Funciones Reales

Grupo Matagalpino de e Matemáticas "Los Karamazov" Jolman Enrique López José A. Siles R. Gerardo Manuel García

1

Funci uncion ones es Real Reales es 1. Al evalu evaluar ar la funció función n lineal lineal f (x) =  23 x + f (x) es. a)

1 2

b) 1

c)

1 2

en x =  34 se obtiene que

7 6

d) 0

Solution Solution 1

Sustituimos el valor de x en la función dada:

3 4

f ( )

R. 2.

2 3 1 =  ( ) + 3 4 2 1 1 = + 2 2 = 1

b)

Los interceptos de la función lineal f (x) = 2x  6 con el eje x y con el eje y; 1. respectiv respectivamen amente, te, son los puntos:

a) (0; 6) y (3; 0)

b) (0; 6) y (3; 0)

c) (0; 0) y (3; 6)

d) (3; 0) y (0; 6)

Solution Solution 2

Para los interceptos con el eje x, hacemos y = 0 ; en la función dada :

0 = 2x  6 2x = 6 6 x = 2 x = 3 Así el punto es (3; 0) Para los interceptos con el eje y; hacemos x = 0 ; en la función dada: y y y

= 2(0)  6 = 06 = 6

El punto es (0; 6) Los puntos de intercepción son: (3; 0) y (0; 6) a) R.

1

Grupo Matagalpino de De Matemáticas "Los Karamazov" Jolman Enrique López José A. Siles R. Gerardo Manuel García

3.

La preimagen de y = 3, bajo la función f (x) = 7  3x es:

a) x =

10 3

3 b) x =  10

c) x =  10 3

d) x = 0

Solution Solution 3

Sustituimos el valor de y en la ecuación dada:

3 = 7  3x 3x = 7 + 3 3x = 10 10 x = 3 R. 4.

a)

La regla de asignación asignación de la función función que pasa por los puntos puntos (1; 3) y (2; 8) es:

a) f (x) =

2 3

x

11 3

b) f (x) =  11 x+ 3

2 3

c) f (x) = 2x  11

d) f (x) =

11 3

x+

Solution Solution 4

La regla de asignación es dada por: f (x) = mx + b; donde m es la pendiente, así:

m

=

m

=

m

=

m

=

y2  y1 x2  x1

8  (3) 2  (1) 8+3 2+1 11 3

Ahora hallamos el valor de b, utilizando el punto (2; 8), así: f (x)

8 b b b

= mx + b 11 = (2) + b 3 22 = 8 3 24  22 = 3 2 = 3 2

2 3


11 3

La regla de asignación es: f (x) = d) R. 5.

x+

2 3

En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal $1000 y la de tiempo medido en años S = P (1 + rt ): Si el capital es P = C $1000 tasa anual de interés es r = 4% ; entonces la cantidad devengada S pasado 15 años es: a) $61000

b) $1600

c) $7000

d) $16000

Solution Solution 5

Sustituimos los valores dados en la función: S = P (1 + rt ) S =

1000[1 1000[1 + (0:04)(15)] S = 1000 1000(1 (1 + 0:6) S = (100 (1000) 0)(1 (1:6) S = 1600 R. 6.

b) Sea h una función lineal tal que h(2) = 5 y h(6) = 3 ; la función h(x); donde x es cualquier número real está de…nida por:

a) h(x) = 5x + 3

b) h(x) =

9 2

x+

1 4

c) h(x) = 2x + 6

d) h(x) =  14 x +

Solution Solution 6

Según los datos, datos, tenemos tenemos dos puntos: A(2; 5) y B (6; 3);la función buscada es del tipo f (x) = mx + b: Hallamos el valor de m :

35 6  (2) 2 m = 6+2 2 m = 8 1 m =  4 m

=

3

9 2


Ahora hallamos el valor de b, usando el punto: B (6; 3) : b b b b b

= f (x)  mx 1 = 3  ( )(6) 4 3 = 3+ 2 6+3 = 2 9 = 2

La función es de…nida por: f (x) = d) R. 7.

1

4x

+

9 2

Se f una función de números tal que f (2) = 3; y f (a + b) = f (a) + f (b) + ab; 8a;b:Entonces, f (11) es igual a: a) 22

b) 33

c) 44

d) 66

Solution Solution 7

Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f (4): f (4)

= f (4) = f (4) = f (4) =

f (2 + 2) f (2) + f (2) + (2)(2)

3+3+4 10

Ahora hallamos el valor de f (6) : f (6)

= f (6) = f (6) = f (6) =

f (4 + 2) f (4) + f (2) + (4)(2)

10 + 3 + 8 21

Ahora hallamos el valor de f (10) : f (10)

= f (6 + 4) f (10) = f (6) + f (4) + (6)(4) f (10) (10) = 21 + 10 + 24 f (10) = 55 Para hallar f (11); debemos encontrar el valor de f (1);así:

4


f (2)

= 3 = 31 = 2 =

f (1) + f (1) + (1)(1)

2f (1) + 1 2f (1) 2f (1) 2 f (1) = 2 f (1) = 1

Así: f (11)

= f (10) + f (1) + (10)(1) f (11 11)) = 55 + 1 + 10 f (11) = 66 R. 8.

d)

Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). años). Si la estatura estatura de cierto infante es de 48 pulgadas pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los 7; entonces al expresar y como función de t; se obtiene:

a) y (t) = 33  2:5t

b) y (t) = 2:5t + 33

c) y (t) = 33t  2:5

d) y(t) = 2:5t  33

Solution Solution 8

Por los datos dados, la función buscada es del tipo: y(t) = mx + b; y además nos dan dos puntos: A(6; 48) y B (7; 50:5): Hallamos el valor de m : 50:5  48 76 m = 2:5 m

=

Usamos el punto A(6; 48), 48), para hallar el valor de b : y(t)

48 48 b b

= = = = =

mx + b

(2:5)(6) + b 15 + b 48  15 33

La función buscada es y (t) = 2:5t + 33 R. b) 5


9.

Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los ejes X;Y: a) f (x) = x  1; 2u2 c) f (x) = x + 1; 0:5u2

b) f (x) = x  1; 0:25u2 d) f (x) = x + 1; 2u2

Solution Solution 9

La función buscada es del tipo: f (x) = mx + b; según los datos tenemos los puntos: A(0; 1) y B (1; 0); hallando m :

01 10 1 m = 1 m = 1 m

=

Hallando el valor de b usando el punto: A(0; 1) :

= mx + b 1 = (1)(0) + b 1 = b

y

La función buscada es: f (x) = x + 1 Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: formando un triángulo de base 1u: Así:

R.

A

=

A

=

A

=

1 bxh 2 1 (1)(1) 2 1 2 u 2

c)

6

A(0; 1) y B (1; 0);


10.

Al evaluar la función cuadrática f (x) = que su imagen vale: a)

1 2

b) 1



2 3

x2 +

1 2

en x =

1 8

c)

d)





6x



3 4

se obtiene

1 4

Solution Solution 10

Sustituimos el valor de x en la función dada: f ( f ( f ( f ( f (

R. 11.

3 ) 4 3 ) 4 3 ) 4 3 ) 4 3 ) 4

2

=



=



=



   

2 3 1 + 3 4 2 2 9 1 + 3 16 2 3 1 + 8 2 3+4 8 



=

1 8

=

c)

Los interceptos de la función cuadrática g (x) = y con el eje y; respectivamente, son los puntos:

a) (1; 0) y (5; 0)

b) (1; 0) y (5; 0)

x2



c) (0; 0) y (1; 5)


Interceptos con el eje x, hacemos y = 0

0 x2 + 6 x + 5 (x + 5)(x + 1) x+5 x+1

x2  6x  5

= = = = =



0 0 0 0

!

x=



!

x=



Los interceptos en el eje x son: ( 1; 0) y ( 5; 0) Interceptos con el eje y , hacemos x = 0 : 

y y y



= (0)2 6(0) = 0 0 5 = 5 









El intercepto con el eje y es en (0;

5)



7



5

5 1



5 con el eje x

d) (3; 0) y (1; 5)


12.

El dominio y el rango de la función cuadrática f (x) = tivamente:

a) R y (2; 6)

b) R y (1; 6]

2x2 + 6 son respec-



c) (2; 0) y (1; +1)

d) [6 ; +1) y [2 + 1)


La grá…ca de la función f (x) =

2x2 + 6; es como se muestra:



y

10

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5

-10

Vemos que su dominio es todo R. Para el rango debemos hallar el valor de k = f (x); el cual tiene como abscisa x = 0 ; por lo cual: y y y

= 2(0)2 + 6 = 0+6 = 6

Así, el rango es: (1; 6] b) R.

8


13.

Dada la función f (x) = ax2 + bx + c; el valor de f ( 2ba ) es: a)  c 

2

b 4a

b) c2 

2

b 4a

c) c 

2

b 4a

d) c +

2

b 4a


Evaluamos  2ba en la función dada: f (x) f f f f f f

    2   2   2   2   2   2

f 

R. 14.

= ax2 + bx + c 2

    + +   2 2  

b a

= a

b a

= a

b a

=

b2 b2 +c  4a 2a

b a

=

b2  2b2 + 4ac 4a

b a

=

b a

=

b 2a

b a

b2 4a2

b a

b



c

b2 +c 2a

b2 + 4ac 4a 2 4ac b + 4a 4a

= c

b2 4a

c)

Dada las parábolas x2  3x + 1 y x2 + 2x + 7; la distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas es: a) 8:2345

b) 9:2635

c) 7:2635

d) 8:2635


Los puntos pedidos en las curvas curvas son los vértices. vértices. Las coordenadas coordenadas de éstos b están dadas por h =  2a y k = f (h): Así para x2  3x + 1; h1 y k1 valen: h1

= 

(3) 3 = 2(1) 2 2

k1

=

k1

=

k1 k1

3 3 3

2

9 9  +1 4 2 9  18 + 4 = 4 5 =  4 9

2

+1


El vértice de esta función es: V 1 ( 32 ;  54 ) Ahora hallamos h2 y k2 para x2 + 2x + 7 :

2

h2

=

k2

= (1)2 + 2(1) + 7 = 1 + 2 + 7 = 8

k2 k2



2(1)

=1

El vértice de esta función es: V 2 (1; 8) Hallamos la distancia entre éstos dos puntos: d(V 1 ; V 2 )

=

d(V 1 ; V 2 )

=

d(V 1 ; V 2 )

=

d(V 1 ; V 2 )

=

p s   s     s     r r r

(x2  x1 )2 + (y2  y1 )2 (1 

3 2 5 ) + 8  ( ) 2 4 2

23 2 1 2



2

+

32 + 5 4

37 + 4

2

2

2

1 1369 + 4 16 4 + 1369 d(V 1 ; V 2 ) = 16 1373 d(V 1 ; V 2 ) = 16 d(V 1 ; V 2 )  9:2635 d(V 1 ; V 2 )

R. 15.

=

b)

Las funciones lineales de…nidas de…nidas por f 1 (1) = 0 ; f 1 (0) = 1 y f 2 (1) = 0 ; f 2 (0) = 1 ; forman un triángulo isósceles con el eje X: El área de dicho triángulo es: a) 1:25u2

b) 0:75u2

c) 1u2

d) 1:5u2


Las coordenadas según f 1 (1) = 0; f 1 (0) = 1 y f 2 (1) = 0; f 2 (0) = 1: Son los puntos: A(1; 0); B (0; 1) y C (1; 0); (0; 1) El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X , tiene como base 2u y altura 1u:

10


Entonces: b h



=

A

2 (2u)(1u) A = 2 A = 1u2 R. 16.

c)

Las preimágenes de y = 5 bajo la función f (x) = x2 a) x = 8



p

10

b) x = 4



 4x  1 son: p p c) x = 2  10 d) x = 1  10

p

10


Evaluamos y = 5 en la función: y = x2

x2

 4x  1  4x  1

5 = x2 4x 6 = 0 ( 4) x1 2 =

 

;

x1 2

=

x1 2

=

;

;

17.



x1 2

=



x1 2

= 2



;

R.

4 4

;

p

   (4)  4(1)(6) 2(1) p 4  16 + 24 2

p 2

40

2 2 10 2 10

p

p

c)

La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos ( 3; 20);( 1; 4) y (2; 5) es:





a) f (x) = 3x2 x + 5 c) f (x) = x2 4x 1





 

11

b) f (x) = 3x2 + 5x d) f (x) = 4x2 + 23

1





La expresión funcional de una parábola es de la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos: Resolvemos:

8< 9a  3b + c = 20 (1) : a4a+b 2+b c+=c 4= 5 ((32)) 8< 9a  3b + c = 20 : 6ab  b3c+=c =214 Eliminando a 8< a  b + c = 4 : 96ab33bc+=c =2120 Ordenando 8< a  b + c = 4 Eliminando a : 66bb  83cc == 16 8< a  b + c = 421 : 6b 5c8=c =516 Eliminando b De lo anterior se puede ver que c =

5 5

= 1, y

6b  8c 6b  8( 8(1) 6b + 8 6b 6b

= = = = =

b

=

ab+c

= = = = = =

a  (4) + ( ( 1) a+41 a+3 a a

16 16 16 16  8 24 24 = 4 6 4 4 4 4 43 1

La expresión buscada es: y y

R.

= (1)x2 + ( (4)x + ( (1) = x2  4x  1

c)

12


18.

El vérti vértice ce y el rango rango de la funció función n cuadrá cuadrátic tica a que pasa por los puntos puntos (2; 53); (0; 5) y (2; 29) es:

a) (2; 3) y (1; 5

b) (2; 3) y (1; 3

c) ( 13 ; 4) y [4; 1)

d) (2; 3) y [2; 1)


Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos:

8< 4a 2b + c = 53 : c 4=a 5+ 2b + c = 29 8< 4a 2b + c = 53 : c4b==5 24 

(1) (2) (3)



Eliminando a y c



De lo anterior se puede ver que c = 5 y b = 6: Así:

4a  2b + c = 53 4a  2(6) + 5 = 53 4a + 12 + 5 = 53 4a + 17 = 53 4a = 53  17 4a = 36 36 a = 4 a = 9 La ecuación de la parábola buscada es: y = 9 x2  6x + 5: El vértice de esta función es dado por V (h; k ); donde h = entonces:

=



h

=

1 3

k k

b 2a

6 2(9) 

h

k



1 1 = f (h) = 9( )2  6( ) + 5 3 3 = 12+5 = 4

Por lo que el vértice V es: V ( 13 ; 4) Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es [4; 1) c) R. 13

y k = f (h);


19.

Al expresar la función cuadrática f (x) = 3x2 + 24x + 50 en la forma f (x) = a(x h)2 + k; resulta: 

a) f (x) = 5(x + 3)2  7 c) f (x) = 3(x + 3)2 + 3

b) f (x) = 3(x + 4)2 + 2 d) f (x) = 3(x  4)2  2


Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada f (x) = 3x2 + 24x + 50 a cero: 3x2 + 24x + 50 3x2 + 24x 9x2 + 72x 9x2 + 72x + 144 9(x2 + 8x + 16) 9(x + 4)2 3(x + 4)2

= 0 = 50 = 150 = 150 + 144 = 6 = 6 = 2 

    

2

3(x + 4) + 2 = 0 f (x) = 3(x + 4)2 + 2 R. 20.

b)

La rapidez de crecimiento y (en libras por mes) de un infante está relacionada con el peso actual x (en libras) por la fórmula y = cx(21 x); donde c es una constante positiva y 0 < x < 21: El peso con el que se presenta la máxima rapidez es: 

a) 12 libras

b) 11 libras

c) 11:5 libras

d) 10:5 libras


y = 21cx cx2 : Aquí: a = c y b = 21c: La La fórmula y = cx(21 x) máxima rapidez se presenta en k = f (h); o sea en f ( 2ba ); así: 

!









f (

b 2a

=



21c 21 = 2( c) 2 

21 ) = f (10:5) 2

De lo anterior se puede ver que x = 10 :5 d) R.

14


21.

El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v millas por horas, está dado por M = 1 v 2 + 52 v; para 0 < v < 70: El valor máximo de M es:  30 a) 40 millas

b) 46:875 millas

c) 50 millas

d) 60 millas

Solution Solution 21 1 El valor máximo de M se da en k = f (h); o sea en f ( 2ba ); siendo a =  30 y b = 52 ; entonces:



b 2a

b  2a b  2a b  2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a R. 22.

=  =

5 2 1 2 30

5 2 1 15

= = = = = =

5 15  2 1 75 2 1 75 5 75  ( )2 + ( ) 30 2 2 2 1 5625 375   + 30 4 4 187:5 375 +  4 4 187:5 4

= 46:875

b)

Sabiendo que f (x) es una función cuadrática y f (2) = 5 ; f (2) = 5; y f (0) = 1; determine dicha función:

a) f (x) = x2  2x + 1

b) f (x) = x2 + 1

c) f (x) = x2  2x  1

d) f (x) = x2  1


(0; 1): UtiDe los valores dados, tenemos los puntos: A(2; 5); B (2; 5) y C (0 2 lizando la forma general de la función cuadrática: y = ax + bx + c: Formamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resolvemos:

15


8< 4a + 2b + c = 5 : c4=a 1 2b + c = 5 8 4a + 2b + c = 5 < : 4cb==10

(1) (2) (3) Eliminando a y c

Como 4b = 0 ; entonces b = 0 ; así:

4a + 2(0) + 1 4a + 1 4a 4a a a

= = = =

5 5 51 4 4 = 4 = 1

La ecuación buscada es: y = x2 + 1: b) R. 23.

Dadas las parábolas f (x) = x2  1 y f (x) = x2 + 1; determine los valores de x que pertenecen a la región limitada por la intersección de dichas grá…cas.

a) f1 f1 < x < 1g

b) f1 f1  x  1g

c) f2 f2 < x < 2g

d) f2 f2  x  2g


Gra…camos ambas parábolas: La grá…ca de y = x2  1; es:

y

2 1

-2

-1

1 -1 -2 -3

La grá…ca de y = x2 + 1; es: 16

2

x


y

3 2 1

-2

-1

1 -1

2

x

-2

Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son: (1; 0) y (1; 0): Así, los valores de x pertenecien pertenecientes tes a esta región son: f1 f1  x  1g b) R. 24.

Al evaluar la función valor absoluto f (x) = jx  3j en x = 7 se obtiene que su imagen vale:

a)  10

b) 4

c) 10

d) 4


Evaluamos f (x) = jx  3j en x = 7 : f (x) f (7) f (7) f (7) f (7)

R. 25.

= = = = =

jx  3j j(7)  3j j7 j7  3j j10 j10jj 10

c)

Los intersectos de la función cuadrática g (x) = jxj  j x  3j con el eje x y con el eje y; respectivamente, son los puntos:

a) ( 32 ; 0) y (0; 3)

b) (1:5; 0) y (3; 0)

c) (0; 2) y (0; 3)

d) (3; 0) y (0; 2)


Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad: jaj = b $ a = b a = b: Haciendo g(x) = y = 0 ; obtenemos el intersecto con el eje x:

17

ó


0 = jxj  jx  3j jxj = jx  3j x = jx  3j x = x  3 ó x = x + 3 De x = x + 3; se tiene x+x = 3 2x = 3 3 x = 2

Aplicando propiedad

Así, el punto de intersección con el eje x es: ( 32 ; 0) Haciendo x = 0 en la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección con el eje y : y y y y y

= = = = =

j0j  j0 j 0  3j 0  j0 j0  3j  j3 j3j (3) 3

El punto de intersección con el eje y es: (0; 3) Los puntos buscados son: ( 32 ; 0) y (0; 3): a) R. 26.

Las preimágenes preimágenes de y = 2 bajo la función f (x) = j3x  11j 11j  5 son: a) x = 4 ; x = 8

b) x =  43 ; x = 6

c) x =

4 3

;x =6

d) x = 4 ; x = 6


Evaluamos f (x) = y = 2 en la función dada:

2 2+5 7 7 7 + 11 3x

= = = = = =

j3x  11j 11j  5 j3x  11j 11j j3x  11j 11j 3x  11 ó 7 = (3x  11) Aplicando propiedad de ejercicio 25 3x 7 = 3x + 11 18 7  11 = 3x 18 x =  3x = 4 3 4 4 x = 6 x= = 3 3

Las preimágenes buscadas son: x = 6 y x = c) R. 18

4 3


27.

El dominio y el rango de la función valor absoluto f (x) = jxj  jx + 3j 3j son respectivamente:

a)(1 )(1; 3] y (1; 3]

b) [1; +1] y (3; 3]

c)(1 )(1; +1) y (3; 3)

d)(1 )(1; +1) y [3; 3]


Gra…cando la función y = jxj  jx + 3j 3j ; se tiene: 3

y

2 1 -4

-2

2

4

-1

x

-2 -3

De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. Para Para el cálcul cálculo o del rango usamos usamos la propie propiedad dad:: jaj = b $ a = b a = b; y hacemos y = 0 :

0 jx + 3j 3j x x  x 2x x

= = = = =

jxj  jx + 3j 3j jxj x+3 3 3 3 =  2

Evaluamos algunos valores de x :

= Para x = Para x = Para x = Para x

1 ! y = j1j  j1 + 3j 3j = 1  4 = 3 1 ! y = j1 j1j  j 1 1 + 3j 3 j = 1  2 = 1 4 ! y = j4 j4j  j 4 4 + 3j 3j = 4  1 = 3 4 ! y = j4j  j4 + 3j 3j = 4  7 = 3

Consideramos entonces los números y = 3 y y = 3: Así: i)x

 3 ! jxj  jx + 3j 3j = x  (x + 3) = x  x  3 = 3 ii)x < 3 ! jxj  jx + 3j 3j = x  [(x + 3)] = x + x + 3 = 3 19

ó


Así, se puede ver que el rango es: [3; 3] Por lo cual, lo que se pide es: (1; +1) y [3; 3] : d) R. 28.

El vértice y el rango de la función valor absoluto f (x) =  jx + 1j 1j + 3 son:

a)(1; 1) y (1; 4]

b)( )(1; 3) y (1; 3]

c)( )(1; 3) y [3 ; +1)

d)( )(1; 3) y [3 ; +1)


Presentamos a continuación la grá…ca de la función y =  jx + 1j 1j + 3

y

4 3 2 1

-5

-4 -4

-3 -3

-2 -2

-1 -1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3

De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en y = 3; así: y

3 33 0 0 x

= = = = = =

 jx + 1j 1j + 3  jx + 1j 1j + 3  jx + 1j 1j  jx + 1j 1j x+1 1

El vértice de la función es V (1; 3); también puede verse que el rango es:

(1 ; 3] R.

b)

20


29.

Si expresamos la función f (x) = jjxj  2j sin el símbolo de valor absoluto, resulta:

 2 2 ( )= 8> 2   2 2  2 <  2  2 ( )= >: 2 2+ 0 2 2 0 x

a) f x

c) f x

 j j2 ( )= 2j j  +2

; si x x; si < x ; si x x ; si x x; si x< x; si
x

b) f x

c) f (x) =

; si jxj  2 x ; si jxj < 0

; si x  0 2 + x; si x < 0 x


Probamos por casos:

i)x

Por ejemplo: ii)0

Por ejemplo: iii)  2

Por ejem ejempl plo o iv )x

Por ejemplo:

 2 ! f (x) = x  2: x = 3 ! 3  2 = 1 y jj3 jj3j  2j = j1j = 1  x < 2 ! f (x) = 2  x x = 1 ! 2  1 = 1 y jj1 jj1j  2j = j1 j1j = 1 < x < 0 ! f (x) = 2 + x : x = 1 ! 2 + ( ( 1) = 1 y jj1 jj1j  2j = j1  2j = 1  2 ! f (x) = x  2 x = 3 ! (3)  2 = 1 y jj3 jj3j  2j = j3  2j = 1

8>  2  2 <  2  2 ( )= >: 2 2+ 0 2 2 0

Así, puede verse que: f x R.

c)

x x

; si x ; si x x; si x< x; si
21


30.

Al expresar la función f (x) = jxj + jx  5j sin el símbolo de valor absoluto, resulta:

8< 2  5 ( )= :8 52 + 05  2  5 < ( )= : 52 +05 

x ; si x  5 ; si x<5 x ; si x < 0 x ; si x  5 ; si x<5 x ; x<0

a) f x

c) f x

 2 5 ( )= 2 + 5  2 5

b) f x

c) f (x) =

x x

x

; si x  5 ; si x < 5

; si x  5 5; si x < 5


Probamos por casos como en el ejercicio anterior: i)x

 5 ! f (x) = x + x  5 = 2x  5: x = 6 ! 2(6)  5 = 7 y j6j + j6  5j = 6 + 1 = 7 Por ejemplo: ii)0  x < 5 ! f (x) = 5 x = 1 ! f (1) = 5 y j1j + j1  5j = 1 + 4 = 5 Por ejemplo: iii)x < 0 ! f (x) = 2x + 5 Por ejem ejempl plo o : x = 1 ! 2( 2(1) + 5 = 7 y j1 j1j + j1 j1  5j = 7

8< 2  5 ( )= : 52 + 05 

Así puede verse que: f x R.

a)

x ; si x  5 ; si x<5 x ; si x < 0

22

Funciones Reales

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