UNIVERSIDAD ANTONIO RUIZ DE MONTOYA
FACULTAD DE FILOSOFÍA Y CIENCIAS HUMANAS CURSO: MATEMÁTICA II DOCENTE : Milagros : Milagros Carrillo Yalán
TEMA: LA ELIPSE Y SUS APLICACIONES ESTUDIANTE: ESTUDIANTE : Alvaro Victor Reducindo Alvarez CARRERA: Educación secundaria con especialidad en Matemática CÓDIGO: 0072614371 CÓDIGO: 0072614371
LIMA - PERÚ
2016
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ÍNDICE 1. Introducción………………………………………………………………… 2 2. Objetivos……………………………………………………………………… 2 3. Aspectos históricos sobre las cónicas……………………………… ..2 4. Las cónicas como lugares geométricos……………………………… 3 5. La elipse……………………………………………………………………… ..4 5.1 Definición de la elipse ………………………………………… ..4 5.2 Elementos de la elipse ………………………………………… ..5 6. Excentricidad de la elipse……………………………………………… ...5
7. Aplicaciones de la elipse en la vida real………………………………6 8. Conclusión…………………………………………………………………… ..10 9. Bibliografía………………………………………………………………………10 ANEXO………………………………………………………………………………11
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LA ELIPSE Y SUS APLICACIONES 1. INTRODUCCIÓN: El presente trabajo se enfoca en el estudio de las aplicaciones de las cónicas, especialmente de la elipse para así plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana. Así pues, través del análisis de la situación, identificar lo relevante en ella, establecer relaciones entre sus elementos y propiedades de la elipse, como la excentricidad de las curvas. Al mismo tiempo, tener una visión diferente en el uso de la matemática dadas las necesidades actuales de esta sociedad, ya que en apariencias se pueden decir que no tienen ninguna utilidad práctica. Al mismo tiempo, se explicará brevemente algunos aspectos históricos sobre la elipse, su definición y propiedades para complementar la presente investigación. 2. OBJETIVOS Revisar las aplicaciones de la elipse en contextos reales como del día a día, en la medicina, arquitectura, astronomía, entre otros. Estudiar desde la geometría analítica la elipse y profundizar sus elementos, propiedades geométricas y algebraicas respecto a su ecuación.
3. ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE LAS CONICAS: A lo largo de la historia es frecuente que ilustres matemáticos han dedicado una buena parte de su vida a investigar conceptos matemáticos que en apariencias no tienen ninguna utilidad práctica. Al hablar de las cónicas, nos referimos a las cónicas de Apolonio de Perga (262 - 190 a.C) uno de los tres grandes matemáticos de la Antigüedad junto con Euclides y Arquímedes. Apolonio es el autor del tratado de la antigüedad acerca de las cónicas, fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola. Así él nos muestra cómo puede obtenerse las diferentes secciones cónicas cortando a través de un plano y en diferentes posiciones en un cono (a) . Por otra parte, González Urbaneja en su libro “Los orígenes de la geometría analítica”, nos dice que “Apolonio maneja las cónicas mediante relaciones de áreas y longitudes, que expresan en cada caso la propiedad característica de definición de las curvas…y que las secciones de los conos tenían importantes propiedades”. Este personaje de la antigüedad presentó una serie de volúmenes en su libro “L as cónicas”, y es en el tercer volumen habla sobre la elipse: " la elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F1, es constante ". También demostró la mayoría de las propiedades que se conocen y con las cuales se definen hoy las cónicas como lugares geométricos, ejes, centros, diámetros, focos, asíntotas, tangentes, entre otros. Su obra fue el referente sobre las cónicas durante varios siglos hasta que en siglo XVII gracias al astrónomo Johannes Kepler le da a la elipse una mayor relevancia. Con su explicación del movimiento de los astros alrededor del sol, al demostrar después de muchos años de observaciones y de cálculos afirma que la órbita que describe los planetas alrededor del sol es de una elipse, siendo el Sol uno de sus focos. 2
Figura (a) Figura (b) Finalmente, luego de un siglo Leonhard Paul Euler según comenta González Urbaneja (2003), Euler realiza la clasificación de cónicas, encuentra los puntos, líneas y razones notables y demuestra numerosas propiedades de la geometría de estas curvas. Si en el caso de las cónicas […] amplía y perfecciona los trabajos anteriores respecto al estudio de los elementos geométricos y propiedades de estas superficies. 4. LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono. Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola:
Toda cónica presenta la siguiente ecuación general:
+ + + + + = 0
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Los valores que toman A, B, C, D, E y F , determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera. A continuación, se señala algunas características de las secciones cónicas
SECCIONES CÓNICAS
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN
La distancia del La suma de las vértice al foco es La distancia al origen distancias de un igual a la distancia es constante punto a cada del vértice a la foco es constante directriz
ECUACIÓN CON VERTICE HORIZONTAL ECUACIÓN CON VERTICE VERTICAL
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
La diferencia entre la distancias de un punto a cada foco es constante
+
=
+ =1
4 =
− =1
+
=
+ =1
4 =
− =1
a = radio mayor b = radio menor c = distancia del centro al foco
p = distancia desde el vértice al foco o a la directriz
a = radio mayor b = radio menor c = distancia del centro al foco
VARIABLES
r = radio del circulo
EXCENTRICIDAD
0
RELACIÓN AL FOCO
p=0
0 ≤ < 1 = +
p=p
= +
5. LA ELIPSE 5.1 DEFINICIÓN DE LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano, de tal modo que la suma de las distancias del punto P a dos puntos fijos F 1 y F2 (llamados focos), es constante.
B
P b
A
F1
C
B’
a c
F2
A’
La recta que contiene a los focos F1 y F2 se llama EJE FOCAL o EJE MAYOR de la elipse 4
Sea P(x, y) un punto cualquiera de la elipse (c) por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica ̅ + = 2a, donde a es una constante positiva mayor que c.
2a
La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales de la elipse son: La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada La letra b representa la distancia desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más achatada La letra c representa la distancia del centro hasta cualquier foco Los puntos en los que la elipse corta a sus ejes, es decir, A, A’, B y B’ se llaman vértices de la elipse.
2b 2c
5.2 ELEMENTOS DE LA ELIPSE
̅ = 2 EJE MAYOR = EJE MENOR = ̅′ = 2
C
DISTANCIA FOCAL = ̅′ = 2 POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS:
= + Luego a >b ECUACIONES DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN ECUACIÓN: ECUACIÓN:
+ =1
+ =1
6. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE Primero hay que saber que proviene de la palabra Excéntrico que significa fuera del centro. Y se refiere a qué tan lejos del centro de la elipse se encuentran los focos en proporción al tamaño de dicha elipse 1. La excentricidad (e) de una elipse se mide a través de la proporción
1
Libro Cuzcano “La elipse y la hipérbola”
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= y va de un valor entre [0,1[; ella indicará la forma que tendrá esa elipse, cuando se acerca a uno la elipse será alargada, pero si se acerca a cero se asemeja a una circunferencia(c)
Figura (c) – Si e=0 y “a” permanece constante y c=0 entonces b=a, esto indica que los dos focos coinciden con el centro de la elipse y se convierte en una circunferencia 7. APLICACIONES DE LA ELIPSE EN LA VIDA REAL La aplicación de la elipse en la vida real está oculta en la estructura de muchas cosas, ya sea en las estructuras de diseños arquitectónicos, fabricación de objetos pequeños, en el funcionamiento de instrumentos tecnológicos útiles en medicina y astronomía, en la descripción del movimiento de objetos y en las formas generadas por situaciones ópticas entre otras. Veamos algunos eventos que involucran el uso de la elipse en la vida cotidiana: Veamos con más detalle a lo que me refiero: A. Cada vez que bebemos un vaso de agua vemos una circunferencia y una elipse:
Vaso en posición normal se a recia una circunferencia
Si inclinamos el vaso se podrá apreciar una elipse
B. La sombra proyectada a partir de una linterna inclinada sobre una pared donde no entre nada de luz genera una elipse. 2 2 STEWART James. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. Thomson. México. 2007. Pág 741
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C. El balón del rugby es elipsoide de revolución (nombre científico dado) pero si cortas al balón en mitad obtienes formas elípticas.
ELIPSOIDE o ELIPSE DE REVOLUCIÓN
El elipsoide es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría (figura d). Es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesiana (Fuente del texto: Wikipedia)
Figura (d) – Giro alrededor de su eje focal Se obtiene entonces un elipsoide tipo balón de rugby, tal y como se observa en la figura (e)
Si la pelota de Rugby fuera un cuerpo plano estaríamos en presencia de una elipse. Al ser un cuerpo tridimensional es un ELIPSOIDE 7
Figura (e) – Balón de rugby
D. En el ámbito de la Geología, normalmente cuando paseamos por las playas o el rio: muchas piedras debidos a la erosión tiene forma de elipsoide si cortamos mediante planos perpendiculares obtenemos elipses
E. La elipse es muy particular en las Arquitectura: Construcción de capillas que tienen formas Construcción o remodelación de elipsoidales en los techos para mejor transmisión estadios deportivos del sonido o las cámaras de Eco La cúpula de San Pedro (Roma) y en la galería EJEMPLOS sonora de San Pablo (Londres). Son arquitecturas renacentistas. Produce un efecto de insonorización de las Para competencias en el atletismo o FINALIDAD habitaciones. bicicletas.
PROPIEDAD DE LA ELIPSE: Si la forma de la cúpula de un auditórium o de una galería es elíptica, entonces un susurro o murmullo débil emitido por alguien en un foco será percibido muy claro en el otro foco.
F. En el campo de la astronomía , el primero en dar a conocer la utilidad de la elipse en la ciencia fue Johannes Kepler en 1609 en su publicación “La nueva astronomía ”. Kepler nos dice que los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está 8
el Sol. Al mismo tiempo, Stewart, J. (2007) menciona que está teoría desarrollada por Kepler se debe a la propiedad focal de la elipse, donde siempre se utiliza para el diseño de objetos elípticos3
F1
planeta
F2
F1 y F2 son los focos G. En el campo de la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar "cálculos" renales por medio de ondas intra-acuáticas de choque. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente forma: en uno de sus focos (en el litotriptor) se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucción 4.
H. La fabricación de la rueda excéntrica y biela ha colaborado gradualmente para operar máquinas con poleas elípticas en gimnasios, como por ejemplo la bicicleta elíptica para el acondicionamiento físico o cardio. La cabeza de la bela tiene un movimiento circular ya que está unida a la empuñadura de la rueda excéntrica mientras que el pie de la bela sigue una trayectoria lineal.
3 STEWART James. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. Thomson. México. 2007.Pág.740 4 Fuente de texto: Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Litotriptor
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8. CONCLUSIÓN Al concluir este trabajo de investigación se ha dado a conocer varios puntos fundamentales para el estudio de la elipse, cuando a veces se torna un poco complicado al no tener la base necesaria para el desarrollo del tema. Es por ello, para un mejor entendimiento del tema se dio a conocer aquellas características de la elipse, junto a su ecuación básica con su demostración (ver ANEXO) para poder realizar y analizar ejercicios de la elipse. Y especialmente, se ha pretendido explicar las distintas aplicaciones que se dan en la vida cotidiana en relación con la elipse. Muchas de las aplicaciones nombradas tienen importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas elipses a nuestro alrededor. Aunque algunas que otras aplicaciones no podemos ver a la elipse tal cual, y otra algunas veces son difíciles de creer que esté presente la elipse, pues he tratado de exponer lo más destacado y a la vez, ofrecer un mayor interés hacia la matemática. Un mayor interés en el sentido de que la matemática aparte de ser un curso indispensable en nuestra vida, podemos descubrir su importancia en nuestra realidad, reconocer el legado de muchos matemáticos interesados en cambiar e interpretar nuestra realidad de otra manera y al mismo tiempo, darle un uso constantemente en muchas ciencias y nuestra actividad diaria. En relación al tema desarrollado, espero que mi aporte sea de gran importancia para entender la elipse y cómo se comporta en la vida diaria, seguramente hay muchos más ejemplos donde podremos encontrar formas elípticas y más aplicaciones que muchas ciencias hacen uso de ella. 9.
Bibliografía
Stewart, J. (2012). Precálculo: Matemáticas para el cálculo (Sexta ed.). México: Ediciones OVA. Ubaldo, L. (2002). La elipse y la hipérbola. Lima: Cuzcano.
Web grafía: o o
o
https://prezi.com/uxp2wpgydhit/rueda-excentrica-y-leva/ https://es.scribd.com/document/21948287/11-Objetivos-Del-Estudios-deLas-Conicas https://sites.google.com/site/geometriaanaliticageraferjenny/unidad-3/laelipse
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ANEXO 1. DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Siendo FF’=2c, entonces las coordenadas de F’ y F son: F’(-c,0), F(c,0).
P (x, y) es un punto que pertenece a la elipse y por definición se debe cumplir: PF’ + PF = 2 a Aplicando la fórmula de la distancia entre 2 puntos del plano:
√ ( + ) + ( − 0) + √ ( − ) + ( − 0) = 2
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