INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ
EN EL ESTADO DE CAMPECHE
INGENIERÍA INDUSTRIAL
7º SEMESTRE GRUPO: A
INVESTIGACION DE OPERACIONES INC-1019
PROFESOR: GOMEZ KU RICARDO
TRABAJO DOCUMENTAL
UNIDAD 2 LINEAS DE ESPERA
"NOMBRE "MATRÍCULA "CALIFICACIÓN DE"CALIFICACIÓN DEL"
" " "LA EXPOSICIÓN "DOCUMENTAL "
"ELIO IGNACIO COCOM"1749 " " "
"MOO " " " "
"MARÍA GUADALUPE "1706 " " "
"YAM UICAB " " " "
"EUGENIO EVERARDO "1721 " " "
"CHI CAHUN " " " "
"JOSE LUIS DZIB "1730 " " "
"DZUL " " " "
CALKINÍ, CAMPECHE 13 DE SEPTIEMBRE DEL 2010
ÍNDICE
CAPITULO I
OBJETIVOS Y/O COMPETENCIAS 3
CAPITULO II
INTRODUCCIÓN 4
CAPITULO III
2. LINEAS DE ESPERA
2.1 INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA, NOTACION Y CASOS DE APLICACION 6
2.2 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS POISSON) 10
2.4 POBLACION FINITA UN SERVIDOR, COLA FINITA 14
2.5 POBLACIÓN INFINITA SERVIDORES MÚLTIPLES, COLA INFINITA 20
CONCLUSIÒN 29
BIBLIOGRAFIA 31
CAPITULO I
"UNIDAD 2 "
"Competencia específica a "Actividades de Aprendizaje "
"desarrollar " "
"Estudiar y aplicar los modelos y "Identificar y reconocer sistemas "
"algoritmos de líneas de espera. "que sean modelados como líneas de "
"Identificar y analizar los "espera "
"problemas "Aplicar la terminología y notación"
"donde se involucran los modelos de"del los modelos de línea de espera"
"líneas de espera y utilizarlos "Identificar cuáles son las "
"para "características básicas de una "
"encontrar su solución, en sistemas"línea de espera, usar las formulas"
"de "para cada uno de sus modelos "
"producción o de servicios "Ejemplificar cada caso específico "
"Utilizar el software adecuado "y resolver problemas, "
" "adicionalmente utilizar software "
" "de apoyo "
" "Establecer las conclusiones para "
" "cada modelo estudiado, en un "
" "lenguaje accesible para el tomador"
" "de decisiones. "
CAPITULO II
INTRODUCCIÓN
Modelos de líneas de espera
La teoría de líneas de espera se origino en los trabajos de A. K. Erlang
que principiaron eh 1909. Experimento con un problema relacionado con la
congestión del trafico telefónico. Durante los periodos ocupados, los que
pretendan hacer llamadas sufran algunas demoras, porque las operadoras eran
incapaces de atender las llamadas con la rapidez con que se hacían. El
problema original que trato Erlang fue el calculo de esa demora para una
operadora, y en 1917 los resultados se extendieron al caso de varias
operadoras. En ese año Erlang publico su obra muy conocida, Solutions of
Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic
Telephone Exchanges. Los adelantos en el campo del trafico telefonico
continuaron generalmente en el sentido iniciado por Erlang, y las
publicaciones principales fueron las de Molina en 1927 y de Thornton D. Fry
en 1928, pero solo fue hasta el fin de la Segunda Guerra Mundial cuando
esos trabajos se extendieron a otros problemas relacionados con líneas de
espera. Inicialmente, este capitulo se concentrara en las derivaciones
matemáticas de las formulas de un problema de líneas de espera de un solo
canal. Los , modelos matemáticos para problemas de líneas de espera de
canales múltiples, se darán sin ninguna prueba matemática. Se presentara el
método de Hontecarlo, que básicamente es una técnica de simulación en la
que se crean funciones estadísticas de distribución, usando una tabla de
números aleatorios. Se empleara para resolver problemas de lineas de espera
de un solo canal y de canales múltiples,
Este tema trata acerca de los clientes cuando llegan y hacen cola el
objetivo de este proceso es determinar cuántos clientes llegan en un
determinado lapso de tiempo, a esto se le llama nacimiento puro. La mayor
parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada
de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de
acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de
teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. la teoría de
colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al
sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente
servido
La Teoría de Colas es una formulación matemática para la optimización de
sistemas en que interactúan dos procesos normalmente aleatorios: un proceso
de "llegada de clientes" y un proceso de "servicio a los clientes", en los
que existen fenómenos de "acumulación de clientes en espera del servicio",
y donde existen reglas definidas (prioridades) para la "prestación del
servicio".
La Teoría de Colas es una aproximación matemática potente para la
optimización del problema, y tiene aplicaciones (crecientes) en sistemas
donde las llegadas y el servicio admiten una representación matemática
(probabilística); en problemas que no admiten esta representación existen
otras técnicas.
En este documento hablamos sobre la teoría de colas ya que a menudo es
deseable tomar decisiones respecto de una situación de teoría de cola una
situación de cola, y se caracteriza por el flujo de clientes que arriban a
una o más estaciones en las que se efectúa el servicio. Al arribo del
cliente, éste puede ser atendido inmediatamente o puede tener que esperar
hasta que el servicio esté disponible; el tiempo en la cual se atiende a
cada cliente puede ser fijo o aleatorio, dependiendo del tipo de servicio.
En la vida diaria hay muchos ejemplos que se adaptan a esta situación:
autos arribando a una estación de servicio, o a un peaje; personas
arribando al cajero automático; máquinas que fallan y que requieren ser
reparadas; etc.
Para ello se ha desarrollado la Teoría de Cola o de la Línea de Espera que
se basa en describir el arribo o la partida y/o servicio) por
distribuciones de probabilidad apropiadas. Usando teoría de probabilidad se
derivan las características operativas del problema, como ser tiempo de
espera hasta que el servicio del cliente sea completado, porcentaje de
tiempo desocupado por servicio.
CAPITULO III
2. LINEAS DE ESPERA
2.1. INTRODUCCIÓN, TERMINOLOGÍA, NOTACIÓN Y CASOS
DE APLICACIÓN
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO
Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de
espera tiene su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea
de espera se refiere a la condición en que se escogen las llegadas para
recibir servicio. En este capitulo el procedimiento consiste en que las
llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a base de que el que llega
primero queda en primer lugar.
Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser
aleatorias. La tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que
llegan a la caseta de herramientas de la empresa, o en otras condiciones
podrían representar el número de clientes que esperan para comer. General-
mente, la tasa de llegada se expresa como tasa de llegada por unidad de
tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un orden o patrón lógico
en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de los casos
en el mundo de los negocios. En las situaciones en que las llegadas se
distribuyen en forma aleatoria puede utilizarse su promedio si se registra
durante un periodo suficientemente prolongado.
La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de
servicio pueden manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa
por unidad de tiempo. Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el
numero de pedidos que el departamento de piezas de repuesto procesa por
hora. También el tiempo de servicio puede ser uniforme o distribuido en
forma aleatoria. En las problemas de-negocios 'se encontraran más casos de
tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada.
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA
La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de
situaciones de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será
de gran ayuda para sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría.
Una gran cadena de supermercados ha utilizado las líneas de espera para
determinar el número de estaciones de control que se requieren para lograr
un funcionamiento continuo y económico de sus almacenes, a diversas horas
del día. Otro uso de esta teoría consiste en analizar las demoras en las
casetas de peaje de puentes y túneles. Un estudio de esta índole se refiere
al numero y programación de las casetas de peaje requeridas sobre una base
de veinticuatro horas, a fin de reducir al mínimo los costos en determinado
nivel de servicio. Otras áreas relacionadas con un cliente, serian las
líneas de espera de restaurantes y cafeterías, expendios de gasolina,
oficinas de líneas aéreas, almacenes de departamentos y la programación de
los pacientes en las clínicas. En todos los casos, los clientes esperan
cierto nivel aceptable de servicio, mientras que la empresa espera poder
mantener sus costos al mínimo.
La teoría de las líneas de espera no solo es aplicable a los
establecimientos de ventas a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-
facturaras también la usan extensamente. Una aplicación muy popular de la
teoría de las líneas de espera es el area de las casetas de herramientas.
Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que
esperar mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas.
Aunque se presiona a los gerentes de fabrica para que reduzcan los gastos
generales de administración, e! aumento de empleados puede reducir
realmente los gastos generales de manufactura, porque el personal de la
fabrica puede trabajar en vez de esperar en una fila.
Otro problema que ha resuelto con éxito la teoría de
las líneas de espera. es la determinación adecuada del numero de muelles
que se requieren cuando se construyen instalaciones terminales para
barcos y camiones. como tanto los costos de los muelles como los de las
demoras pueden ser considerables, ya que los primeros disminuyen mientras
aumentan los segundos, o viceversa, es muy conveniente construir el
numero de muelles que reduzcan al mínimo la suma de esos dos costos, Varias
empresas manufactureras han atacado el problema de descomposturas y
reparaciones de sus maquinas, utilizando la misma teoría, El problema
se refiere a una batería de maquinas que se descomponen individual-' mente
en diferentes épocas. En realidad, las maquinas que se descomponen
forman una línea de espera para su reparación por el personal de
mantenimiento. Es conveniente emplear el personal de reparaciones
necesario para
Disminuir al mínimo la suma del costo de la perdida de producción causada
por el tiempo de espera y del costo de los mecánicos.
La teoría de las líneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I
de incentivos de salarios. Por ejemplo, se había asignado cierto personal
de línea de producción para manejar dos maquinas, mientras que a otros se
les había asignado para manejar. Cuatro maquinas. Como. Todas las maquinas
son
Iguales, los trabajadores reciben el mismo salario básico, pero la
gratificación : de incentivo por la producción sobre la cuota, es de la
mitad por unidad i para los operadores con cuatro maquinas que para los que
tienen dos : maquinas. Superficialmente ese arreglo parece equitativo. No
obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada una
de las dos I maquinas que maneja un solo hombre estarían ociosas alrededor
del 12 por ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro maquinas
manejadas j por un solo individuo estarían ociosas alrededor del 16 por
ciento de su tiempo programado. El problema es que dos (o
mas) maquinas pueden descomponerse a la vez en el grupo de cuatro
maquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo de dos maquinas. El
individuo que maneja el , grupo de cuatro maquinas tiene que trabajar a
mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos maquinas, a fin de
ganar el mismo incentivo. El f problema se resolvería pagando a los
operadores de las baterías de cuatro " maquinas un salario básico mayor,
determinado básicamente empleando las J probabilidades calculadas con la
teoría de las líneas de espera.
Las áreas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones
de la teoría de las líneas de espera, que pueden extenderse para incluir la
i dotación de personal de las operaciones de oficina, y el equilibrio del
flujo I _ de materiales en un taller de tareas. Esa teoría puede tener una
influencia bien definida en el desafío de un sistema de inventario y de
control de producción.
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO
El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en
términos de costo mínimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa
manufacturera maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus
grandes fábricas. Actualmente, el grupo de análisis de sistemas tiene en
observación una de esas casetas atendida por un trabajador, : los
maquinistas llegan a solicitar servicio a una tasa uniforme de 10 por hora
mientras que se observa que el encargado de la caseta de
herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de
7 1/2 por hora. ¿Seria? lucrativo para la empresa aumentar el número
de encargados si se les paga a razón de $3.00 por hora, y se paga a los
maquinistas a razón de $4.qo hora? Esas cuotas incluyen los beneficios
marginales.
Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el
personal del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a
almorzar Los resultados finales se calculan sobre una base de 8 horas. En
vista de esos datos —tasa uniforme de llegada de 10 por hora (uno cada 6
minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2 por hora (uno cada 8
minutos)-' el problema puede resolverse empleando la formula de la suma de
una serie aritmética. Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene
tiempo de espera. Antes de dar servicio al que llego primero, el que liego
en segundo lugar se convierte en el primero que espera en la fila, y su
tiempo de espera es de 2 minutos (8 minutos — 6 minutos), antes de que se
le de servicio.
Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es
necesario calcular el tiempo de espera del ultimo hombre en nuestras 4
horas iníciales. Como llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4
horas), y el primero no espera, debemos calcular el tiempo de espera de los
treinta y nueve restantes, o sea que 39 maquinistas multiplicados por 2
minutos son igual a 78 minutos. Como el aumento del tiempo de espera para
cada maquinista adicional es lineal, podemos promediar el tiempo de espera
del segundo y del cuadragésimo. El promedio del tiempo de espera de cada
maquinista es igual a 2 minutos más 78 minutos, dividido entre 2, 6 40
minutos, lo que se resume en la tabla 14-1. (La probabilidad de que los que
lleguen al último no espere en la fila, porque se acerca la hora del
almuerzo, no se ha considerado aquí, aunque normalmente lo será.) El examen
de los datos indica que el costo se reduce al mínimo empleando dos
encargados. En contraste con las tasas uniformes, la mayor parte de los
problemas de los negocios se ocupa de tasas aleatorias de llegada y de
servicio, cuya solución requiere un proceso diferente, que constituirá el
tema del resto de este capitulo.
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL
En la última sección, estudiamos las tasas uniformes de llegada y de
servicio, y ahora estudiaremos las tasas aleatorias de llegada y de
servicio en un problema de líneas de espera de un solo canal (una sola
estación). No trataremos aquellos casos en los que la capacidad de las
instalaciones de servicio es mayor que el promedio de las demandas de las
entradas, porque esta condición da por resultado que no haya líneas de
espera. En vez de ello nos ocuparemos de un problema de líneas de espera de
un solo canal, en el que hay una línea de espera que resulta de tiempos
aleatorios de llegada y de servicio. Vale la pena notar que los modelos de
líneas de espera pueden usarse para eliminar un exceso de trabajadores,
cuando la instalación de servicio es mayor que las demandas de servicio.
La forma en que llegan las unidades es aleatoria, si no puede predecirse
exactamente cuando llegara cierta unidad.
2.2 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON)
PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA
En esta sección consideraremos dos procesos especiales. En el primer
proceso, los clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los
clientes se retiran de un abasto inicial. En ambos casos los procesos de
llegada y retiro ocurren de manera aleatoria. Las dos situaciones se
denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura.
MODELO DE NACIMIENTO PURO
Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién
nacidos. Estas actas se guardan normalmente en una oficina central de
Registro Civil. Hay razones para creer que el nacimiento de bebes y, por
ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso completamente
aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson.
Usando la información de la sección 15.2 y suponiendo que λ es la tasa con
que se emiten las actas de nacimiento, el proceso de nacimiento puro de
tener n arribos o llegadas (acta de nacimiento) durante el periodo de
tiempo t se puede describir con la siguiente distribución de Poisson:
, n=0,1,2,…. (Nacimiento puro)
Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número
esperado de llegadas durante t igual a λ t.
Ejemplo 15.3-1
Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de
acuerdo con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada
7 minutos en promedio.
Como el tiempo promedio entre arribos (entre nacimientos) es de 7 minutos,
la tasa de nacimiento en el país se calcula como:
El número de nacimientos en el país por año está dado por
λ t = 205.7x365 = 75080 nacimientos/año
La probabilidad de ningún nacimiento en cualquier día es
Suponga que nos interesa la probabilidad de emitir 45 actas de nacimiento
al final de un periodo de 3 horas, si se pudieron emitir 35 actas en las
primeras 2 horas.
Observamos que debido a que los nacimientos ocurren según un proceso de
Poisson, la probabilidad requeridas reduce a tener 45-35=10 nacimientos en
una hora ( =3-2). Dado λ=60/7=8.57 nacimientos/hora, obtenemos
MODELO DE MUERTE PURA
Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la
semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si
suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que
el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada
de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la
siguiente distribución truncada de Poisson:
n = 1,2,…N
(Muerte pura)
Ejemplo 15.3-2
Al inicio de la semana, se almacenan 15 unidades de un artículo de
inventario para utilizarse durante la semana. Solo se hacen retiros del
almacenamiento durante los primeros 6 días (la empresa está cerrada los
domingos) y sigue una distribución de Poisson con la media de 3
unidades/día. Cuando el nivel de existencia llega a 5 unidades, se coloca
un nuevo pedido de 15 unidades para ser entregado al principio de la semana
entrante. Debido a la naturaleza del artículo, se desechan todas las
unidades que sobran al final de la semana
Podemos analizar esta situación en varias formas. Primero, reconocemos que
la tasa de calculo es µ = 3 unidades por día. Supóngase que nos interesa
determinar la probabilidad de tener 5 unidades (el nivel de nuevo pedido)
al día t; es decir,
t= 1,2,…,6
Como ejemplo ilustrativo de los cálculos, tenemos los siguientes
resultados utilizando el programa TORA µt=3, 6, 9…., y 18
"t (días) " 1 2 3 "
" "4 5 6 "
"µt " 3 6 9 "
"p5(t) "12 15 18 "
" "0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 "
" "0.0486 0.015 "
Obsérvese que p5(t) representa la probabilidad de hacer un nuevo pedido el
día t. Esta probabilidad llega a su nivel máximo en t=3 y después
disminuye conforme transcurre la semana. Si nos interesa la probabilidad
de hacer un nuevo pedido para el día t, debemos determinar la probabilidad
de tener cinco unidades o menos el día t; esto es,
Pn<=5 (t) = p0(t)+p1(t)+…..+p5(t)
Usando TORA nuevamente obtenemos
"t (días) " 1 2 3 "
" "4 5 6 "
"µt " 3 6 9 "
"pn<=5(t) "12 15 18 "
" "0.0011 0.0839 0.4126 0.7576 "
" "0.9301 0.9847 "
Podemos advertir en la tabla que la probabilidad de hacer el pedido para el
día t aumente monótonamente con t.
Otra información, que es importante al analizar la situación, es determinar
el número promedio de unidades de inventario que se desecharan el fin de
semana.
=
Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el día 6; es
decir,
La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado µt=18
"N " 0 1 2 3 4 "
" "5 6 7 8 9 "
" "10 11 "
"pn(6"0.792 0.0655 0.0509 0.0368 0.0245 0.015 "
") "0.0083 0.0042 0.0018 0.0007 0.0002 0.0001 "
Y pn(6) ~= 0 para n = 12,13,14 y 15. Por lo tanto, al calcular el
promedio, obtenemos
= 0.5537 unidad
Esto indica que, en promedio, se desechará menos de una unidad al término
de cada semana.
Ejercicio 15.3-2
Determine en el ejemplo 15.3-2
A) La probabilidad de que se agote la existencia después de tres días.
B) La probabilidad de que se retirará una unidad de inventario al termino
del cuarto día dado que la ultima unidad fue retirada al cabo del
tercer día
C) La probabilidad de que el tiempo restante hasta que se retire la
siguiente unidad sea cuando mucho un día, dado que el último retiro
ocurre un día antes.
D) El inventario promedio que se mantiene en existencia al termino del
segundo día
E) La probabilidad de que no ocurran retiros durante el primer día
2.4 UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIÓN FINITA
El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de
clientes que requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es
infinito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es,
por regla, de tamaño finito. Este caso no corresponde a la realidad ya que
una población es, por regla, de tamaño finito. Esta consideración, en vez
de simplificar el desarrollo de fórmulas que describen cuantitativamente al
sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el supuesto de
población infinita y no con el real.
Suponiendo que una población finita de m elementos (o
servicios de un sistema similar al de la sección anterior, las series
infinitas analizadas para la sección 3.4 se convierten en series finitas y
generan de manera análoga los siguientes resultados9.
Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n <
m) elementos de esa población piden ese servicio, entonces P0 (t) se
calcula mediante el uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21,
determinadas a continuación9-1:
(3.20)
(3.21)
Una vez conocida (t) se calcula L, W, Ts, Tw de:
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente
manera:
(3.26)
Ejemplo 3.2. Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones
del tipo jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos
aviones desde 1971 y, en especial, las fallas de las turbinas. Los datos
indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una
variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas
de cualquier avión es de un año. El tiempo promedio de revisión y
compostura de la falla de la turbina es de 45 días (un octavo de año).
Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se
proporciona servicio bajo la política de "primero que entra al taller,
primero que se le sirve". Durante el periodo de mantenimiento el avión no
vuela. Describa cuantitativamente al sistema de espera.
Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces
.
Como , se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión
3.20 para n = 0, 1, 2, 3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que
esperan compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico.
"n "m " " " "
"0 "4 " " "1.00000 "
"1 "4 " " "0.50000 "
"2 "4 " " "0.18750 "
"3 "4 " " "0.04688 "
"4 "4 " " "0.00576 "
Tabla 3.2
Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene:
Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre
ningún avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo
t.
La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en
espera es:
El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es
de:
Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la
cola y en el taller) es:
El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es:
O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el
sistema (espera más servicio) es de:
O sea casi 64 días:
¿Qué representa esto en costo?
Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2
mil cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se
supone que estos aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada
mil horas de vuelo se les proporcionaría mantenimiento preventivo
(independiente de las composturas de falla de turbina) que dura en promedio
100 horas. Se supone que el sueldo mensual del personal especializado de
reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del equipo de reparación
(luz, depreciación, seguros, etc.,) es de 125 mil pesos.
El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión
es, por lo tanto, la suma de los siguientes costos:
a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw).
b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el
taller por compostura de turbinas.
c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir
Tw – Ts.
Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos
unitarios a costo por año.
En un año (365 días) el avión vuela:
Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para
un total de 500 de servicio de mantenimiento. Si en un año existen
8760 horas, lo anterior quiere decir que:
8760 – (5110 + 500) = 3150
Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada
avión será de:
(5110 ) + (500 * 5000
) + (3150 2000 ) = 59.9
Si un avión de este tipo pasa Tw = 0.175 de año (64 días), en el sistema de
compostura de turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es:
(59.9 ) (0.175 años) = 10.48
El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de
pesos por año); por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación
asociado a la compostura de una turbina será:
La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman
325 mil pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del
tiempo de reparación por avión, sin tomar en cuenta refacciones es:
El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es:
(10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58
Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el
equipo especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En
cuánto disminuiría el costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto
aumenta el costo del equipo de reparación? ¿Cuál es un buen punto de
equilibrio?
2.5 UNA COLA-SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO-POBLACION INFINITA
Se supone un sistema con una sola cola, a la cual puede llegar un número
infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de
S(S>1) servidores en paralelo. La política del sistema es que sirve a los
clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el primer
servidor que se haya desocupado al principio y se irán ocupando en forma
progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la
medida que vayan llegando los clientes.
El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es λ y se supone que
este tiene una distribución de poisson.
El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es
el mismo y se denota por µ. Se supone que este número tiene una
distribución exponencial negativa.
Se observa que cuando el número de elementos en la cola y en las estaciones
de servicio, m, es mayor que el número de servidores, S, (m > S), la
probabilidad de que algún cliente abandone el sistema (después de recibir
su servicio) en el intervalo de tiempo Δ t es S µ Δ t. En caso contrario (S
> m), dicha probabilidad es m µ Δ t.
Esta observación incorporada en la expresión 3.3 origina:
(3.27)
En la expresión anterior no tiene sentido cuando m = O, por lo que
una vez agrupados los términos se obtiene:
Restando en ambos lados PQ (t) y dividiendo entre A t, se tiene
Tomando el límite cuando tiende a cero genera
Por lo que
(3.28)
El límite, cuando tiende a cero, de la expresión general 3.27, para
m = 1, genera
(3.29)
Substituyendo 3.28 en 3.29
(3.30)
Generalizando 3.30 para un valor m — 1 cualquiera se obtiene
que se puede reescribir:
(3.31)
Para el caso en que m < S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el
término de 3.27 por m µ Δ t, para obtener
(3.32)
Una fórmula explícita de se genera despejando este término de ,
arrojando la expresión:
(3.33)
Combinando 3.33 con 3.31 y 3.32 y tomando el límite cuando m tiende a
infinito, se construye después de un buen ejercicio algebraico (que aquí se
omite) la expresión final para dada por
(3.34)
El largo de la cola L, lo dará la expresión
Que una vez desarrollada, utilizando 3.31 y agrupando términos, genera la
fórmula
(3.35)
El número de elementos en el sistema W, es igual a
W = L + (3.36)
El tiempo de espera en la cola Ts es:
(3.37)
Mientras que el tiempo de espera en el sistema, Tw
(3.38)
Así como en el caso de un servidor se supone que (para que no se
formen colas de tamaño infinito), en el caso de servidores múltiples se
requiere que se cumpla la condición , la cual se puede reescribir como
Se puede demostrar que
Donde
Y
Ejemplo 3.3. Suponga que en el cruce fronterizo de México y Estados Unidos,
localizado entre las poblaciones de Piedras Negras, Coahuila, y Eagle Pass,
Texas, existe un puente sobre el Río Bravo con dos líneas de tráfico, una
en dirección de México a Estados Unidos y la otra en sentido contrario. La
línea de tráfico de Estados Unidos a México, se bifurca a 5 garitas de
inspección migratoria y aduanera.
Suponga que las llegadas de automóviles tienen una distribución de Poisson
con ƛ igual a 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios
tiene una distribución exponencial negativa con µ igual a
8 servicios por hora.
Por decreto gubernamental, no existe prioridad de trato, así que las
garitas migratorias y aduaneras proporcionan servicio en la medida que se
desocupan, y se atiende en primer término al primer automóvil de la cola y
así sucesivamente.
Se describe en forma cuantitativa al sistema de garitas migratorias y
aduaneras.
Primero se corrobora que el parámetro , queriendo decir que en el
puente internacional de Piedras Negras no se formará una cola infinita de
automóviles o, en términos más reales, que esta cola no tiende a crecer sin
freno:
Se tiene
Lo anterior implica que existe un 15% de probabilidades de que, al llegar
un automóvil cualquiera a la garita internacional de Piedras Negras, en el
tiempo t las 5 estaciones de servicio se encuentren vacías, y no exista
ningún automóvil esperando este servicio.
Por lo tanto, no se forma una cola hasta que m > 6, como se verifica en la
tabla 3.3.
El largo de la cola, L es:
El número de elementos en el sistema, W, es:
El tiempo promedio de espera en la cola, Ts es:
"M "Tamaño "Garitas "Número de "Pm (t)+,*"
" "de "desocupadas"automóvile" "
" "la cola " "s " "
" " " "a los " "
" " " "cuales " "
" " " "se les " "
" " " "está " "
" " " "dando " "
" " " "servicio " "
"0 "0 "5 "0 "0.152 "
"1 "0 "4 "1 "0.286** "
"2 "0 "3 "2 "0.267 "
"3 "0 "2 "3 "0.167 "
"4 "0 "1 "4 "0.078 "
"5 "0 "0 "5 "0.029*** "
"6 "1 "0 "5 "0.011****"
"7 "2 "0 "5 "0.004 "
"8 "3 "0 "5 "0.001 "
o sea casi 7 segundos, mientras que el tiempo dentro del sistema, Tw es:
Aproximadamente 7 minutos con 36 segundos.
Ejemplo 3.4. El Director General de Egresos, el Lie. A. Uslero, experto en
sistemas, sospecha que se puede lograr un considerable ahorro económico, si
en vez de 5 garitas funcionan 2, y que esto no causa graves problemas al
turismo. ¿Estará en lo cierto?
Se calcula
Es decir, existe un 3% de probabilidades de que al llegar un automóvil
cualquiera a la garita internacional de Piedras Negras, en el tiempo t las
2 garitas se encuentren vacías y no hay automóviles esperando por un
servicio.
No se forma una cola hasta que m > 3, tal como se aprecia en la siguiente
tabla.
"M "Tamaño de "Garitas "Número de "Pm (t) + ,* "
" "la cola "desocupadas "automóviles " "
" " " "a los cuales " "
" " " "se les está " "
" " " "dando " "
" " " "servicio " "
"0 "0 "2 "0 "0.03226 "
"1 "0 "1 "1 "0.06048 "
"2 "0 "0 "2 "0.05670 "
"3 "1 "0 "2 "0.05316 "
"4 "2 "0 "2 "0.04984 "
"5 "3 "0 "2 "0.046725 "
Tabla 3.4
El largo de la cola, L, es:
Mientras que el número de elementos en el sistema, W, es:
W = L +
= 13.61 + 1.875 = 15.49 automóviles
El tiempo promedio de espera en la cola, TS, es:
O sea casi 55 minutos, mientras que el tiempo dentro del sistema, Tw, es:
O sea, casi 62 minutos.
Así, por un lado, la medida de reducir de 5 a 2 garitas podría ahorrarle al
país el salario y el mantenimiento de 3 garitas, por el otro provocaría
pérdidas en turismo, ya que, en promedio cada automóvil que cruce por ese
puerto fronterizo, esperará más de una hora por trámites.
CONCLUSION
Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de
estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y
la productividad.
Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos
matemáticos que representan su operación y después usa estos modelos para
obtener medidas de desempeño que realmente ayudan mucha para el desarrollo
de una empresa o compañía reduciendo el tiempo en que esperan los clientes,
y optimizando la eficiencia del equipo trabajador. Este análisis
proporciona información vital para diseñar de manera práctica sistemas de
colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el
servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.
La teoría de colas es el estudio matemático de las líneas de espera (o
colas) permitiendo el análisis de varios procesos relacionados como: la
llegada al final de la cola, la espera en la cola, o también matemática
etc.
La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación
operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia
variedad de situaciones como: negocios, comercio, industria, ingenierías,
transporte y telecomunicaciones.
En el contexto de la informática y de las nuevas tecnologías estas
situaciones de espera son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos
enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no
son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un
servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red,
también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro
teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.
En conclusión tenemos que la Teoría de Cola no es una técnica de
optimización, sino una herramienta que utiliza fórmulas analíticas,
limitadas por suposiciones matemáticas. No se asemejan a una situación
real, pero da una primer aproximación a un problema y a bajo costo, que
brindan información sobre el comportamiento de líneas de espera; estas se
presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un
"servidor" el cual tiene una cierta capacidad de atención y no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar.
Ya que a menudo es deseable tomar decisiones respecto de una situación de
teoría de cola, basándose en algún tipo de análisis de costos. Por ejemplo,
un incremento en el número de servidores en el sistema reduciría el tiempo
de espera, pero incrementaría el costo del servicio e inversamente. Si se
pudiera expresar el tiempo promedio de espera en valores monetarios, es
posible seleccionar el óptimo número de servidores (o la velocidad de
servicio) que minimiza la suma de los costos se servicio y el tiempo de
espera. El problema de este enfoque radica que en la práctica es muy
difícil de estimar el costo por unidad de espera.
BIBLIOGRAFÍA
METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES DR. JUAN PRAWDA
WITENBERG VOL 2, LIMUSA NORIEGA EDITORES.
TOMA DE DECISIONES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ROBERT J. THIERAUF, LIMUSA.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 5TA EDICION HAMDY A. TAHA ALFAOMEGA.
INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICACIONES Y ALGORITMOS 4TA EDICION WAYNE
L. WINSTON THOMSON.
