacio vacío.
p ( x x )
=
q ( x x )
=
p ( x x ) + q ( x x )
=
q ( x x ) = 5 x 3 - 7 x + 8 .
y
+ 3 x 2
+ 2 x
+1
5 x 3
+ 0 x 2
- 7 x
+ 8
5 x 3
+ 3 x 2
- 5 x
+9
+
6.1.1.2. Resta de polinomios Para este caso también es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.
Calculemos ahora la resta de los polinomios p ( x x ) = x 5 + 2 x 4 - 7 x 3 + 8
Observemos que... hemos obviado los términos con coeficiente coeficiente nulo. Siempre supondremos que los términos faltantes tienen coeficiente 0.
y
q( x x ) = x 5 + 5 x 4 - 4 x 2 + 5.
p ( x x )
=
x 5
+ 2 x 4
q ( x x )
=
x 5
+ 5 x 4
p ( x x ) – q ( x x )
=
- 7 x 3
+8
–
- 3 x 4
- 7 x 3
- 4 x 2
+5
+ 4 x 2
+3
El polinomio que resulta de la suma o la resta puede ser el polinomio nulo, o su grado puede ser menor o igual al del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando. Página 99
Curso de Apoyo en Matemática
grado ( p ( x x) ± q ( x x))
≤
máx {grado p ( x x), grado q ( x x)}
6.1.1.3. Producto de polinomios Para multiplicar los polinomios p ( x x ) = 7 x 3 - 5 x + 2
y
q ( x x ) = 2 x 2 + 5 x - 1 ,
una disposición práctica es la siguiente
Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro y sumamos, es decir, aplicamos la propiedad distributiva .
p ( x x )
7 x 3
- 5 x
+2
q ( x x )
2 x 2
+ 5 x
-1 -2
- 25 x 2
+ 5 x +10 x +15 x
-2
× - 7 x 3 35 x 4 14 x 5 p ( x x ) . q (x)
14 x 5
+ 35 x 4
- 10 x 3
+ 4 x 2
- 17 x 3
- 21 x 2
Observemos que... cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
grado ( p ( x x) . q ( x x)) = grado p ( x x) + grado q ( x x)
6.1.1.4. División de polinomios Recordemos que en la Unidad 1 estudiamos el algoritmo de la división, también llamado algoritmo de Euclides, para la división de números enteros.
Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero.
Así, si queremos dividir 7 por 4 obtenemos Dividendo Resto
→ →
7 3
4 1
→ →
divisor cociente
Se verifica entonces que Pero el resto de la división entre dos números nú meros enteros enteros nunca puede ser negativo.
100 Página 100
7 =4 . 1+ 3 , y el resto es siempre menor que el valor absoluto del divisor, en este caso, 3 < |4|.
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
Vamos a utilizar esta misma idea para realizar la división de polinomios. Ejemplo: Hallemos el cociente y el resto de la división entre los polinomios a ( x x ) = 8 x 4 + 6 x 3 - 4
b ( x x ) = 2 x 2 .
y
8 x 4
-4
2
2 x 2 4 x 2 + 3 x
+
cociente: q ( x x) = 4 x + 3 x resto:
+ 6 x 3
- 8 x 4 0 x 4
r ( x) = - 4
+ 6 x 3
-4
+ - 6 x 3 0 x 3
-4
Ejemplo: Hallaremos el cociente y el resto de la división entre a ( x x ) = - 4 x 3 + 3 x 2 +6 x 4 - 5
y
b ( x x ) = - x + 2 x 2 .
6 x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 + 0 x - 5 + - 6 x 4 + 3 x 3 cociente: q ( x x) = 3 x
2
-
1 2
x +
5
+
4
resto: r ( x) =
5 4
+
x - 5
Al dividir los polinomios a ( x) x) y b ( x) x) se obtiene a( x) x) b( x) x) r ( x) x) q( x) x) entonces
a ( x) = b ( x) . q ( x x) + r ( x x)
donde grado r ( x) r ( x x) = 0 ó grado x) < grado b( x) x)
- x 3 + 3 x 2 + 0 x - 5 1 x 3 - x 2 2 5 2 x + 0 x - 5 2 5 5 - x 2 + x 2 4 5 x - 5 4
2 x 2 – x 1 5 3 x 2 - x + 2 4
Observemos que ... ü
Antes de realizar una operación es conveniente ordenar y completar el polinomio dividendo y el polinomio divisor. ü
El resto de una división puede ser el polinomio nulo, o en caso contrario, el grado del resto es menor que el grado del divisor. Página 101 101
Curso de Apoyo en Matemática
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1) Dados los siguientes polinomios a ( x x ) = - 3 x + 5 x 3 + 3 x 2
b ( x x ) = 4 x 2 - 6 x - 7
c ( x x ) = 2 x 2 + 3
d ( x x ) = 3 – x + x 2
Efectuar las siguientes operaciones x ) + b ( x x ) ) . c( x x ) a) ( a ( x
x ) – d ( x x ) . c( x x ) b) b ( x
x ) – ( c ( x x ) )2 b) a ( x
2) Hallar el cociente y resto de la división entre a ( x x ) y b ( x x ) x ) = 2 x 7 + 3 x 6 + 18 x 3 + 29 x + 10 a) a ( x b ( x x ) = 2 x 2 + 3 x x ) = 2 x 5 + 8 x 3 - x 6 b) a ( x b ( x x ) = x 2 + 2 x
3) ¿Es cierto que existe un polinomio k ( x x ) tal que x ) (2 x 2 - 3) ?. 6 x 6 - 9 x 4 + 10 x 2 - 15 = k ( x
6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas
Raíz de un polinomio
Un número a es una raíz de un polinomio p ( x x) si el polinomio se anula para ese valor. Es decir, x = a es raíz del polinomio p ( x x) sí y sólo sí p p ( a a) = 0.
Ejemplo: 5
3
p (1) = 1 - 1 = 0 5
3
x = 1 es raíz de p ( x x ) = x 5 - x 3 .
p (-1) = (-1) - (-1) = 0
x ). También x = -1 es raíz de p ( x
5 3 24 ≠ 0 p (2) = 2 - 2 = 24
Pero x = 2 no es raíz de p ( x x ).
102 Página 102
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
E c u a c i ó n n polinómica
Denominamos ecuación polinómica a toda ecuación de la forma p ( x x) = 0 , donde p ( x x) es un polinomio.
Resolver una ecuación polinómica es hallar los valores de x que anulan el polinomio; es decir, equivale a encontrar sus raíces.
6.1.3. Divisibilidad de Polinomios
Divisibilidad
Si al realizar la división entera entre los polinomios a ( x x) y por b ( x x) el resto es nulo, decimos que a ( x x) es divisible por b ( x x) , o que b ( x x) divide a a ( x x) . En este caso, podemos expresar al polinomio a ( x x) como a ( x x) = b ( x x) . q( x).
Ejemplo: Aplicando el algoritmo de la división obtenemos que: 20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x = (5 x 3 + 3 x 2 - 6) . (4 x 2 - x ) 4 x 2 - x
divide a
20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x
5 x 3 + 3 x 2 - 6 divide a
20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x
luego y
El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al reemplazar la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas.
Aplicando el algoritmo de Euclides para dividir un polinomio p ( x x ) por ( x x - a ) obtenemos p ( x x ) = ( x x - a ) . q ( x ) + r ( x x ) x ) = 0 x ) < grado ( x x - a) = 1, es decir donde r ( x ó grado r ( x r ( x x ) = r es un polinomio constante.
Entonces podemos expresar El valor numérico del polinomio
p ( x x ) = ( x x - a ) . q ( x x ) + r
4 2 p ( x) x) = 5x – 4 x + 6 x - 1
para x = 2 es 4
p (2) = 5.(2)
x ) , entonces Si a es raíz del polinomio p ( x
2
– 4.(2) + 6.2 – 1 = 51
0 es decir,
Esta afirmación es un caso particular del del Teorema del Resto.
= p (a) = (a - a) . q (a) + r = r
r = 0.
Luego, si a es raíz del polinomio p ( x x), entonces el resto de la división entre p ( x decir, ( x x) y ( x x - a) es 0; es decir, x - a) divide a p ( x x).
Página 103 103
Curso de Apoyo en Matemática
6.1.4. Regla de Ruffini x ) por Cuando tenemos que dividir un polinomio p ( x por uno uno de la forma (x - a), es conveniente utilizar la llamada regla de Ruffini. Este algoritmo permite prescindir de la notación de variable x , aunque la ubicación de los coeficientes de cada polinomio delata el monomio al cual pertenece.
A continuación se muestra mediante un ejemplo cómo se aplica la Regla de Ruffini. Observa con atención ambas divisiones y trata de explicar con tus propias palabras comparando cada paso del procedimiento en la división convencional y en la regla de Ruffini
División convencional convencional 3 x 3 + 7 x 2 + 6 x + - 3 x 3 - 6 x 2 x 2 + 6 x + - x 2 - 2 x 4 x + - 4 x
-1
Regla de Ruffini
x + 2 3 x 2 + x + 4
-1
3 -2 3
7 -6 1
6 -2 4
-1 -8 -9
x ) = 3 x 2 + x + 4 Cociente: Cociente: q( x x ) = - 9 Resto: Resto: r ( x
-1 -8 -9
x ) = 3 x 2 + x + 4 Cociente: q( x x ) = - 9 Resto: r ( x ü
Para aplicar la regla de Ruffini es indispensable ordenar y completar el polinomio dividendo.
Atención
ü
El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del polinomio dividendo.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
4) a) Hallar el resto de la división de los polinomios
a ( x x ) = x 3 + 2 x + 12
y
b ( x x ) = x - 2
x ) = x + 2 b) Idem al anterior pero ahora ahora tomando como divisor c ( x x ) es divisible por b ( x x ) o por c ( x x ) . c) Indicar si a ( x
5) Hallar el cociente y el resto de la división para los siguientes pares de polinomios. x ) = x 6 + 4 x 5 - 7 x 3 - 4 a) a ( x
b) a ( x x ) = - 2 x 5 - 4 x 4 - x 3 - 8
104 Página 104
b ( x x ) = x + 1
, ,
b ( x x ) = x + 2
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
6.1.5. Factorización de Polinomios Analicemos una de las consecuencias del siguiente hecho: x ) entonces Si a es raíz de un polinomio p ( x p ( x x ) = ( x x - a ) . q ( x x ).
Ejemplo: Anteriormente comprobamos que 1 y -1 son raíces del polinomio 5
3
= x - x , p ( x) x) = x entonces podemos escribir = x3 ( x p ( x) x) = x x - 1)( x x + 1). Por lo tanto las 5 raíces son 1, x2 = -1, x -1, x3 = 0, x1 = 1, 0, x5 = 0. 0. x4 = 0, x
x ) = x 3 - x 2 - 14 x + 24. Consideremos p ( x
Como p (2) = 8 - 4 - 28 + 24 = 0 entonces 2 es una raíz de p ( x x ) y p ( x x ) = ( x x - 2) q ( x x ) . Si aplicamos la regla de Ruffini para calcular obtenemos: q ( x x ) = x 2 + x - 12
q ( x x )
cuyas raíces podemos calcular como hemos visto anteriormente, y son x 1 = 3, x 2 = - 4. Luego, Luego, podemos podemos x ) como sigue expresar a q ( x sigue q ( x x ) = ( x x - 3) ( x x + 4).
Luego p ( x x ) = ( x x - 2) ( x x - 3) ( x x + 4).
Factorización
Los casos antes analizados nos muestran la conveniencia de expresar un polinomio mediante productos de polinomios de menor grado. Este proceso se denomina factorización denomina factorización.. Este procedimiento es útil para hallar las raíces de un polinomio, ya que es más sencillo encontrar las raíces de cada factor que las raíces del polinomio original.
F a ct c t o r Co C o mú mú n
x ) la variable x A veces ocurre que en un polinomio p ( x aparece en todos los términos, en estos casos resulta común. conveniente extraer factor extraer factor común.
Observemos que... el procedimiento consiste en: w extraer la variable x de cada término elevada a la menor de sus potencias w extraer un número que es factor de todos los coeficientes.
Atención
Ejemplo: p ( x x ) = 7 x 5 + 5 x 4 + x 3 = x 3 (7 x 2 + 5 x + 1) q ( x x ) = 2 x 4 - 6 x 3 + 4 x 2 = 2 x 2 ( x x 2 - 3 x + 2) r ( x x ) = - 4 x 7 - 8 x 3 + 4 x 2 + 16 x = 4 x (- x 6 - 2 x 2 + x + 4)
Siempre podemos controlar que el producto que obtuvimos es correcto aplicando la propiedad distributiva.
Página 105 105
Curso de Apoyo en Matemática
Recordemos que una diferencia de cuadrados puede escribirse como producto.
D D i f er en e n ccii a d e Cuadrados
a2 - b2 = ( a a - b) ( a a + b)
Ejemplo: Observemos que... todo número positivo es el cuadrado de su propia raíz cuadrada.
p ( x x ) = x 2 - 25 = ( x - 5) ( x x + 5) q ( x x ) = x 4 - 9 x 2 = ( x x 2 )2 - (3 x )2 = ( x x 2 - 3 x ) ( x x 2 + 3 x ) r ( x x ) = x 2 - 6 = x 2 -
( 6 )2
x - 6 ) ( x x + 6 ) = ( x
Algunos polinomios presentan una estructura que nos permite formar grupos de igual cantidad de términos y sacar factor común en cada uno de esos grupos.
F a ct c t o r Co C o mú mú n por Grupos
Una vez hecho esto, aparece un nuevo factor común en todos los grupos. El término técnico de este procedimiento es extracción de factor común por grupos .
Ejemplos: p ( x x ) = 7 x 5 - 5 x 4 + 14 x - 10 = (7 x 5 - 5 x 4) + (14 x - 10) = x 4 (7 x - 5) + 2 (7 x - 5) =
x 4 + 2) (7 x - 5) ( x
q ( x x ) = x 7 + 3 x 3 + 3 x 8 + x 2 - 2 x 5 – 2 =
(3 x 8 + x 7 - 2 x 5) + (3 x 3 + x 2 - 2) = x 5 (3 x 3 + x 2 - 2) + (3 x 3 + x 2 - 2) = x 5 + 1) (3 x 3 + x 2 - 2) ( x
Analicemos ahora el resultado de elevar un binomio al cuadrado. x + 3)2 Al desarrollar ( x
obtenemos tres términos:
x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9 ( x 2
( x 3) = ( x 3) x + 3) x + 3) ( x x + 3)
w w w
106 Página 106
en uno aparece el cuadrado de x , en otro aparece 9 que es el cuadrado de 3, y en otro aparece 6 x que es el doble del producto entre x y 3.
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
x - 3)2 , obtenemos una expresión similar Al desarrollar ( x donde la única diferencia está en el término del doble producto, que aparece restando.
2
( x x - 3) = ( x x - 3) ( x - 3)
( x x - 3)2 = x 2 - 6 x + 9 A las expresiones en el miembro derecho se las denomina Trinomio Cuadrado Perfecto. Perfecto. Generalizando estos resultados para el cuadrado de cualquier binomio: a2 + 2 a b + b + b2 = ( a a + b)2
T r i n o mi m i o C u a d r a d o P e r f e c t o
a2 - 2 a b + b + b2 = ( a a - b)2
Ejemplo: p ( x x ) = x 2 - 10 x + 25 = x 2 - 2 . 5 x + 52 = ( x x - 5)2 q ( x x ) = 9 x 4 + 36 x 2 + 36 = (3 x 2 )2 + 2 . 3 x 2 . 6 + 62
= (3 x 2 + 6)2 2
2
r ( x x ) = x – x + 0,25 = x – 2 .
1 2
x +
1 2 2
=
x
2
-
1
2
Ahora retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad... En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente ectangul ecta ngular ar de 12 m. De perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la condición que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m. ¿Qué dimensiones deberá tener la fuente?. Para traducir al lenguaje simbólico simbólico llamamos b y h a las dimensiones de la fuente rectangular
→
Simplificando la primer ecuación
→
2b + 2h = 12 b . h2 = 16 b+h=6 b=6–h
(6 – h) h2 = 16 Reemplazamos en la segunda ecuación
→
6 h2 – h3 = 16 p (h) = h3 – 6 h2 + 16 = 0
Página 107 107
Curso de Apoyo en Matemática
Verificando con los primeros enteros positivos obtenemos que 2 es una raíz del polinomio
→
Usando la Regla de Ruffini
→
Calculando las raíces del polinomio de segundo grado se obtienen todas las raíces.
→
Se descartan las raíces h2 y h3 porque sólo se buscan dimensiones enteras.
→
p (1) = 13 – 6.12 + 16 = 11 p (2) = 23 – 6.22 + 16 = 2 p (h) = (h – 2 ) (h2 – 4h – 8)
h1 = 2,
h2 = 2 + 3 ,
h3 = 2 − 3
h=2 b=4
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
6) Expresar los siguientes polinomios como productos: a ( x x ) = 3 x 3 - 12 x
b ( x x ) = 6 x 6 - 54 x 2
c ( x x ) = x 3 - x 2 + x - 1
d ( x x ) = 3 x 3 - 6 x 2 - 3 x + 6
e ( x x ) = 4 x 2 + 4 x + 1
f ( x x ) = 3 x 6 - 12 x 5 + 9 x 4 - 3 x 2 + 12 x - 9
g ( x x ) = 2 x 5 - 32 x
h ( x x ) = 25 x 6 + 20 x 3 + 4
7) Hallar todas las raíces reales y complejas de los polinomios del ejercicio anterior.
6.2. Expresiones Racionales Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una velocidad superior en 1 km./h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada tramo?
Si llamamos v a la velocidad con la que el peatón recorre el primer tramo, podemos expresar la velocidad con la que recorre el segundo tramo como v – 1. Observa el siguiente cuadro recordando que
v=
e
, donde “v ” representa la velocidad, “e” expresa t el espacio recorrido, y la variable “ t ” representa el tiempo empleado en recorrer esa distancia.
108 Página 108
Distancia
Velocidad
Primer tramo
8 km.
v
Segundo tramo
6 km.
v–1
Tiempo 8 v 6 v−1
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
El tiempo total invertido es
8 v
+
6 v −1
= 4.
¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones?
Para poder resolver el problema necesitaremos ahora trabajar con Expresiones y Ecuaciones Racionales:
Expresiones Racionales
Así como llamamos números racionales a los números que a se pueden expresar de la forma con con a , b ∈ Z, y b ≠ 0, b llamamos expresiones racionales a las expresiones de la p( x) forma donde p ( x x) y q ( x x) son polinomios y q ( x x) q( x) no es el polinomio nulo. Ejemplo: a)
Recordemos Recordemos que...
b)
numerador de numerador p ( x) x) recibe el nombre de y q ( x) de denominador.. x) el de denominador
3
x ) = 3, y q ( x x ) = x . donde p ( x
x
- 3 x 2 + 5 x - 1 3
x
+ 6 x 2 +
2
x ) = - 3 x 2 + 5 x - 1, y q ( x x ) = x 3 + 6 x 2 + donde p ( x
2.
c) x 3 + 3 x 2 - x – 3 x ) = x 3 + 3 x 2 - x - 3, y q ( x x ) = 1. donde p ( x
Al trabajar con expresiones racionales es conveniente tener
Expresiones Racionales I r r ed e d u ci c i b l es es
una
expresión
simplificarlas
equivalente cuando
más
existen
simple.
factores
Es
posible
comunes
al
numerador y al denominador, en caso contrario, la expresión racional recibe el nombre de irreducible. Una herramienta útil para simplificar expresiones racionales es la factorización de polinomios, que ya hemos estudiado en esta unidad. Ejemplo: Vamos a simplificar las siguientes expresiones racionales para que resulten irreducibles. Página 109 109
Curso de Apoyo en Matemática
p ( x x ) =
Observemos con atención las factorizaciones que se han realizado en el numerador y el denominador de cada expresión racional.
q ( x x ) =
x + 1 x2 + x
=
x4 + x 2 x - 1
=
x 3 - 4 x
1
=
x ( x + 1)
x
x 2 ( x 2 + 1)
=
4
- x + 2
r ( x x ) =
x + 1
2
( x - 1)( x
2
- x + 2
+ 1)
=
x2 - 1
(- 1) ( x - 2)
=
x ( x 2 - 4)
x2
x ( x - 2) ( x + 2)
-1
=
x ( x + 2)
6.2.1. Operaciones con Expresiones Racionales 6.2.1.1. Suma y resta EXPRESIONES DE IGUAL DENOMINADOR
p ( x)
Para sumar o restar dos expresiones racionales
Observemos la similitud con las sumas y restas de fracciones.
m( x )
y
q ( x) m( x )
de igual denominador, operamos como lo hacíamos con los números racionales : p ( x ) m( x )
±
q( x) m( x )
=
p( x)
±
q( x)
m ( x )
Ejemplo: Consideremos las siguientes expresiones algebraicas: - 2 x 2 x 2 - 9
y
x 2 - 3 x x 2 - 9
Su suma es: - 2 x 2 x 2 - 9
+
x 2 - 3 x x 2 - 9
= =
- 2 x2 + x 2 - 3 x x 2 - 9
- x ( x + 3) ( x - 3) ( x + 3)
= =
- x 2 - 3 x x 2 - 9
- x ( x - 3)
Y su resta es: - 2 x 2 2
x - 9
110 Página 110
-
x 2 - 3 x 2
x - 9
=
- 2 x2 - ( x 2 - 3 x ) 2
x - 9
=
- 3 x 2 + 3 x x 2 - 9
Ecuaciones Polinómicas y Racionales EXPRESIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
Dos fracciones se dicen equivalentes si una de ellas se ha obtenido simplificando la otra o bien si ambas, al simplificarse dan lugar a la misma fracción.
Ejemplo: 11 12
+
7
11
=
2 2 .3
10 =
7
2
.3 . 5
55 + 42
Lo más conveniente es tomar como denominador común el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los dos denominadores.
2.5
5 . 11 + 2 . 3 . 7 2
=
+
Recordemos que para sumar o restar números racionales de distinto denominador, debemos sumar o restar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.
=
60
97
En la Unidad 1 vimos que una forma de hallar el m.c.m. es factorizar ambos denominadores y luego multiplicar los factores comunes y no comunes con el máximo exponente con el que aparecen en cada factorización.
60
Para sumar o restar expresiones racionales procedemos en forma análoga. Ejemplo: Calculemos En primer lugar, hallamos el común denominador de ambas expresiones, para lo que debemos factorizar cada uno de los denominadores.
Observemos que... 1 es raíz raíz del 2 polinomio x + 3 x 3 x - 4 .
2 3 x 2 - 6 x + 3
x x2
+ 3 x - 4
3 x 2 - 6 x + 3 = 3 ( x 2 - 2 x + 1) = 3 ( x - 1)2
Usando la regla de Ruffini para dividir x 2 + 3 x - 4 por x - 1, obtenemos 1
Observemos que... también es posible obtener las raíces de x2 + 3 x 3 x - 4 , resolviendo la ecuación 2 3 x - 4 = 0. x + 3 x
+
3 1 4
1 1 Entonces,
-4 4 0
x 2 + 3 x - 4 = ( x - 1) ( x x + 4).
x - 1)2 ( x x + 4) Así el común denominador será 3 ( x
Luego, 2 3 x 2 - 6 x + 3
+
x x2
=
+ 3 x - 4
=
2 3 ( x - 1)2
2 ( x + 4) + x . 3 ( x - 1) 3 ( x - 1) 2 ( x + 4)
=
+
x
( x - 1) ( x + 4) 3 x 2 - x + 8 3 ( x - 1) 2 ( x + 4) Página 111 111
Curso de Apoyo en Matemática
6.2.1.2. Producto
Para multiplicar dos expresiones racionales Para multiplicar dos expresiones racionales procedemos en forma similar a como lo hacemos con los números racionales.
a( x) b( x )
y
c( x) d ( x)
,
operamos como sigue: a( x) c ( x )
⋅
b( x ) d ( x )
=
a( x).c( x) b ( x ).d ( x)
Ejemplo: Vamos a resolver y expresar como fracción irreducible la expresión:
- x 2 + 4 x x 2 - 9
- x 2 + 4 x 5 x + 15 3 2 x 2 - 9 . x x 4 (- x 2 + 4 x ) . (5 x + 15) 5 x + 15 . = 3 2 ( x 2 - 9) . ( x 3 - 4 x 2 ) x - 4 x - x ( x - 4) . 5 ( x + 3) -5 = = 2 x . ( x - 3) ( x - 3) . ( x + 3) . x ( x - 4)
6.2.1.3. División
Recordemos cuándo un número racional tiene inverso multiplicativo.
Llamamos inversa de una expresión racional expresión
Para
b( x )
b( x )
a la
x ) no es el polinomio nulo. si a( x
a( x)
dividir
a( x)
dos
expresiones
racionales
a( x)
y
c( x)
b( x ) d ( x) multiplicamos la primera por la inversa de la segunda. Es decir, a( x) c ( x )
⋅
b( x ) d ( x )
Ejemplo: Calculemos
= a( x) ⋅ d ( x) = a ( x ).d ( x ) b( x) c ( x )
5 x + 10
:
b( x).c( x)
3 x + 6
x + 1 x 2 - 1 expresando el resultado como fracción irreducible.
112 Página 112
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
5 x + 10 x 2 - 1
=
:
3 x + 6 x + 1
5 x + 10
=
x 2 - 1
(5 x + 10) ( x + 1) ( x 2 - 1) (3 x + 6)
x + 1
.
3 x + 6
5 ( x + 2) ( x + 1)
=
( x - 1)( x
+
1) 3 ( x + 2)
5
=
3 ( x - 1)
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
8) Efectuar las siguientes operaciones: a)
c)
e)
2 x2 - 9
x + 1
+ x
2
b)
+ 6 x + 9
x + 5
+
2
x - 25
x - 2 + x + 2 . x2 - 9 x 2 - 4 x 2 - x - 6 4 x - 10 2 x + 6 x + 3 x x - 7 . : + 2 x - 7 x + 7 5 x - 9
d)
x - 2 x2 - 4
+
x + 2
2 x2 - 6 x - 20 x + 2
x 2 - x - 6
.
21
-
2 x + 2
x2 - 9
4 x - 10
6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales
Raíz de una Expresión R R aa c i o n a l
Un número a se dice que es una raíz de una expresión racional p( x) si p ( a a) = 0 y q ( a a) ≠ 0. q( x) Es decir, son los ceros del polinomio numerador que no anulan al polinomio denominador.
Ejemplo: x ) = a) x = 0 es raíz de la expresión racional p ( x
2 x
x - 2 que, 0 es raíz del numerador y no anula al denominador.
x ) = b) x = 5 no es raíz de la expresión racional q ( x
, puesto
( x - 5) 2
x - 5 aunque anule al numerador, ya que también anula al denominador.
Página 113 113
Curso de Apoyo en Matemática
Ecuación Racional
Una Una ecuación racional es una ecuación de la forma p( x) =0 q( x) donde p ( x x) y q ( x x) son polinomios y q ( x x) no es el polinomio nulo. Resolver una ecuación racional equivale a encontrar las raíces de la expresión racional asociada.
Observemos que... si simplificamos la expresión racional q ( x x ) =
Atención
( x - 5) 2 x - 5
obtenemos otra expresión racional equivalente r ( x x ) = x - 5;
( x - 5) 2
= 0 y x - 5 = 0 no x - 5 tienen las mismas raíces.
sin embargo, las ecuaciones
Ejemplo: Resolvamos las siguientes ecuaciones racionales:
a)
x2 - 4
5 x3
= 0 x 1 = 2
x2 - 4 3
5 x
= 0 , luego x 2 - 4 = 0 x 2 = - 2
b)
- x2
+4
x3 - 8
= 0 x 1 = 2
- x2 Comparemos con el caso anterior.
3
+4
x - 8
= 0 , entonces - x 2 + 4 = 0 x 2 = - 2
Pero x 1 = 2 es raíz de x 3 - 8, luego la única solución de la ecuación es x = - 2.
114 Página 114
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
c)
2 x + 1 x + 3
=
2 x + 2 x − 1
Para resolver esta ecuación podemos proceder de diferentes modos, aquí mostraremos dos de ellos. Para resolver ecuaciones de este tipo hay que tener la precaución de descartar aquellos valores que anulen los denominadores de las expresiones racionales involucradas. En nuestro caso, x = -3 y x = 1 Primera forma:
2 x + 1 x + 3
2 x + 1 En este primer intento, trabajamos directamente con las expresiones algebraicas.
x + 3
-
=
2 x + 2 x - 1
2 x + 2 x - 1
= 0
(2 x + 1) ( x - 1) - (2 x + 2) ( x + 3) ( x + 3) ( x - 1) - 9 x - 7 ( x + 3) ( x - 1)
= 0
- 9 x - 7 = 0 x = -
Segunda forma: Aquí transformamos el problema para hallar las raíces de un polinomio de modo que coincidan con las de la expresión racional.
2 x + 1 x + 3
=
= 0
7 9
2 x + 2 x - 1
x - 1) = (2 x + 2) ( x x + 3) (2 x + 1) ( x 2
2 x - 2 x + x – 1 = 2 x 2 + 6 x + 2 x + 6 Observemos las condiciones x ≠ -3 y x ≠ 1 que deben tenerse en cuenta al hallar la solución.
- x – 1 = 8 x + 6 - 7 = 9 x x = -
7 9
Página 115 115
Curso de Apoyo en Matemática
d) Resolvemos la ecuación como en la segunda forma forma del ejemplo anterior. an terior.
x - 1
=
x2 - 1
x - 1 2
1
=
x x - 1 y x ≠ -1
1 x
, entonces x
≠0
x 2 - 1
y
≠ 0,
es decir, x
≠1
x ( x x - 1) = x 2 - 1 Debemos recordar siempre la importancia de verificar todos los resultados.
x = 1
Luego, la ecuación no tiene solución dado que operando obtuvimos que debe ser anula el x = 1, pero x = 1 denominador de la expresión fraccionaria de la izquierda.
Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Sección 6.2 Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una velocidad superior en 1 km/h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada tramo?
Al plantear el problema habíamos obtenido la ecuación
8 v
+
6 v−1
=4
que ahora estamos en
condiciones de resolver. Sumamos las dos expresiones racionales usando un denominador común
→
8(v − 1) + 6v v (v − 1)
=4
8(v - 1) + 6v = 4v (v – 1) 8v – 8 + 6v = 4v 2 – 4v 4v 2 – 18v + 8 = 0 2v 2 – 9v + 4 = 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado obteniendo las raíces
→
v1 = 4
v2 =
1 2
Observemos que... la solución v 2 =
1 2
no es válida ya que
en ese caso la velocidad en los últimos 6 km. sería negativa pues
1 2
–1=–
1 2
.
Por lo tanto la velocidad del peatón en el primer tramo es de 4 km/h mientras que en el segundo tramo es de 3 km/h 116 Página 116
Ecuaciones Polinómicas y Racionales
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
9) El polinomio p ( x x ) = x 4 - a x 3 + b x 2 a y b.
tiene como raíces x = 3 y x = - 1. Hallar los valores de
10) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios sabiendo que r es una de ellas: a) a ( x x ) = x 4 - x 3 + 3 x 2 - 3 x
,
r = 1
x ) = x 3 - 3 x 2 - 2 x - 8 b) b ( x
,
r = 4
x ) = 2 x 3 + 6 x 2 + 2 x + 6 c) c ( x
,
r = - 3
1
x ) = 3 x 4 + 5 x 3 - 5 x 2 - 5 x + 2, d) d ( x
r =
x ) = 6 x 3 + 5 x 2 + 3 x + 1 e) e ( x
r = -
,
3 1 2
11) Sabiendo que el polinomio p ( x x ) puede expresarse como p ( x x ) = a ( x x ) . b ( x x ), que a ( x x ) x ) representa una función representa repr esenta una una función función lineal lineal de pendiente pendiente 2 y raíz x = -3 , y que b ( x cuadrática de coeficiente principal 1 que corta al eje x en x = 2 y x = 4 , hallar las raíces de p x ). ( x 12) El polinomio p ( x x ) = 2 x 3 - 18 x 2 + x - 9 es divisible por q ( x x ) = 2 x 2 + 1 . Hallar la única raíz x ). real de p ( x 13) Encontrar los valores de a tales que al dividir x 2 + 5 x - 2
por x - a
el resto sea igual a - 8.
14) Expresar los siguientes polinomios como productos y hallar sus raíces reales. x ) = x 4 – x a) a ( x
x ) = 2 x 7 + 3 x 6 - 5 x 5 b) b ( x
c) c ( x x ) = 5 x 3 - 10 x 2 + 5 x – 10
d) d ( x x ) = x 2 - 6 x + 9
x ) = - 2 x 2 + 162 e) e ( x
x ) = x 4 – 81 f) f ( x
x ) = 4 x 7 + 4 x g) g ( x
x ) = 3 x 2 – 15 h) h ( x
x ) = x 4 + 12 x 2 + 36 i) i ( x
x ) = 2 x 3 - 48 x 2 + 288 x j) j ( x
15) Se localizó un globo meteorológico a cierta altura. A partir de ese momento, su altura sobre el nivel del mar se puede describir, en forma aproximada, por la fórmula 1 h ( x x ) = 8 + x 3 - 12 x 2 + 47 x - 60), ( x 16 donde x es medido en días y h en miles de metros. c) ¿A qué altura estaba el globo cuando fue localizado?. d) ¿Alcanzó otra vez esa altura?. e) Se sabe que al tercer día alcanzó una altura de 8000 metros. ¿Llegó en algún otro momento a esa misma altura?.
Página 117 117
Curso de Apoyo en Matemática
16) El desplazamiento lateral de una barra de choques, t segundos después del momento en que un k t (t - 3)2 vehículo la golpea, está dado por f (t ) = k t a) Hallar el valor de k sabiendo que que dos segundos después del impacto, el desplazamiento lateral es de 40 cm. b) Para ese valor de k , hallar los ceros de f (t ). ). 17) El servicio meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en grados centígrados) durante cierto día, la siguiente fórmula p (t ) = 0,04 t (t - 12) (t - 24) donde t está medido en horas, y t = 0 corresponde a las 6 am. am. ¿A qué hora la temperatura temperatura fue fue de 0º ?. 18) El crecimiento de dos poblaciones A y B responden responden a las siguientes fórmulas: 5 p A (t ) = t + 30 p B (t ) = t 3 - 12 t 2 + 44 t - 8 ; 2 donde t es el tiempo de conteo expresado en semanas. Si ambas poblaciones coinciden en la cuarta semana, ¿tienen en algún otro momento el mismo número de individuos?.
19) Resolver las siguientes ecuaciones: a) c)
e)
g)
i)
2 x - 1
= 7
3 x + 2 - 2 - 4 x x + 4
x x − 1
x - 4
118 Página 118
=
x + 4
+
x + 10
4
x - 4
-
x - 4
x - 1
=
3
b)
3 x2
+
−1
=
+5 ( 2 x ) 2 x 2 - 16 x 3 + 3 x3 - 1
2 ( x 2 - 4) x2
d)
+ 4 x + 4
= 0
f)
h)
j)
- 2 - 7 x 4 2 x + 1
=1+
x + 3 x 2 x + 2
.
5
x + 3 x - 1
x2 - 16 x 3 + 4 x2
x2 + x - 2 x 2 - 4
-
+ 2 x + 4 ( x + 2) 2
x 2
1 - x
+1 =
= 0
x + 5 x - 2
:
= 0
x 3 - 8 x2 - 4
= 1