Integrales Impropias.doc

INDICE GENERAL Dedicatoria……………………………………………………….. 2 Objetivos…………………………………………………………. 3 Metodología de investigación……………………………………. 3 Integral impropia…………………………………………………. 4 Carácter y valor de las integrales impropias……………………... 7 Integral de primera especie………………………………………. 7 Integral de segunda especie…………………………………….... 8 Integral de tercera especie………………………………………... 9 Ejemplos de Integrales Impropias ……………………………….. 9 Integrales Impropias especiales………………………………….. 16 Función Gamma………………………………………………….. 16 Función Beta……………………………………………………... 21 Equivalencia de función Gamma y Función Beta………………... 25 Conclusiones……………………………………………………… 28

Bibliografía……………………………………………………….. 28

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA”

DEDICATORIA

“Al maestro que da un segundo más a su existencia, para impartir el conocimiento y hacer más digna la existencia humana”

INTEGRALES IMPROPIAS Página 2


OBJETIVOS: -

Incentivar en el estudiante la investigación y el gusto por ciencias exactas

-

Afianzar sus conocimientos impartidos en clase

-

Aumentar su óptica hacia la matemática, al investigar sobre lo inmenso de las teorías matemáticas

-

Comprender la importancia y la aplicación de las teorías matemáticas

METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN La metodología usada para hacer este informe monográfico se basa básicamente en la recopilación de información publicada en la web y la organización según una secuencia lógica y didáctica del tema desarrollado.

Al ser la teoría matemática amplia y tener varias ópticas bajo diversos especialistas, en el desarrollo de esta monografía la óptica mas aplicativa, dejando de lado la parte axiomática y rigurosa que exige este tema como todo los demás informes científicos.



Integral impropia Introducción "Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites. La integral

puede interpretarse como

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.



Definición de integral impropia: Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

si los límites existen.



Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Carácter y valor de las Integrales Impropias Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

1-Primera especie Son del tipo:

ó

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el INTEGRALES IMPROPIAS Página 7

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente): Si existe el

y es finito y en ese caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si

es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.

2-Segunda Especie Son del tipo:

y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a): Si el

existe y es finito y en este caso INTEGRALES IMPROPIAS Página 8


entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

3-Tercera Especie Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración. Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Ejemplos de Integrales impropias Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva

la recta

y el eje Como la curva es siempre positiva Area

Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se

vuelve asíntotica al eje ``rapidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” curva y el eje se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.

Integral impropia de 1ra clase. (divergente)

Ejemplo 2: Mirar si

es convergente

luego es convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo

se puede

decir que éste valor es el área bajo la curva Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva

Como

para

con

Area =

Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.

2)

Se toma un valor para calcular


y luego se hace tender hacia -

Es decir

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” Ejemplo 4: La región limitada por la curva

el eje , el eje rota alrededor del

eje ;encontrar el volumen del sólido obtenido.

Utilizando discos Volumen =

Ejemplo 5: Determinar si

es convergente o divergente utilizando fracciones parciales

= Como

es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la

indeterminación

Así :

3) INTEGRALES IMPROPIAS Página 11

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores

Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea impropia en uno solo de los límites de integración

Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva

Por lo que la curva es siempre positiva Area=

y el eje

. Pero como la curva es

simétrica con respecto al eje Area =2

Ejemplo 7: Determinar si

converge o diverge



como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si

existe

por lo tanto

Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente podía haber sido divergente y el resultado

no da cero.

Si es una función contínua en un intervalo

existe Si es discontínua en se hace

y si

este límite existe se dirá que la integral es convergente si no que es divergente.

Si es discontínua en se hace INTEGRALES IMPROPIAS Página 13

con la misma

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” observación anterior Si es discontínua en algún número

pero contínua en todos los demás

Valores.

aplicándose sobre el número lo que se describió

Integral impropia de 2da clase.(convergentes)

Ejemplo 8: Decir si la integral

converge o diverge

El integrando es discontínuo en 0 entonces Como

siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva

Ejemplo 9: Decir si la integral

es convergente o divergente

El integrando es discontínuo en INTEGRALES IMPROPIAS Página 14

luego la

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” integral diverge

Ejemplo 10: Decir si

converge o diverge

Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo

!!!

Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!

Como

es discontínua en 0

Como la región es simétrica con respecto al eje si

converge

también;

luego es divergente Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una circunferencia de radio es La ecuación de una circunferencia de centro en

y de radio es

El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” El integrando es discontínuo en

(el denominador se hace );

En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que hacer uso de integrales impropias.

Integrales Impropias especiales

FUNCIÓN GAMMA

Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma

, la cual es de

gran importacia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales.

Definición [Función Gamma] La función

dada por

se conoce como la función gamma. Su gráfica se muestra en la figura 1.9.



Figura 1.9

El siguiente teorema establece una de las propiedades más importantes de la función gamma. Teorema [Recursividad de gamma] Para toda

se tiene que

Demostración Integrando por partes

Ejemplo Calcule

.


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” Solución:

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario. Corolario [Recursividad de Gamma] Para

,

y

se tiene que

Observación: de los resultados anteriores obtenemos que se conoce a esta función como el factorial generalizado. Ejemplo Calcular los valores de

,

,

Solución Usando la propiedad recursiva, tenemos que



Para

:


.

, por esta razón




Para



Para

:

:

De donde


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” CÁLCULO FRACCIONARIO La n-ésima derivada de axb (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

Como n! = Γ(n + 1) entonces

donde n puede

ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una constante c = cx0:

FUNCION BETA A siguiente integral

se conoce como la función beta. El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la función Beta. Teorema [Propiedades de la función beta] INTEGRALES IMPROPIAS Página 20


1. La función

converge para

2.

,

.

.

3. Para

,

se tiene que

4. Para

,

se tiene que

5. Para

,

se tiene que

Demostración 1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

Ahora, observe que la primera integral convwerge si


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” y de igual manera, la segunda integral converge si

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable

3. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

Haciendo el cambio de variable



tenemos que

3.La demostración de este resultado es un tanto más compleja y se sale de los objetivos del curso, por esta razón no la haremos. Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Usando los resultados del teorema anterior



Observe que cuando

es muy grande es extremadamente difícil calcular

, aún con la

ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el número de posibles formas de barajar un maso de cartas podría tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de . El siguiente teorema establece que cuando

es una buena aproximación de

es muy grande.

Teorema [Fórmula de Stirling]

Observación: del la fórmula de Stirling1.4 tenemos que :

Y por último el siguiente teorema expresa la relación entre la función

y la

transformada.

Equivalencia entre la función Gamma y Beta La función beta[1] fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue dado por Jacques Binet. En matemática, dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos INTEGRALES IMPROPIAS Página 24

,

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para x e y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables t = u2 y s = v2:

Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble arroja

Haciendo t = r2 obtenemos

Definiendo la función beta

se obtiene


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” o

Propiedades : 1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado

2. La función beta es simétrica

3Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta

Derivadas Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma

donde ψ(x) es la función digamma. Aplicación Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” de donde

.

Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular

Entonces podemos[2]

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos::

De manera que

CONCLUCIONES:



Al puede concluir con satisfacion que al desarrollar la monografia se aumentos la vision del alumnos al estar en contacto con una informacion vasta solo publicada en la web.



Se tiene claro las diversas escuelas matematicas, es decir la matematica aplicada


“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA” 

y la matematica pura,que desarrolla la teoria matematica desde el punto de vista axiomatico y riguroso.

BIBLIOGRAFIA: 

Instituto de matemática y ciencias afines-Universidad Nacional de Ingeniería – Perú



www.imca.edu.pe

Universidad de Zaragoza - España www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/.../07- impropias.pdf



Universidad Católica de Salta- Argentina www.ucasal.net/recursos/INTEGRALES_IMPROPIAS.pdf



Facultad de Ingeniería ;Universidad de Buenos Aires- Argentina www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/II00.pdf



Universidad de Alcalá – España www2.uah.es/josem_salazar/material_docente.../teoria/.../t6.pdf



Enciclopedia Libre Wikipedia es.wikipedia.org.


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