Elipse Definición Una elipse es la curva la curva cerrada con dos ejes dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de afín de una circunferencia.
Puntos de una elipse Los focos Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor
((((,,) + (,,) = 2
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q. Si y son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá 2a es a la elipse si se cumple la relación: donde donde es la medida del semieje mayor mayor de la elipse.
Ejes de una elip se El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2 b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
Excentri cidad d e una elips e La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c , y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
Dado que
=√ −
= , (≤≤)
, también vale la relación
O también el sistema
− = = − = {= −
Ecuaciones
( , ) ( +, ) ′( −, )
S i el centro de la elipse coordenadas y
y el eje principal es parale lo a OX , los focos tienen de . Y la ecuación de la elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo. Ejemplos 1.
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2). Solución a=9-4=5 b=7-4=3
(−4)25 + (−2)9 =1
2.
Dada l a el i pse d e ecuaci ón vértices y focos. Solución
, hal l ar su cent ro, semi ej es,
=→= =→= = √ − √ √ =
C(6,-4) V1(0,-4); V2(12,-4)
=
F1(6-
√
,-4); F2(6+
√
,-4)
TALLER
1)
Hallar las ecuaciones de la siguientes elipses sabiendo que: a.
Sus vértices tienen por coordenadas: A(3, 0); A’(– 3, 0); B(0, 1) y B’(0,– 1).
b.
Sus focos tienen por coordenadas: F(4, 0) y F’(– 4, 0) y dos de sus vértices tiene por coordenadas: A(5, 0) y A’(– 5,0).
c.
Sus focos tienen por coordenadas: F(15, 0) y F’(– 15, 0) y el punto de coordenadas (20, 12) pertenece a la elipse.
d.
Sus focos tienen por coordenadas: F(2, 0) y F’(– 2, 0) y el punto de coordenadas (2, – 3) pertenece a la elipse.
e.
Sus focos tienen por coordenadas: F(5, 0) y F’(– 5, 0) y su excentricidad es igual a:
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2)
Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen de coordenadas, el eje mayor esta incluido en el eje , y que los puntos de coordenadas (4, 3) y (6, 2) pertenecen a la elipse.
3)
Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen de coordenadas, el eje mayor está el eje , y que los puntos de coordenadas
incluido en
6, 1 y 2, 2 pertenecen a la elipse. 4)
Hallar las ecuaciones de la siguientes elipses sabiendo que: a.
Sus focos tienen por coordenadas: F(0, 7) y F’(0, – 7) y dos de sus vértices tienen por coordenadas: B(0, 8) y B’(0, – 8).
b.
Sus focos tienen por coordenadas: F(0, 6) y F’(0, – 6) y la longitud del semieje mayor es igual a 8.
c.
Su centro es el origen de coordenadas, uno de sus focos tiene por coordenadas F(0, 2) y la longitud del eje mayor es igual a 10.
5) Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto de coordenadas (1, 2), uno de los focos tiene por coordenadas (6, 2) y el punto (4, 6) pertenece a la elipse.
6)
Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto de coordenadas (– 1, – 1), uno de los vértices tiene po r coordenadas (5, – 1) y su excentricidad es
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