Numeros Reales

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 36 P RACTICA Números reales

1

a) ¿Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? ) ) –2; 1,7; √ 3 ; 4,2; –3,75; 3π; –2√ 5 b)Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) ¿Cuál ¿Cuáles es son racionales? racionales?

a) No pueden expresarse como cociente: √ 3 ; 3π y –2√ 5 . ) ) b) –2 = – 4 ; 1,7 = 17 ; 4,2 = 42 – 4 = 38 ; –3,75 = – 375 – 37 = – 338 = – 169 2 10 9 9 90 90 45 ) ) c) Son racionale racionales: s: –2; 1,7; 1,7; 4,2 y –3,75.

2

a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números:

√ 3 ; 0,8 )7; –√ 4 ; – 7 ; 1 ; 2π 2 3 √2 b)Ordénalos de menor a mayor. c) ¿Cuál ¿Cuáles es son números reales? reales?

Irracionales: √ 3 ; 1 ; 2π 2 √2

a) Raciona Racionales: les: 0,87; – √ 4 ; – 7 3

)

) b) – 7 < – √ 4 < 1 < √ 3 < 0,87 < 2π 2 3 √2 c) Todos son números números reales. reales. 3

Sitúa los siguientes números en el diagrama adjunto: 1; 7,23; 1 – √ 2 ; 3,5

)

√

11 ; 9

1 ; √ 6; π ; –104 4 4

1 –104

√4

— 1 —

π

11 ) 7,23 3,5 — 9 1 – √2

—

Unidad 1. Números reales

—

4

√6

—

1


4

Indica a cuáles de los conjuntos los siguientes números:

N, Z, Q, Á

– 5 ; –3; 13 ; √ 5; √ 16 ; 152; 4 6 N:

√ 16 ; 152

Z:

√ 16 , 152, –3

Q

pertenece cada uno de

1 + √3 2

: √ 16 ; 152; –3; – 5 ; 13 4 6

Á:

– 5 ; –3; 13; √ 5 ; √ 16; 152 y 1 + √ 3 2 4 6

Intervalos y semirrectas

5

Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas: A = [–2, 4] B = (1, 6) C = [–7, –3) D = (0, 5] E = (– @, 1] F = (–1, +@) A

–2

B

0

4

0 1

6

C

D

–7

–3

0

0

5

E

F

–1 0

0 1

6

Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: a) –3 Ì x Ì 2

b) –1 < x < 5

c) 0 < x Ì 7

d) x > –5

a) [– [–3, 3, 2]

–3

b) (–1 (–1,, 5) c) (0 (0,, 7] 7] d)(–5, + @)


0

2

–1 0

5

0 –5

7 0

1


7

Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados. a) c)

8

–1 0

b)

3

–2

d)

0

1

5 0

a) [–1, 3] –1 Ì x Ì 3

b) (1, 5] 1 < x Ì 5

c) [– [–2, 2, + @) x Ó –2

d) (– @, 4) x < 4

4

Representa en una misma recta las semirrectas: A = (– @, 2] y B = [–2, + @) ¿Cuáles son los números que pertenecen a A y a B ( A » B )? Exprésalo como un intervalo.

A

–2

0

2

A » B = [–2, 2]

B

9

Resuelto en el libro de texto.

10

Representa en la recta real: a) (– @, –3) « (1, +@) b)(– @, 0] « [2, +@)

a) b)

–3 0

0 1 2

Números aproximados. Notación científica

11

Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de cada una de las aproximaciones siguientes sobre los presupuestos de algunos equipos deportivos: a) 128 mil euros b) 25 millones de euros c) 64 648 8 50 500 0€ d)3200 €

a) Error absolu absoluto to < 500 500 € Error relativo < 0,0039 c) Error absolu absoluto to < 50 € Error relativo < 0,000077


b) Erro Errorr absoluto absoluto < 500 500 000 € Error relativo < 0,02 d) Error absolut absolutoo < 50 € Error relativo < 0,0156

1


12

Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la aproximación que des. a) Oye Oyentes ntes de un programa programa de de radio: radio: 843 754 b) Pre Precio cio de un coche: coche: 28 28 782 € c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: distancia: 0,0375 segundos. d)Gastos d) Gastos de un ayuntam ayuntamiento iento:: 48 759 450 € ° absolutoo < 5 000 a) 840 840000 000 oy oyent entes es ¢Error absolut £Error relativo < 0,0059 ° b)29000 € ¢Error absoluto < 500 £Error relativo < 0,017 ° c) 0,0 0,044 segundo segundoss ¢Error absoluto < 0,005 £Error relativo < 0,13

absoluto < 500 000 d)49000000 € °¢Error absoluto £Error relativo < 0,01

13

Escribe en notación científica. a) 7 5 2 00 0 00 0 c) 0,000007

b) 0,0000512 d) 15 000 000 000

a) 7, 7,52 52 · 108 c) 7 · 10–6

b) 5,1 5,122 · 10–5 d) 1,5 · 1010

PÁGINA 37 14

15

Expresa en notación científica. a) 32 · 105 b)75 b) 75 · 10 10– 4 d)458 · 10–7 e) 0, 0,03 03 · 10 106

c) 84 843 3 · 10 107 f ) 0, 0,00 0025 25 · 10–5

a) 3, 3,22 · 106 d) 4,5 4,588 · 10–5

c) 8, 8,43 43 · 109 f) 2,5 · 10 10–8

b) 7,5 · 10–3 e) 3 · 104

Da una cota del error absoluto de cada una de las siguientes aproximaciones y compara sus su s errores relativos. a) 8 · 10 105 b)5,2 b) 5,23 3 · 106 c) 1,3 1,372 72 · 107 d)2,5 · 10– 4 e) 1, 1,7 7 · 10 10–6 f) 4 · 10–5

a) 5 · 104 b) 5 · 10 103 d) 5 · 10 10–6 e) 5 · 10–8 El menor error relativo se da en c) y el mayor, en f).


c) 5 · 103 f) 5 · 10–6

1


16

17

Calcula mentalmente. a) (1 (1,5 ,5 · 107) · (2 · 105) c) (4 · 10 10–7) : (2 · 10–12)

b) (3 · 106) : (2 · 1011) d) √ 4 · 108

a) 3 · 1012 c) 2 · 105

b) 1,5 · 10–5 d) 2 · 10 104

Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora. a) (3, (3,5 5 · 10 107) · (4 · 108) b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) c) (1, (1,2 2 · 107) : (5 · 10–6 ) d) (6 · 10–7)2

a) 14 · 10 1015 = 1,4 · 10 16 c) 0, 0,24 24 · 1013 = 2,4 · 10 12

18

b) 12, 12,55 · 10–3 = 1,25 · 10 –2 d) 36 · 10–14 = 3,6 · 10–13

Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora. a) 5, 5,3 3 · 1012 – 3 · 1011 b)3 b) 3 · 10 10–5 + 8, 8,2 2 · 10–6 c) 6 · 10–9 – 5 · 10–8 d)7,2 · 108 + 1,5 · 1010

a) 53 · 10 1011 – 3 · 1011 = 50 · 1011 = 5 · 10 12 b) 30 · 10–6 + 8,2 · 10 –6 = 38,2 · 10 –6 = 3,82 · 10–5 c) 6 · 10–9 – 50 · 10–9 = –44 · 10 –9 = –4,4 – 4,4 · 10–8 d) 7,2 · 108 + 150 · 10 8 = 157,2 · 10 8 = 1,572 · 10 10

19

Expresa el resultado de las siguientes operaciones en notación científica con 3 cifras significativas como máximo: a) (2, (2,8 8 · 10 10–5) : (6, 6,2 2 · 10–12) b)(7,2 · 10–6 )3 : (5 (5,3 ,3 · 10 10–9) c) 7, 7,86 86 · 10 105 – 1,4 · 10 6 + 5,2 · 10 4 d)(3 · 10–10 + 7 · 10 –9) : (7 · 106 – 5 · 105)

a) 4, 4,52 52 · 106 c) –5, –5,62 62 · 10 10 5

b) 7,0 7,044 · 10–8 d) 1,12 · 10–15

Potencias y raíces

20

Expresa en forma exponencial. 3 a) √ x 2 b) √ 2 c) √ 106 5 4 5 e) √ (–3)3 f ) √ a g) (√ x –2 )3

d) √ 202 15 h) √ a 5

a) x 2/5 e) (– (–3) 3)3/5

d)201/2 h) a1/3

5


b) 21/2 f ) a1/4

c) 102 g) x –6/5

4

1


21

Pon en forma de raíz.

()

a) 51/2

b)(–3)2/3

d) (a 3)1/4

e) (a 1/2)1/3

a) √ 5

b) √ (–3)2

3

3

c)

e) √ √ a

4

d ) √ a3

22

c) 4 1/3 3 f ) (a –1)3/5

5

f ) √ (–3)–2

5

c)

6

f ) √ (–3)–2 ≈ 0,64

e) √ 3–5

5

a) √ –127 ≈ –5,03

b) √ 0,2–3 ≈ 2,63

d)12–2/3 ≈ 0,19

e) √ 3–5 ≈ 0,4

23


24

Expresa como potencia única. 5

3

6

d)12–2/3

3

13 — 9

c)

b) √ 0,2–3

a) √ 2 √ 4

√( ) 4

5

a) √ –127

3

4 3

f ) √ a–3

—

Obtén con la calculadora. 3

√ 3

3

13 3 — ≈ 1,32 9

5

3

b) 3 √ 9 5

√( ) 4

c) √ 25 : √ 5 3

d) √ a · √ a 2

e) √ √ a

f ) √ m 2 : (m · √ m )

a) 21/2 · 22/3 = 27/6 d) a1/2 · a2/5 = a9/10

b) 3 · 32/3 = 35/3 e) a1/10

c) 52/3 : 51/2 = 51/6 f ) m 2/3 : (m · m 1/2) = m –5/6

—

Radicales

25

Simplifica. 4

12

a) √ 3 2 d) √ a 2 b 4

b) √ a 8 3 4— e) √ √a 8

a) √ 3

b) √ a 2

8

3

f ) √ a 6 b 9

3

4

c) a3

12

d) √ ab 2

26

5

c) √ a 15

3

e) √ a8 = √ a2

f ) a 2b 3

Multiplica y simplifica. a) √ 2 √ 3 √ 6

a) √ 2 · 3 · 6 = √ 36 = 6 3 b) √ a6 = a2 6

3

c) √ a2 = √ a


3

3

3

b) √ a √ a 4 √ a

6

6

c) √ a · √ a

1


27

Extrae del radical los factores que sea posible. 3

4

a) √ 16a 3 d)

√ 3

b) √ 81a 5 b 3

24

e)

a 4

3

a

√ 3

28

162 75

f)

4

b) 3a √ ab 3

a) 2a √ 2

d) 2

√

c) √ 8a 5

3

e) 9 5

a

√

√ 5

9 32

c) 2a2 √ 2a

2 3

f ) 1 √9 2 5

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los radicales siguientes: 3

4

6

√ 7 , √ 30, √ 40, √ 81

mín.c.m. (2, 3, 4, 6) = 12 12 12 √ 7 = √ 76 = √ 117649 3

12

12

4

12

12

6

12

12

√ 30 = √ 304 = √ 810000 √ 40 = √ 403 = √ 64000 √ 81 = √ 812 = √ 6561 6

4

3

√ 81 < √ 40 < √ 7 < √ 30

29

Introduce dentro de la raíz y simplifica.

√ √

√ 18

3 5

b) b)

7 4

d)2 d)2

e) 1 √ 12 2

f) 2 3

a) 5 c) 2

3

a)

√

52 · 3 = √ 15 5

c)

3

√

23 · 7 3 = √ 14 4

e)

√

12 = √3 22


3

√ √ 4

5 12

3

9 4

b)

√

18 = √2 32

d)

4

√

24 · 5 = 12

4

√

20 3

f)

√

23 · 9 = 33 · 4

√

2 3

3

3

1


PÁGINA 38 30

Divide y simplifica.

√ √ √ 21 5 21 a) √ 7 : = 7:— = √ 5 √ 5 √3 3 5 9 3 3 5 b) : = —:— = = √ 5 √ 3 √ 5 3 √ 25 √ 5 5 45 1 1 5 45 c) : = —:— = √ 6 √ 2 √ 6 2 √ 27 = 3 21 5

a) √ 7 :

4

4

3

3

31

b)

4

3 : 5

4

5 3

c)

√ √ 3

5 : 6

3

45 2

4

4

3

3

Reduce a índice común y efectúa. 5

3

a) √ 6 · √ 3 6

b) √ 4 : √ 2

4

3

c) √ 20 : √ 10 10

3

d) (√ 2 · √ 3 ) : (√ 2 · √ 3 ) 10

a) √ 62 · 35 = √ 8748 12

c) √ 202 : 103 =

b)

√ √ 12

4 12 2 = 10 5

√ 6

42 6 = √2 23

6

d) √ (23 · 32) : ( 22 · 33) =

32


33

Efectúa.

√ 6

2 3

a) √ 48 – √ 12 + √ 3 3

3

b) √ 81 – √ 24 c) √ 28 – √ 7 + √ 63 3

3

d) √ 54 + √ 2 e) √ 108 – 2√ 12 – √ 28 + √ 7/4

a ) √ 24 · 3 – √ 22 · 3 + √ 3 = 4 √ 3 – 2 √ 3 + √ 3 = 3 √ 3 3

3

3

3

3

b) √ 34 – √ 23 · 3 = 3√ 3 – 2√ 3 = √ 3 c) √ 2 2 · 7 – √ 7 + √ 3 2 · 7 = 2 √ 7 – √ 7 + 3 √ 7 = 4 √ 7 3

3

3

3

3

3

3

d) √ 54 + √ 2 = √ 2 · 33 + √ 2 = 3√ 2 + √ 2 = 4√ 2 e) √ 22 · 33 – 2√ 22 · 3 – √ 22 · 7 + √ 7 = 6 √ 3 – 4 √ 3 – 2 √ 7 + √ 7 = 2 √ 3 – 3 √ 7 2 2 2


1


34

Efectúa. a) (2 + √ 3 ) ( 2 – √ 3 )

b) (3√ 2 + 2)2

c) (√ 5 – 2√ 3 ) (√ 5 + 2√ 3 )

d) (2√ 5 – √ 3 )2

a) 4 – 3 = 1 c) 5 – 4 · 3 = –7

b) 9 · 2 + 4 + 12 √ 2 = 22 + 12 √ 2 d) 4 · 5 + 3 – 4 √ 15 = 23 – 4 √ 15

35

Racionaliza y simplifica. a)

3 √3

b)

d)

4 √ 12

e)

2 √3

c)

√2 3

f)

2√ 6

3 √ 15 2 √5 3

a ) 3√ 3 = √ 3 3

b) 2√ 3 · √ 2 = √ 6 2

c) 3√ 15 = √ 15 15 5

d) 4√ 12 = 4 · 2√ 3 = 2√ 3 12 12 3

e) 3 √ 6 = √ 6 12 4

2 f ) 2√ 5 = 2√ 25 5 5

36

—

3

—

3

Racionaliza y simplifica si es posible. a)

d)

1 + √6 2√ 3 1 + √2 1 – √2

a)

c)

14 3 – √2

e)

11 2√ 5 + 3

f)

√2 2√ 2 – 3

—

—

(1 + √ 6 ) √ 3 —

3 1 + √3

h) √ 3 √2 + √3

10 g) 2√ 3 – √ 2 —

b)

—

2·3

—

—

—

—

—

( ) b) 3 1 – √ 3 = 3 – 3 √ 3 = –3 + 3 √ 3 1–3 –2 2 ( ) c) 14 3 + √ 2 = 42 + 14√ 2 = 6 + 2√ 2 9–2 7 (1 + √ 2 ) ( 1 + √ 2 ) —

d)

1–2

—

= 1 + 2 + 2 √ 2 = –3 – 2√ 2 –1

( ) e) 11 2√ 5 – 3 = 2√ 5 – 3 4·5–9


—

—

—

—

i) √ 5 – √ 3 √5 + √3

= √ 3 + √18 = √ 3 + 3√ 2 6 6 —

—

1


( ) f ) √ 2 2√ 2 + 3 = 2 · 2 + 3√ 2 = – 4 – 3√ 2 4 ·2 –9 –1 —

—

—

( ) g) 10 2√ 3 + √ 2 = 2√ 3 + √ 2 4 ·3 –2 —

—

( ) –3 h) √ 3 √ 2 – √ 3 = √ 6 = –√ 6 + 3 2–3 –1 — —

—

(√ 5 – √ 3 )(√ 5 – √ 3 ) —

i)

—

—

—

5–3

—

= 5 + 3 – 2√15 = 8 – 2√ 15 = 4 – √ 15 2 2 —

—

P IENSA Y RESUELVE 37

Halla el área total y el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura. Da su valor exacto en función de π.

12 cm

Área lateral = 2 πR h = 2π · 5 · 12 = 120 π cm2 Área base = πR 2 = π · 52 = 25π cm2 Área total = 120π + 2 · 25π = 170π cm2

5 cm cm

Volumen = πR 2h = π · 52 · 12 = 300 π cm3

38

En un círculo cuya circunferencia mide 30 π m, cortamos un sector circular de 150° de amplitud. Halla el área área de ese sector dando dando su valor exacto en función de π. 150°

Radio del círculo: 2πR = 30 8 R = 15 m 360° 8 π · 152 ° ¢ x £ 150° 8

39

150° 15 0°=· 15 152π Área 360°

375π= 4

2

Calcula el área total y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 10 cm de generatriz. Da el valor exacto.

10 cm 5 cm

√=35 cm Altur√a 10 = 2 – 52 √ 75 = Área lateral = πR g = π · 5 · 10 = 50 π cm2 Área base = πR 2 = 25π cm2 Área total = 50 π + 25π = 75π cm2

Volumen = 1 πR 2h = 1 π · 25 · 5√ 3 = 125√ 3π cm3 3 3 3


m

1


40

Calcula el perímetro de los triángulos resultado con radicales. 4u

A

ABC , DEF y GHI .

D

C

Expresa el

G I

B

F

E

H

AC = √ 42 + 22 = √ 20 = 2√ 5 ; AB = √ 42 + 32 = 5; BC = √ 22 + 1 = √ 5

ABC

Perímetro de ABC = 2√ 5 + 5 + √ 5 = 5 + 3 √ 5 u DF = √ 42 + 42 = √ 32 = 4√ 2 ; DE = √ 42 + 32 = 5; FE = 1

DFE

Perímetro de DFE = 4√ 2 + 5 + 1 = 6 + 4 √ 2 u GH = √ 42 + 22 = √ 20 = 2√ 5 ; GI = GH = 2 √ 5; HI = √ 22 + 22 = 2 √ 2

GHI

Perímetro Períme tro de d e GHI = 2√ 5 + 2√ 5 + 2√ 2 = 4 √ 5 + 2 √ 2 u

41

Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es √ 3 cm. Expresa el resultado con radicales.

√

(2) √

— —2 √ 3 2 (2√ 3 ) – —

Altura =

3 12 –=— 4

√

45 3√ 5 = = 2 4

2 √3

—

Área =1 √· 3 3· √ 5 2 2

√3

—

42

=3√ 15 4

c2m

Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Da su valor exacto. V

h H

8

8

x A

4

Altura de una cara: x = √ 64 – 16 = √ 48 = 4√ 3 cm 8√ 3 cm AH = 2 · 4√ 3 = 3 3

Altura del tetraedro: h=

√ ( ) =√ 82 –

8√ 3 — 3 —


2

128 = 3

√

27 8√ 2 = cm 3 3

cm

1


43

Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide √ 6 cm. Da su valor exacto. √6

—

√6

—

d = √ 6 + 6 = √ 12 = 2√ 3 cm

h —

d = √ 3 cm

d

√6

2

Altura de la pirámide√=(√ 6 )2 – (√ 3 )2 √=3 —

—

cm

Volumen del octaedro = 2 1 (√ 6 )2 √ 3 = 4√ 3 cm3 3

(

44

)

Averigua Av erigua para qué valores de a) √ x – 7

b) √ 5 – x

x

se pueden calcular las siguientes raíces:

c) √ – x

d) √ x 2 + 1

a) x – 7 Ó 0 8 x Ó 7 8 x é [7, + @) b)5 – x Ó 0 8 – x Ó –5 8 x Ì 5 8 x é (– @, 5] c) – x Ó 0 8 x Ì 0 8 x é (– @, 0] d) x 2 + 1 Ó 0 8 x é (– @, + @)

45

Comprue Compr ueba ba qu quee lo loss núm númer eros os 3 + √ 2 y 3 – √ 2 so son n so soluc lucio ione ness de la ec ecua ua-ción x 2 – 6 x + 7 = 0.

• (3 + √ 2 )2 – 6(3 + √ 2 ) + 7 = 9 + 2 + 6√ 2 – 18 – 6 √ 2 + 7 = 0 • (3 – √ 2 )2 – 6(3 – √ 2 ) + 7 = 9 + 2 – 6√ 2 – 18 + 6 √ 2 + 7 = 0

46

¿Cuál de los números 1 – √ 3 o

1 + √3 es solución de la ecuación 2

2 x 2 – 2 x – 1 = 0?

• 2(1 – √ 3 )2 – 2(1 – √ 3 ) – 1 = 2 (1 + 3 – 2√ 3 ) – 2 + 2√ 3 – 1 = = 8 – 4 √ 3 – 2 + 2√ 3 – 1 ? 0 El número 1 – √ 3 no es solución de la ecuación.

(

2

) (

)

(

)

• 2 1 + √ 3 – 2 1 + √ 3 – 1 = 2 4 + 2√ 3 – 1 – √ 3 – 1 = 2 2 4 = 2 + √3 – 1 – √3 – 1 = 0 El número 1 + √ 3 sí es solución de la ecuación. 2


1


PÁGINA 39 47

Halla el valor exacto de las siguientes expresiones en el caso en que

√3 :

m

=

a)

(1 – 2m)2 2

2

— √3 2

1 – 2 —) ( 2 a)

= 1 + 3 – 2√ 3 = 4 – 2√ 3 = 2 – √ 3 2 2

2

b)

c) 1 + m 1–m

b) √ 1 – m 2

3 1 1 = 1– = ( ) √ √ 4 √4 = 2 — √3 2

1– — 2

—

—

3/2 = 2 + √ 3 = (2 + √ 3 )(2 + √ 3 ) = 4 + 3 + 4√ 3 = 7 + 4 √ 3 c) 1 + √— — 1 4–3 1 – √3/2 2 – √3 —

48

—

Calcula utilizando la notación científica. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto cometido en cada caso: a) (7 (75 5 80 800) 0)4 : (12 (12 000)2

700 0 00 000 0 – 13 13 00 000 0 00 000 0 b) 2 70 0,00015 – 0,00003

c) (0, (0,0073 0073))–2 · (0,0003)–3

d)(4,5 d) (4,5 · 10 1012) : (0 (0,0 ,000 0083 837) 7)

a) (3, (3,30 30 · 1019) : (1, 1,444 · 108) = 2,29 · 10 11

Error absoluto < 5 · 10 8

6 7 b) 2,70 · 10 – –4 1,30 · 10–5 = –8,58 · 10 10 1,50 · 10 – 3 · 10 c) (1 (1,8 ,888 · 104) · (3,70 · 10 10) = 6,96 · 10 14

Error absoluto < 5 · 10 7 Error absoluto < 5 · 10 11

d) (4, (4,55 · 1012) : (8 (8,3 ,377 · 10– 4) = 5,38 · 10 15

49

Error absoluto < 5 · 10 12

Simplifica las expresiones siguientes: —

—

( )2 ( )2 a) √ 3 + 1 + √ 3 – 1 √3 – 1 √3 + 1 —

—

—

—

—

b) √ 6 – √ 3 (3 + 2√ 2 ) √6 + √3

(

—

)

—

2 ( ) 5 + 1 √ c) – 3√ 5 √5 – 1 —

(4 + 2√ 3)(√ 3 + 1) —

a)

—

3–1

(4 – 2√ 3)(√ 3 – 1) —

+

—

3–1

= 10 + 6√ 3 + 6√ 3 – 10 = 2 2 —

= 12√ 3 = 6√ 3 2 —


—

1


[

]

( )( ) b) √ 6 – √ 3 √ 6 – √ 3 · (3 + 2√ 2 ) = 9 – 2√18 · (3 + 2√ 2 ) = 6–3 3 —

—

—

—

—

= 27 + 18√ 2 – 6√18 – 4 · 6 = 3 = 1 3 3 —

—

( )( ) c) 5 + 1—+ 2√ 5 – 3√ 5 = 6 + 2√ 5 √ 5 + 1 – 3√ 5 = 8√ 5 + 16 – 3 √ 5 = 5–1 4 √5 – 1 = 2√ 5 + 4 – 3 √ 5 = 4 – √ 5 —

—

—

R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 50

¿Qué números representan los puntos

A

y B ?

1 0

A = √ 22 + 12 = √ 5

51

1

2 A

3

B 4

B = √ 32 + 22 = √ 13

Explica un procedimiento para construir un segmento que mida exactamente: a) √ 8 b) √ 6

a)

b)

1 0

2

1 A = √8

—

—

—

B = √ 6 = √ √22 + 22

A = √ 8 = √ 22 + 22

52

1 √2 2 B = √6

0

—

¿Cuáles de las siguientes raíces no existen? 3

6

5

4

√ –20 ; √ 2–3 ; √ –1 ; √ 0,001; √ –81 4

No existen ni √ –1 ni √ –81 .

53

)

)

¿Cuántos números racionales hay entre 0, 7 y 0,8? ¿Y cuántos cuántos irracional irracionales? es? Pon ejemplos.

Hay infinitos racionales e infinitos irracionales. ) ) Racionales entre 0,7 y 0,8: 0,79; 0,78; 0,786;… Irracionales: 0,7917911791 0,791791179111…; 11…; 0,828228222…; √ 17 ; √ 3 ;… 5 2


1


54

¿Cuáles son los números que pertenecen a (– @, 3) « (3, +@)?

Todos los números reales excepto el 3.

55

Escribe, en cada caso, un número racional y otro irracional comprendidos entre los dos que se dan: a) √ 2 y 2

)

d) √ 2 y √ 3

) )

c) 1,23 y 1,24

a) Raciona Racional:l: 1,5 = 3 2

Irracional: Irrac ional: √ 10 2

b) Ra Racional: 1,35

Irracional: √ 2

c) Racional: 1,235

Irracional: √ 1,54

d) Ra Racional: 1,5

Irracional: √ 2 + √ 3 2 —

56

—

Escribe dos números racionales uno mayor y otro menor que √ 2 que se diferencien de él en menos de una milésima.

Menor que √ 2 8 1,4141

57

)

b) 1,3 y 1,4

Mayor que √ 2 8 1,4143

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen soluciones irracionales? a) x 2 – 2 = 0

b) 9 x 2 – 25 = 0

c) x 2 + 4 = 0

d) x 2 – 18 = 0

e) x 2 – 2 x – 2 = 0

f ) √ 2 x 2 – 4√ 2 = 0

a) x = √ 2 , x = – √ 2 son irracionales. b) x = ± 5 son racionales. 3 c) No tiene tiene soluc solución. ión. d) x = ± √ 18 = ±3√ 2 son irracionales. — — √ √ 2 ± 4 + 8 2 ± 2 3 = 1 ± √ 3 son irracionales. e) x = = 2 2 f ) x = ±2 son racionales.

58

√ 18 ,8 4√ ,4 Justifica que 3 √ 32 —

y1/22 representan el mismo número irra-

—

cional. ¿Es posible que 3√ 6 + 2√ 2 represente ese mismo número? 3√ 3 + 2 —

√ 18 = 3√ 2 = √ 2 ; 8 = 8√ 32 = 8 · 4√ 2 = √ 2; 4√ 22 = √ 2; 2 1/2 = √ 2 3 3 32 32 √ 32 —


—

1


(3√ 6 + 2√ 2)(3√ 3 – 2) —

—

—

27 – 4

= 9√18 – 6 √ 6 + 6√ 6 – 4√ 2 = 27√ 2 – 4√ 2 = 23 23 —

—

—

—

—

—

= 23√ 2 = √ 2 23 —

59

¿Cuáles de los siguientes números no están expresados en notación científica? 3,14 · 10–17; 1,3212; 437 · 107; 0,82 · 103

No están en notación científica: 1,3212; 437 · 107; 0,82 · 103

P ROFUNDIZA 60

Ordena de menor a mayor en el caso √ a ; 1 ; a 2; a

Si a é (0, 1), a2 < a < √ a < 1

(0, 1) y en el caso

Averigua Av erigua para qué valores de

x

c) √ x 2 + x – 6

d) √ ( x + 1)( x –5)

a) (– @ , –3] « [3, + @)

b) [0, 4]

c) (– @, –3] « [2, + @)

d) (– @, –1] « [5, + @) —

— Prueba que √ 2 – √3 = √ 6 – √ 2 . 2

Elevamos al cuadrado.

(√ 2 – √—3 )2 = 2 – √ 3

(

)

— 2

√6 – √ 2 2 —

= 6 + 2 – 2 √12 = 8 – 4√ 3 = 2 – √ 3 4 4

— — √√ 4

63

3—

2 · √ x 2 Justifica x que

— — √√ 4

—

—

3

—

—

√ x 3

=

.

x 2 · √ x 2 = 8√ x 2 · x 2/3 = √ √ x 6 · x 2 = 24√ x 8 = 3√ x


8 3

1 < √ a < a < a2

se pueden calcular las siguientes raíces: b) √ x (4 – x )

62

(1, +@).

a

a) √ ( x – 3)( x + 3)

—

a é

a

Si a é (1, + @),

a

61

a é

—

Numeros Reales

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