Matemática I
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UNIDAD VII
LA ELIPSE 1.
INTRODUCCIÓN Una elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F y F’, llamados focos, es constante y mayor que la distancia entre estos puntos fijos. La distancia entre F y F’ se llama distancia focal, su valor se designa 2c y la recta determinada por por los focos se conoce como eje focal; mientras que, al punto medio del segmento FF’ se le denomina el centro de la elipse. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V’ llamados vértices y el segmento VV’ recibe el nombre de eje mayor. Finalmente la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse se la conoce como eje normal, el cual corta a la elipse en dos puntos A y A’, los cuales determinan un segmento AA’ llamado eje menor.
Eje normal A
V’
·
2c
2b
·
F’
V
F
E e foca focall
A’ 2a
Donde siempre se cumple que a > b y a2
2.
=b
2
+c
2
.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN UNO DE LOS EJES COORDENADOS Eje focal en el eje X Y
x2 a
X
2
+
y2 b
2
=1
F’ = (-c; 0) F = (c; 0)
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Eje focal en el eje Y Y
x2 b X
3.
2
+
y2 a
2
=1
F’ = (0; -c) F = (0; c)
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS Eje focal paralelo al eje X Y
(x − h)2 k
a2 X
+
(y − k)2 b2
=1
C = (h; k) F’ = (h-c; 0) F = (h+c; 0)
h
Eje focal paralelo al eje Y
Y
(x − h)2 b
k
2
+
(y − k)2 a
2
=1
C = (h; k) F’ = (h; k-c) F = (h; k+c)
X h
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BLOQUE I 1.- Encuentra el foco, vértices, longitud del eje mayor, la longitud del eje menor y represente gráficamente las elipses siguientes:
y2 a) 16 c)
y2 4
+
x2 9
+
x2 9
=1
y2 b) 9
x2 + 16
=1
x2 d) 9
+
e) y 2 + 16 x 2
= 16
g) 5 x 2 + 6y 2
=
i)
x2
=
f)
=1
y2 = 1
4 x 2 + 25 y
= 100
h) x 2 + 4 y 2 = 1
30
4 − 2y 2
j)
y2
=
9 − 3 x2
2.- Deduzca la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones: a) Foco en (±4; 0) Vértice en (±5; 0)
b) Foco en (0; ±3) Vértice en (0; ±5)
c) Foco en (0; ±5) Vértice en (0;±8) e) Foco en (0; ±2) longitud del eje menor 6 g) Foco en (0; ±7) longitud del eje menor 16
d) Foco en (0; ±6) Vértice en (0;±9) f) Foco en (±5;0) longitud del eje mayor 12 h) Foco en (±4;0) longitud del eje mayor 9
3.- Determinar la ecuación de la elipse con vértices V’ (-5; 0), V (5; 0) y focos F (4; 0) y F’ (-4; 0).
x2 y2 + = 1, determinar las coordenadas de los 4.- La ecuación de una elipse es 8 16 focos y vértices y las longitudes de los ejes menor y mayor.
5.- Los vértices de una elipse son V (5; − 2) y V’ (-1; -2). Encontrar la ecuación de la elipse si uno de sus focos está en la recta y − 2x + 10 = 0 .
6.- Determinar el centro los focos, los vértices y la longitud de los semiejes de la elipse 25x 2
+ 9y
2
+ 150x − 36y + 36 =
0.
7.- Una elipse de eje paralelo al eje de las abscisas, pasa por el punto (6; 0) y tiene sus vértices en la circunferencia de ecuación x 2 concéntrica con ella. Determinar su ecuación. 70
+
y2
− 8x +
4y − 5
=
0 y es
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8.- Determine los focos, vértices y longitudes de los ejes mayor y menor de la siguiente elipse y trace su grafica.
x2 4
+
y2 9
=1
9.- Obtenga la ecuación de la elipse si los vértices están ubicados en ( ±4; 0) y los focos están en ( ±2; 0) .
10.- Escribe la ecuación de la elipse cuyo centro es (0,0), un foco (3,0) y un vértice es (4,0).
11.- Encuentre la ecuación de una elipse horizontal si su centro es (5,1) y el eje mayor es igual a 10 y la longitud del eje menor es 8.
12.- En una elipse el eje mayor mide 20 cm y el eje menor 12 cm. Si la distancia de un punto P de la elipse a un foco mide 11 cm, ¿cuál es la distancia de P al otro foco?
13.- Hallar la ecuación de una elipse, si la longitud de su eje menor es 6 y las coordenadas de los focos son (0; ± 4) .
14.- Encontrar la longitud de una cuerda que pase por un foco y sea perpendicular al x2 eje mayor de la elipse 64
y2 + 16
= 1.
x2 y2 + = 1 , se ha inscrito un triángulo equilátero. Si uno de los 15.- En la elipse 36 9 vértices coincide con el vértice derecho de la elipse, hallar las coordenadas de los otros dos vértices del triángulo.
16.- La recta 2x + y − 14 = 0 corta a la elipse 4x2 + y 2 = 100 . Hallar la ecuación del segmento de esta recta que se encuentra dentro de la elipse.
17.- Hallar la ecuación de la elipse con centro C (-2; 4) y que sea tangente a los ejes coordenados.
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18.- Un carpintero desea construir una mesa elíptica
Tablero de madera
a partir de una lamina de triplay, de 4 pies de ancho por 8 pies de largo y 2 pulgadas de espesor. Trazará la elipse con métodos de tachuelas e hilo. Encontrar: a) La ecuación de la elipse (considerando que los ejes de coordenadas están ubicados sobre el centro de la elipse). b) Las coordenadas de los focos.
19.- Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del sol, encontrándose el sol en uno de los focos de la elipse. El punto de la órbita en el que el planeta está más cercano al Sol se llama perihelio, y el punto donde está más alejado se llama afelio. Esos puntos son los vértices de la órbita. La distancia de la Tierra al Sol es 147 millones de kilómetros en el perihelio, y 153 millones en el afelio. (Coloque el origen en el centro de la órbita, y al sol en el eje x).
Perihelio
Afelio
Encontrar: a) La ecuación de la órbita de la Tierra b) Las coordenadas de los focos y de los vértices.
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ANOTACIONES: .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. ..............................................................................................................................
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