EJEMPLOS MAT251: LA ELIPSE NOTA: ANTES DE ESTUDIAR LOS EJEMPLOS A CONTINUACIÓN SE REQUIERE DEL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA ELIPSE (VÉRTICES, FOCOS, EJE FOCAL, EJE NORMAL, LADO RECTO).
Ejemplo #1: Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36 . Trazar el lugar geométrico.
Solución: Si dividimos cada término entre 36 obtenemos:
4 x 2
+
9 y2
36 x
=
36 2
+
9
y
36 36
2
4
=1
Elipse de la forma
x
2
a2
+
y
2
b2
=1
Según el teorema 1, es una elipse de centro en el origen y eje focal X.1
Por lo que: a = 9 = 3 y b = 4 = 2 c = a 2 − b2 = 9 − 4 = 5 → c = 5
0) → V1 (3, 0) 0) y V2 (−3, 0) 0) a) Vértices: V(± a, 0)
b) Focos: F( ± c, 0)
→
F1 ( 5 , 0), F2 (− 5 , 0)
c) Eje mayor: 2a = 6. Eje menor: 2b=4. d) Lado recto: LR =
2b 2
e) Excentricidad: e =
1
a c a
=
=
2( 2 2 ) 3 5 3
Página 177 (Lehmann), Geometría Analítica.
=
8 3
(e < 1)
EJEMPLOS MAT251: LA ELIPSE
Ejemplo #1: Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse 25 x 2 + 16 y 2 = 400 . Trazar el lugar geométrico.
Solución: Si dividimos cada término entre 400 obtenemos: 25 x 2
+
16 y 2
400
=
400
x
2
+
16
y
400 400
2
25
=1
Elipse de la forma
x
2
b2
+
y
2
a2
=1
Según el teorema 1, es una elipse de centro en el origen y eje focal Y.2
Por lo que: a = 25 = 5 y b = 16 = 4 c = a 2 − b2 = 25 − 16 = 9 → c = 9 = 3
a) Vértices: V(0, ± a ) → V1 (0, 5) y V2 (0, −5) b) Focos: F(0, ± c)
F1( 0, 3), F2 (0, −3)
→
c) Eje mayor: 2a = 10. Eje menor: 2b=8. d) Lado recto: LR =
2b 2
e) Excentricidad: e =
2
a c a
=
=
2(42 )
3 5
5
=
32
(e < 1)
Página 177 (Lehmann), Geometría Analítica.
5
EJEMPLOS MAT251: LA ELIPSE
Ejemplo #3: Reducir la ecuación x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0 a la segunda forma ordinaria de la ecuación de una elipse, y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la de cada lado recto y la excentricidad. Solución: para efectuar la reducción completamos cuadrados,
2 2 x + 4 y - 6 x + 16 y + 21 = 0 2 2 2 2 2 -6 2 4 -6 4 x - 6 x + + 4 y + 4 y + - - 4 + 21 = 0 2 2 2 2
( x
2
- 6 x + 9) + 4 ( y 2 + 4 y + 4) - 4 = 0 ( x - 3) 2 + 4( y + 2)2 = 4 ( x - 3) 2 4
+ ( y + 2)2 = 1
Según el teorema 2, es una elipse de centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje X.3 De donde tenemos que: h = 3, k = −2, a = 2 y b = 1 Por lo que: c 2 = a 2 − b2 = 4 − 1 = 3 → c = 3 a) Coordenadas del centro: C (h, k ) → C(3,-2) b) Coordenadas de los vértices: V (h ± a, k ) → V1 (5, −2), V2 (1, −2) c) Focos: F(h ± c,k) → F1 (3 + 3, −2) y F2 (3 − 3, −2) d) Longitudes de los ejes mayor y menor: 2a = 4 y 2b = 2. e) Longitud de cada lado recto: LR = f) Excentricidad: e =
3
c a
=
3 2
( e < 1)
Página 181 (Lehmann), Geometría Analítica.
2b 2 a
=
2(12 ) 2
=1
EJEMPLOS MAT251: LA ELIPSE Ejemplo #4: Reducir la ecuación 4 x 2 + y 2 − 40 x − 10 y + 109 = 0 a la segunda forma ordinaria de la ecuación de una elipse, y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la de cada lado recto y la excentricidad. Solución: para efectuar la reducción completamos cuadrados, 4 x 2 + y 2 − 40 x − 10 y + 109 = 0 2 2 2 2 2 −10 2 −10 −10 −10 4 x − 10 x + + y − 10 y + 2 − 4 2 − 2 +109 = 0 2
4 ( x 2 − 10 x + 25 ) + ( y 2 − 10 y + 25 ) -16 = 0 4( x − 5) 2 + ( y − 5)2 = 16 ( x - 5)2 4
+
( y − 5)2 16
=1
Según el teorema 2, es una elipse de centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje Y.4 De donde tenemos que: h = 5, k = 5, a = 4 y b = 2 Por lo que: c 2 = a 2 − b2 = 16 − 4 = 12 → c = 2 3 a) Coordenadas del centro: C (h, k ) → C(5,5) b) Coordenadas de los vértices: V (h, k ± a) → V1 (5, 9), V2 (5,1) c) Focos: F(h,k ± c) → F1 (5, 5 + 2 3) y F2 (3, 5 − 2 3) d) Longitudes de los ejes mayor y menor: 2a = 8 y 2b = 4. e) Longitud de cada lado recto: LR = Excentricidad: e =
c a
=
2 3 4
2b 2 a
=
2(22 ) 4
=2
( e < 1)
NOTA: PARA EL CASO 5 (ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE), VER EL TEOREMA 3 5 y su demostración.
4
Página 181 (Lehmann), Geometría Analítica. Página 183 (Lehmann), Geometría Analítica.
5
